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Full text of "Revue de mathématiques spéciales"




I 






Digitized by the Internet Archive 

in 2010 with funding from 

University of Ottawa 



http://www.archive.org/details/revuedemathmat11pari 



REVUE 



DE 



MATHÉMATIQUES SPÉCIALES 




REVUE 



DE 



MAÏIlEMmOUES SPÉCIALES 



REDIGEE PAR MM. 



E. HUMBERT 

ANCIEN ÉLÈVE DE l'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 

AGRÉGÉ DES SCIENCES MATHÉMATIQUES 

PROFESSEUR DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES AU LYCÉE LOUIS-LE-GRAND 

ET 



G. PAPELIER 



ANCIEN ELEVE DE L ECOLE NORMALE SUPERIEURE 

AGRÉGÉ DES SCIENCES MATHÉMATIQUES 

PROFESSEUR DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES AU LYCÉE d'ORLÉANS 



AVKC LA COLLABORATION DE MM. 



N. CHARRUIT, 

ANCIEN KLÈVK DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉBIEUBE 
AURÉGÉ de mathématiques, PROFESSia u au LYCÉE DE LYON 

E. DESSENON, 

ANCIEN KLÉVIS DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉIUKUBE 
A^BHOB DE MATHÉMATIQUES, PROFESSEUR AU LYCÉK SAINT-LOUIS 



P. LAMAIRE, 



ANCIEN KLKVE DE L KCOLR NORMALE SUPEKUUBE 
AGBÉfîÉ DE MATHÉMATIQUES, PBOKtSSEUR AU COLLÈGE CHAPTAL 

GH. RIVIÈRE, 

ANCIEN KLKVE DE l'ÉCOLE NORMALE SUPÉBIEUBB 
DOCTEUR ES SCIENCES. PROFESSEUR AGBÉGÉ DK PIIYSIQUC AU LYCIIk SAINT LOUIS 



H. VUIBERT, 

RÉDACTEUB DU Journal île Mathéuialiques élémeniaires. 



TOME SIXIÈME 



ANNÉES 1900-1901 & 1901-1902 



PARIS 
LIBRAIRIE NONY Je C'« 

63, BOULEVARD SAINT-GERMAIN. O.J 






-» 



f 



/2- 



REVUE 



DE 



MATHÉMATIQUES SPÉCIALES 



■11^ Année. — N" 1. 



Octobre 1900. 



PREMIERE PARTIE 



DKMOXSTHâTION du THI-'ORl-MI-: DE PONCELHT 
SUR LES POLYGONES LNSCHIÏS DANS UNE CONIQUE ET CIIIGONSGRIÏS A UNE AUTRE 

par M. E. Cahen, piofesseui' île Mathématiques spéciales au Collège HoUin. 



Dans le n" 9 de l'année 1900 de ce journal, M. Fontené considère deu,\ points d'une conifiuc V, 
dont les paramètres t et l' sont liés par une relation donhlnmeiit quadratique et symiitriqua 
(1) Xt^t''-hBtt'{t-ht')-hC{l^-^l'--)-hDll'-{-E{l^i')-+-V = 0. 

La droilc qui joint ci:s deux points enveloppe une conique U et, réciproquement, 

Si la droite qui joint deux points d'une conique V est tangente à une conique U, les paramètres de ces 
deuT points sont liés par une relation de la forme précédente. 
Bien entendu, les énoncés corrélatifs sont vrais. 

Comme application, M. Fontené indique le lieu du troisième sommet d'un iriungle circonscrit à une 
Conique U et dont les deux autres sommets décrivent une conique S et l'enveloppe corrélative. 
(]eci peut se généraliser : 

Soient drue Cliniques \ et U . Un pohjijone de p côtés est inscrit dans V et p—i 'le *"''•< côtés sont 
tnnqents à U. Quelle est l'enveloppe du p" côté ? (Sur la ûgure p = 5). 

Or, il y a entre les paramètres des points Ai et A,, sur la conique V, 
une relation qui est évidemment nlqébrique et si/métrique. D'aulic pari, cette 
relation est du second degré. En effet, si l'on se donne A, il y a deux posi- 
tions possibles pour A», mais si l'on choisit l'une de ces positions il y a une 
position déterminée pour .\:, puis une pour A. et ainsi de suite. Donc si l'on 
se donne A,, il y a deux positions possibles pour A,,. La re!ati<m alijélirique, 
s\jmélriqne entre les paramètres de Ai et de A;„est donC, de plus, du second 
degré. Donc AiA;, enveloppe une conique. 

Corrélativement : Un polygone de p côtés étant circonscrit à une conique 
et p — i de ses sommets étant sur une autre, le lieu du p'- sommet est une 
conique. 

Pour arriver au théorème do l'oncclet, cherchons s'il existe un polygone 
V'K- I- de p cotés inscrit dans V et circonscrit à U. Or, si d'un point Ai de U, on 

déduit, au moyen de j) tangentes consécutives, un point A,,^,, il y a entre les paramètres de A, et 
de A;,^.i, une relation 

\(p■^-')ln'^ -+ B'/'-' '1tl'{l + t') 4- C(;'-+-')f/2 + /'-•) -t- ])o-^'ilt' + &'-+')(/ 
A'^^'), B'"+'», F'/'"* '' étant des coeflicienls qui dépendent de p. 




. l') H_ l?(;.+i) - 0, 



POLYC.ONES INSCRITS DANS UNE CONIQUE ET CIRCONSCIIITS A UNE AUTRE 



Pour que le point A, soit sommet d'un polygone cherché, il faut et il sufTit qu'il coïncide avec 



A,. 




On obtient donc son t, en faisant t = i dans l'équation précédente, ce qui donne 
(2) Ai''-^'><' -H 2B"-^')r' 4- [2C('^') -h D<P+'»]/' -h 2E(p-^')< + F'/'+'i = 0. 

Celle équation est du quatrième degré ; on trouve donc quatre positions pour le point A,. 
Mais il faut remarquer qu'il y a, quel que soit p, quatre positions du point Ai dont les paramètres 
doivent satisfaire à l'équation (2), sans que ces points donnent de vrais polygones répondant à la ques- 
tion. Ce sont les quatre poiiUs de contact avec V, des tauffcnies communes à U et V. 

Si on considère un tel point Ai (voir la figure 2 où les tangentes communes â U et V sont réelles), 

il est évident qu'il coïncide avec les points A., Aj, A,,^,,, ... 

Donc l'équation (2) doit donner ces quatre solutions singulières, et 
comme elle est du quatrième degré, elle n'en donne, en général, pas 
d'autres. 

Donc, en général, il n'y a pax de vrai polygone de p côtés inscrit 
dans V et circonscrit à U. 

Mais on voit que s'il y en a un, l'équation (2) ayant plus de quatre 
racines est une identité. Donc s'il y a un d<' <es polygones il y en a une 
infinité. C'est le théorème de Poncelet. 
On peut choisir arbitrairement un sommet du polygone sur V. 

Corrélativement, on peut choisir arbitrairement un coté du polygone langent à U (*). 
Voici quelques remarques que suggère la méthode précédente. 

Considérons un polygone de p côtés inscrit dans V et circonscrit à U ; si partant d'un sommet, 
on joint les sommets de g en 7, jusqu'à ce qu'on revienne au point de dépari, on forme un polygone 

de "Y cdlés (d étant le plus grand commun diviseur de p et q). 

Or, entre les paramètres de deux sommets dont les rangs diffèrent de 7, existe une relation double- 
ment quadratique pi symétrique, qui est la même, quelle que soit la position de ces sommets. Donc 
le polygone obtenu est circonscrit à une conique l''", et celle conique reste la même si le polygone 
primitif varie en restant inscrit dans V et circonscrit à U. Au système de deux coniques U el V, cor- 
respondent ainsi p coniques 

rci, u<«),... u(p), 

(dont la première est V, el !a dernière U). 

Sur ces // coniques, il y en a o{p) qui correspondent à des polygones de p côtés ; el plus généra- 
lement <?( -j ) '|ui correspondent à des polygones de -^ côtés. 

(•| La ilvmonslr.ilion pri-cédcnte ne prouve (las nii'il l'vislo efTcclivomcnl îles polyponi's de Poiuclef. Il est clçiir qu'il eu 
existe pour p -< S. c.ir si l'on circonscrit un pentagone, pur cvcmplc, à une conique U, on peut faire jiasser une coni- 
que V par li'.s rinq sommets de ro pcntjigone. Mais pour p > .">, ce raisonnement ne s'applique pas. On peut se Iwrncr ii 
un exemple. Soit la p.iralHjlc V, x = (, J/ = t' 

et U parahole 1 dont Irqnation est x'{l -4- cos?) - 2(/ = 0. 

On trouve racilemenl (jue la relation qui doit exister entre les paramétres t et /' de deux points A,, A, de V pour (|ue 
la droite A, A, soit tangente à L' est 

l'-t-n — 2«'cos?=0. 

Uuivnt à la rvinlinn entre les parnmétres l et t"" de A, et de A;.,i, on voit (de proche en proche) que c'est 

l' + V'" — S/ri-rospo = 0. 

L'équation (2) se réduit donc ici a 2(t — rospo)<' = 0. 

Elle est une identité lor>><|ni' rosp!i = i, ou o = — -'• 

II 
Pour ce» valeurs de ç., il enlslo des pidygonesde /» rot/;s inscrits dans V el circonscrits à l'. 



ALGIÎBIŒ 



En particulier, si p est pair, eu faisant 7 = -^ : on est amené àjoinilru deux sommets opposes 

du polygone. Pour ces deux sommets la relation quadratique se réduit à une relation du premier degré 
symétrique, c'est-à-dire à une involution (car à un sommet du polygone ne correspond qu'un sommet 
opposé). Donc 

Quand un poli/gane d'un nombre pair de cô/m esl inscrit dinix une ronif/iic el circonscrit à une nuire, 
1rs diuijonales ([ui joignent les sommets opposés se coupent en un mrnir point qui est fixe quand le poli/'jonc 
oarie. 

Dans les cas de l'hexagone, ce point est le point de Briunchon. 

Tous ces théorèmes ont d'ailleurs leurs corrélatifs. 

Par exemple, dans les polygones précédents, les points de rencontre des cotés opposés sont tous 
sur une même droite lixe. Dans le cas de l'hexagone, c'est la droite de Pascal. 



ALGEBRE 



904. — Liant donnée une équatinn du quatrième degré fy.r) = ax'' -\-M)v' -+- Gcx' -t- 'ili'x -h a' -^ 0, 
trouver les conditions quidoivent être remplies pour qu<' l'cqualion f(q-^h) = soit réciproque pour trois 
valeurs de h. 

Dans ce ras, trouver les valeurs de h et les racines de l'ét/untion /'(/■; = 0. 

Si dans l'équation proposée, on effectue la substitution indiquée .r=i/ + /(, cette équation 
devient 

ai/' -H Aialt -+- b)y^ -+- n(ah' -\- 2/jIi -h c)]f' + Malr -\- 2hh- -+• 3c/i + //)f/ -+- uk' 1- -\hlr t Cf/j- -t- Wh + a' = 0. 
Kn écrivant que cette équation est une équation réciproque ordinaire, nous avons les deux rela- 
tions 

ah^ -t- Uh' -+- (Jc/(- -H Wh -+- r/' — a = 0, 

ah' -+- 3/y/i - + (3<; — a)h + Ir —4 = 
qui doivent i''tre vérifiées simultanément pour trois valeurs de h. Or, en multipliant la seconde par /( et 
retranchant le résultat ainsi obtenu de la première, celle-ci s'abaisse au troisième degré el devient 

hie -(- (3c -+- «)/t^ -t- (3// + //)/( + a' — a= 0, 
et nous avons alors à exprimer que les deux équations du troisième degré en /( ont trois racines com- 
munes, par suite, qu'elles ont leurs coelficients proportionnels. Cela nous donne les relations 

// _ 3c -t- a _ 36' + I) a' — n 
a 'Ah 'il- - 

Posons alors - = /•■; nous aurons — = 3/,- — 1 , = /.•(3/,' — t], d'où — - lt{k- — 1) ; 

(( a a a 

et enfm '^—^ =,k%k^ — -l) et 

(/ 

L'équation du quatrième degré est donc 

X- + 4/.M' -t- 2(3/c-^ ~\)x'^ U{h-' - 1 1 ' -t- (/, - — I i- = ; 
elle peut s'écrire {x -+- A-)' — 2(a:-+- /.-j^ -+-1=0 ou [(c + /.)- — 1 j- = 0. 
Rlle a deux racines doubles qui sont 1 — /• et — 1 — /.'. 



// — /; 




a 


- "2, 


n 





ALGEBIΠ



Ouanl à l'équation qui donne h, elle devient A»-(-3^/i-+ (3/.* — 2)/i-i-^(/.- — 2) = 0, 

ou (/( + Af - 2( /( + /.•) =0; 

elle admet les trois racines h = — k et k = — lidz^'i . 

Voyons maintenant si le problème peut avoir d'autres suintions. Il faudra pour cela que l'cqualion 
en 1/ puisse être réciproque de seconde espèce, c'esl-à-dire que le terme du milieu puisse être nul, les 
coefficients des autres termes étant deux à deux égaux et de signes contraires, ou (jue l'on ait simul- 

lanément : 

ah' ~h Uk' -+- Gch- -f- Wh + «' -f- n = 0, 

ah' -4- 3/'/i- + (3c -4- (i]li 4- i' -h A = 0, ah' ■+- Ihh -h c = 0. 

La dernière équation permet d'abaisser successivement les deux autres au troisième et au second 
dujjré ; cette nouvelle équation permet enfin d'abaisser la première à son tour au second degré 
et l'on est linalemenl conduit à trois équations du second degré en h 

(c — 2fi)/i» + 2(4' — /*)/( -ha' -hn = U, 
6/j» -+- (2c -t- a)h + b' -h b — 0, ah' ■+■ Ibh + c = 0. 

Ces trois équations peuvent au plus avoir deux racines communes ; pour qu'elles lésaient eiïective- 

ment, il faut ([u'elles aient deux à deux leurs coefficients proportionnels. V.n posant — = /,-, le calcul 

(/ 

se fait facilement ; il ne présente aucune impossibilité etdonne —— k, — = /,- , — = k\ /.- V 

a a 2 n V 2' 

Il 1 

L'équation du quatrième degré en .c est alors ( .r+ A)' — 3'x + k)- -^ =0, 

et l'équation qui donne //, (h -+- ky — — = 0, 

Le problème, tel qu'il est posé, n'est cependant pas possible, car l'équation devant être réciproque 
pour une autre valeur de //, il faut qu'elle soit encore réciproque de première espèce pour une valeur 
de h autre que celles-ci, c'est-à-dire que les équations 

ah' -+- ibh' -+- Gch' -+- Ab'h -+- ,i' — « = 0, nh' -+- 3bh' -h (3c — a)h -+ b' — h = 0, 

aient une racine commune ; actuellement, elles se réduisent ii 

(/, 4- /.)' _ 3(/, 4. /,)» -^ =0, (/,-+- ky -l^h + k) = 0, 

et n'ont aucune racine conmiune. 

Il reste à voir mainlenanl si l'équation fd/ -h h) =0 peut être réciproque de première espèce 
|)Our deux valeurs de //, et de seconde espèce pour une autre valeur de h. 

Pour traiter celte question, nous partirons de l'équation en y, supposée réciproque do seconde 
espèce, 

»/■• -1-4»)/ — 4ai/— 1 = 0, 
nous y changerons y en x — |i cl nous aurons une équation en x, 

X* -f- |(« _ p).r' ^ 6p(SJ - 2«)x' - 4(?' — 3«?« -+- «)x -<- ^' - 4^? ' -^ 4ap _ J = Q, 
qui est réciproque de seconde espèce pour une valeur de /., // = ? ; pour qu'elle soit réciproque de 
première espèce pour deux valeurs de h, il faut .(ue les deux équations en h signalées dès le débutaient 
deux racines eomninnos ; or, ici, ces équations sont 

I /' - ?)♦ -H 4x( A - p, ■ - U{h _ ^) _ 2 = 0, (/, _ p)» + 3,^ h-'p)^-{h-?,- 2, = 0, 

i)U, en posant // — i = w, 

(('-f-4ii.' — lïu - -2 — 0, (/' t- 3i(,i — H — 2ï = ; 



GÉOMÉTRIE ANALYTIUUE 



en multipliant la seconde par u et retranchant de la première, nous obtenons 

au' -H M- — 2au — 2 = 0, 
équation qui se décompose en m^— 2 = et au+i =0. Pour que le problème fût possible, il 
faudrait que deux de ces valeurs de u annulassent la seconde équation en ii ; or il est facile de voirqne 

les hypothèses « = ^/â", u = — ^/^ et u = , portées successivement dans cette équation 

a 

donnent des valeurs distinctes de ».. Le problème n"a donc pas de solution de ce genre. 

V. PÉGORIEH, à Toulouse. 



GEOMI'TRIE 



886. — On coiixidrri' deux- rerclca G, G' <'l une corde variablr kBdu rm-i'e C qui soil vur du rentre du 
cercle C sous un lUKjle droit. 

Trouver le lieu du cnUre du cercle passant par A e( B et orthngonal au cercle G. 

Appelons le centre du cercle variable, il le pied de la perpendiculaire abaissée de C sur AB ; 

soient R le rayon du cercle C et F la puissance du point G par 
rapport au cercle G'. On sait que .\H enveloppe une conique de 
foyers G et G' ; d'où il résulte que le point H décrit un cercle. 

D'autre part, la différence des puissances d'un point G par 
rapport aux deux cercles G' et est égale au double produit de 
la distance des centres G'O par la distance du point C à l'axe radi- 
cal AB. Donc 

2.GllxC'0 = P— U'-= G'". 

Gomme le point H décrit un cerclCj le lieu du point (jui en 
dérive par translation et inversion est aussi un cercle. 




GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



913. — f.'i diff'érence des carrés des seijtneiits inlerceplés sur deu.r di'imi'lves conjurjués d'une ln/j)erbole 
éf/uilatère pur tout cercle ayant son rentre sur l'Iii/perliole est eonslnnle. 

Rapportons l'hyperboh! équilalère à ses deux asymptotes cl choisissons les directions positives des 
axes de façon que l'équation de celle courbe soit nj = Ir. Deux diamètres conjugués de celte conique 
auront pour équation i/ = mr et j/ = — m.r. 

Gela posé, rappelons que le carré du demi-segment intercepté par un cercle de rayon p sur une 
droite située à une dislance S du centre est p- — o^ et le carré du segment, 4(?'- — o^). Si nous 
appelons alors [x, y) le point de l'hyperbole qui est le centre du cercle considéré, p le rayon de ce 
cercle^ les carrés des deux segments interceptés sur les deux diamètres seront 

4jï _ 4 ^ J- et i'J — - •' .,— ; 

,.«., . îu-\-mx)^ — (y — m.r)- 16m.ri/ _ ,, ,-,t . . , . ^ i 

leur diflérence est donc A- t — ou -■ Gcllc quantité est constante et égale 

1 -H m- I -i )u- 



idk^-m 



On peut représenter géométriquemeul de bien ib-s manières cette <(uantilé i\ l'aide de 

E.-N. BARISIE.N. 



l -t-m 
cercles particuliers. 

Bnones sulutions : MM. F. l*K(iOHiEn, à Tnulnusc ; IIalauan. 



l'IlVSIUUE 



Solution géométrique 
Y 




Soient ÛX, UY les asymptoles de l'hyperbole équilatère, MM', .\.N" les 
segnienls inlerceplés par un cnrcle '•> sur deux diamètres con- 
jugués, qui sont comme on sait également inclint^s sur 0\ 
P et (J étant les pieds des perpendiculaires almissées du centre w 

du cercle sur les cordes, on a '—— = R' — loV . 
d'où 

mY''— N^'rzi (JIJQ^-- Ilip') =4( tiTf '— iUS*) si nSa= I r,(ol . SI . si n 2» ; 
et comme 

SI =1 (llcotga, mm"'' — NÎV* = S<.>1.01.sin2a. 

Ur quand le point w se déplace sur l'hyperbole, le produit 
wl.Ul est constant. La proposition est donc démontrée. 

VASMi:i{. 



PHYSIQUE 



919. - lu jii-iidule est cimsliluè par une inji' dr masse ncgliiicablp mobile autour d'un axe horizontal 
ei II laquelle soal firées deux houles de volumes respectifs v et v', de masses sp'''ci/iques ra et m', à des dis- 
tances b et ti de l'axe. Les dimensions des boules sont négligeables vis-à-vis des distances b et b'. Le tout 
est plonifé dans un liquide de masse spéàfique o. Discuter In durée d'uscillation du pendule en supposant 
que la boule v suit fixe, que m soit supérieur à ra' et que l'action du liquide se réduise à In poussée 
d'Arrhiméde. 

Etant donnée la formule du pendule / = "y rj — ' il suffit de discuter la quantité sous le radical. 

1 est le moment d'inertie : \ = vmb^ + v'Ts'b'-. 

)Aga représente le moment statique des forces qui agissent sur le pendule : 

Mf/a = [«{ra — o)A -1- ?<'("»' _ l)h''q. 
On en déduit pour la l'tnjruour du pendule 






V^lr -H v'^f'li'- 



S\a v(^ — 8)A -I- w'C^ — Z)h' 

1" Supposons plus polit que m et que m'. Si b\ d'abord très grand, diminue, la longueur du 
penduif diminiio. Clierclions s'il y a un minimum en égalant la dérivée à 0, co qui donne 



(*) 



b' \- 



(t) 



t)' m' 



■ //' u m 

Z b v' ra' 



Celle équation admet une racine positive comprise entre et I ; la longueur du pendule passe donc 
par un minimum pour une valeur de // inférieur ;i b. 

m 



ï'nwr II 



(t. 



/ = 



J>. 



Si II' prend des valeurs négatives, c'esl-it-dire si la houle mobile passe au-dessus do l'axe, / con- 

linuo do croître et ilevienl infini pour 

b' _ i, m _ 

T ~~7' ra' — 2»' 

Au delà de colie valeur, le [lendulc se renveise ; la seconde racine de ré(]ualion (1) est située 
au delà ol na pas. par conséquent, de signification physiquo. 



EXAMENS ORAUX 1900 (ÉCOLE POLYTECHNIQUE) 



2° Supposons " > >. "'. Le pendule n'est stable que pour des valeurs de b' inférieures à 

u ro — 8 , 
— 0. 

v' S— ra' 

Si // diminue à partir de celte valeur, / diminue, passe par un minimum pour une certaine valeur 
négative de 4', puis augmente indéfiniment. La différence entre ce résultat et le précédtMit se conçoit 
a prioii, car la présence de la boule mobile donne lieu à une force dirigée de bas en liant, tandis qu'elle 
produisait, dans le cas précédent, une force dirigée de haut en bas. 

3° Supposons '5 supérieur à m. Le pendule n'est stable que pour des valeurs de // négatives et 
supérieures en valeur absolue à 

V o — m 

- , ■■. ,'>■ 

e — ra 

Si la boule s'éloigne indéfiniment à partir de cette position, l diminue, passe par un mininuini puis 
augmente indéfiniment. 

En résumé, la longueur et, par suite, la durée d'oscillation du pendule passent dans les trois cas 
par un minimum. Cette longueur devient infinie soit pour une position de la boule mobile qui place sur 
l'axe de suspension le centre des forces qui agissent sur le pendule, soit pour une position infiniment 
éloignée qui rend infini le moment d'inertie. 

(Dans la solution qu'il a envoyée, M. G. Fontaine a fait intervenir à tort la masse spécifique du milieu 
ambiant dans l'expression du moment d'inertie.) 



QUESTIONS POSÉES AUX EXA>[ENS ORAUX 



ÉCOLE POLYTECHNKJUE (1900). 
L — Mathématiques élémentaires. 

1885. — Le produit (ie p nombres entiers consécutifs est divisible par le produit des ;) premiers nombres. 

•188<». — Trouver p nombres entiers consécutifs qui ne soient pas premiers. 

-18S7 _ Démontrer que la moyenne arithmétique de n nombres positifs est plus grande que leur moyenne liarnio- 
nique. 

1888. — La somme des trois fractions — ' —> — • est entière. 

O 2 D 

1889. — Si n est entier »^ — 5»' + in est divisible par 120. 

1890. — Si a est un entier premier avec 5 et impair.le produit (a' — \)(n' — 9)[a2 — 49] est divisible par 2S040. 

1891 . — Déterminer un nombre de deux chiffres égal au double du produit de ses chiffres. 

1892. — Trouver trois nombres consécutifs dont la somme soit égale au produit. 

d 

1893. — Décomposer le nombre 100 en quatre parties a, b. r, d telles ([ue a + k — h— \ = hc = — ■ 

1894. — Si d'un point du cercle circonscrit à un triangle on al)aisse des perpendiculaires sur les trois cités, les trois 
pieds sont en ligne droite. 

1895. — Inscrire un carré dans un triangle équilatéral. 

1896. - Étant rlonné un quadrilatère ABCD, mener par le sommet A une droite divisant le quadrilatère en deiiv 
parties équivalentes. 

i897 _ Partiiger un quadrilatère en deux parties équivalentes (lar une droite parallèle à une direction donnée. 

1898. — Les milieux des côtés d'un quadrilatère gauche sont dans un même plan. 

1899. — Volume du prismatoïde. 

1900. — Ktant donnés une sphère et un cône circonscrit, évaluer le volume de la portion du eône limitée à son sommet 
et au plan de contact. Déterminer le sommet du cône de façon que ce volume soit égal au volume de la splièii'. 



EXAMENS ORALX 1900 (ECOLE POLYTECHMOUË) 



II. — Algèbre. 

I!)0I. — C-iIculcr IVxpressiuii 41/iih — ft) -+- lAl/i -f- I). n éUiiit lionnij et h variant ili' 1 à n — 1. 

1002 — Dt^nioiitntr los roriiiiiles 

(•"•1 r»* -1. r' -*- C ^ _i- ("' 

r.», .,. = c» + C. c;îr' + c; cV + . . . + cj. 

lî»03. —Décomposer .r'in — z) + !i\z — x) + s'{r - ij) en un proiluit do Oicteiirslinî-aircs. 
1904 . — (Calculer les délerniinants 



(1 


h 


c 




a 


h 


c 


II' 


b' 


c 


■ 


a' 


b'- 


c'- 


<l' 


fc' 


c' 




a' 


(/' 


c' 






II 


b 


e 


a 


n 


b 


c 


b 


c 





a 


C 


b 


a 






1905. — Si dans un déterminant un élément csl égal à zéro, i'onil)i('n le déterminant a-l-il dr termes? et si deux 
éléments sont nuls. 

1906. — On étialc à zéro tous les mineurs du premier ordre d'un ilétcrminant à »' éléments; corallien cela fait-il 
d'équations distinctes .' 

J907. — étudier les séries qui ont pour termes généraux : 

•^ 1 1 n(H -t- I) cos nx 



an + 1 


n{Lnii' ' 


n»(Lii)!' ' ( 


■1908. - Etudi,- 


■ la série 


(— l)-sin- . 
n 




1 


1 1 



(n+ 2)(n -t- 3K»-l-41(n-t- 5) 



(-»riK 



sm n 




n 






i 



i 



v/I— 1 v^^H-l v/3 — 1 v'3-t-» ' v/h-1 v'H-t-1 

1009. — Calculer ii prés la somme de la série qui a pour terme général -;;■• 

1010. — Déterminer une fonction ?(.r) \érifiant l'égalité 



1911. — Dérivées des fonctions 

X -h II 



arc tg 



I - III 



arctg 



arc sin (3a; — i.r'}. 



I— J-' 



(M et B, fonctions de x), 
(arc sin x)'»-', (cos 3a;)'""'. 



1012. — Dérivées de L(cos x -t- i sin .r). En déduire les formules cos x = 

l!U:{. — Dérivées des fonctions 

, , f ' -t- e~' f — e-^ «•T — e'' 

Qx) = S(x| = ~, 7(x) = 



et des fonctions inverses. Comparer avec les dérivées de cos.r, sin x, tgx, arc cos .r, arc sin .r, arc tg.r. Démontrer 
la formule 

[C(j-) -+-S(x)i" = C(mr) + S(»nx). 

1914. — Dérivée de Lx par rapport à c"'"'- 



tOir,. - Limites de ""•^''I 



.r — sm X 

pour II inllni, de _ pour ./■ infini. 



X -I- cos X 

1010 — Dans un cercle on inscrit un iKdygone régulier de n cdtés. Sur chaque cfllé on eonslruil un triangle écpii- 
laléral. M étant le sonuiiel extérieur .1 la circonférence d'im de ces triangles, calculer OM. Limite du produit des longueurs 
OM quiiml II croit indéllniment. 

I 



1017 — Calculer gin !• h -— - prés. Calculer sin 1'. sin I ". 



I9IK. - fjil.uler a -— prés ^7. 

l'-ilU Développi;r en série siii'x, (arcsinx)', arc tg x. 

lOliO Condition pour que Ac'" -(- Bf'" -4- Ce" soit nul quel que soit x. 

1921. — Dérivées d'ordre H des roiictions : tr", (X* - n')". r'y (1/ désignant un polynôme de degré «), i" . 
Klu.lier Ut racine» .les poljnome» Ugurant dans ces dérivées. 

1922. - Variations de» fonction» suivantes : 

X-— 1 



»ln «"••', xc 



X— I 



SIM X 
X 



.vLx, 



2,r' - 6./- + 1 


(Le 


x'-l 


x—l 


iï., pO^S-l-X-}, 


a 


X 





EXAMENS ORAUX 1900 (ÉCOLE POLYTECHNIQUE) . 9 



ox' + bx' + ex -1-d ± ,— j; — 1 

.r' j cos ^x, 



.;■' -I- px + q ,f -H 1 

'-'• 0+i)' ''^■'■'^' .'-iL + 6 ' ^'°^- 

, . , 3.7;= + n 1 — .r* ar 

COS'" .r + sm™ X, Lsino;, l » > x^mx, ■ — , llex)'"-^. 

x' -h px -+- (/ cos X x 

1923. — On donne une demi-circonfcrencc de diamètre AB. D'un point C de la courbe on abaisse CD perpendicu- 
laire sur Alt . Variation de AD -(- CD . 

1924. — D'un point M d'une demi-circonférence de diamètre AB, on abaisse MM' perpendiculaire sin- la tangente en B. 
Étudier les variations de AM-l-MM'. 

1925. — Variations du rapport des distances de deux points fixes à un point mobile sur une droite. 

1926. — Calculer V"^' Vn-'- 

1927. — Toute imaginaire de module 1 peut se mettre sous la forme :^- Déterminer la valeur de ; pour une 

1 — iz 

imaginaire donnée. 

1928. — Démontrer que le nombre des racines réelles d'une équation f{x) — comprises entre « et ft est inférieur 
ou égal au nombre des variations de l'équation fl — j ^ et que la dilTérence est paire. 

1929. — Ecrire que dans l'équation .r' + px + q = une des racines est égale au carré d'une autre. 

1930. — On considère une équation du sixième degré dont les racines ai, iî, Ji,, |3.;, y,, y, vérifient les relations 

J, + a. = p, -+- [i-, = y, -4- y., o,x. = ?!?! = yiTî ; 

résoudre l'équalion et étudier les relations entre les coefficients. 

1931. — Calculer le résultant entre un polynôme et sa dérivée. 

1932. — Etant donnée l'équation x^ + px -i- i/ = 0, calculer la fonction symétrique ï — —i '- — 

XsXt 

1933. — Soient o, 6, c, ... Jles racines d'une équation algébrique llx) — 0. Former l'équation (|ui admet pour 

1 1 l 

racines a -t — > i + — - . . (-(-—• Application a l'équation x' -t- ;).(-+- r/ -:= . 
a b l 

193'«. — Etant donnés un polynôme {{x) et l'équation x'" — 1 = qui a pour racines a,, %■, ... x,,,, calculer les 
fonctions symétriques /'(ïi)n — ) +/lai)n — j -t- ...-+- /'(a,,,)/"/ — ; \, et /(ïi) + /'(ij) -h .. -i-/'(a~,). 

1935. — Calculer la fonction ^- ;-. »■ b, c ... l étant les racines de l'écruation /(x) = I). 

{X — a)ix — b) in' 

1936. - Eliminer .r et j/ entre les équations 

1 1 , 1 

X -i = a, V H = b, .vu -\ =c. 

X y .nj 

1937 . — Séparer les racines des équations 

sin X . 1 + sin ,r 

c = ax + b, ax — Lx = 0, — L 1=0, L tg .c — 2x — 0, 

cos' X cos a; 

a sin ,(■ -I- b cos X + ex + (i := 0, itx + b — L{px-hq) =: 9, .c + sin.ccosx — 0,6 = 0, 

a.v -t-b — cos X = 0, L.r 3= — • 

X 

1938. — Discuter la réalité des racines des équations 

x' + px'' + q-i' + r = 0, x^ + px' + qx + r = 0, l -{- ■ — h -^—r -t- . . . H =0, x' -t- — -t- q = 0, 

I 1.2 II ! X 

j' + )>X' -f- JiX' - I = 0, x' + i.i- + >. = 0. 

1939. — Ilésoudie les équations 

X* + x' — ix' -+- .1-' -1-1 = 0, ./•" -t- 2.f ' — 2fl./' + x' - 2oj- -t- rt' = 0, 

{./•2 — X -hiy — 10x'(x' — X -(- 1)» -H 9x' = (vérifier que i est racine|. 

1940. —Si /■(.r) = a toutes ses racines réelles et distinctes, l'équation l\x)r(x) ~[f{x)]' =i a toutes ses racines 
imaginaires. 

1941 . — Etant donnés l'aire et le rayon d'un segment circulaire, calculer la corde de ce segment. 

1942. — Etablir le théorème de Descartes en. démontrant que s'il est vrai pour uns é(|uation de dcgié ii II est vrai 
liour uni' éi|Mation de degré Ji -I- 1 . 

1943. — Résoudre une équation du cinquième degré dont les r.icincs sont en proportion aiilhmélique. 

1944. — Si une é(|ualii)n ftx) = admet toutes ses racines réelles et distinctes, il en est île même de l'équation 
Ax)-+-anx) = 0. 

1945. — Condition pour que les éciuations .t' -f- ax' -f- bx' + ex 4- J = 0, x' -f- 6px' -i- iqx +- c = n'aient que 
deux racines distinctes. 



10 KXAMKNS ORAUX VMQ (ECOLE FOLYTECIIMQUE) 



-1946. — Déterminer X et u daiis l'équalion x* -t- i-r" — Ux + 4|i = 0. sacli»nt que X cl ji sont rationnels et que 
l'î-qiiation a une racine double de la forme a + '^y/3. 

lî»'«7. — Résoudre l'équalion du quatrii-me degré ^(x) = sachant (|ue /"(x) = et r"(x) = ont une racine 
commune. 

1948. — (tn donne une éi|uation algébrique f{x) = et une racine a qui annule également /"'(X|. Relation 
entre cette racine et les autres racines de f[x). Appliquer à 1 éiiuation du troisième degré. 

1949. — liémonlrer que l'équation (x + i)" — (x— i)" = a toutes ses racines réelles. 

I9.".0. — Si pour une i-acine j de /"(x), on a A(a)/"(j) > 0, l'équation ^(x) = a au moins deux racines imaginaires. 
lîl.'.l . — Déterminer un polynôme qui pour les valeurs I et 2 de x prenne les valeurs i et 2, et tel que sa dérivée 
prenne les xalcuis I et 1 . 

III. — Trigonométrie. 

i952. — Etant donné sin a, combien y a-t-il de valeurs |iour cos la '.' 
19r.3 — Olculcr cos—. cos—. cos 7o, en fonction de tg a. 

tg a + tg 6 
I!»54. — Etablir géométriquement la formule tg(a -+- 6) = Y3fr^-{ry 

193.".. — Combien y a-t-il de valeurs de sin ma quand on donne tg a. 

2 .... 

1956. — Calculer sin —a connaissant tg oa. 

1957. — Calculer les fonctions circulaires de l'arc de 12". 

(i . tt . „ 

1958. — Calculer tg 3a connaissant sm — . sm — , Igza. 

l'I.-.!». — On sait que sinx = 1 — cos 3x. Calculer cos 2x. 

r.Mll». — Rendre calcuiiible par logarithmes cos' p — sin' </. 

1!>GI. — Résoudre ré(|uation sin x -h cos x-+- tg.i- -+- colgx -(- sec x + cosecx = a. 

1962. — Trouver un arc du premier ijuadrant égal : !• à la différence de sa sécante et de sa tangente, 2" à la somme de 

son sinus et de son cosinus. 

Tt -2- . (m — l)x 
l'.Mi:». — Calculer le produit sin — sin. — ...sm 

l'.»6'i. — Calculer dans un triangle ^(t +-—) "-""^ '^' •" désignant le rayon du cercle inscrit, et »•„ celui du cercle 

exinscril dans l'angle A. 

vc 
|4|(;,-, _ Calculer la valeur de l'expression S arc sin— . u, h, c désignant les c<Hés d'un triangle. 

v/((i- -+- b'){a' + c) 

196«. — Soit le centre du cercle inscrit à un triangle ABC et r son rayon; trouver la relation qui existe entre r et 

les longueurs OA, OB, OC. 

1967 _ Dans un triangle rectimgle ABC rectangle en A, on sait que B = 50; calculer le rapport — (a hypoténuse, 

/■ hauteur issue de l'angle droit). 

imiH _ Uésoudrc un triangle connaissant : 1° les trois hauteurs; 2" le iiériinèlre et les angles (calculer la surface et 
le rayon du cercle circonscrit). 

1ÎH>9. — Résoudre un triangle rectangle connaissant les longueurs des droites ([ui divisent langle droit en trois parties 

égales. 

» 
IV. — Géométrie analytique à deux dimensions. 



1070. — Construire les courbes ayant pour équations en coordonnées rcclilignes 
^^ / x,.r-lMx-., ^ ,, = J^. y=±r^±^F:ru 

V X H- 1 V X 



'?^^ .. _ -^ ./- ^ ./^TT-, s, - v/ilF^fl . 



(X - 2)' 

X» + I/' -H 3x'j/ -4- j/* = 0, x'-4- x«(/'- I/' = 0. (X* - i/')' - aVxj -(- i/'l = 0, I/' — x'=0 (tangentes par un point », PI, 
(x* •+- i/'i» — ox* = 0. x*!/-*- a(x-(- vM-r — Vl' =0. f/' + y +x' - 5x' = 0, [x' - y')' -h mif = 0, 

« = k/ — ^'^~ " — , x"-(-m" — n" = (points d'inllexion), y=v/— -, 

V (x-h l)(x-t- 2) V X' — 1 

U — y)'x -i- Hx — ii)u -t! = 0, y'— 2i/'-t-x' — x"— x'-t-l = 0. v' = ,r'— x" (points d'inflexion). 

(x'—v')'—o'x" — ?('!/'=<•. xV-f 2i/'-x = 0, (x' + i;')'-4(i'x'i/« = 0, 

x'y'-xy'+iy—3=0, x*—x*|/-t-(*— !/)"+«■-'- î/ = 0. xj/'-i-v'— x'4-x = 0, 

y'-2y> , x'-ix> +\ = 0. „ = .VîlzJ^Ili - y/iF+l, y = 2x -t- 1/ ^^ ~ *j . x' - 2x>y -f- j/' = 0, 

Vx-t-i vx+2 



EXAMENS ORAUX 1900 (ÉCOLI;: POLYTECHiNIQUE) H 

(x' — y'\' — a'x' — b^', x'+ i/' + «/' — 3x = 0, i' — 2ji/ -t- ;/* =: 0, .i-y- -h xy' — .v^ + i — 0, x'J = i/ 

U ! 2< f U — t—i I ^11 t U-t'—\ 

•'■=i + «-u' \ ■'=T—[^' ■'•= i-r^ ■ i ■'^ = TTF' i '^-î^^' \ ■'= F 



([ui ont pour équations 



I!)71. — Construire les courbes ijui ont pour équations en connlonnées polaires : 
(I sin M + /( cos M '«.,/„, ~ \ 1 



..+ _ 

1 sin w coso) m 

f ^ costt) + cos 2w, p = sino>H — : > p= . p= — -> — = e'" + «-<■', p^cos'w — pcos'io — sinM:=0, 

sin w w — x cos 2w p 

cos to w „ , , . , , . ... , , , "' 1 , , cos3w -sinSw cos u — sin w 

'^ P^tg7-i p^av^cos 2w(pointoulatanf;enleestlionzoulale), — =i.)'+pwH-(/, p— 



l-cos2w ' 3 ' p ' tg w ' (cosw-1-sint.i)' 



p'sin2w+2pcos«-l =0, 0= /sin-, oMg « + p cos ... - 1 = 0, p = ,^ ^ ces » + y/cos 2o. ^ 

\ / 2 ' I o • " cos 2w 

' 1 + COSw 2 

'jH 1 + cos w) — 2p sin 2w + 1 = 0, p' sin 2w - 2p cos w -h 1 = 0, p = 1/ ^' 

V cos 3o) 



b + c cos — 

sin (w — a) 



tg' 



p-cos'M — pcos'i.j — sini.i = 0, p« — 2p(l4-sinw) + cos-'M = 0, p::=lg — > p'cosw — psinw ^ ! :=:0, 



p=cos26j + 2pcosw — 3::^0, ?- sin 3w — 2p sin w — 1 = 0, ? = tg — . p'(t + cos3w) = a', 

to 
p' cos 2oi - 25= sin (■■ + 1 = 0, p' cos' -r- + P — 1 =0. 

/ I 1 \ f 2« 1 — t» 

p' sin o) -hpï coso) — 1 = U, p'" = a"'cosmw (m— I, —1, — • j-1' ^ ? — ■ _ <■ ' sin ^ = ■ .. • 

ltt72. — Dans nn triangle ABC les points B et C sont fixes, lieu .lu point A si Ion a ; 1° tg B = tg= C ; 2" tg B = Ig' ; 
3»tgB = tg3C; 4"B + 2C = -; 5° tg B + IgO = t. 

1973. — Si P et Q sont des fonctions linéaires A'x et A'y que représente l'équation P' -f »P"Q + ?Q' = '•' 

1974. — Lieuiles points d'où l'on voit sous le même angle deux segments AB et A'B'. 

1975. — Dans un triangle ABC les points B et C sont fi\es et l'on a IgB + tg C = k. Litii .lu point de concours des 
hauteurs. 

1976.- Ktant donné nu triangle ABC, on i^rend A(" pour axe des .c, la perpendiculaire à AC rnouée par le point A pour 
axe des y. On construit sur AB un triangle ADB directement semblable au triangle ABC, calculer les coordonnées du 
point D. 

•1977. — Construire la couibe ? = ^ — -\ couper cette courbe par la droite a — %. i;.[uation générale des tangentes 

aux points de rencontre. * 

1978. — Étant donnée la courbe y- = x\ lieu des milieux des cordes parallèles à l'iuio des bissectrices des axes. 

1979. - Construire la courbe représentée par les équations .r = —5 7—' y — — ;:; — ; Prendre un point sur 

la courbe et voir combien on peut mener do tangentes à la courbe par ce point. 

1980. — Mener par l'origine une tangente ii la courbe y = Lr. 

1981. — Former l'équation d'une courbe du quatrième degré (|ui ait un point double à linlini et une branche para- 
l)oli(|ue. 

1982. — équation d'uiio courbe du quatrième ilegré ayant trois asymptotes. 

1983. — Soient deux droites rectangidaires l) et OA. M un point variable de D. On mène la bissectrice de l'angle 
ACM et on porte sur cette droite une longueur OP = v'ÔM . OA . Lieu de P. 

1984. — Équation d'une courbe du troisième degré ; 1" admettant deux asymptotes; 2' n'ayant pas d'asymptote. 

1985. — Former l'équation .le la courbe telle que les vecteurs joignant un point Dxe à l'un quelconque de ses points 
fassent un angle constant avec la tangente en cp point h la courbe. Développée de cette courbe. 

1980. - Soient A, B, C trois points en ligne droite tels que C soit le milieu de AB. Lieu d'un p.iint .M loi que l'.>ii ait 
2 1_ 1 

.MC- ÂM" MB- 

1987. — On donne un cercle et une tangente llve; on considère une tangente mobile roulant sur le cercle, on preml 
le syniétrhiue M .lu point d'intersection des deux langi'ntes par rappoit au point de Contact de la tangenle mobile. Lieu du 
point M. 



a EXAMENS ORAUX 1900 (ÉCOLE POLYTECUMUUE) 

1088. — On donne la courbe y=f\x), lunsliuire y' = f{.r}. Application nux courbes y — a.r + h, y = x{x -l)(j— 2). 
I!»8'.( — Par le point x ^ 0, y = 2, mener une laiigentc à la courbe y= cos x. 

11I'.»0 — Etant donnée la courbe y = f{x), construire U = -7, Application : cunstniirc les deux courbes 

l{x) 

_ J' -1- ij" -4- I _ .r'-i-.r 

"" PTx ' " " X' -t- «.r' -I- 1 ' 

1991 . — Mener par un point (i, ?) des tangentes à la courbe x^ — a-i/' = 0. Discussion. 

1992. — Points doubles de la courbe (x' — o»)» -»- (p^ _(,!)«_ c' = 0. 

199:? — Point d'innexion delà courbe j/ = e' -t- sin x . 

199'i. — l'n cercle mobile est assujetti à toucber deux cercles fixes; trouver le lieu dos points de contact des tingentes 
nienres a ce l'crcle mobile iiarallèlement à une direction donnée. 

1995. — Sur une tingentc variable ii un cercle on prend Ml' — arc .MA, A étant un point fixe du cercle. 
Lirii du point I'. Tangente au point I'. 
'" i99G. — On doiuie deux cercles et 0', on nicMU' une LuigciiteNariable à 0' et l'on di mande le lieu du p6le 

de cette tangente par rapport a 0. 
1997. — On donne une droite et un point. Par le point on fait passer deux ccrclel tangents à la droite et se coupant 
sous un angle donné. Lieu du second point d'intersection. 

1998. — On considère la courbe p =^ /■(<■)), un point M(c, i) de cette courbe, former l'équation du cercle passant 
par le pôle, par le point .M et tangent (ou orthogonal) à la courbe au point M. 

1!>99. — On donne la courbe y' = .r' — x ; lieu des milieux des cordes parallèles à Ox. Etudiei- les pomts d'inter- 
section du heu avec la courbe donnée. 




•JOO»». — Discuter la conique y = x ± v/( p« — 2a).i.' — 2( i -t- fl-t- i)x-h2» + 1. 

2001. — On donne deux coniques qui ont leur axe Tocal commun et un foyer commun, trouver la condition pour que 
les deux coniques se coupent orthogonalement. (On prendra le foyer pour pôle et l'axe local comme axe polaire.) 

2002. — Si d'un sommet du grand axe d'une ellipse on abaisse des perpendiculaires sur les normales issues il'un 
point h l'ellipse les quatre points de rencontre de ces droites et de l'ellipse sont sur un cercle. 

2003. — lue parabole de grandeur constante tourne autour de son foyer. On lui mène une taii};ente parallèle à une 
direction llxe. Lieu du point de contact. Trailrr le problème en coordonnées polaires. 

2004. — Etant donnée une hyperbole, montrer (|ue si deux sommets opposés d'un parallélogramme dont les côtés sont 
parallèles aux asymptotes décrivent l'hyperbole, la diagonale joignant les deux autres sommets passe par le centre. 

2005. — Lieu du point de rencontre des normales à une parabole aux extrémités d'une corde qui se déplace parallè- 
lement à elle-même. 

200G. — Lieu des sommets des paraboles de grandeur constante tangentes à deux droites rectangulaires. 

2007. — l.ieu des centres des triangles équilatéraux inscrits dans une ellipse. 

2008. — On donne une série de cercles concentriques et deux points fixes A et B ; on mène les tangentes à ces cercles 
par ces dcui points. Lieu des points de rencontre des diagonales du quadrilatère de ces tangentes. 

2009. — On donne une conique et un point P. Par le point P on mène une sécante Px, et la polaire Oi/ <lu point P 
qui rencontre l'x en 0. Kquation de la conique en prenant comme axes O.r et Oj/. On prend un point Q sur 0.r, un point S 
sur Oi/, puis par le point t) on mène une sfcantc IJMM' ; SM et SM' lencontient 0.r en V et V. Itelation entre les abscisses 
de V et V. 

20iO — On donne une coni(|ue, ileux tangentes T et T et luie droite (|uelconquc I). (In mène à la conique une tangente 
variable qui rencontre T, T', D aux points A, It, C ; lieu ilu conjugué harmonique de C p.ir rapjiort à A et B. 
201 1 . — Trouver dans une ellipse la normale la plus éloignée du centre. 
2012. — Les sommets d'une ellipse décrivant quatre droites données, trouver les lieux du rentre et des foyers. 

2018. — Ei|uation générale des ellipses ayant pour demi-axes a et 6, et dont le centre a pour coordonnées x„, j/„. 

201 '1. — Lieu du centre et des sommets d'une ellipse de grandeur constante ipii est tangente ii ilcux droiti-» fixes. 

2015. — ftémontrer que le carré de la distance du centre il'une ellipse il une tangente est égale à la somme .des carrés 
de» demi-axes multiplié» respectivement par le carré du sinus et du cosinus de l'nngle de la tangente et du grand axe. 

2010. — Lieu ilu centre d'une ellipse ilont chaque directrice passe par un point fixe et dont deux sommets décrivent 
des droites fixes. 

2017. — Lieu des rentres des conii|ucs qui pas>ent par trois points fixes et qui sont il'aire constante. 

2<MN — l.ieu des pieds île» normales abaissées d'un point fixe sur une ellipse de grandeur constante tournant autour 
de wjn rentre. 

2019. — Dans une hyperbole équilatère on donne un point fixe P et un foyer F ; lieu du deuxième foyer. 

2020 — Lieu de» projections d'un point sur les normales à une parnbolc. Cr.» ofi le point est le sommet. 

2021. — Lien du fojcr d'une parabole tangente h une droite donnée en un point donné et à une seconilc droite en un 
point variable, 

2022 - Construire le fojcr d'une paraliolc définie par deux tangente» et leurs points de contact. 



KXAMENS ORAUX 1900 (ÉCOLE POLYTECHNIQUE) 13 

^ ( . —^ „ 

2023. — Lieu des foyers ilos paniboles de grandeur constnnic qui restent tangentes il deu\ droites rectangulaires. 

2024. — On donne une paniliole de foyer F ; un angle droit pivote autour du foyer et rencontre la parabole en deux 
points. Lieu du point de concours des tangentes en ces deux points. 

2025. — Lieu des foyers des coniques inscrites dans un trianj;Ie dont la somme des carrés des demi-axes est constante. 

2026. — Lieu du centre d'un cercle tangent à une ellipse et à deux tangentes rectangulaires ftxes de cette ellipse. 

2027. — On considère un cercle C et un point 0. Par le point on mène une sécante OAB; on demande le lieu des 
sommets des ellipses qui passent par le point et qui ont pour foyers les points A et B. 

2028. — Lieu du centre d'une ellipse d'aire constante dont trois sommets décrivent des droites. 

2029. — Lieu des centres des cercles tangents à un cercle et ii une ellipse concentriques donnés. 

2030. — Lieu du foyer d'une parabole de grandeur donnée, toucbant une ellipse donnée et dont l'axe est parallèle à 
l'un des a.xes de l'ellipse. 

2031. — Lieu du centre d'une ellipse tangente à trois droites fixes et ayant une distance focale doiuiée. 

2032. — Soit une conique et deux tangentes à cette conique faisant respectivement avec l'axe des x les angles i et 2». 
Lieu du point de rencontre de ces deux tangentes, quand n varie. 

2033. — Lieu des projections du centre d'une ellipse sur les normales à cette ellipse. Déterminer les pieds des 
normales abaissées du centre sur ce lieu. 

2034. — Lieu du centre d'une hyperbole dont les asymptotes pa.ssent par deux points fixes et dont deux sommets 
décrivent des droites fixes. 

2035. — Une parabole de grandeur constante passe par deux points fixes Lieu des points de contact des tiingcntes 
parallèles à la droite joignant les deux points fixes. 

203G. — Une ellipse de grandeur constante est tangente à deux cercles égaux. Lieu de son centre. 

2037. — Foyers et directrices de la conique xy = k'. 

2038. — On donne une hyperbole de centre et un point P. La polaire du point I' rencontre l'hyperbole en deux 
points A et B ; trouver l'équation du cercle OAB et l'équation delà seconde corde commune au cercle et à l'hyperbole. 

2039. — Soient une conique et une normale à cette coni(|ue faisant avec Ox' l'angle o et une seconde normale faisant 
avec Ox l'angle 2'.p. Lieu du point d'intersection de ces deux droites. Application h la parabole if- — ipx = 0. 

2040. — Lieu des points d'intersection de deux paraboles ayant un foyer commun, une tangente comnuine et telles 
(|ue leurs axes fassent entre eux un angle 6. 

2041 . — Kquàtion générale des coniques normales aux deux axes de coordonnées. 

2042. — Lieu des points d'où l'on voit une ellipse sous un angle donné. 

2043. — On donne une conique ayant son centre à l'origine. On joint le point à un point M de la conique, puis on 
mène une droite faisant avec Ox un angle double de l'angle MO.r; cette droite" rencontre en I' la tangente en M. Lieu du 
point P. 

2044. — Lieu des foyers des hyperboles équilatères tangentes ii trois droites. 

2045. — Une tangente quelconque à ime hyperbole rencontro les axes en A et It. Lieu géométrique du centre de 
gravité du triangle AOB . 

204G. — Soient OA, OB deux diamètres conjugués d'une ellipse; on fait tourner OB d'un angle droit .lutour ilu point 0, 
OB prend la position OBi. (;alcnli;r la longueur AB,. 

2047. — Lieu des sommets des paraboles tangentes à trois droites lixes. 

2048. — Lieu des points de contju't des tangentes parallèles h une direction \\\f.. menées à une ellipse de gramleiu' 
constante qui tourne autour d'un de ses foyers. 

2049 — Condition pour que deux coniques coaxiales soient orthogonales. 

2050. — Lieu du pied de la perpendiculaire menée du sommet \ d'un angle droit ciiconscril à une ellipse sur sa 
polaire par rapport à l'ellipse. 

2051 . — Soient MA et MB les tangentes menées d'un point M à une ellipse ; on partage AB en trois parties égales, 
soient C et D les points de division. Lieu ilécrit par C et D quand M décrit une droite. 

2052. — Enveloppe des cordes de longueur constante d'une ellipse. 

2053. — Lieu ilu centre d'une ellipse ayant un foyer fixe et tangente ;i deux droites fixes. 

2054. — Lieu des sommets des angles de grandeur constante circonscrits à une parabole. 

2055. — Lieu des pieds des perpendiculaires abaissées d'im point de l'axe d'une parabole sur les normales à la courlu'. 
205G. — Efjuation générale des hyperboles équilatères ayant leurs asymptotes parallèles aux axes d'ime ellipse et tan- 
gentes à cette ellipse. 

2057. — Diamètres conjugués égaux de l'ellipse Aa;' + 2Bxj/ -t- Cj/' -+-2DJ-I- 2E;/ -+- F = 0. Qu'arriverait il si on avait 
une hyperbole ? 

2058. — Lieu des sommets des triangles équilaléraux conjugués par rapport h une conique. 

2059. — On donne une droite; et un point ; on demande l'rnveloppi; de la deuxième directrice îles coniques admettant 
la droite pour asynqdote et le point poni- premier foyer. 



14 KXAMENS ORAUX 1900 (EGOLK POLYTECHNIQUE) 



20G0. — Comm.-nt iMiil-on nr.mnailre qu'un iioint est ii l'infiicur ou ii l'eittrieur dune coni<lue donnée. 
litHil. — Uun point I' d'une ellipse on mené les trois normales qui n'ont pas leurs pieds au point P. Lieu du centre du 
rerrle passant par les tmis pieds de les normales quand le point l> décrit rcllipsc. 

20C2. — On donne un triangle ABC et un point M. Exislc-l-il une conique par rapport :i laquelle AM et BC sont 
conjuguées en direction, de même BM et CA, CM et AB. 

2063. — Démontrer que si i>ar un point d'une ellipse on mène des parallèles h des directions conjuguées par rapport 
à unT> autre conique, la sécante obtenue passe par un p'>iiil lixe. Dans quels cas le point est-il intérieur ou extérieur à 
l'ellipse ;' Lieu de ce point quand le |)reniier parcourt l'ellipse. 

200'i. — Itémontrer que lieux conicpies concentiiques ont toujours lui système de diamètres conjugués communs, 
eonstriiire ce système dans le ras où l'une des coni(|ues est une ellipse déllnie par deux diamètres conjugués en grandeur 
et en position et l'autre une liyperhole délinie par ses asymptotes. 

20(i5. — On consiilère la courbr o = a sin w -+- 6 cos (m ¥- À| -+- C. où ). représente \m p.iramèlre. Quelle est la courbe 
représentée par celle équation. Lieu îles points de contact des tangentes menées à cette courbe iiarnllèlement ii une direc- 
tion donnée. 

2(H>U. — Former en coordoimées polaires, ré(|uation d'une ellipse tangente à l'axe polaire ii l'origine, admettant pour 
foyer un point donné et ayant une distance focale donnée. 

20U7. — Une ellipse est assujettie aux conditions suivantes : elle reste tangente à une droite fixe Or en un point fixe 0, 
son fover F se projette sur Or en un point llxe I', et sa longueur focale est constante. On joint OF et on porte dans le sens 
KO une longueur FI égale au demi-grand axe. Lieu du point 1. Solution géométrique. 

20(i8. — On considère une parabole et une droite fixe perpendiculaire a l'axe. D'un point M de la parabole comme 
centje on décrit un cercle langent à la droite : trouver l'enveloppe de ce cercle. 

206». — On donne une parabole lixe dont on prend la symétriciue P' par rapport à chacune de ses tangentes, trouver 
le lien du sommet S' et le lieu du pied de l'axe sur la directrice. 

2070. — Construire une conique tangente ii quatre droites et vue d'un point donné sous un angle droit. 

207 1 . — On donne deux coniques tangentes. Démontrer que les tangentes aux coniques aux points où elles rencontrent 
une ilroite mobile <|ui tourne autour du premier point de contact se coupent sur une droite llxe. 

2072. — Ktant donnée une parabole, trouver le lieu des points du plan tels que le segment intercepté par la parabole sur 
leui-S|>olaires soit de longueur constante. 

2073. — L'ne ellipse de grandeur constante tourne autour d'un de ses sommets, trouver le lieu des points de contact 
ioi tangentes issues d'un point Oxe. 

2074. — Lieu des foyers des paraboles passant par deux points Oxcs et dont l'axe passe par lui autre point flxe. 

2075. — Autour d'un point llxe d'une conique on fait tourner un angle constant AOB, dont les côtés coupent la 
conique en A et B. Trouver l'enveloppe de AB. 

2070. — On donne une jiarabole et on considère deux tangentes dont les points de contact ont des abscisses x,, j; 
liées par une relation f{x,, x,\ = 0. Lieu du point de rencontre des tangentes. Cas où Xi = 2x, 

2077 — Calculer les foyers de l'ellipse .r' -t- y' — 1 = 0, les axes de coordonnées faisant l'angle 30". 

•J078. — Lieu géométrique des points tels que leur puissance par rappoi't à un cercle soit proportionnelle au carré de 
leur di>l.inre .i une droite. Discussion. Klémenis du lieu trouvé. 

207U. — liémontrer que les foyers d'une lijperbole et les points où une tangente à lliyperbole rencontre les asymp- 
totes sont quatre points sur une même circonléieme. 

2080. — Sur le petit aie d'une ellipse île centre un prend ileux points C et C tels que OC et OC soient égaux .i la 
||cmi•di^lance focale. Oéincintrcr que la somme des carrés des distances îles points G et G' à une tangente i|uelconque est 
consUnite. 

20HI. — Lieu des foyers des coniques tangentes ii rieux droites données en deux points donnés. 

2082. — On donne une paral>ole et ilcux points A et B. Par ces points on mène des tangentes à la p.irabnle'. Condillon 
pour que par les quatre points de rencontre on puisse fane passer un cercle. Si le point A est llxe iminlrer que le point II 
décrit une droite, yuel est alors le Heu des centres des cercles. 

2083. — Lieu des foyers des ellipses ayant deux sommets donnés (coordonnées polaires». 

2084. — KuTcloppc de» coniques y'{\ -t- 4a') -t- ia'xy— ia'x — 8a'y -f- 4n' = 0. 

20N.'î. — On doime une drolle A et un poltil A; par le point A on mène une droite variable rencontrant A au point B. 
On mène BM perpendn iilaire sur AB. Enveloppe de BM. 

2086. — Constnilre In courbe p = Par le piMe on mène une corde, on décrit un cercle sur celte corde 

1 — cos w 

romnn' diamètre. Knveloppe île ce cercle. 

j." y> 

2087. —Construire In courl>e -t- - .— = (I —1/)'. Enveloppe. 

co»' 2 sin' » 

2088. — On ciinsldèie la courbe X = o{x, |/|. Y at-il une enveloppe" Application h (x — ).)•-! j;*— U' = 0, 



EXAMENS ORAUX 1900 (ÉCOLE POLYTECHNIQUE) 13 

2089. — On donne une ellipse de foyers F et F'. On joint un point M de l,i courbe aux points F et F'. Les droites MF, MF' 
rencontrent l'ellipse en A et B. Enveloppe de la droite AB. 

2090. — Enveloppe des cordes do grandeur constante d'une parabole. 

X 11 

2091. — Enveloppe de la droite h 1^0, a et 6 étant liés par la relation a' -(- h'' = ('", / élanl une 

constante. Examiner les cas de p =: 2, p =; 3. 

2092. — Enveloppe d'un cercle passant par un point fixe et dont le centre décrit un cercle fixe. 

2093. — Enveloppe des normales à la courbe p"' = «'"cos ww. Etudier le cas où m ^ 

2094. — D'un point M d'une parabole on abaisse MP perpendiculaire sur l'axe. Enveloppe iln cercle de diamètre MP. 

2095. — Enveloppe des axes non focaux des ellipses ayant un foyer (ixe et assujetties à toucher une droite donnée en 
un point donné. 

2096. — On donne deux cercles et 0', et l'on mène une tangente variable au cercle 0. On élève des perpendiculaires 
à cette tangente aux points où elle rencontre le cercle 0'. Trouver l'enveloppe de ces perpendiculaires. 

2097. — On donne la courbe (y/ — ax){x- + j/') — bxy. Par le point double on mène une droite rencontrant la courbe 
en un autre point. Par ce point on mène une perpendiculaire à la sécante. Enveloppe de cette perjiendiculaire. 

V. — Géométrie analytique à trois dimensions. 

2098. — On donne une droite passant par l'origine et définie par ses cosinus directeurs. On fait tourner un point 
(.E, )/, 3) d'un angle autour de la droite, trouver les nouvelles coordonnées du point. 

2099. — On considère les droites représentées par les équations x = tiz — v, !/ = (u' — 2ur)z — r{ii'' — r), où 
M et V sont des paramètres. Combien peut-on mener de ces droites par un point quelconque M de l'espace. 

2100. — Perpendiculaire commune à 0: et à la droite y = z, x — a ^ my. Lieu de cette perpendiculaire com- 
mune quand la seconde droite varie dans le plan y = 3, a restant constant. 

2101. — On donne trois droites passant par l'origine, définies par leurs cosinus directeurs; calculer les dièdres du 
trièdre ainsi formé. 

2102. — Lieu des points équidistants de deux droites données. 

2103. — Symétrique d'un point par rapport à une droite et par rapport à un plan. 

2104. — Soit un polygone de n côtés dans l'espace et un plan qui se déplace parallèlement à lui-même ; on considère 
les points d'intersection du plan et des côtés du polygone. Lieu du centre des moyennes distances de ces points. 

2105. — On considère le cône qui a pour directrice la courbe ; =: 0, ;/ = c'' i'^*'i et pour sommet un point de 0;. 
Equation de ce cône. Point à l'infini de la section de ce cône par un plan quelconque. 

210G. — On donne trois axes de coordonnées rectangulaires, une conique dont le plan est ((uelconque dans l'espace 
rencontre l'axe des :, et sa projection sur le plan des xy est un cercle. E(|uation de la surface engendrée par une parallèle un 
plan des xy qui s'appuie sur 03 et sur la conique. 

2107. — Lieu des sommets des cônes qui passent par un cercle donné et admettent une direction de plans cyeliques 
donnée. 

2108. — On considère la courbe y- — 2p,c = 0, ax + by + cz -hd ■= : trouver l'équation dn cylindri' ayani cette 
courbe pour directrice et dont les génératrices ont une direction donnée. 

2109. — Lieu des sommets des cônes de révolution s'appuyant sur la conique : = 0, y ^ 2px -+- ijx-. 

2110. —Etudier la surface z{x' -h y') — a{x° — (/-) = 0. Sections par des plans parallèles au plan des xy. Ces sections 
se composent de droites. Lieu des projections sur ces droites d'un point donné (a, fl, y). 

21H . — On sait que le lieu des sommets des cônes de révolution circonscrits à une ellipse E est une hyperbolr; H, et 
que le lieu des sommets des cônes de révolution circonscrits à l'hyperbole H est l'ellipse E. Démontrer que deux quelcon- 
ques des cônes de révolution dont l'un a pour base E et l'autre H sont orthogonaux. 

2112. — Equation d'un cône circonscrit à un trièdre ou inscrit dans un trièdre. 

2113. — Déterminer le centre de la surface a cos x -t-b cos y + c cos : — 1 =0. 

2114. — Surface engendrée par un cercle dont le centre est fixe et (pii rencontre deux droites flxes. 

2115. — Equation d'une surface de révolution ayant pour axe une droite donnée et circonscrite à une surface donnée. 

2116. — Etudier la surface de révolution ax + hy i- cz -t-d = sin •^[x — i)'-)- (;/ — |3)« -t- (: — y)'. 

2117. — Etant donnée la courbe x' =: CQS3, y = sin;, chercher .si cette courbe a un centre. 

2118. — Equation d'un conoïdc droit ayant pour axe l'axe il'un cylindre de révolution et pour directrice la courbe ob- 
tenue en appliquant un cercle sur le cylindre, de façon que le plan du ceri'le s'enroule sur le cylindre. 

2119. — Equation de la suiface de révolution engendrée par une hélice tournant autour d'une génératrice du cyllnilro 
contenant l'Iiélice. On considère un cylindre circonscrit à cette surface parallèlement :i la direction a, 'fi,-;; équation île In 
courbe de contact. 

2120. — Lieu des centres des moyennes distances des points d'intersection d'une corde de direction a, ?, y avec lu sur- 
face x^+y' + z' — o' =: 0. 



40 KXAMENS ORAITX 4900 (KCOI.K POr.YTKCHNIQUE) 

X» u' 

2121 . — Mener par le polnl (s, ?, y) une normale ii l'ellipse qui a pour équation — - -t-— — { =:0, ; = 0. 

2122. — Mener une normale commune à une ellipse et à une droite passant par le centre. 

2123. — Lieu des segments de grandeur constante qui s'appuient sur deux droites fixes dans l'espace. 

2124. — On donne la surface z.f[.r, y, i)-hg{x,y, z) = , où f et y sont du deuxième degré. On coupe la surface 
par de> droites de paramètres directeurs i, ?,0. I.ieu des milieux des cordes obtenues. 

2125. — Lieu des droites qui rencontrent deux cercles dans l'espace et restent parallèles à un plan fixe. 

212C. — Condition pour qu'un cône du deuxième di'gré ayant pour sommet l'origine "?(j;, i/, ;) =: soit coupé par le 
plan u-r-t-ry -f- "'- ^^ " suivant deux droites rectiuigulaires. 

2127. — On donne une ellipse et une droite non situi-c dans son plan et passant par son centre. Lieu des perpendicu- 
laires cuuimunes ;i la droite et aux tangentes ;i l'ellipse. 

2128. — lleconnaltre les surfaces 

(aiX-(-6,u-4-eiî)'-4-(0!X-(-6,M+«::)'H-((ijX + /»jU-t-Cj3)'=l, — -f- — -t- -;- +- 1 = 0, {ey — bz)^-hiaz—cx)'-\-{bx-ay)*=h, 

be ca ail 

«or' -(- fcy' -f- cz'- — 2yz — ?ïx — 2.rj/ =0 où l'on a a + b + c ^ ba + ca -i ah = 0, 

(J--+- !/ 4-î)' — (J-— y-i- 2:+ I)'- — 5 = (Axe et section droite), PU 4->,RS = (P, Q. R, S étant des fonctions linéaires), 

x'— !/'+3î'-2HiJ:i/-f-i = 0, 3(x'-hî/»H-î' — n») — (x-Hy-(-s)'=0, x'-t-j/' — 2î'-l-2m.rs/ + 6.r = 0, 

{x-i-\){y-t-z — l) = x—y-:, R'zx+V.ry -i-C'y -hC"z = (génératrices passant par l'origine). 

2129. — Lieu des centres des quadriques x'+ y'-h &z' — iyz — 6zx + 2axy— 2a: = lorsque a varie. 

2130. — Montrer que les deux quadriques {a,x -f- b,y ■+■ CtZ)' ■+■ {atX ~r ft-j/ + CiZ)'- + (OjX + biy -i- Cj:)'= 1, 
(n,.r -t- Uj!/ -t- fljîr -t-{li,x + b,y + bj:)= + {CiX + Ciy 4- Ci:)' = 1 sont égales. 

2131. —Equation générale des ellipsoïdes ayant pour centre le point x„,y„,z„ et dont les demi-axes ont pour longueurs 
n, II. f. 

2132. — Sections circulaires de la (|uadrique uy' -t- bi' -\- cyz + dx -}- i = 0. 

2133. — Equation générale des (|uailri(|ues passant par deux coniques. CAnes du système. 

213.^. — Condition pour que l'éciuation générale du deuxième degré représente : 1" un cylindre parabolique ; 2° un 
système de deux plans. 

2135. — Démontrer que la surface yz -+ zx-t-xy=z l est de révolution. Trouver sa méridienne. 

2136. — Kcrirc que la surface (a: — bx){cz — by\ — i' = est de révolution. 

2137. — E<|uation générale des plans coupant un liyperboloïdc suivant une parabole. Sommet delà parabole de section. 

2138. — Construire une section circulaire d'un ellipsoïde défini par ses trois .ixes donnés par leurs projections. 
2I3U. — On considère la parabole définie par les équations {lix + hy + rz + d)' — 2(a'x 4- '''y + C: -f- d') = 0, 

lx-i-my-+- n: -t-p =: 0, déterminer le sommet et le paramètie de cette parabole. 

2140. — ELint donnés un ellipsoïde de révolution et un plan sécant, montrer que le cône qui a pour sommet un foyer 
de l'ellipsoïde et pour base la section est de révolution. 

2141. — Lieu des perpendiculaires communes aux génératrices d'un bypcrboloïde et à une droite fixe passant par le 
rentre. Cas particulier oïi celle droite est l'axe imaginaire de la surface. 

2142. — I.ieu des sununels des parabolnides équilatères passant par deux droites données. 

21 'i3. — Kn un point «l'un ellipsoïde on mène la normale à celle surface ; par cette normale on fait passer des idans ; 
trouver le lien des sommets des sections déterminées par ces plans. 

2144. —lieu des sections cycliques centrales de la qua(lri(|ue nyz + bzx+ cxy — i = 0, ii.b,c éUint liés par les 
relations a -t- 6 -t- c ^ 0, a' + 6'-+-c2 = 1 . 

2145. — Deux trièdrcs trircctnnglcs qui ont même sommet sont sui- un même cône du deuxième degré. 

!/' Z' 
2140 — Lieux des centres <les sphères de rayon nul bitangentes au paraboloïde — H 2x = 0. 

'' '' 
X y zi 

2147. — Foyer» de la section plane de la quadrique — r ♦- — - H 1=0 par le plan HX -f- vii -i- tes -t- I =: 

a' b' Ci • 

2148. — yuclles conditions doivent remplir deux quadriques pour qu'on puisse leur circonscrire \ui même cùue. 

2149. — Heronnallre si un point est a l'intérieur el ;i l'extérieur d'une surface du second ordre non réglée. 

216(> — Lien des proji-clions du centre d'un liyperbidoïile i\ une nappe sur les généralriees de même système. 

2151 . — Lieu des sonunets des cônes circonscrits ;i un ellipsoïde donné et capables d'un trièdre trirectangic. 

2I.V2. — L'eu lies sommets des Irièdres trirectnngles ilont les arêtes rencontrent une conii|ue. Cas on la coni(|ue est 
une |iarnlMde. 

2153. — Etant donnés une quadrique et un polnl, par ce point on mène des cordes, et on demande le lieu des cordes 
pour lesquelles le point partage le segment intercepté par la (|uailrii|ue dans un rapport donné. 

2154. — Lieux des axes des cônes passant par unecimlqiie et dont les sommi'ts ilêeriveni une droite fixe 

2155. — Etant donné un paraboloïde hyperbolique, on mène la perpeiidiculalie commune ;i l'axe el ,i une généra- 
trice. Lieu du pied de relie perpendiculaire. Lieu de la perpendiculaire commune. 

X* II' s' 

215». — On considère l'ellipsoïdi' . -♦- -^^ -4 -', -1=0 et le plan K.r t ry ^ trz = 0. Trouver ré<|iialion 

de In section rapportée à ileux ail-* de suii plan. 



EXAMENS ORAUX 1900 (ÉCOLE POLYTECHNIQUE) 17 

2157 . — Mener par le point (i, ^, y) une normale à la quadrique f(x, y,z) =0. Que représente l'équation 

X y z 

fr f'j (■-. =0-' 

? r 

Lieu des points tels que le cône des normales soit de révolution. 

2158. — Lieux des sommets des cônes circonscrits à un ellipsoïde dont la trace sur un des plans principaux a une 
aire constante. 

2159. — On donne un liypert)oloïde h une nappe et une droite D passant par le centre. Lieu des perpendiculaires 
communes à la droite U et au\ génératrices d'un même système. 

2I(>0. — Lieux des sections princiiiales de la quadrique ayz -t- bzx + cxtj = 1 quand on a a + i 4- c = 0, abc = 1 . 
21G1. — Lieux des milieux des cordes d'une quadrique passant par un point fixe. 

2162. — On donne dans l'espace une parabole fixe et une deuxième parabole de grandeur constante dont l'axe est 
parallèle à celui de la première ; cette deuxième parabole se déplace parallèlement à elle-même de telle manière qu'un de ses 
points (lixé sur elle) décrive la première ; on demande la surlace enf;endrée. 

2163. — Un cône a son sommet sur une quadriq\ie, sa base est une section plane de la (luadrique; trouver le reste 
de l'intersection des deux surfaces. Si on considère tous les cônes ayant pour sommet le même point de la ciuadrique et 
dont les plans de base passent par une droite ûxe, quelle est leur particularité .' 

2164 — Lieu des perpendiculaires communes à deux génératrices de même système d'unliyperboloïde qui aboutissent 
aux extrémités de deux diamètres conjugués de l'ellipse dégorge. 

2165. — Trouver sur un hyperboloïde à une nappe le lieu des points où les génératrices font un angle donné. 

2166. — Equation générale des surfaces de révolution coupant les axes de coordonnées aux sommets de l'ellipsoïde 
x- y- z- 

-:--t- TT H : 1—0. Lieu des axes de ces surfaces. 

a- b- c- 

2167. — Dans l'hyperboloïde — + ———— 1=0, on considère les sections qui sont des hyperboles équila- 

"^ a- 6- c- 

tères et on demande le lieu des normales menées du centre de l'hyperboloïde aux plans de ces hyperboles. 

2168. — Lieu des points dont les distances i et i' à deux droites de l'espace sont liées par la relation >ô*h-à'5'' + |i.= 0. 
Trouver le centre de la quadrique qui forme le lieu. 

2169. —Lieu du point de rencontre de deux génératrices de systèmes dill'érents d'un hyperboloïde à une nappe qui 
aboutissent aux extrémités de deux diamètres conjugués de l'ellipse de gorge. 

2170. — On considère un ellipsoïde et une sphère concentrique; un plan tangent quelconque à la sphère coupe l'ellip- 
soïde suivant une ellipse. Lieu des sommets de cette ellipse quand le plan tangent passe par un point Dve. 

2171. — Lieu des symétriques d'une droite par rapport aux génératrices d'un hyperboloïde. 

21 72. — On donne le paraboloïde elliptique —+ 2x = 0. Equation du cylindre circonscrit dont les généra- 

_ P <l 

trices sont parallèles à la droite — = ^ = — . Montrer que le cylindre est parabolique. Trouver son plan principal. 

abc 

2173. — Equation de la surface engendrée par une droite parallèle au plan des xy, qm rencontre une droite y = 0, 
X =z p et qui reste tangente à un ellipsoïde rapporté à ses axes. 

2174. — On coupe un cylindre parabolique y' — -Ipx = par le plan ix -i- ?y -h ■;z = 0, déterminer le sommet 
de la section. 

2175. — Démontrer que dans un hyperboloïde le rapport anharmonique de quatre plans tangents suivant une même 
génératrice est égal au rapport anh^rmuniciue des points de contact. 

2176. — Démontrer que si deux quadri((ues ont une génératrice commune et si les deu\ phuis tangents communs sont 
isotropes, les deux quadriques se coupent sous un angle constant. 

21 77 . — Lieu des axes «les hyperboloïdes de révolution qui passent par deux droites données. 

2178. — Lieu des centres des sphères de rayon nul bitangentes à un cône ou ii un jiaraholoide. 

2179. — Si deux surfaces du second degré ont mêmes plans cycliques, leurs sections par un même plan ont même 
direction d'axes. 

2180. — Lieu des pieds des perpendiculaires abaissées d'un point donné sur les plans tangents à un paraboloïde 
hyperbolique. 

2181. — On donne une quadrique /(l, y, z) = 0. Kcrire que le point {a, b, c) est : !•> sommet ; 2» ombilic. Kcrire 
(|u'nne droite est : 1° axe ; 2" diamètre conjugué de sections circulaires ; 3" axe de révolution. Ecrire ([u'uii plan est : 1° plan 
principal ; 2° plan de section circulaire ; 3" plan de l'équateur d'une surface de révolution. 

2182. — Une quadrique passe par \nie coni(iuc donnée et .admet pour centre un point donné ; est-elle déterminée .' Il 
manque encore une condition ; on donne un plan tangent, trouver le point de contact. 

21K3. — Que peut-on dire de deux cônes circonscrits il une qnadriiiue .' Démontrer qu'ils sont bitangcnls. On donne 
deux cônes bitangcnls, la quadrique estclle déterminée .' La déterminer en donnant soit un point, soit un plan tangent. 

2184. — Equation générale des (|uadrlques dont on donne deux génératrices du cône asymptote et le diamètre con- 
jugué de leur plan. 

2185. — On donne \\n (|u.adrilatère gaucîic, e\iste-t-il un jiaraboloïde passant par ce quadrilatère. Construction des 
génératrices ; plan tangent en un point ; direction des diamètres, sommet. 



18 EXAMENS ORAUX 1900 (ÉCOLE POLYTECHNIQUE) 

218n. — Construire un parabololde de révolution connaissant son axe et un nombre suffisant de points pour le déter- 
niintT. 

2187. — Construire un paraboloîde de révolution connaissant une section plane et un point. 
o|HH _ Construire un cylindre parabolique connaissant une directrice et deux points. 
2IH9. — Equation iiénérale dos ((uadriques passant par deux droites. 

2I1K). — On donne dans une quailrique le centre et deux génératrices de même système, la quadrique est-elle déter- 
minée .' 

2191. — On détermine une quadrit|ue par deux cercles panUlèlcs et un point, trouver le plan tîingcnl en ce point. 

2192. — On définit une quadrique par une conique et deux génératrices, construire le centre. 

2193. — On donne un fojrr d'une quadrique de révolution- Comliien cela fait il de conditions ? On assujettit en outre la 
surface à passer parciuatre ]ioinLs, est-elle ilétcrniinée .' Trouver son équation. Solution géométrique. 

219%. — Etudier les quadriques passant : 1" par deux paraboles : 2° par une parabole et un cercle ; S" par deux cercles. 
2190. — A combien de conditions équivalent pour une (|undrique un axe, \m sommet sur l'axe et un ombilic ? Equa 
tion générale. 

2196. — On donne une droite et un point sur cette droite ; la droite est axe d'un paraboloïde et le point est sommet. 
Nombre de conditions. On donne trois points de la surface, écrire son é(|uation. Discussion. 

2197. — On donne trois axes de coordonnées obliques O.r, Oi/, 0:. 0.r est une génératrice d'un paraboloïde, 0: est un 
diamètre. Equation générale des paraboloïdcs. Combien y aura-t-il de paramétres dans l'équation ? 

2198. — Déterminer une quadrique connaissant une section plane et deux génératrices. 

2199. — On donne dans une quadrique le cAne asyni|ilotc et un plan tangent. Génératrices de la quadrique qui sont 
dans le plan tangent. 

2200. — Equation générale des quadriques ayant pour axe une droite donnic (les axes de coordonnées étint quelcon- 
ques). 

22U1 . — (ne quadrique est-elle déterminée quand on connaît trois normales et leurs pieds. 

2202. — Equation générale des quadriques qui ont pour plans asymptotes les plans des yz et des zx. Dire a priori 
combien il y aura de paramètres dans l'éiiuation. Quelles sont les surfaces (|u'on pourra avoir? 

2203. — Existe-t-il une quadrique ayant pour axe un segment de droite donné et passant par trois points .' Kcrire 
ré<|uation de la quadri(|Uc. 

220i. — Comment se coupent deux quadriques qui sont tangentes en trois points. Cas où les trois points sont sur une 
même génératrice. 

22U5. — Comiiienl se coupent deux pai'aboloides liyperboli(|ues cjui ont un plan directeur commun et une génératrice 
commune parallèle ou non au plan directeur. Solution analytique et géométrique. 

2206. — Comment se coupent deux (iuadri<|ues ayant une génératrice commune et un point de contact en dehors. A 
combien de conditions ebacune des surfaces est-elle astreinte .' 

2207. — Intersection d'un eUindre de révolution et d'un paraboloïde de révolution dontl'axe est parallèle aux généra- 
trice» du cylindre. 

2208. — Comment se coupent deu\ (|nadri(|ues (|ui se raccordent en tous les points d'une génératrice ? 

VI. — Géométrie descriptive. 

2209. — On donne une droite rencontrant la ligne de terre: mener par celte droite un plan perpendiculaire au second 
bissecteur. 

2210. — Etant donné un cube dont^une face aiwi est dans le plan horizontal, on le fait tourner autour d'unc'droitc passant 
par le |iolnt (/ et parallèle à la diagonale ne jusqu'à ce (|iie la diagonale du cube qui passe par le point d devienne verticale. 
Trouver les nouvelles projections ilu cube. 

2211 — On mène pai' un point (n, ii \ lui plan parallide au deuxième bissecteur. Intersection de ce plan av<>c un plan 
iléQni par deux droites. 

2212. — Annie dune droite avec le second bissecteur. 

2213. — Kalre tourner im point (ri. «) d'un angle donné autour d'une ilroitc dont les projections sont données. 

221'». — On représente un cube par ses projections, l'une des faces étant dans le jdan horizontal. Représenter le cube 
s} métrique par rapport à une droite. 

2215. — Iji lM.<e d'un cdm: quelconque étant donnée, combien faut-Il de points pour déterminer le cône? Dans le 
c«« oii In Iwse ed une conique, comment trouvera t-on le sommet, le cône étant déterminé complètement par des points. 

2210. — On donne une pnrab<dc, base d'un cylindre parabolirpie. (^iinblen faut il donner de points pour déterminer 
le ryllndre ' lin donne deux point», il y a <leu\ solution» ; compléter l'intersection îles deux cylindres répondant à la question. 

2217. — On dimiie un ei'me dnnl In directrice est iinc' iimlcpie dans le plan horizontal, on considère le cône supplé- 
m'nl.iiie. On «liinne un point rie re cAne en projection horizontale, trouver sa position verticale, et Inversement. Intersection 
du 1 "ne •upplémentalri' cl iriinc droite, (juilours apparent,» de ce cfine. 

2218. — Ombre il'un tronc île cône <lont b'S bases sont horizontales. 




EXAMENS ORAUX 1900 (ÉCOLE POLYTECHNIQUE) 19 

2210. — On tlonne les projections d'une droite D et d'un point F. F est le foyer d'une parabole dont D est la direc- 
trice ; déterminer les projections de la paiabole. 

2220. — On donne un ciine dont la base est un cercle liorizontal. On coupe ce cùne par un plan de bout dont la trace 
\erticale est parallèle à une génératrice de contour apparent vertical. Nature de la section. Sommet de la parabole. 

2221 — On donne une ellipse définie jiar deux diamètres conjugués (Oa, 0'«') et (O/i, 07/), Déterminer les projections 
de cette ellipse. 

2222. — Dans im plan défini par deux droites on donne une conique qui se projette liorizontalcment suivant un 
cercle. Cette conique est la directrice d'un cùne dont on donne le sommet. Trouver les directions de plans telles que les 
sections du cône par ces plans se projettent horizontalement suivant des cercles. 

2223. — On donne un cùne ayant pour directrice une conique liorizonlale. Mener par une droite donnée un plan 
coupant le cône suivant une parabole. 

222^. — Dans un plan horizontal on donne une hyperbole équilatère et un cercle tangent en z à une asjmptole (A) 
de l'hyperbole. On considère le céine ([ui a pour directrice le cercle et dont le sommet se projette horizontalement sur 
l'asymptole (A) en un point .<. et le cylindre qui a pour directrice l'hyperbole et dont les génératrices sont parallèles ;\ la 
génératiice du cùne qui jiasse au point i. Intersection des deu.x surfaces. 

2225. — On donne deux cercles égaux C et Ci situés dans le plan horizontal, chacun passant par le 
centre de l'autre. Le cercle C est la directrice d'nn cône dont le sommet est projeté horizontalement en 
s, Cl est la base d'nn cône dont le sommel est projeté horizontalement en Si La ligne des sommets coupe 
le plan horizontal au point 7. Intersection des deux cônes. 

2226. — Intersection de deux cônes de révolution délinis l'un par deux droites du plan vertical for- 
mant son contour apparent vertical, l'autre pai' deux droites du plan horizontal foimant son contour 

apparent horizontal. 

2227. — Intersection de deux cônes de révolution dont l'un a pour axe la ligne de terre et dont l'autre a son axe vertical . 

2228. — Soit un cylindre droit à base circulaire dans le plan horizontal, on prend un point sur une génératrice de 
front de ce cvlindre. c'est le sommet d'un cône ayant pour base un cercle langent intérieurement à la base du cylindre. Inter- 
section des deux surfaces. 

2220. — On donne deux circonférences dans un plan horizontal ; par le centre de similitude externe on luène une 
droite ((uelconque sur laquelle on prend deux points i[ui sont les sommets de deux cônes ayant pour bases les deux 
circonférences. Intersection des deux cônes. 

2230. — Intersection de deux cônes du deuxième degré qui se raccordent tout le long d'une génératrice. 

2231. — On considère une sphère et un point (m, m') à l'intéjieur de la sphère, l'ar w, point, on mène le plan paral- 
lèle au second bissecteur, trouver un point de l'intersection du plan et de la sphère et la tangente en ce point. 

2232. — Ombre au flambeau d'une calotte sphérique sur un plan vertical, le point lumineux étant le centre de la 
sphère. 

2233. — Représenter par ses deux projections une demi-sphère limitée par un plan diamétral vertical. Ombre propre 
et ombre portée par le corps supposé éclairé par une source ponctuelle située dans le plan de front du centre. 

2234. — Intersection d'une droite et d'une sphère définie par quatre points. 

2235. — On considère une sphère donnée par ses deux contours apparents, et on la coupe par un plan horizontal 
passant par le centre, on supprime l'hémisphère inférieur. Ombre propre et ombre portée. Le système est éclairé par un 
[loinl lumineux. 

2230. — On donne trois droites 0.\, Oit, Oc. par leurs projections. Construire le triangle sphérique intercepté par ces 
trois droites sur une sphère de centre 0. 

2237. — Mener h une sphère un plan tangent, le point de contact étant sur un cercle vertical donné. 

2238. — Intersection d'une sphère ayant son centre dans le deuxième bissecteur avec une droite située dans ce même 
bissecteur. 

2230. — On donne un triangle .4Br, dans l'espace, on demande le point commun aux trois sphères décrites sur les 
côtés comme diamètres. 

2240. — Construire une sphère tangente nu plan horizontal, à un plan de bout et passant par deux points. 

2241 . — Etant donnés une sphère et un plan, pour trouver des points de la section, on coupe par des plans horizon- 
taux. Trouver les plans limites utiles. 

2242. — On donne un tétraèdre ayant sa base dans un |dan horizontal. Intersection de ce tétraèdre et il'une sidière 
ayant son centre en un sommet. Ombre du système sur le plan horizontal. 

2243. — Ombres d'un tore à axe vertical érlairé par des rayons parallèles. 

224'». — Une ellipse située dans le plan du tableau tourne autour d'un de ses axes ; un plan a pnur trace sur le 
plan de la figure une droite A et fait avec celte droite un angle de. lo- ; mener ii l'ellipsoïde un plan tangent parallèle au 
plan donné. 

2245. — Contour apparent horizontal d'un ellipsoïde de révolution dont l'axe est de front. 

2246. — Mener à un tore d'axe vertical une normale par un point extérieur. Ce problème répond-il à un 
problème d'ombre ? 

2247. — On donne une parabole dans un plan de bout tournant aiitnur il'im axe vertical passant par le foyer de la 
projection horizontale. Contour apparent de la surface engendrée. 

2248. — Même problème en remplaçant la parabole par une ellipse. 



20 EXAMENS ORAUX 1900 (ÉCOLE POLYTECHNIQUE) 



2219. — Contour apparent vertical de la surface de n'voliition dont l'axe est vertical et qui est engendrée par une 
coniijuc située dans un plan de bout et >(• projetant liori/ont^ilcment devant une conique (ellipse, hyperbole ou parabole) 
a)ant un axe pamilèle à la ligne de terre et dont Tun des foyers coïncide avec la projection horizontale de l'axe de révolution. 

21îr»0. — On considère un parnboloide de révolution à axe vertical; le sommet est le point le plus bas de la surface 
et le paraboloide est supposé creux. On éclaire par des rayons à 430. Ombre propre et ombre ]iortéc. 

2251. — On considère un ellipsoïile de révolution autour d'un axe de front (F, Kl. Ombre iiortée par l'ellipsoïde sur 
un plan horizontal, le point juniineuv éLint dans le plan de front F. 

'--'>- — Contour apparent (le la surface engendrée par une ellipse tournant autour d'un ave vertical (|ui n'est pas 
dans le plan de l'ellipse, l'oints doubles de la méridienne. 

2253. — La droite (D. D') est l'ave d'un rylindre de révolution dont on donne un point [a, a'). Mener par un point \b, li') 
des plans tangents à ce cylindre. 

2254. — Construire les projections d'un cylindre de révolution connaissant son rayon, sa hauteur elle plan d'une 
de ses bases 

2255. — Normale commune à un cjjindre de révolution dont l'axe est horizontal et à un cone dont la directrice est 
un cercle dans le plan vertical. 

225G. — On donne trois droites A, B, C. Construire une droite parallèle à C qui soit à une distance a de A, ji de B. 

2257. — On donne deux cylindres de révolution ayant même axe vertical, des rayons et des hauteurs ditrérentes. 
Ombres du système; les rayons lumineux sont de front à Ht". 

2258. — Projection verticale d'une hélice tracée sur un cylindre de révolution à axe vertical. Ombre portée par cette 
hélice sur le plan horizontal, le point lumineux étant sur l'ave du cylindre. 

225!). — Construire un cône du révolution sachant (lu'il est t.ingent au plan horizontal, au plan vertic^il et à un plan 
de bout donné. On donne un point du cûne en projection horizontale, trouver la projection verticale. 

2260. — Dans un cône de révolution on donne un plan tangent et la génératrice de contact, puis la projection hori- 
zontale de l'axe, le cône est-il déterminé ? Construire son axe et son angle au sommet. 

2261. — Normales communes il une droite et ii un cône de révolution. 

2262. — On donne deux plans et la projection horizontale d'une droite. Construire un cône de révolution tan;;ent 
aux deux plans et dont l'axe se projette horizontalement suivant la droite donnée. 

226:1. — Construire un cône de révolution connaissant les projections de son axe et sachant ([u'il est tangent au 
plan vertical. 

2264. — Trace horizontale d'un cône de révolution circonscrit .i une sphère. 

2265. — On donne un cône de révolution défini par son axe, son sommet et un point. Section par le plan bissecteur 
du second dièdre. Axes de la section. 

2266. — Contours apparents d'un cône de révolution dont le demi-angle au sommet est 30° et qui est langent au 
plan horizontal, connaissant la génératrice de contact et le sommet. 

2267. — Soit un cône circulaire droit; on le place sur un plan lioiizontal la pointe en bas et de telle façon que 
I une lie ses génératrices soit verticale. Ombre au soleil de ce cône. 

226H. — On donne un cône de révolution par les projections de son axe, son sommet cl un point. Section pour un 
plan de bout. 

2269. — Ombre propre et ombre portée d'un tronc de cône de révolution reposant pai- >a piaille base sur 1." plan 
horizontal. Les rayons lumineux sont parallèles. 

2'270. — Combien f.iiitil donner de poinis pour détiiiir un cône de ivvolulion ? Construire ini cône de révuliilion 
ronnaisf,.int une section plane et un point. 

22/1 . — On lionne un rônede révolution défini par son ave. son sommet et une sphère inscrit!'. Construire un cône 
de révolution tangent an premier connaissant l'ave et le sommet. 

-■*"'^- — Mener par une droite un plan faisant un angle donné avec une droite doiuiée. Cas où la première droite 
est In ligne de terre. 

2273. — Construire une horizontale rencontrant di uv droites données et faisant avec l'une d'elles im anglv donné. 

2274. — Ojnstrulre deux cône» de révolution égauv et tangents connaissant leurs axes et leurs sommets. 

2275. - Construire une horizontale rencontrant deux droites .lonnées et faisant avec ces di'ux droites des 
angles égnux. 

--"*' — Construire un cône de révfdulion tangent aux rleux plans de projection et à un plan délliii par ses traces. 

--"'• - ■"•'■''"' '''"inée une surface naurlie de révolution ii axe vertical, déterminer I intersection de cette surface et 
.l'un plan ilétlnl p«r la liKne de terre et lui point . 

227H. - niant .lonn.'e» une surface gauche de révolution déllnie par un ave vertical et une génératrice mener .'i 
r.ttr surface un plan tangent par im point, de manière (|ue le point de contact soit sur un méridien donné 

227». - Ine droite (0. h') tourne autour dune droite 1^, i'|. Intersection de la surface engendrée avec un<' droite 
viTtlralc rencontrant (A, i'). 

^i^' ~ "" «considère la surface engendrée par une droilr II, Il loiirnant aiil d une autre droite A, S, iniis b' 

plan défini par D, D' et un point n, a'; trouver le point on ci- plan est langent A la surf. 



EXAMENS ORAUX 1900 (ÉCOLE POLYTECHNIQUE) 21 

2281 . — On coupe par un plan de bout une surface gauche de lévolution à axe vertical, la conique section est la 
directrice d'un cùne de sommet donné. Intersection du cône et de la surface. 

2282. — On donne un liyperboloïde <le révolution délini par un axe vertical et une génératrice de front; construire 
la courbe de contact du cùne circonscrit de sommet donné. Trace horizontale de ce cône. 

2283. — intersection d'un hyperboloïde de révolution à axe de front avec le plan bissecteur du deuxième dièdre. 
Asymptotes. 

2284. — Construire l'axe d'un hyperboloïde de révolution connaissant une ellipse de la surface située dans un plan 
horizontal et une génératrice. 

2285. — On donne deux droites ((uelconques; l'une tourne autour de l'autre et engendre un hyperboloïde. Intersec- 
tion de cette surface et du second bissecteur. 

2286. — Construire une surface gauche de révolution, connaissant une hyperbole tracée sur la surface et située dans 
un plan horizontal, un point de la surface à distance linie et une direction asymptotique. 

2287. — On donne un plan défini par une ligne de front (F, F') et une horizontale (H, H'). Intersection des deux 
cylindres de révolution touchant le plan l'un suivant (F, F'|, l'autre suivant (H, H') et ayant un même rayon. 

2288. — On donne un hyperboloïde de révolution à axe vertical délini par une génératrice G rencontrant le cercle de 
gorge en un point i. On demande l'intersection de cette surface et d'un cône ayant pour directrice un cercle situé dans le 
plan du cercle de gorge et passant par le point x, et pour sommet un point situé sur la génératrice G, 

2289. — On donne un cylindre ayant pour base une ellipse située dans un plan horizontal et ayant ses génératrices 
de front, et une sphère ayant même centre que l'ellipse et pour diamètre le grand axe de l'ellipse. Intersection de la sphère 
et du cylindre. 

22!)0. — On donne dans un plan horizontal deux droites OA, OB et un cercle C. Le cercle en tournant autour de OA 
et OIî engendre deux tores. Intersection. 

2291. — Intersection d'un hyperboloïde de révolution à axe vertical et d'un paraboloïde hyperbolique à plan directeur 
horizontal et qui a pour génératrices la génératrice de front définissant l'hyperboloïde et une autre droite de front. 

2292. — Faire passer un cylindre hyperbolique pan l'intersection de deux paraboloïdes hyperboliques ayant le plan 
horizonlal pour plan directeur commun. 

2293. — On donne un hyperboloïde de révolution à axe vertical et un paiaboloïde hyperbolique dont un plan directeur 
est de prolil et qui passe par deux génératrices de même système de cet hyperboloïde, dont l'une est de front. Intersection 
des deux surfaces. 

22'.>4. — Intersection d'un hyperboloïde de révolution à axe vertical et d'un cône qui a pour base le cercle de gorge 
de l'hyperboloïde. 

229Ô. — F.tant donnés une sphère par son centre et son rayon, et un cylindre de révolution par son axe et le rayon 
de sa section droite, trouver l'intersection des deux surfaces. 

2296. — Ktant données deux droites de front A et B, déterminer l'intersection des hyperboloidcs de révolution engen- 
drés par vme droite D tournant autour lies droites A et B. 

2297. — l'n cercle est le contour apparent d'un hémisphère qui repose sur li; plan du tableau. Deux droites concou- 
rantes dans le plan du tableau sont les génératrices de contour apparent d'un cône de révolution. Intersection du cône et 
de l'hémisphère. 

2298. — Intersection de deux cylindres de révolution dont l'un a son axe dans le plan horizontal et l'autre dans le 
plan vertical. 

2299. — On donne dans le plan horizontal un cercle et un carré inscrit dont les côtés ah, cd sont parallèles à la ligne 
de terre. On considère le cylindre ayant pour directrice le cercle el pour génératrice une droite de front D passant par le 
point a et faisant 45° sur le plan horizontal. Intersection de ce cylindre avec l'hyperboloïde engendré par la droite D 
tournant autour de la verticale du point d, diamétralement opposé au point a. 

2:J()«. — Intcisection d'un tore à axe vertical avec un cône de révolution dont le contour apparent vertical se compose 
d'une tangente commune intérieure et d'une tangente commune extérieure aux deux cercles qui forment la méridienne 
principale du tore. L'axe du cône est ilans le plan de front de l'axe du tore. 

2:«H. — Intersection d'un hyperboloïde de révolution à axe vertical cl d'un cône dont la base est une conique dans le 
plan du cercle lie gorge et dont le sommet est sur la génératrice principale. 

2:{(»2. — On donne une sphère par ses deux pro.jeclions: un cône a pour sommet un point {a, a') et pour hase la 
circonférence du plan horizontal qui est le contour apparent horizonlal de la sphère. Intersection des deux surfaces. 

2303. — On donne un paraboloïde hyperbolique à plan directeur horizontal et un hyperboloïde défini par une généra- 
trice du paraboloïde, une verticale et une horizontale. Intersection des deux surfaces. 

2304. — On donne une droite verticale et iine courbe gauche quelconque qui tourne autour de l'axe et qui engendre 
une surface de révolution. Intersection de cette surface et d'un cylindre ayant pour directrice la courbe donnée et dont les 
génératrices sont horizontales. 

2305. — Intersection d'un parabolo'ide lryperboli((ue délini par deux géiiér-atriccs et un plan directeur horizontal avec 
un cône ([ui a une des deux génératrices commune avec le paraboloïde et pour base \m cercle horizonlal. 

2306. — Intersection d'un hyperboloïde de révolution .-i ave vertical et dun cylindre ayant pour a\e une génératrice de 
riiyperboloïde et passant par son centre. 



EXAMhNS UHALX l'JOU (ÉCOLli l'ULYTECHNlQUÉ) 



2307. — On d<''Qnit un hyperboloiJe h uni- nappe par son cône asymptote (base circulaire horizontale) et un point 
{a, a'). Trouver le plan tangent en ce point. 

2308. — On «lonno le contour apparent horizontal d'une quadrique de révolution et la projection verticale de Taxe (ou 
un |><)int de l'axe) : la quailrique ost-elle délormin^e '? 

230î>. — Etant donné un sepmcnl do droite, ('-lever en une de ses extrémités une perpendiculaire de longueur donnée, 
et, en ce mt'me point, une perpendiculaire au plan des droites précédentes et de longueur donnée. Déterminer la sphère de 
Nonge de l'ellipsoïde ayant les trois <Iroites pn'-cédentes comme demi-axes. 

2310. — Klant donné un ellipsoïde par ses trois demi-axes OA, OB, OC, construire le plan polaire d'un point 1' par 
nipport h cet ellipsoïde. Faire l'épure en supposant le plan 0A6 horizontal. 

231 1 . — On donne dans le plan de la ûgure une ellipse et une droite. Celte droite est la projection d'une droite de 
l'espace (ais.-int un angle de 45» avec le pl.Tu du tableau et rencontrant ce plan en un point donné. Intersection de cette droite 
avec l'ellipsoïde engendré par l'ellipse tournant autour d'un de ses axes. 

2312. — On considère une (|uadri(|ue détlnie par un cercle horizontal et deux génératrices de même système ren- 
contrant le cercle. La quadrique est-elle déterminée ? Construire son centre, son cdne a.symptole, sou contour apparent 
horizontal. 

2313. — On donne deux coniques non situées d.ins un même plan et tangentes en un point .\. On considère la 
i|uadrique passant par ces deux coniques et un point M. Déterminer le plan tangent au point A et au point M. 

231 ï. — ihi donne un cercle horizontal, une droite 1) rencontrant le cercle et une droite A possiuit par son centre. 
Trouver une quadrique contenant le cercle et la droite 1) et admettant A pour diamètre conjugué du plan du cercle. 
Déterminer les éléments de la quadrique. 

2315. — On considère un cône défini par sa base {un cercle dans le plan horizontal) et son sommet. Par uu point .V on 
mène des perpendiculaires sur les plans tangents au cône. Construire la courbe lieu des projections. 

2310. — .Même problème en rempla(;ant les plans tingents par les génératrices. 

2317. — On donne un paraboloïili- hyperbolique dêfmi par deux génératrices et un plan directeur horizontal. On 
ilcmande : 1* la sectiim par un plan de bout ; asymptotes ; 2 ■ coiilour apparent horizontal ; 3" trace horizontale du cône 
circonscrit; *• pôle d'un plan de Iwut. 

2318. — On donne deux génératrices d'un paraboloide hyperbolique (|ui a pour plan directeur le plan bissecteur du 
deuxième dièdre. Mener par une verticale un plan coupant le paraboloide suivant une hyperbole équilatère. Asymptotes. 

231U. — On donne une verticale, une droite quelconque ne la rencontrant pas; on considère les horizontales qui 
s'appuient sur ces deux -droites et on projette un point {a, a') sur ces horizontales. Construire la courbe lieu de ces 
projections. Ilranches inDnics. 

2320. — On lionne un paraboloide hyperbolique à plan directeur horizontal. Par un point d'une génératrice (A, A') 
on mini- une droili- de front dont la projection verticale est bissectrice de l'angle de A' et de la ligne de rappel. Cette droite 
est l'axe d'un d'me de révolution dont une génératrice est (A, A'). Intersection des deux surfaces. 

2321. — Ueux paraboloides hyperboliques ont pour plan ilirerleur commun le plan bissecteur du second dièdre e( 
sont déllnis chacun par deux génératrices. Intersection. 

2322. — On donne un paraboloide hyperbolique dêlliii par deux génératrices et un plan directeur horizontal. I.icu 
de» projections d'un point donné sur les Kénéralrirrs horizontales du paraboloide. 

VII. Statiopie. 

2323. — On divis»- une barre AU de 40 centimètres île long en 10 parties égales ; aux points I. 2, .1 . . . de division on 
applique des poids île 1, 2, 3 ... beclngrammes. La barn- |.i-sc sno -^iramnies. Trouver le centre de gravité du système. 

2'.t2'i. — Centre (>c gravité de la table de Pylliagori 

232.'». — Centre de gravité du système formé par bs .intes .1 un lêtraèilre. 

232U. — Soit Oit la résultante de deux forces OF elOF,. Si Fi décrit un cercle, <|uel est le lieu du point R .' 

Ii827. — On donne deux forces constantes appliquêi-s en deux points difTércnls A et B, dans un même plan On les 
fait tourner en même temps d'un même angle autour de leurs points d'application. Lieu du point d'Intersection de leurs 
directions. Démontrer que la résulLinle passe par un point llxc. Oue devient ce théorème lorsque les deux forces deviennent 
luirallèlcs 7 

2:i2N. — On iliiiine un point matériel M, une forci- P appliquer en ce point est donnée en grandeur et direction. Quelle 
ilolt élre la direction d une force 1} donnée en grandeur et appliquée en M pour que la résultante II des forces P et soit 
horizontale ■ 

232» — Od donne une deml-rirronfércnce de diamèln- Ail. D'iui point M de la courbe on abaisse MU perpendicu- 
laire «ur \n. Centre de gravité de l'aire AMII. 

2:):Mt. — Trois point» matériels M,, Mi, M, décriM-nl avec des mouvements unlformém.nt accélérés trois droites 
«juelronquc, de re»|«ice ; leur» masses sont m,, m,, m, et hum points de départ ,l„ A„ A,. Comment se déplace le centre 
de grafllé du syttème de» Iroli polnU. 

i/'*î" ■ T.?" 'lT"'i.!l''"* •"''""' '^ "• " "*** "■*"•■" I"" "" "'■ '""^ I'"""'' 1'"" 'lc»iendr.- le lom; du 111, on y suspend un 
|)oldi P; poilUon d équilibre, ' ' 



QUESTIONS PROPOSÉES 23 



2332. — In projection Je l'axe d'un couple sur une ilroite est égale à la somme des moments des forces du couple 
par rapport à la droite. 

2333. — On donne trois axes fixes dans l'espace. Lieu des segments de longueur constante ayant des moments 
donnés par rapport à ces trois axes. 

2334. — On donne un tétraèdre ; aux centres de gravité des faces, on applique des forces normales à ces faces et 
orientées du même côté. Montrer que le système est en équilibre. 

2335. — On considère un ellipsoïde et les rayons vecteurs issus du centre. Lieu de ces rayons vecteurs pour que 
leur moment par rapport à une droite donnée soit constant. 

233(>. — Equation générale des cordesconstantes d'une sphère qui ont un moment donné par rapport k une droite donnée. 

2337. — Equilibre d'une barre pesante OA dont une extrémité est fixe et dont l'autre est chargée d'un poids P et 
soumise h une tension T par le moyen d'une corde passant par un point B. Le point B est dans le plan horizontal du 

point 0. 

2338. — Uncorps pesant 1000 1<. reposant sur un plaji d'inclinaison a cstattaché 
à un cordon (|ui passe sur deux poulies et supporte un poids de 500 k. Quelle doit 
être la valeur de % pour qu'il y ait équilibre? 

233i). — Une balance repose sur un plan incliné ; la pesée faite avec cette 
balance sera-t-elle exacte ? Dans quel plateau doit-on mettre le poids le plus léger pour (|U0 l'aiguille du fléau soit sur le 
zéro de la graduation ? Etablir l'équation d'équilibre dans ce cas. 

2340. — Une échelle pèse 40'* ; elle est appliquée contre un mur, son pied est à 3'" du pied du mur, la hauteur du 

point d'appui est de 4™. Quelle est la force qu'il faudrait appliquer horizontalement au pied de l'échelle pour qu'elle ne 

2 
glisse pas ([uand un homme du poids de 75'' est au — à partir du pied. 

2341. — Une barre AB a pour longueur 3°> et pour poids 50''. Elle est mobile dans un plan vertical autour d'un point 
0, tel que OA = 1", OB = 2™. En A est exercée une traction horizontale de 2U'<, en B une traction verticale de 150'' ; 
position d'équilibre du système. 

23'i2. — Une tige AB homogène pesante repose en A sur le sol. On exerce en B une traction horizontale pour la 
relever. Position d'équilibre. 




QUESTIONS PROPOSEES 



972. — Trouver le lieu des sommets des tétraèdres circonscrits à une cjuadriiiue donnée et tels que chacuae 
des hauteurs soit la normale au point de contact de la face correspondante. 

KOUÏEII. 

973. — Par un point P de l'axe focal d'une conique (Sj on mi'ne deux droites rectangulaires qui rencon- 
trent (S) en A, B et C, D. Montrer que la conique (.S') passant par A, B, C, D, et tangente à la tangente eu un 
sommet de l'axe focal de la conique (S) est aussi tangente à la tangente en l'autre sommet, et que les droites 
,\B et CD tournant autour de P, le point de rencontre des autres tangentes communes aux coniques (S) et (S') 
décrit une droite. 

Que deviennent ces propositions quand le point lixe P occupe une position quelconque par rapport à (S) et 
que les droites AB et CD ne sont pas assujetties à être rectangulaires 't 

\ AS.NIEU. 

974. — l'n microscope supposé réduit à deux lentilles simple est caractérisé par les données suivantes : 

Distance des deux lentilles ou longueur de l'instruiiienl & = 210'""'. 

Distance focale de l'objectif o= G""",'!. 

Distance focale de l'oculaire '. f— l'j""". 

Distance à laquelle regarde l'observateur .... A = 250""". 

Calculer la puissance et le grossissement de l'instruuienl. 



24 ALliÈBIlE 



DEUXIEME PARTIE 



ALGKHIΠ



915. — 1" litablir directement les formules: 

c;_,c;r' - cL;^.c;r"^' + ci.,^fi:r''^'- - ... -^( - i)"c:c: = o, 
c:,_,c:.-" + c;„_,^,c:-''+' + cL,_„+,c„-'^' + . . . + c;;,c;;; = 2"c;;. . 

2' Montrer que le nombre des combiiiaisijtis de m lettres p à p 'lui coiiliennenl k lettres déterminées 

(A- < p) est C^\. En déduire la relation C^;C,',';Ï. = C*.C!;, et appliquer celte relation à la démonstra- 
tion des deux foniiules précédentes. 

(m —p-\-q)\ . m\ 

1. On a cl.-^ = „.,.„ J, ' c;;;-"+« = 



q\[m-py. ""■ {m-p^q)\{p-q)\ 

d'où en mullipliant membre à membre, 

m ! m ! p\ 

^"'-'^^'" '/!('" — />)!(/>•— 7)! P '{m — p)'. g \{p - q) \ 

Dans Cille ùgalito donnons successivement à q les valeurs 0, 1, 2, ... /; ; nous voyons alors que 
les premiers membres des égaillés proposés peuvent s'écrire 

cyc;-c;i-4-c4-...-4-{-i)"Ci;i ei c,';,(c;, + c;, + cî,^ ... -t-c{;). 

D'autre part, si dans l'identité 

(1 -+- x)'" = C°,. -*- C;;r 4- C',J-- H- . . . + c;>'', 
on fait successivement x = —i, puis x = 1, on a 

= cj, — c;, -H G;,» — ... -H ( — !)''(:;;, 2'' = c,, -h g;. + gî, -+-... h- g;;. 

Los formules proposées sont donc établies. 

2. Parmi toutes les combinaisons de m lettres a,, a,, . . . a,„ p à p, considérons celles qui contien- 
nent les k lettres «i, a., . . ., n^, puis supprimons-y ces /• lettres, il nous reste des combinaisons des 
m — A lettres flin-i, a*.^,, ...,"„, p — k'àp — A, toutes différentes. Je disque nous les avons 

toutes. En eflet, imaginons une combinaison quelconque des m — k lettres (i^. ^. i. flA-+- "..i 

p — A ^■ ;) — k; ajoutons-y les A lettres «i, oj, ..., aj, nous obtenons une combinaison de m lettres 
n k p. Or celle-ci a élé considérée plus haut, on y a supprimé les lettres "i, «i, ....a^, on a donc 
formé 1.1 combinaison (le p — A lettres imaginée. 

Donc le nombre des combinaisons de m lettres pàp qui contiennent A lettres déterminées est 
égal au nombre des combinaisons de m — k lettres /) — Aàp^ — k, soit k Gî,',"* . 

Gela posé, à toute combinaison (a) de m lettres A à A correspondent Gi',l*i combinaisons de 
m lettres p k p. Supposons écrites toutes les combinaisons de m lettres p ^ p qui correspondent à 
cliaeunc des combinaisons (i . Nous formons ainsi un tableau de G(;,('|;, » combinaisons. Il est aisé de 
voir que dans ce tableau, chaque combinaison de m lettres p ^V ^^^ écrite (]}, fois. En cllet, imagi- 
nons une combinaison if) de m lettres p à p ; avec les /< lettres de cette combinaison, nous pouvons 
former G'; combinaisons /. :\ /, o\ \ chacune de ces combinaisons on a fait cnrrespondrc une fois la 
combinaison (^;. 

On a donc Gi,G;;r_\ = C':c{, 

Remplaçons clans celte formule A par p — 7, nous avons 

et on achève la déinonslration comme plus haut. 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



25 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



901 . — Une pnrnhole dr grnndcui' ronslantc se déplace dans son plan île fnron ù rester t(in(jenle à deux 
droites lerlanfjulairrs de ce plan Or et Oij. On demande : 

1» Les enveloppes de la corde des conlarls AB, de la directrice et de l'axe ; 

2° Le lieu du point de rencontre de AB avec la directrice., les lieux du pied de l'axe sur la directrice, du 
sommet et du foijer. 

Puisque les tangentes Ox et 0;/ sontperpcndiculaires, la directrice d'une quelconque des paraboles 

considérées passe par le point 0, et son foyer est le point F, pied 
de la perpendiculaire abaissée du point O sur la corde des con- 
tacts AB. 

La tangente au sommet passe par les projections G et D du foyer 
sur les tangentes Ox, Oij. Abaissons FS perpendiculaire sur CD ; le 

point S est le sommet et FS = — i p désignant le paramètre 
constant de toutes nos paraboles. 

Menons CE perpendiculaire sur CD, on a CE = FS = -^ , 
et soit ç> l'angle de Or avec OE. L'équation de la droite CD est 
X cos o -I- !/ sin o — ^ = 0, 

et par suite les coordonnées du point F sont 

P P 

X = —-^ — , )/ = — V 

2 cos o -'2 sin o 

D'autre part, la corde AB passepar le point F, elle est perpendiculaire à OF ; donc son équation est 




ou 



(AB) 



^ 2 sin 'f ° ' V 2 cos 9 / 

X sin ç + (/ cos o — 



sin 2-^ 



= 0. 



Enfin l'axe qui passe par le point F et qui est perpendiculaire à CD a pour équation 

P , f P \ ' 

■' 2sino ° • \ 2 cos a) / 

ou .Tsino — j/ cos o H- p colg2o = 0. 

I. — 1. Lnoeloppe de la corde .\B. 

Nous avons trouvé pour équation de cette droite 



(^) 



X sin <o -I- 1/ cos o — 



P 



= 0. 



sin 2^ 

Pour avoir l'équation de son enveloppe il faudrait éliminer ç* entre cette équation et l'équation 
dérivée par rapport à o. 



2p cos 



— = 0. 



' . ^ sm-2o 

Mais au lieu de s'engager dans cette élimination pénible, il est plus simple de résoudre ces deux 
équations par rapport à x et y ; nous obtenons ainsi les coordonnées d'un point (|uelconque de l'en- 
veloppe en fonction de la variable -f 

h(2 — Scos'o) «(2— 3 sin- 3,) 

X — ' . „ '—> y = -^ 

z sin" !(/ cos o •' 2sinfCos^i» 

Prenons les dérivées par rapport à », nous avons 



26 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



rfx 
rf7 






2 — 3sin- o cos' o 



d;/ p 2 — 3sin'ocos'o 

J<f ~ 2 cos' ç. sin- -i 



sin'i cos' o 
Nous pouvons remarquer en passant que le cocincienl angulaire de la tangente en un point de la 

courbe qui est égal au quotient de -^ P^"" "j" est éfial à — Igç, comme le montrait d'ailleurs 

l'équation (1) de la tangente. 

Pour construire la courbe, nous devons faire varier = dans un intervalle quelconque d'étendue 
égale à iit et étudier les variations correspondantes de r et de y. Or, en changeant ç. en r -+- o, i 
et y changent de signe, donc la courbe est symétrique pur rapport ii l'origine, il suffira donc de faire 
varier o dans un intervalle quelconque d'étendue égale à -, et de prendre le symétrique de la portion 
de courbe obtenue par ra|)porl au point 0. 

De plus en changeant o en — o, r ne change pas, y change de signe, donc la courbe est symétrique 

par rapport à Ox, et enfin en changeant i. en — — ç, j se change en y et y en j-, la courbe est donc 

symétrique par rapport à la première bissectrice des axes [x — y = 0) , 

De tout cela il résulte qu'il suffit de faire varier & de à -^, et de prendre le symétrique par rap- 

4 

port à la première bissectrice et par rapport 
aux deux axes. 

^ ,, <'■'' 

Dans cet mtervalle -p- est sans cesse 

rfo 

du 
positif et -f— sans cesse négatif, car 




2 — 3 sin' o cos' o = f> • 



sin- 2 



? • 



donc X va sans cesse en croissant, et s'an- 
nule quand o prend la valeur « définie par 

7" coso = v/— -, y est décroissant et toujours 

positif. 



croit 



rriill 



décroît 



JL 

r 

n 

l,:i branche infinie correspondante à 
= est paraboliqno et dans la direction Or, car le rapport — est nul pour o = 0. La lan- 

X 

gente au point A 1 1 = ;/ = -j^\ a pour coefficient angulaire — i. 

I »n peut obtenir aisément l'équation tangenliello de cette courbe. Il suffit d'écrire que les deux équations 

P 
I sin o -t- 1/ cos o : — -— = (I, u.r -\- vy -t- //' = 

sin ■i'i ■' 

ont leurs coedlcients proportionnels, ce qui donne 



sin -i = hi, cos? = ).(', 

et d'éliminer & entre ces trois équations. 



sin2ip 



= X«- 



On a d'abord 1 = ).'(i(' + «'), cl en remjilaçant sin o et cos o par ht et >?• dans ? — — )«•, 

sin 2<p 



GÉOMÉTRIK ANALYTIQUE 



27 



«"Obtient -^^ 
avons en définilive 



Iw ou 'iï'uviv — —p. Elevons au carré, remplaçons >.'^ par 
ÂuV-w'-—}f-(u^-hv^-Y =0. 



nous 



2. /-'iiveloppc de l'axe . 
Nous allons opérer d'une manière identique. Résoivuns par rapport à r et // les deux équations 

2/'' 



nous avons 



.)■ sin o — )/ cos <p -I- /J cotg 2^^ = 0, 
pCi cos'' 9 — 3 cos^ ? -1- 2) 



X =r 



:.' sin-'i cos- o 



icos o -\-]i sin ç 
.'/ = 



sin^ 2ç 
/j(2 sin' <? — 3 sin- <?-+- 2) 



0, 



2cos-vi sin-? 



et 



do 



p(cos''ç4- l)(cos-<? — 2)f cos^ =-— — - j p(cos-<p +I)(cos2o — 2)( C0S2o— — j 






cos' o sin-' ç 



sin'tpcos-o 

Le coefficient angulaire de la tangente est égal à tg o. 
Comme précédemment la courbe est symétrique par rapport aux deux axes et à leurs bissectrices ; 

il suffit de faire varier o de à -^ et alors a; et y décroissant tous deux de + x à p^f. 

On eu déduit aisément la forme de la courbe et en achevant par symétrie, on reconnaît qu'elle 
admet quatre points de rebroussements situés sur les bissectrices des axes et ayant précisément ces 
bissectrices comme tangentes. 

La branche infinie relative ;i o = est parabolique et dans la direction O.c. Enfin l'équation tan- 

gentielle de cette courbe est 

iu-v-w- — p-iu'— v-)-{u^--hv-) = 0. 

II. — 1. /Jeu du point de rencontre 
de A13 avec la directrice. 

Eliminons o entre les équations de 
AR et de la directrice 

X sm !» -+- y cos o . ^ = 

•' ' sm2o 

et X cos !> -+- j/ sin ç = 0. 

De la deuxième on lire 

sin<p _ coso _ 1 

~ — ?/ 




X 

d'où 



X 



{'- 



:1). 



sm o = 



cos * = 



'n/x^' 



y 



y 



l)olaires, ce qui nous donne 



qui se décompose en 



tjx' -+ y- 

Portons CCS valeurs dans l'équation do 
AB, nous obtenons 

Axh/{x^ — y')'- — p-{T''- -h »/)' = 0. 
Pour construire cette courbe du hui- 
tième degré, nous passons en coordonnées 
2p „. ._ --P 



et 



sin-4w' ' '"" ' sin 4<u ' sin ito 

L'une de ces équations suffit pour représenter toute la courbe, car chacune d'elles se déduit de l'autre 

en changeant i en — s et <•> en r + w. 

Ip 



Nous prendrons l'équation p = 

En changeant <•. en --+-(.>, p ne change pas; donc la courbe est symétrique par rapport au pôle: 



sin 4(1) 



i8 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



en changeant <•> en — u et en ^ — w, s change simplement de signe ; donc la courbi' est symé- 
Iriqucpar rapport à Oi/ et à la deuxième bissectrice des axes. Par suite la courbe est symétrique par 
rapport aux dt^ix axc< fl à leurs deux bissectrices. 

Mais si Ion change encore d en -^ >•>, ? ne change pas ; donc la courbe est symétrique par 

rapport à la droite w = — • Kn conséquence pour avoir toute la courbe il sudit de faire varier lo de 
Oà -• de prendre le symétrique de l'arc obtenu par rapport à la droite w = -^^ puis de cons- 
truire le symétrique de toute la portion obtenue par rapport aux axes et à leurs bissectrices. 
Or quand <u croit de à -^. ? décroît de -t- x à 2/'. 

2/) sin <•) 

sin4<u 

pour w = 0. Dans la recherche de cette 

limite, nous pouvons remplacer simo et 

sin 4(0 par <o et 4i>j, par suite la limite est 

j) 
— • Considérons la direction O-i dont 

langle polaire est égal à ;— • l'asymp- 
tote est perpendiculaire à Ox' au point A 
" qui a pour abscisse — ^• 

Pour avoir la position de la courbe par 
rapport à l'asymptote, je considère la dif- 
férence 



Cherchons l'asymptote, elle sera déterminée par la limite de psin(— w) ou 
.V 




n = - 



i/^smto p sinito— 4sinw 

2" ^ ^' 2 sin 4<» 



sm <•> = «I — H "" 

6 



sin 4 10 

et je détermine son signe pour les valeurs 
infiniMicnl petites positives de lo. Kn appli- 
quant la formule de Maclaurin. nous pou- 
vons écrire 

(54(o' 



sin 4<o = 'o 







■ (ito) 



>. et |i restant Unis quand .o tend vers 0; on voit alors que la dillérenre I) a le signe de —y pour 
le* valeurs iolinimcnt petites de w, par suite l'i' de la courbe est inférieure à IV de l'asymptote. 

Nous obtenons ainsi la branche de courbe l'U asymptote à la <lroile AU. Prenons le symétrique 

par rapport * la droite i» = -^i nous avons la branche PQ' asymptote à AB'; cette droite AU' est 

o 

parallèle à la première bissectrice. 

Il no reste plus qu'à prendre le symétrique par rapport aux deux axes et à leurs bissectrices. 

2. Lii'ii (lu inihit tir rciironlrr de l'ari' ri ilr In ilirrrlrirr. 

Kn opérant eoinin»- diins le cas préeédent, on trouve aisément que le lieu est une courbe du sixième 
degn* ayant jiour équation rectiligne 4i'y'(x' • ;/•) — p'i.r* — i/';' = 0, 
et pour équation polaire p = /<colg2io. 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



29 




Elle est symétrique par rapport aux deux axes et à leurs 

bissectrices, et il sufïit do faire varici' (■> de à — > alors o 

■4 

décroit de -h ce à ; la branche correspondante admet pour 

P 
J^ asymptote la droite AB parallèle à 0.t et d'ordonnée -^' et 

cette branche est tangente à l'originG à la première bissectrice 
des axes. On en déduit toute la courbe par symétrie. 

3. Lieu du sommel. 

Le sommet est le point de rencontre de l'axe et de la droite 
CD, par conséquent pour avoir le lieu du sommet il faut élimi- 
ner 9 entre les équations de ces deux droites 



a?sino — »/cos<f -{- p coIgSo = 0, a-coso -t- ij sino • 

Résolvons ces deux équations par rapport à x et y, nous obtenons 

psin^o pcos-o 



P. 
2 



0. 



(2) 



V 



2coscp ' '' 2smtp 

ce qui nous donne les coordonnées d'un point de la courbe en fonction du paramètre 9. On reconnaît 
aisément que la courbe est symétrique par rapport aux deux axes et à leurs bissectrices, et si l'on fait 



./• croit de ii — 7- et u décroît de 

:V2 



Vp 



varier o de à 

-i- ao à ;^ ; on a ainsi la branche de courbe PQ, et ou 

achève par symétrie. 

On peut d'ailleurs former l'équation recllligne do celte 
courbe. Des équations (2), on tire d'aboi'd 

P- 



xii = — smocoso 



puis a.^ -h //- = — 



sin-ocos-o 



cos"o p- 
~ T 



1 — 3sin-3C0s'-o 
siii-ocos^t? 



4.r;/ 



4. I.icu du foijer. 



J 


.V 




V_. 

















œ 


^ 






r^ 



et en y remplaçant sinocos-i par — ^, il vient 

■v(--.v*^)-(|)"-- 

Les coordonnées du foyer sont 

^ ~ 2coso ' '^ 2sin'i ' 
Le lieu décrit par ce point est symétrique par rapport aux deux 
axes et à leurs bissectrices ; on en construit aisément la huitième 

partie en faisant varier -i de à — • 

Cette courbe est appelée A'n-uzcurve, son équation est 
Axh/ — ;j»(af» 4- j/'') = 0. 
J.-D. DUFALJT, école primaire supérieure d'Ait,'uillon. 
lîoniics solutions : MM. IlAi.AfiAN, (■turfiniil à llucarcst ; Pklvoi-i.n. 



30 GÉOMÉTHIK ANALYTIQUE 



920. — On cijnsidi-re 1rs cercles laitiji-nts aux <txes de cuordimnées et à une droite donnée 

X 1/ 

(AB) _ + :^ _ 1 ^ U. 

a II 

Mmilrer analtftiquemenl qu'il rrisle toujours quatre rerries tangents a ces trois droites et chercher la relation, 

indépendant!' dr a, h et de l'amile des axes qui existe entre leurs rayons : 

* --L _u_L JL 

Nous supposerons, pour lixcr les idées, que les directions positives des axes aient été choisies de 
telle sorte que a et 6 soient positifs et nous nous appuierons sur ce fait, facile à établir par le calcul, 
qu'il y a doux systèmes de cercles tangents aux deux axes : l'un, dont le lieu des centres est la première 
bissectrice; l'autre, dont le lieu des centres est la deuxième bissectrice. 

Cela posé, l'équalion d'un cercle du premier systi'-inft est 

(X — «)• -4- (y — a)' 4- i{x — a)(l/ — I) COS — p^ = 0, 

avec la condition p'= i' sin- qui exprime qu'il est tangent aux axes ; en écrivant qu'il est tangent à 
la droite Ab, c'est-à-dire que la dislance du centre à celte droite est égale à p, nous avons 

,1 a \ - . / i 1 2 COS \ 

- - — 1 sm! 'I = ?H — -H 7T ; — ' 

puisque f — a» sin"). Cette équation se simplifie et s'écrit 


4i= coss ; 



ou 



.(1.1)^. = 0. 



ab 

elle donne pour a deux valeurs réelles et montre, en passant, qu'il y a toujours deux cercles du premier 
système tangents à la droite AB. L'équation bicarrée en p qui donne les carrés des rayons de ces cercles 

s'obtienl immédiatement, en isolant le terme en a, élevant au carré, puis remplaçant a' par 
nous trouvons ainsi / '■ — 



sin'e 



, . 
/iftsm' — 



I sm' \ a b I 



par conséquent, en appelant r et r, ces deux rayons, nous avons aisément 
1 1 



/ I {y 2 

ab sir 



r' »•! sin' V a 6 / , . <i rh-] , .0 

m' — '1^6^ sin' — 

2 2 

1 1 

cl. par suito. - = — . 

nb sin- - 

nous avons donc de suite le carn'; de la diiïérencc 

1 « \' * / 1 



(---) =-^(- • -V 

\ )• r, / sin''i\rt h; 



ff//s)n' — 



Pc même, les cercles du sprond système ont pour équation 

' ' (y -^- a)» -I- 2(x — «)(;/ ■+■ a) cos 6 — p» = 0, 

avec la condition p' = i' sin" 'i qui exprime le contact avec les axos, Kn l'crivant que le centre est ii 

une di-'tance de la droite Ait égale au rayon, nous aurons la condition de contact avec cette droite ; 

/ » a .\' • ,, ./ * • 2cos'i\ 

nous trouvons amsi ( . l sm' 't = iM 1 . 

\a b J ■ \ n' o« ab j 



PHYSIQUE ET CHIMIE 



31 



et, comme o- — a^sm^'i, ; l) _a-__--i-_ — 1=0, 

\a h / \a' b' ah / 



cette équation s'écrit 



4a^ sin2 — 
2 

ab 



.2.(i-l-)-l = 0; 



elle donne pour « deux valeurs réelles et de signes contraires et montre qu'il y a deux cercles du second 
système tangents à la droite AB. L'équation bicarrée en o qui donne les carrés des rayons de ces cercles 

s'obtient immédiatement, en isolant le terme en a, élevant au carré, et remplaçant a- par 



sin- 



nous trouvons ainsi 



ab cos- 



1 \ = 



4p- / i 



sin-0\ a 



par conséquent, en appelant /'a et r-j ces deux rayons, nous avons 

_L J_-JL/_L_J_V 2 I _ i 

(•; li sin-0\ a h ) , ., ') ' /•;/■; 



"ôcos- — - 

1 




a-/('-cos'— • 
9 



> et, par suite, 



1 

''2'':i 



ab cos '■' — 
2 



nous avons donc de suite le carré de la somme des rayons 

•1 , 1 V _ 4 ^ I 1 



( 



'•j 



'/'3 / sin^OV M 
l 1 



+ 



ab cos - — - 
'i 



Il est alors facile de montrer que ( ~ 
nous déduisons donc de là, la relation annoncée 



r 



1 1 

1 

/•, n 

1 i 

- — i — 

i\ r. 



l'ELVOISlN. 



PHYSIQUE ET CHIMIE 



905. — Un iniUiniii: dr (jaz M conlicnl du farinimc, de l'hydrogène cl df l'tixyde de carbone, //ans u)t 
récipient de liO''', on inlroduil 10'" de ce mélange et 100''' (tuir mesurés dans les conditions normales. On 
provoque Vexplusion au moyen d'une étincelle élrctrique. Les produits de la combustion P se composent : 

a) de 9fi'',6 d'eau qui se condense quand on ramène les produits P à 0" ; 

b] d'un mélange gazeux m gui, dans les conditions normales, occupe un colu)iie dr 03'|' et a la compo- 
sition suivante en volume : .Acide carbonique 6 \ 

Oxygène 9 (95 

Azote 80 \ 

1» On demande de calculer la composition en volume du mélange M. 

2o L'explosion s'est effectuée dans le récipient de 1 10'" à volume constant. Immédiatement api-ès l'explo- 
sion, la température a atteint 1 600°. On demande de calculer la pression qui régmiit dans le récipient à ce 
moment. 

On admettra que l'eau se trouvait à l'élut de vapeur assimilable à un gaz parfait. On négligera la disso- 
ciation de l'acide carlionique et de la vapeur d'eau. 

3» L'eau qui figure dans les produits P. étant éliminée par un produit quelconque, on reste en présence 
du mélange m. Le mélange est introduit ii 0" et 760"°'" dans un récipient oit on peut le chau/fer à pression 
constante et oit se trouve une certaine masse de carbonate de chaux. On chnu/fe à la température de 650° en 
maintenant la pression de 760""°' de mercure. Le carbonate de chaux se dérompose-l-il '.' Si oui, sur quelle 
quantité de carbonate portera la décomposition ? Calculer le volume occupé par 1rs gaz au moment oii cette 
décomposition s'arrêtera. 



3i QUESTIONS PROPOSÉES 



Les résullals doivent rire donnés snus forme nunn'-rique. 

Données : Cnmposilion dr l'air en voluinr: on prendra la rompnsition approchn' : 



80 d'nzolr, 20 iCorygiiie. 

Densité dr rhydriKjènr par rnjiporl à Vair . 0,0C9 

Masse du m re d'air . I«^29 



Coellifient dr dilatation des gaz 



J_ 

273 
Poids atomiques : H = l, = 16, C=12. Ca = 40. 
Tension de dissociation iln carbonate de chaïuc à 625". . .■)6°"° 

(Ecole des mines de St-Elienne, concuur.^ de 1S9U.) 

1. Puisqu'il reste de l'oxygène, tout est brûlo, ce que représentent les équations 

a:(CH' + 20- = CO'^2H»0i, 7 / H- + | O' = IHoV :(C0 -H |- = CO» V 

Désignons par V le volume moléculaire. Les données permettent d'écrire : 

Volume du mélange (x -1- j/ -h :)V = 10, 

Volume du gaz carbonique produit. . (1 -t- :)V = G, 

Volume de l'oxygène employé. . . . (2a -1- ô- î/ + -5- :)V = H, 

Poids de l'eau produite (2j; + i/)18 = 9,6. 

Les trois premières équations suffisent pour déterminer la composition du mélange : 

Formène : x\ = 4. Hydrogène : ;/V = 4. Oxyde de carbone : :\ = i. 

La quatrième est inutile ou permet de préciser la valeur adoptée pour V : V = 22 ''',5 

2. Si l'eau était à l'étal gazeux dans les mêmes conditions que le mélange m, elle occuperait un 
volume {ix + i/)V = 12''' et le volume total des produits P ;i 0" et sous la pression d'ime atmos- 
phère serait 95 -H 12 = 107'''. Dans un récipient de 110 1'' la i)ression devient — — et, si la tempé- 
rature est 1600°, elle devient tttî ( * -1- tt--» ) = 6""',(»7. 

1 1 \ 2/0/ 

3. L'oxygène et lazote résiduels occupent, dans les conditions normales, un volume de 89'''. Soit 
U le volume qu'occuperait, toujours dans les conditions normales, le gaz carbonitiue nécessaire pour 
produire, une fois réi)andu dans le volume total 89 -<- U, la pression de 56""°, pression qui ne sera 
pas moditiée par le chaull'age à 650° puisqu'il a lieu sous pression constante ; U sera donné par la loi 
de Mariotle ; U X 760 = (89 -H U) x 56. d'où U = '''',08. 

Or il y en a déjà 6''' dans le mélange m; il en vient donc 1 ''',0.S do la réaction 

/(CO'C'J = CO- -( CaO), 

1 OS 
donc / X 22'i',r, ^ l''i,OS, d'où I.CO'Cn = ^ y< 100 = 4(--%8. 



l^nlin, le volume occupé par les gaz est donné par la formule 

W = 96,08| I -t- 6,'i0 ,-. ^ = 3"J4i",8i. 

V 273/ 



(lUESTlUNS l>ROPOSKi:S 



975. — A <t 11 sont deux points lixcs par lesquels on mené deux droites variables cl parallèles, AM el 
llN Trouver le lieu des foyers des coniques tangentes à Al) et admettant AM el ItN comme tangentes aux 
«oinmcls situéH sur un de leur.'» axae. 

976. •"..ilouler l.i surface du parallélogramme déterminé par les quatre droites nx + b!/ = ±c el 
n'x -t- fy = II: c*. 

« 

Le Hédaclrur-Gcrant : 11. VUIBEKT. 



•A*-LK-lll)b. IMP. IXHTE-iACvUKT. 



11° Année. N" 2. Novembre 1900. 



REVUE DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES 



PREMIERE PARTIE 



PARAMETRE TANGENTIEL D'UN CONE DU SECOND ORDRE 

par M. G. Fontené. 



1. Je me propose principalement d'établir le fait suivant : 

Soit une conique fixe S, et soit un cercle C dont le plan est parallèle au plan de la conique et dont 
le centre est sur la perpendiculaire au plan de la conique menée par le centre de celte courbe; si l'on consi- 
dère les cônes du second ordre qui passent par la conique et qui ont leurs sommets sur le cercle C, si on les 
suppose indéformables, et si on les fait passer par une conique quelconque S' de manière que leurs sommets 
soient encore dans un plan parallèle au plan de la conique, ces sommets seront encore sur un cercle C ayant 
son centre sur la perpendiculaire au plan de la conique S' menée par le centre de celle courbe. Si S ou S' 
est une parabole, le cercle correspondant est remplacé par une parallèle à la directrice. 

2. La forme d'un cône du second ordre dépend de deuxparamètres, dont l'un est particulièrement intéres- 
sant. Les axes étant rectangulaires, l'équation du cône étant f — avec le sommet à l'origine, l'équa- 
tion du cône isotrope de même sommet étant o ^ a;- -t- y- -t- ;' = sans facteur constant parasite, 
soient A, e, e' les coefficients de X', l-, l dans le discriminant de la forme X/ + ? ; ces invariants étant 
des degrés 3, 2, 1 par rapport aux coefficients de f, les rapports des quantités 

''il, 'Vë, H' 

sont indépendants du facteur arbitraire qui entre dans f et sont, par suite, complètement déterminés 
par la forme du cône. 

Nous appellerons paramètre tangentiel d'un cône du second ordre la quantité 

dans l'hypothèse 1 = 0, ou 6 = 0, le cône est harmoniquement inscrit au cône isotrope de 
même sommet, c'est-à-dire qu'il admet des trièdrcs trirectangles circonscrits. 

3. Voici une expression géométrique de l'invariant I. 

Soit un cône du second ordre sur lequel on trace une conique. S'il s'agit d'une conique à centre, en dési- 
gnant par a^ et b^ les carrés des demi-axes de la conique, par y la dislance du sommet du cône au plan 
de la conique, par P la puissance du sommet du cône par rapport à la sphère orthopliquc de ta conique, on a 

S'il s'agit d'une parabole, en désignant par p le paramétre de la parabole, par y la distance du sommet 
du cône au plan de la parabole, par d la distance du sommet du cône au plan orthopliqw de la parabole, 
distance comptée positivement lorsque ce sommet est séparé de la courbe par le plan ortlwptique, on a 



3i I'AIIAMÈTKL; TANGENTIliL DLN CONE DU SECOND ORDIIE 



Soit d'abord une conique à centre. L'origine des coordonnées étant au sommet du cône, les axes 
Ox cl Oi/ étant pour plus do simplicité parallèles aux aies de la conique, les équations de la conique 

sont 

z = t, A(x-«)»-f-B(y-p)^+C = 0, 

et l'on a les deux cônes 

/•= A(fx - «)» -+- B(-ry — ?zr + C:-! ^ 0, 

9 = x» -+- y' -H z« = 0. 
On peut écrire f = " r^ -+- 6y' ■+- rz^ -+- Iftp -t- 2</:.r, 

avec a = Xf, b = Uy-, c = A^^ + Bp^ -H C, /" = - ^h, <j = — Aiy. 

et l'on a a = abc-af- — bg^ = ABy'(Aï' + Bp' + G) — AB'^Y- BA-ï'y\ 

ou A = ABCy', 

e = {bc-1-) -i- (,nc-g-)^ab = By»(Ax' + B,3^ + C) - B'?Y + Ay-(A»« -^ B?^ ^- C) - A^^V + ABy', 

(C G \ 
a2 H- fl' M- Y^ + y -f- - j ; 

Q Q 

à cause de A = — —. B = -rr-i ou a donc 



L'élimination de C donne 



//2 

C'y' C'y'' ^ 

H lY 1' 






Pour passer au cas de la parabole, nous partirons par exemple du cas de l'ellipse. Si H est le ra} 
de la sphère orthoptique, on peut écrir e 

1= _Z_. 

'/J^/7- , ' 

en posant — =/> (/'>0), cequidonno R= ^a[a+p), on a d ailleurs 

a'6' n"]) 



on 



R3 /-i^(a-f-/-)^' 

P 
si l'on fait croître a indéfiniment, d'une part, la quantité — a pour limite le double de la dislance 

(l du sommet du cône au plan orthoptique de la parabole, cette dislance étant positive lorsque le som- 
met du cûne est sépar.'; de la parabole par le plan orthoptique, d'autre pari, la constante ci-dessus 
tend vers p ; on a donc la formule (!'). 

On a cette conséquence : 

4. /.T lit^H dex fommels des cùif^s di: im'iiif paramHro taiiiicntivl cii-conscrils à une coniqun à centre donnée 
rsl uni' turfiice d<' rrvoliilion dont l'iirc csl la perpendiculaire nu plan de In conique menrr par te centre de 
cflle conique. La puissance I' d'un point de cetli^ surface par rap|)ort à la sphère orthoptique de la coni - 
que est pro|)Ortionnello à la racine cubique du carré do la dislance y •'<' ce point au plan de la conique ; 
celle puissance a d'ailleurs le signe de 1 ou le signe contraire selon (pi'il s'agit d'une ellipsu ou d'uni» 
hyperbole. 

Pour une parabole, le lieu m question est un rijlindrr dunl hs in'ni}ratrices sont parallèles à ta direc- 

ricc df la courlie. On a d'ailleurs </ = A.y', et A a le signe de I. 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



5. Le fait énoncé au début de cette note résulte également de la formule (1), les cônes considérés 
ayant même paramètre tangentiel. 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



911. — On donne un angle droit xOy et sur Ox deux point x A, A' symétriques l'un de l'autre par 
rapport au point 0. Trouver l'équation générale des coniques tangentes à Oy, traçant sur Ox une invo lu- 
lion dont A et A' sont les points doubles et ayant pour centre commun le point de la première bissectrice 
qui se projette sur Ox en A . 

Cela étant, on demande : 

1° De séparer les points du plan par lesquels passent deux coniques réelles du faisceau de ceux par 
lesquels il passe deux coniques imaginaires ; 

2° De trouoer le lieu des points de rencontre de la parallèle à Ox menée par le point de contact de l'une 
de ces coniques avec Og el des deux droites qui joignent le centre aux points de rencontre de cette conique avec 
Ox ; en outre, de construire ce lieu ; 

3» De trouver le lieu du point de rencontre ordinaire de chacune de ces coniques avec le cercle osculateur 
au point situé sur Oy, el de construire ce lieu. 

Si nous désignons OA par a, l'équation demandée sera évidemment de la forme 

{x—ay -t- 2À(a; — d)(y — a) + iJ.{y — a)- -h v = 0. 

Nous aurons successivement les relations qui existent entre les paramètres X, |ji, v en écrivant 
d'abord que les deux points de rencontre avec Ox divisent harmoniquement les points A et A', c'est-à- 
dire que le produit des racines de l'équation en j; obtenue en annulant y dans l'équation de la conique 
est égal à a-; puis, (jue l'axe des y rencontre la conique en deux points confondus, c'est-à-dire que 
l'équation en y— a obtenue en faisant x = dans l'équation de la conique a une racine double. 
Le premier calcul donne '/ — — 2Xa^ — [jia^; la seconde donne, en tenant compte de cette valeur de v, 
(k-i- ;x)2 = jjt. Posons alors [j. — f-, nous aurons X -h p^ = ifc p, et il suffit de prendre un signe dans 
cette relation, car, prendre ensuite le second signe revient à changer p en — p et ceci n'altère pas 
les valeurs que prend le paramètre, puisque c'est une variable indépendante. Nous avons donc finalement 
|ji = p' et \ — p — p^; de là nous déduisons sans peine, en développant et simplifiant, l'équation 
générale des coniques envisagées 

( 1 ) x' -H 2(? — p»)xî/ -t- p=y = — 2a(l -h p — f)x — -2a?y -h a- = 0. 

La signilicalion géométrique de p est facile à apercevoir : en faisant a: = dans l'équation, nous 

a 
trouvons {^y — a)- — ; — est donc l'ordonnée du point de contact avec Oy. 

? 

1 . Écrivons que la conique (1) passe par un point (x, y) donné dans le plan, nous aurons une 
équation du second degré en p qui nous donnera les paramètres des deux coniques du système qui 
passent au point choisi. Si ces paramètres sont imaginaires, les coniques (1) seront imaginaires ; sinon 
elles seront réelles, car chacune d'elles aura alors une équation réelle, un centre et un point réels dis- 
tincts l'un de l'autre. Tout revient donc à étudier la réalité des racines de l'équation du second degré en ?, 

(y 2 _ 2xy -t- 2aa;)p" -t- ''2{xy — ax — ay)p -^ (x — a)- = ; 



36 



GEOMLllUi: ANALVTIQUt; 



la condition de réalité do res racines est 



. ,J^^x — <i) — ux/ — (x — a)»(v- — 2j-»/ ■+■ 2aj-) > 0, 

ou (2) x{x — 2«)[2y(z —a) — a(ix — a)] > 0. 

La ligne séparatrice, qui est d'ailleurs l'enveloppe des coniques du système, se compose de l'axe 
des T, de la droite x = ia el de l'hyperbole 2j-j/ — 2a.r — 2ni/-t- a' = ; celle-ci est symétrique 
par rapport à la première bissectrice, el a pour centre le point C (x = a, y = a), centre commun à 
toutes les coniques du système. Ilien n'est donc plus facile que de placer la séparative totale el de dis- 
tinguer les régions du plan où passent les coniques réelles des autres. La figure 1 indique cette sépara- 
lion, les régions hachurées sont celles où ne passe aucune conique réelle du système considéré ; elle 
montre en outre une ellipse du faisceau, dans une certaine position. 



2. L'équalion de la parallèle à Ox menée par le jjoinl de contact avec O?/ est s»/ — a = 0. Portons 

alors les axes parallèlement à eux-mêmes au 
centre commun des coniques, c'est-à-dire chan- 
geons x en x + a el y en y-t-a ; l'équa- 
tion précédente devient p(i/ -t- n) — u = 0, et 
celle de la conique, x^ -\- ilxy ■+■ jjiy' h- v = 0, 
ou, en remplaçant X, .m, v par leurs valeurs en 
fonction de p, 

x' -H- 2(p - p«)ari/ -+- pY — a«(2? - ?*) = ; 

d'autre part, l'ancien axe des x a pour équation 
actuelle i/ -h a = et une combinaison 
homogène de cette écjualion avec celle de la 
conique est aisée à former ; c'est 

X' + 2(? - p»)xy -+- p»y« - (2p - p')y' = 0, 

ou x'-i-2(p-p»)(xy-,/) = 0; 

c'est l'équation du couple de droites qui joignent 
le centre aux deux points de rencontre de la 
conique variable avec l'ancien axe des x. Nous 
aurons donc le lieu cherché en éliminant p entre 
u) — a = ; ce calcul est immédiat et donne 




Kig. t 
celle équation et l'équation pii/- 
(3) 



Sous celle forme, nous voyons de suite que l'origine et le pointa 1» sur Ox sont des points 
rioubles ; en cuire, la courbe est tout entière dans la région négative de la (imile x — i/ = *> d touche 
relie droite au point x = ;/ = — n, c'est-à-dire à l'ancienno origine. Nous voyons, daulre part, (|ue 
les directions asymploliques sont .r = 0, y — 0, qu'il y a deux asymi>loles parallèles à Ox et con- 
fondues avec la droite y = —a, l'uncien a\n des x, cl que les branches qui correspondent h la dircc- 
ti<)n (II/ Mjnl des branches paraboliques. Discutons mainlenanl l'équalion en regardant x comme 
variable principali' i-l y comme variable indépendante. Ordonnée par rajiporl à .r, elle s'écrit 

(i/-(-a)«x>-4-2ay»x— 2"!/' = 0, 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



37 




et nous montre que si y est positif, il y a toujours une 
racine positive et une racine négative ; si y est négatif, il 
n'y a pas déracine positive et il y a zéro ou deux racines 
négatives ; d'ailleurs la condition de réalité est 

y[lLy'- + 5«;/ + 2«^) > 0, 

et, quand y est négatif, elle n'est remplie que pour les 
valeurs comprises entre les racines du trinôme 

%f- -h 5a(/ -H la"- = 0, 

c'est-à-dire pour les valeurs comprises entre — 2a et 

• pour ces valeurs, x = —àa et a; = — a; en 

ces points, la courbe touche les deux droites i/ -h2a = 
et î/ -+- -^ = 0. Enfin, pour y = 0, les deux valeurs de x sont nulles ; pour y = oo , les valeurs 

de X sont infinies ; la discussion est dès lors achevée et les principaux résultats sont marqués par la 

figure schématique 2. En adjoignant à tous ces résultats, 
le fait évident que l'origine est un point de rebroussement 
où la tangente est Ojy, la courbe est aisée à tracer : elle 
est représentée par la figure 3. 

3 . Le cercle osculateur à la conique au point situé sur 
Oj/ a pour équation 

p=(a;"- -t- 7/2) — 2aa; — laçy -^ n^ = 0, 
car il doit couper 0>j en deux points confondus avec le 
point dont l'ordonnée est — ; il reste à déterminer a 

de façon que l'un des autres points de rencontre avec la 
conique vienne en ce point. Or, en retranchant l'équation 
de la conique de celle du cercle, nous obtenons l'équation 

(p2 _ i)a;2 _^. 2(p» — ^)xy -h 2a(l H- p — f)x — 2aj = 0, 
qui représente le couple de sécantes communes formé 
par la tangente, x = d, et par la droite qui joint les deux autres points ; cette droite est représentée 

par 

{f — i)x + 2(p2 — p)y -+- 2a(H- ? — y) — 2» = ; 

elle doit passer aussi par le point ( 0, -) et la condition pour qu'il en soit ainsi donne le nor 




Fis. 3. 



et celle de la sécante, 



jmbre a. 

Nous trouvons de celte façon a = a(2p — o^) ; par conséquent l'équation du cercle osculateur est 

pS(x2 -H y^) — 2a(2p — f)x — 2a?j/ -t- n- = 0, • 

(p- - \ )x -h 2p(p - l)y 4- 2a(l - ?) = 0. 

Cette équation contient ?— 1 en facteur, elle s'annule idonliquement pour ? = 1, résultat 
évident a priori, puisque pour ? = < , la conique étudiée se réduit ii un cercle et se confond par suite 
avec son cercle osculateur ; un premier lieu exceptionnel est donc le cercle 

a;î -^- y^ — 2rt.T — 2a»/ -t- n' = 0. 



38 



(JÊOMETUU: ANALYTIQUE 



Pour avoir le vrai liou. il faut diviser l'équation de la sécanle par ?— 1 et éliminer ensuite p 
entre l'équation du cercle et celle qu'on obtient ainsi : 

(p + n.r -+- 2:1/ — in = 0. 
Cette élimination se fait immédiatement el donne 

j- xiij H- n)' -H (x — 2«)ix' + i'ir -+- 8a;/— An-)] = 0. 
Nous trouvons d'abord le lieu étranger .r = 0. (|ui est le lieu du point de contact avec 0;/, puis, 
une courbe du troisième degré 

,4. j-i/'-h2ny(5a: — 8o)-l-(.r— rt)(.r= 

qui est le véritable lieu. 

Pour construire celle courbe, nous allons simplement discuter l'équation (4) par rapport à y. Nous 

lui appliquerons d'abord le théorème de Descartes, puis nous formerons la condition de réalité. Tous 

les r<''sultats sont indiqués sur la li^'ure 4. 

8'» 
Les valeurs pour lesquelles les coellicienls changent de signes sont x = 0, x = -j;- , x = a et 

est comprise entre a et p et n in- 



. 3„.r — 8a2) = 0, 



— 3-f-v'4l Q —3-/41 , , 

X z= 1 = ^ ri, T = B = s-^ " • ^^ valeur -;- 

terviendra pas, comme il est facile de s'en assurer. Fifrurons alors les parallèles à 0'/, r = 0, x = a, 
X = r et X — ^ et, pour nous guider, remarquons que a est un peu moindre que 2a et que p est 
voisin de — 5«. Nous voyons alors que pour a: < ?, l'équation n'a pas de variations, elle a donc zéro 

racine positive et zéro ou deux racines néaratives ; entre 
^ et 0, une variation, une racine positive et une négative ; 
entre el a, deux variations, pas de racine négative, zéro 
ou deux racines positives ; enire a el a, une variation, 
une racine positive, une racine négative ; enfin, au delà de 
a, i)as de variation, pas de racine positive, zéro ou deux 
racines négatives. Consignons tous ces résultats et formons 
la condition de réalité. Celle-ci est (x + 8a)(.r — 2a)' ^O; 
elle nous montre que les racines sont réelles entre — 8a 
et 2a, et ceci achève la discussion. Pour .r = — 8a, la 
racine double est y :r= — 0», et la courbe est tangente 
en ce point îi une parallèle à Oi/ ; pour x = 2a, la racine 
linulile est 1/ = —a, la courbe a un point de rebrousse- 
mi'nl en ce point et ;/ est langenle à l'hyperbole 

nj 4-,'5ar — Sa' = 0; 

il n'y a, pour le voir, (ju'à résoudre l'équation par rapport 
à ;/. Si l'on remarque enfin que, pour x = 0, une des 

a. 




n». 4. 



valeurs de ;/ est infinie et l'autre égale ii 



que pour 



x = a ou a ou p, une valeur (le ?/ est nulle el l'autre aisée 
A obtenir, il n'y a plus ainime difllculté à tracer la courbe. 

CANS. à Versailles. 
Tr^t boDDP toloUoo : M. C. rinoi.uiti , 



916. — On romid^rc un trianifle ABC ri un puinl P pris da/iv snn plan ri un prnposfl : 

!• //<• former l'/t/wilinn ijrni'rnlr de» coniqurt insrril't dans tr Irinnqlr ABC rt pnssniit nu point P • 

2' //<• rhrrrhrr l'rnrrlnppr dft Irait rordrt drt ronlncl» ; 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 39 



3° Ue construire le lieu décrit par le point où la droite qui joint un des points de contact avec le sommet 
opposé rencontre la polaire de ce sommet ; 

4° De construire le lieu décrit par le point où cette même droite rencontre à nouveau la conique. 

1. En prenant le triangle ABC pour triangle de référence, l'équation demandée est 
(1) v/S + /jlj/ + v/^ = 0, 

avec la relation (2) ^ïxo -+- v^fj^'/o + v^'^ô = xq, j/o, Iq' <5tant les coordonnées du point P. 

2. L'équation (1) développée devient ).^x" -i- iih/- + v-:- — "ilixxij — 2Xvt: — 2[ivi/; = ; 
la polaire d'un point .r', y', z' sera 

l^xx' -+- [ji'yi/' + ■/-«:' — X|ji(,vî/' -t- yx') — Xv(a-î' + zx') - ix;{yz' -(- zy') = ; 
la polaire du point A s'obtiendra en faisant dans cette équation ;/' et :' égaux à 0. On obtient 
(3) Xx — jjij/ — vz = 0. 

Il faut prendre l'enveloppe de cette droite, en tenant compte de la relation (2), et pour cela éliminer 
À, |Ji, V entre les équations (2), (3) et la suivante 

a; _ y _ z 



V^ -'\/f -Vf 



En remplaçant dans l'équation (2) s/l par -^, v^;^ par — -^ et ^/v par ^ on aura 

pour le lieu demandé xoyz — j/o-r: — ^oi"!/ = 0- 

C'est une conique circonscrite au triangle ABC. 

En B et G les tangentes à cette conique sont BP et CP. En A la tangente est AM conjuguée har- 
monique de AP par rapport aux droites AB et AG. Ceci résulte de l'exa- 
men des équations de ces tangentes. 

y " 
En A, l'équation de la tangente est — 

en 1!, — = V et en C, 

Xo --0 

3. La polaire du point A est Ix — ny — v: — 0. 
La droite qui va du point A au point de contact sur BC a pour 
équation ,ajy = v:, et on a la relation v'^^" '/î^o "•" v^ = 0. 

En éliminant l, <j., v entre ces trois équations on aura le lieu demandé. Les deux premières équa- 







= 


0, 


-0 






X 


^ 


J_ 


^0 




'7o 



fions donnent 



-2;iz xz xy 



En remplaçant dans la dernière équation X par 2;/:, ji par xz, •> par xy on aura 

s/2x^ ■+■ v/?/o-t: -f- <Jï^l = 0, 
qui est l'équation cherchée. 

. C'est une quartique qui passe par les trois sommets du triangle ABC. 

On peut écrire cette équation y/ ^ + \J ^ ■+■ sj ^ = ^■ 

Si on pose x\ = y\ = zZ, on obtient la conique v/2ÎÂ -t- >/y^' +- v^ï^ = qui est la courbe 
isogonale de la courbe cherchée. A chaque point de la conique correspond un point bien déllni de la 
quartique. Cette conique est inscrite dans le triangle ABC. 



40 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 




On sail que si Ton considère les coniques inscrilos dans le triangle el telles que l'un des foyers 

parcoure la conique, l'autre foyer décrira la courbe isogonale, c'est-à-dire 
la quartique, de sorlo qu'à tout point M de la conique correspondra un 
point M de la quarliquo Ici que les unifies BAM et CAM soient égaux, 
ainsi que les angles ABM et CBM', ACM et BCM'. 

Les points de la quartique qui sont à l'inlini correspondent aux points 

de la conique qui seront sur le cercle circonscrit au triangle ABC et réci- 

^ proquement les points de lu conique à l'infini ont pour points isogonaux, 

des points sur le cercle circonscrit au triangle. 

Il n'y a plus qu'a examiner la forme de la «luarlique suivant la nature et la position de la conique 

isogonale. 

Supposons que la conique suit une ellipse dans l'intérieur du triangle ABC. La quartique sera aussi 
tout entière dans le triangle. Les points M, N, R étant les points de contact, AM aura pour équation 

Yy, = Z:o ; on voit que c'est la ligne isogonale de -^ = — qui passe par le point P. Donc la ligne 

AP sera la tangente à la quartique au point 
.\, avec point de rebroussement. 

B.N a pouréquation ix^X — z^Z; BN', 
l'isogonale qui sera la tangente au point B 
avec rebroussement aura pour équation 

de môme CR' aura pour (^([ua- 

y 




X 

lion 



= — • Donc les points 



N' N C 

Supposons maintenant que la conique «oit encore une ellipse extérieure au triangle ABC 



X 

2a'„ rjo 
A. 0. P. M', sont conjugués harmoniques. 

11 sera donc facile de trouver le point 0, le 

point P étant donné. 




Comme prér(*demmonI. on obtiendra les tanKenles AM, RN'. CR aux sommets du triangle. Les 
pomis 0. A, M', P sont conjugués harmoniques. Le cercle circonscrit au triangle ABC coupant forcement 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 41 



la conique en deux points D, E, il y aura deux directions asymptotiques AD' et AE' isogonales de AD 
et AE. 

L'ellipse n'ayantpas de points à l'infini, la quartique ne coupera point le cercle circonscrit au 
triangle. 

Dans le cas d'une hyperbole, la courbe sera analogue, mais elle coupera le cercle circonscrit en 
deux points qu'on obtiendra en prenant les isogonales des directions asymptotiques de l'hyperbole. Le 
cercle ne pourra couper l'hyperbole qu'en deux points (]ui donneront naissance à deux directions 
asymptotiques. 

Enlin, quand laconique sera une parabole, la quartique aura une forme analogue avec deux direc- 
tions asymptotiques; mais comme la parabole n'a qu'une direction asymptotique la quartique sera 
tangente au cercle circonscrit au triangle AB(], 

4. Pour avoir ce lieu, il faut éliminer X, ix, v entre les équations suivantes : 

équation de AM {xy = v:, équation de la conique /ÏT' + /[j.j/ -+- //: =: 0, 
équation de condition v'Xa,, h /[ii/j + s/-'Z„ = 0. 

X 'X V X jJl V 

Des deux premières on tire - — t= -^— = — - ou — = --- = —• 

"^ ïî/: a-; xy 4-11 

X y z 
En portant les valeurs proportionnelles à X, a, ■/, dans la troisième équation, on a pour le lieu 

La courbe isogonale sera v^4x„X -+- v^i/T? 4- \/z~^ = 0, conique inscrite dans le triangle ABC. 
La quartique sera analogue à la précédente, et tout ce qui a été dit s'applique de nouveau en rem- 
plaçant le point P par le point aa,,, y„, Zo qui est le point de concours des tangentes àla quartique aux 

sommets du triangle dans le problème précédent. 

CANS. 

Remarque. — Par une transformation homographique qui change les points B et C en les deux 
points cycliques, les coniques de l'énoncé deviennent des paraboles ayant un foyer commun, le point A 
(dans sa nouvelle position) et passant par un point donné P. 

Nous laissons au lecteur le soin de développer cette méthode et d'édifier la solution correspondante. 

Bonnes solutions : MM. J.-D. Dufaot, école primaire supérieure d'Aiguillon; C. ('•roli.kau, répétiteur générai au ly.-éc ri.- 
Marseille; Pelvoisin. 



917. — Etant données deux quadriques C et C qui se coupent suivant deux courbes planes, V et (J, 
il est possible de leur circonscrire une in/inité de quadriqws S. Deux de ces quadriques Si et S, se coupent 

suivant deux courbes planes. 

1° Les plain de ces deux courbes se coupent sur l'intersection Je P, Q. et forment avec ces derniih-es un 
faisceau harmonique. 

2° Par ces deux courbes passe une quadrique contenant la conique P et une contenant la conique (). 

3» Par ces deux courbes passent deux cônes du second degré. Ces cônes ont leurs soninu-ls sur une droite 
fixe et restent circonscrits à une quadrique fixe, tamjente aux plans P, Q el insrritr dans 1rs dmx cônes 
circonscrits à la fois aux deux quadriques données C eM. . 

Faisons une transformation homograi)liique de la figure de manière (jue laconiciuo IJ se transforme 



42 



GfiOMËTRlE ANALYTIQUE 



on le coiclc de l'infini : los doux <|uadriques G ol C so transformonl alors en deux sphères V et 1', el la 
conique P devient le cercle H situt- dans le plan radical des deux s|»lières. 

Il suriil alors de résoudre la quesliou dans ce cas parliculier, puisque les propriétés à démontrer 
se conservent dans une transformation liomo^'ra|phique quelconque. 

Toute qnadrique ï circonscrite a la fois aux deux splières est de révolution autour de la droite A 
qui joint les centres «u et <■>' des deux sphères ; deux de ces quadriques ï, et ï, se coupent suivant 
deux cercles C, el C, dont les contres sont sur la droite A et dont les plans sont perpendiculaires à a. 

Coupons la lî^'ure par un plan passant par A ; les sphères r, r' sont coupées suivant deux grands 
cercles -, •/ ; le plan radical il suivant une droite -, axe radical des cercles y, ■;', qui rencontre A .lu 
point I ; les quadriques ï, et Sj sont coupées suivant des coniques c,, j. bitangenles aux cercles y, 7', 
les coi-des de contact étant D,, U! pour k, IV,, W, pour Jj. Les coniques a„ 3. se coupent en quatre 
points (1, b, a'. Il' symétri(iuos deux à deux par rappnil à A. Les droites ah, n'Ii sont des diamètres des 

cercles Ci el Cj. 

La conique 3, étant bilangenle aux cercles -,• et •/, les cordes de contact D, et 1), forment un 
faisceau harmonique avec l'axe radical t. et la droite do l'infini, donc D, et D, sont équidislantes de l'axe 
radical, il en est de même pour D. et M'.. 

i. Le cercle •/ étant bitangent aux coniques n cl c,, les cordes de contact Di el Dj sont conjuguées 

harmoniques par rapport à uh et a'h' ; de 
l.-x même ub el a'b' forment un faisceau har- 

monique avec D. el Dj. Comme Di et D! 
dune part, Dj el D: d'autre part sont équi- 
dislantes du iioinl /, il on est de nn'me 
de ab el « // . Par suite les plans des cercles 
Cl et Cî forment un faisceau harmonique 
avec le plan radical H elleplande l'inlini. 

2. Par les quatre points a, b, a', b' 
on peut faire passer un cercle ayant son 
centre sur A : ce cercle en lournanl autour 
de A engendre une sphère contenant les 
deux cercles Ci el C^. Cette sphère est la 
transformée homographique de la qua- 
drique qui contient les coniques oonimunes aux quadriques S, et Sj et (jui passe par laconique (J. 

Soient r el d les poinis où l'axe radical n 1 rencontre les cercles 7 el y • Par les six points 
//, h, a. //, c, H on peut faire jiassor une seule coniiiue ayant pour axe A. Kn tournant autour de A, 
celle conique engondre unr quaflriquo conlenant les cercles C,, C, el le cercle commun aux sphères 
I el I'. 

3. Par les cercles C el (;' passent visiblement deux cônes de révolution ayant iiour axe a cl dont 
les sommets sont les points j1| el s, où na! et ab' renconlient A. 

l'our démontrer que ces cônes sont circonscrits à une quadrique lixe, il suffit délahlir <jue les 
droites an' cl nb' sont tangentes à une conique lixe ayant pour axe A. 

Soient at. n'I' los langenles menées des poinis <i cl <i' lespectivomenl aux cordes ■; el ■;', et u/j, n'p' 
les distances des mêmes points aux droites U| et h,. H'après une i)ropriélè bien connue dos cercles 




focaux dune rnnique, les rapports 



m 



at 



et — ;— ; sonl igaux ù l'exccnlricilé de la conique. Comme 
ap ajj 

ap = a'p', on en conclut al = a'I'. l>onc los puissances dos poinis <i el a par rapport aux cercles 

Y et y respcclivcmeal sonl égales. Il en résulte immédiatement que les cercles yi cl Y' qui ont pour 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



43 




centres to et cj' et qui passent par les points a et a' ont môme axo radical que les cercles -,■ et y'- 
La droite na rencontre les cercles yi el "(i et l'axe radical -i aux points n, e\ g. C-omnie on a 

(fa = ija' et ga.ge = ga' .'je', on en conclut gn = gu' et par suite ac=a'c'. Si on abaisse o/" 

et uj'f perpendiculaires sur aa', on 
a '//■ — g'f et par suite la perpendi- 
culaire menée par le point '/ iiladroile 
aa' passe par le point o milieu de 

toio'. 

11 en résulte que aa' est tangente 
à une parabole ayant pour foyer le 
point et pour tangente au sommet 
ig. On verrait de même que ah' touche 
la même parabole. On en conclut que les deux cônes qui contiennent les cercles C et C sont circon- 
scrits à un paraboloïde de révolution ayant pour foyer le point <i et pour plan tangent au sommet le 
plan n. 

Il nous reste à démontrer que ce paraboloïde est également inscrit dans les cônes circonscrits aux 
deux sphères r et l"'. Soit hh' une tangente commune aux deux cercles 7 et -;', rencontrant ig au point k; 
comme wli et w7/ sont perpendiculaires à /(//, ok l'est aussi, et par suite hk' louche la parabole de 
foyer et de tangente au sommet ig. 

Observons en terminant que si Ton revient à la première figure, le paraboloïde est la transformée 
d'une quadrique qui touche les plans P et O. 

On rapprochera avec intérêt cette solution de la solution géométrique de la question 898 (N" de 
juin 1000, p. o30j. 



918. — .^i un triangle varie ni restant inserit dans une cunif/ur. C cl circonscrit n une autre conique 
C, la polaire de tout point de G par rapport au système des trois côtés du triangle passe par un point 
fixe. 

Prenons pour triangle de référence l'un des triangles indiqués et représentons par 
//; -1- zr -+- .11/ = 0, avw 4- hiru -+- cuv = 0, 

les équations ponctuelle et tangenlielle des deux coniques C cl C. La seconde équation peut s'écrire 



a II 

1 

u V 

et donne immédiatement, en fonction d'un paramètre À, 



— = 0. 



- -X 



V 



?., 



w 



= -1 ; 



par conséquent les coordonnées d'une tangente quelconque à la seconde conique s'expriment rationnel- 
lement en > par les formules très simples 

a h 

U = -T- ' V — r- î W = — e. 

A 1— X 

Nous pouvons démontrer en passant que le pôle de celle droite par rapport aux trois sommets du 
triangle choisi dé(;ril une droite (ixe liée à ce triangle; en clfel, appelons h„, u„, «•„ les trois nombres 
précédents ; le pôle de la droite coi-respondanle par rapport ;\ la courbe impropre de troisième classe 
iivw r= a pour équation 

Il u II' 

uv^ii'o -\- oWoUo -^ wu„o„ = 0, ou 1 1 _ ; 



44 r.EOMÉTRIK ANALYTIOUE 



en remplaçant ii«, v„, hu par leurs valeurs, on obtient la série linéaire de points 

i/Â vi 1 — À) //• 

a II (• 

le lieu de res points est la druite qui Joint les deux points fixes 

" '' „ '' "' 

y =0, -r- -=0, 

a II oc 

droite dont les coordonnées sont a, 6, c. 

On démontrerait tout aussi aisémcnl que la polaire d un point quelconque de la conique par 
rapport aux trois cotés du triangle de référence choisi passe par un poini fixe. 

Ces deux résultats nous donnent en passant deux propriétés corrélatives d'une conique inscrite dans 
un trianple et d'une ronique circonscrite à un trian.L'Ie. 

Abordons maintenant la question posée. Dcsijinons, ii cet elTet, par >,, h, >., les paramètres qui 
correspondent aux entés d'un nouveau triangle quelconque satisfaisant aux conditions de l'énoncé et 
prenons ce triangle pour nouveau triangle de référence ; les formules de transformation seront : 

flU «V a\\ 

11= r -T h -^ , 

)., X, A, 



I 

6U l>\ AW 



puis : 



X 


= 


nx 


-r 


T 


-X, 


Y 




ax 






h 




X, 




1 


— x. 


Z 


= 


ax 

X. 


-+- 


r 





1— X, 1— Xj ^ 1— X, 

w = -ril- + V-h W), Z = --^ -h — ^ - cz. 

D'après ces formules, la seconde équation garde la même forme, et la première doit devenir 

n'TA + /;7X -(- c'XY = ; 

nous aurons donc les relations qui lient les paramètres X,, X-, X, en posant l'identité 

<i\/. 4- b7.\ -+^ .'XY ^^ y:+ î.r + ./;/. 

Cela nous donne d'abord trois relations qui se réduisent à deux, celles qu'on obtient en annulant les 

coellicients des carrés : 

fl'X, + //Xj -+- c'X, = et II' + 1)' -^ c' = ; 

puis, les trois autres que voici : 

-«'(t-x, - T^) = - À^ ■ -"'(y; -^'1) = - i' 






Ces trois nouvelles relations, rendues enlières,développées et simplifiées à l'aide des deux premières, 

deviennent : 

(|_X,){i-X,)(l-X,) 



Il ii'i-\-l>'i>\ -f-cXiXj = a.- 



n'X,X, -t- h%\i H . 'X,>, = h. 



abr 
^.X.X, 
ahr 



nhi- 



noUH en déduison* ai>éiiieiil 





'l'l'.l — 



1 (l~/,)(«-X,)(l-',) --. . ,., _ ^ 

(«I 

/ X,).,X,f l - X,)(i _ X,)(i _ x.) = - - . 

r 

la dernière pouvant i>c rem|ilaccr par Oc • ah — Q. 



GÉOMÊTRIK ANALYT[QUE 



45 



Cela posé, prenons un point fixe quelconque sur la conique C, par exemple le point qui a pour 
coordonnées 0, 0, 1 dans le premier système ; ses coordonnées seront Xn = Yo = Zo = — c dans le 
nouveau système et sa polaire par rapport à la cubique impropre XYZ = a pour équation 

XY„Z„ + YZ„X«^ZX„Y„ = U, 

X Y Z „ 

ou + -+ =0, 

ou enfin X -h Y -+- Z = 0. 

Dans le premier système, cette équation est 

ail — + 6'/! 

•' 1- 



ou 



ix?~, ■ 



«;/ 



X •' 1— X 

v(l_),,)(t-X, 



3c: r= 0, 



{l-X,)(l-X,)(l-X,) 
Oc 



Wcz = 0. 



Tenant compte alors des relations (1) et de —j- = — 1 qui en découle, nous pouvons érriro cette 



équation ainsi 



xSXiX, -t- .vS(l — X,)(l — X,) -H 3: = ; 



SX. = 



SX.Xj = 1^, 



posons alors 

elle devient 

\j..v + (3 — 2p -h |ji);/ -!- 3: =: : 

d'autre part, les deux premières relations (1) donnent, par addition et en se servant de Oc = — ah, 

a -Jr à 



1— ,; 



= 0; 



-(rt + h-^c) — i:. 



il n'y a plus qu'à tirer p de cette équation et à le porter dans l'équation de la droite pour mettre en 
évidence ce fait qu'elle passe par un point fixe, car on trouve ainsi 

et il est visible que cette droite passe par le point de rencontre des deux droites 

x — \j et M— 2 ; — |j/-f-3:=0, 

c'est-à-dire par le point dont les coordonnées sont 

c, c, 

Nous pouvons donner de cette propriété une deuxième démonstration qui n'exige aucune transfor- 
mation de coordonnées. Soit ABC un des triangles indiqués; menons 
à la conique (C) les deux tanf;entes en H et C et prenons le triangle 
ainsi formé, ABC, pour triangle de référence ; r<M|ualioii de la 
conique (C) sera y: — x- = et celle de la conique (C) sera de 

la forme 

Ar' -\- k"m'' -\- 2Bi7<.' -t- ïB'wu -H 2B"«u = 0. 

La première équation fournil immédiatement les coordonnées 

d'un point quelconque de iC) en fonction d'un paranièlre, x = /, 

y = 0, z — \, et les coordonnées des trois points A, B. C, avec les 

valeurs des paramètres qui leur correspondent sont : 

A '», 0^ 1, . < = '•, 

B 0, I, 0, / = X. 

C 0, 0. I, / =-0; 

les équations de AC et de AB sont respectivement 6a;- -;/ = 0, j— 0: = 0. 




40 



CONCOURS DK lîtOO 



Il faut exprimer niaintonant que ces droites soni tangentes à la conique ^C ), ce qui donne lesdeux 
relations A' — 28*6 = 0, A'o - 2B = 0, 



c'esl-à-dire 



A' = 2B'0, 



v = H. 



Icquatiun tangenliollo de la conique (C) est donc liiialeiiiciil 

B' 

B'Oyî _+- _ ,t,i + ^vir^Uiru -+- U"uv = 0. 

Cela posé, appelons 1. 1 et t" les paramètres dos sommets de Tun quelconque des triangles envi- 
sagés el exprimons que l'un des ciHés de ce triangle, le côté (/,/'), par exemple, est tangent à (C) ; 
nous aurons d'aboi"d, pour équation de ce (•ôlé, 

— ((-l-/')x + .v + ll'z = 0, 

B'/'/'» 
puis la relation 11"M -\ f liW — II' ll'{t -4 /') — B"(^ + t') - 0. 

Cette équation, regardée comme étant du second degré en /', admet les deux racines /' el /" ; nous 

avons donc snccessivement 

B'O .. Bt — li'i^ - B" 



II' = — 



B'I 



la iiremière est symétrique et donne lit" = 



et l'-i-f = 

nu, 



BJ 

II 



.((.-/) 



H' 



donne finalement 



^Jl'—ii^l- 



B^ 



la seconde se simplifie à l'aide de celle-ci el 
= U; 



n p- 

— = a, — — = ù ; nous voyons de suite que t, l' et t' sont les racines de 



posons alors Ï.I = ), 

l'équation du troisième degré P — >•<»-(- 'J(/ — a)l ■+■ hO = 0. 

A ce moment, désignons par X ^ — (/'-•- t')x + y+ t'l"z, 

Y = — (r-t-o*-t- ?/->-'"'=. 

Z= -(l-^t')x -h y -^ll'z, 

les premiers membres des é<|uations des trois cotés du triangle, par X„, Y,, Z„ les nouvelles coordon- 
nées du point U, Xo = Y, = Z, = 1, l'équation de la jjolaire de ce [joint par rapport aux trois côtés 
du triangle est XtY-+-Z = 0, ou — Irï/ -+- 3;/ -t- :i;/' — U, 

ou enfin — 2Xx -+- 3;/ ^- 'i, À — a)z — 0. 

Celle équation ne contiont le paramètre >• qu'au premier degré ; donc elle représente une droite qui 
passe par un pcnnt lixe. 



CtiNCOUHS IU-: l'.MMl Suite) 



♦S 



A,' 



A.. 



I:<;m|.K HF.S ponts et (,IIAI SSEKS /Ciours spéciaux.) 
Mi'cniiiqur. 

I. On .ih.iiidurini' en rtiutc libre, Dans vilcKNu iiiiIi,iIu,um |Miiiit iiiati'ripj pcsani A» ; re point, 
ayant parriiiirii un < lieiiiin A«Ai = <l, nu laisse lonilicr sans vlte^>-o initiale dr la même [msiliun 
initiale Ai. un serniul pnirit matériel pesant lt„. 

Au bout d'un certain lcnip«, leA deux puitils orcupcnl des positions A et U. 
('.alculer la dislnncc AR = l> en fonrtiun de d el de la hauteur de rliule A, A = /> du pre- 
mier point. 

Appliquer le n'-iultnl à l'ex-niple nunn'-riquc suivant : 
d ^ un centiiMiic de millimètre, 
h — :iO0 iiii'-Irps. 



CONCOURS DE.190Û 



47 



II. 



O 



Une barre homogène pesante AA' est attachée en ses exliéinités A et A' à deux fils inextensibles OA 
et Û'A' de même longueur et de poids négligeable; ceux-ci sont fixés eux-mêmes en 
des points et 0' situés sur une même horizontale et à uno distance 00' égale à la 
longueur de la barre AA'. 

On demande le mouvement que prend la barre AA' supposée lancée dans le plan 
vertical qui contient les points et 0' de manière que les fils restent tendus. 



C 



X 




C 

A 



/*ra' 






IJD 



Nota. — La solution de cette queslioii est presque dvidciilc (il sudil d'appliquer le théorème <les 
forces vives, par exemple, au muuvcuicut de la biii'rc). 

{Durée, 4 heures.) 

Analyse cl TrigonoiiuHric. 

I. — Un vase de forme hémisphérique et de rayon )• est alimenté par un robinet It 
dont le débit constant est donné. Ce vase est percé à sa partie inférieure par un petit 
orifice de section S qui laisse échapper le liquide avec une vitesse d'écoulement 
\l-lgU, h étant la hauteur du liquide dans le vase au-dessus de cet orifice, et g une 
constante représentant l'accélération due à la pesanteur. 

On donne le niveau initial du liquide dans le vase (déterminé par la hauteur 
initiale /'o) et on demande de calculer en fonction du temps les variations de ce niveau. 

II. — 977. — Deux points A et B, séparés par une colline, sont à une même cote 
de 48"',2(J3. 

D'un point C, situé au sommet de cette colline et ayant pour cote 163'",842, on 
mesure les angles 

a = (ilo32', ^ = 76°28', 

que font les directions GA et GB avec la verticale CD, ainsi que l'angle des deux plans 
verticaux ACD et BCU ; ce dernier angle est de 117<'l(i'. 
Evaluer la distance AB. 

[Durée, 3 h. 112.) 

Ji'pure de Perspective (feuille 1/2 grand-aigle). 



Une pyramide régulière de 70°"" de hauteur a pour base un pentagone régulier de 50°"» de côté. 

Un prisme droit a pour base un hexagone régulier de lO"'" de côté et une hauteur de 80""". 

Ces deux solides reposent par leurs bases sur le géométral, et les centres de ces bases sont à lOU""" de 
distance. 

On demande : 

1" De les mettre en perspective en supposant le tableau placé d'une manière quelconque par rapport à eux ; 

2' Ile chercher les ombres portées par les solides sur le géométral ou l'un sur l'autre. Le soleil sera choisi 
de manière à faire porter ombre par le prisme sur la pyramide. 

La hauteur d'horizon h = oO°"". 

Nota. — MM. les candidats donneront sur uue partie de leur feuille, l'épure, c'esl-à-dirc le plan et l'Alévafion des solidcii, cl 
sur une autre paitic le tableau. 

Ce dernier sera amplifié dans un rapport laissé au choix de MM. les candidats. On devra le faire aussi (;raud que possible. 

[Durée, 3 II. US.) 
Croquis et iJessln de machines. 

Première partie : Croquis (feuille 1/8 grand-aigle quadrillée). 
1" Sur une première feuille, l'aire au crayon, à main levée, le relevé géométral {plan, élévation et coupe) 
de l'un des objets placés dans la salle d'examen ; 

2» Keleverses dimensions (en millimètres), elles inscrire sur le croquis. 

On accordera 1 h. 1/2 pour cette première partie du travail, après quoi le modèle en relief sera retiré de la 

salle. 

Deuxième partie : Mise au .^tx (feuille 1/4 grand-aigle). • 

Sur une seconde feuille, mettre au net» à l'encre de Chine, à une échelle déterminée, le croquis précédent. 

Nota. — L'échelle est laissée à l'arbitraire de MM. les candidats, elle ilcvra ilrc choisie assez grande pour que la feuille soit 
bien remplie. 

L'échelle doit être dessinée ilans une partie libre de cette feuille. 

[Durit, 4 heures.) 



48 



ALGÈBRK 



QUESTIONS rMtOPOSKKS 



078. — 1" Ëlant donnée une équation du (rnisit^nie degré à roefricienls réels. 

iij:' + bx' + IX -H rf = 0, 

calculer la fonclion svmélrinue des racines 

Montrer que, sauf le cas d'une racine triple, cette quantité n'est nulle que si l'équation a deux racines imaginaires 
conjuguées. 

2" Désignant alors par 2 I.1 racine réelle et par i' -1- iv, u — l'r les deux racines imaginaires conjuguées^ 
trouver la relation qui existe entre a, u et o. Calculer n et r sachant que 2 = 1 et que les modules des deux 
autres racines sont «''paux à t. Konner l'équation du troisième degré correspondante. 

979. - On lionne une ellipse (K) et une par.ilxile (l'i tangente aux axes de (K). Montrer que les normales 
.'1 l'ellipse aux quatre points de contact des tangente.s communes avec la parabole sont concourantes en un point 
.M de la directrice de la parabole. 

Trouver les courbes enveloppes de lu polaire du centre de *E), de la tangente au sommet, de l'axe delà 
parabole iP); trouver les lieux du foyer I', du sommet de (Pj, et enfin l'enveloppe de la droite MF, lorsque la 
parabole P varie, le point .M étant assujetti à rester sur un cercle concentrique à (Ë). 

Vasmeb. 

980. — Tliforbme à démontrer. — Si l'on mène la normale en un point quelconque M d'une conique à 

centre, que l'on désigne par I son point de rencontre avec l'ave non focal et par V l'un des foyers, le rapport 

W 
Yû est constant et égal à l'excentricité de la conique. 

(Communiqué à la Itrvue par .M. D. A.noiie.» 



DEUXIEME PARTIE 



ALGKBHE 



925. — n, é, f diHignenl tes racines de l'équation 

A.r ' -+- Bj' 4- C.r -t- D = 
qui e$l supputée n'avoir que des racines simples. Calculer les vnteurs de x, 1/, ; qui vérifient le si/slème 

C B 

X -H y -H ï = -, a.T-\- In/ -H c: = 3, n^x -h b'y -h c*z = • 

U A 

Montrer que re syttème ti' est jamais impo.^xible. même quand l'équnlion proposée a une rnrine multiple 

Supposons que les racines de rëqualion donnée soient inégales. 
Lo déterminant des cocfllcienls des trois inconnues .r, ;/, : est : 



A = 



I 



1 

c 

r' 



(I 

n — l, 

rt> — //« 



I) 
A- , 
//' — c» 



= {a — b){b—c)(c — a). 



Il est, d'apn'-s l'hypothèse failo, dilTérent de 0. 

L'ajtplicalion de la règle de Cramer donne alors les valeurs des inconnues : 

-(bc'-b*c)^-3{c'-b*)-^{c-b) (ac'-aV)-^H-3(c'-o»)-h-5-(c-«) 

X = : rrr-. -Oi j, = » ^ 



{a — b)[b — c){c—a) 



{a-b)[b-c){e-a) 



ALGÈBRE 



49 



Mais, on a 



-[ah^--a^-b) ~+ 3(62 _ „2) - 1(6 _ «) 

[a— b){h — c){c — a) 






ah -H 6c -f- ca 

llljC 



B , 

— = « + 6 -t- c ; 
A 



et l'on trouve, en effectuant, pour valeur des inconnues 

(6 — c)\ — hc(ab -H éc H- ca) -+- 3(6 + c)al)C — abc{a -t- 6 + c)] 



X — 



abc[a — 61(6 — c)[c — a) 

_ — bc{b — c)(a6 -+■ ac — bc — a-] _ -4- 6c(6 — c)(c — a)(a — b) 
~ nbc{a — b){b — c){c~a) ~ abc{a — b}{b—c){c—a) 

ou (1) .!■=—; 

a 
de même pour y et : 

(2) y = | et (3) ?/ = — 

On peut dès lors vérifier que même dans le cas d'une racine multiple, ces valeurs de x, y, z satis- 
font aux équations proposées; alors le déterminant A étant nul, le système admet nécessairemenl une 
inlinité de solutions. 

Nous allons chercher une démonstration directe. 

Supposons, par exemple, que l'on ait 6= c; le déterminant A sera nul, et on pourra prendre pour 
déterminant principal 



S = 



S' = 



6- 
1 



1 

abc 



b 


3 


6- 


(«4-6 


abr 


nb -h bc 



■C) 



en 



a b 

II- b- 

Le seul déterminant caractéristique correspondant est : 

a b 3 

_ B 

A , ou 

OU encore, en développant, 

S' = 4- \nhc( — 3b^ + ab-hb'-hbc) — abc(a-'-hab'^ac — 3a"-)-i-{ab-i-bc-{-ac){ab^—aH)] 
abc 

1 i 

= -r- ïabci — 2b'- -h ^a- -i- bc — ac) -+- (ab ^ bc -\- ac)(ab- — a-b)] = — {a — b)(b—c){c—n) 
abc ^ ^ c 

Ce déterminant étant nul, on en conclut que le système des équations données est toujours possible, 

même dans le cas d'une racine double. Dans ce dernier cas d'ailleurs le nombre des solutions est infini, 

on les obtient toutes en donnant à l'une des inconnues :, par exemple, une valeur arbitraire k. On 

trouvera, pour chacune des deux autres, 



0. 






1 

a II 

Enfin si l'on suppose qu'il y ait une racine triple, on remarque que les trois ('■qualions données se 

réduisent à une seule, x + >j-h: = —; par conséquent il y a une double inlinité de solutions, on 

peut prendre arbitrairement deux des inconnues. 



t 1 < . 

Remarque. — En remplaçant — et ^ par — -^ Y~^~ " 



C , 11 

que de suite que les équations peuvent s'écrire 



l'ELVOlSlN. 
6 + c, on remar- 



n 



50 (lÉOMÉTRIl-: ANALYTIQUE 



I i 

n II 



"■('-l)*"(»-|)-(=-l)=°- 



par ronscl^qucnt elles onl la solution évidente a- = — . y = -p : = — . En posant r = — --4-a;', 

y = (- w' : = 1- :', on est ramené à un système homogène très facile à étudier. 

^ b r 

Solutions sttisfiisanles : MM. F. l'^.r.oiiiEii ; Ralaiian. 

♦ 



GÉOMKTRIE ANALYTIQUE 



914. — Oh considirr \in cercle {(.) cl un point A sur ce cercle ; xoit M un poitit du pin». Par le point 
A on vxfuc des parallèles mtr couples de droites conjuijuécs qui pussent en M; les cardes qui joignent à 
chaque fois les cxtrémilés de l'un de ces couples sur le cercle passent par un point fixe M'. Trouver les coor- 
données de M' en fonction de celles de M et rèciprotniement. 

1° Lorsque M' parcourt une droite (D), le point M se meut sur une conique (K). Trouver l'enveloppe 
des droites (D) pour lesquelles la conique (K) est un système de deux droites . 

2* Trouver le lieu des foyers de la conique (K) quand la droite (U) tourne autour d'un point fixe. 
Examiner en particulier le cas oii ce point fixe est sur le diamètre perpendiculaire à celui du point A. 

Nous prendrons pour axo des .r la tangente en A au cercle (C) et pour axe des y la perpendiculaire 

à cette tangente en A. et nous désignerons par i et ^ les coordonnées du point considéré, M. Ola posé, 

le cercle donné a pour équation .r'-t- ;/' — 2.17 = et les deux droites conjuguées passant en M, 

y — ^ = m(jp — a), y — ^ = m'{x — 3.). La polaire d'un point (.r, y) par rapport au cercle est 

\x -4- Y(»/ — a) — ay = ; en l'identifiant avec la première droite, Y — p = m(X — »). nous avons 

les relations 

X II — ;/ a;/ 

m ~ 1 niï — fi 

qui nous donnent les coordonnées du pôle de cette droite ; ce calcul, très facile, fournit les valeurs des 
coordonnées du pôle 



^ = T' V = 



«(m» — P) 



a -+- m» — ^ a-+ mr - p 

en perlant ces valeurs dans l'équation de la seconde droite, nous obtenons la relation ijui existe entre 
les coellicients anj-'ulaires des deux droites conjuguées; cette relation, développée, est : 

(l) (a« - a»)mm' -(- a('J— fl)(»n + m') +P'- ia'fl = 0. 

Soit alors i/r-+- m/ -+-!/• = l'équation de la droite qui joint les extrémités des cordes du cercle (C) 
menées par le point A pnrallMenienI aux deux ilroitesde coellicients angulaires m et m' ; les deux rayons 
qui jnipient l'origine aux points de rencontre de celte droite avec le cercle ont pour équation 

fi'(jr' +■ y*) -4- 2rti/(«T -+- ri/) = ; 
leurs coedlcienl» angulains sont donnés par l'équation 

((/' -4- frti))»»' i iaum -+■ If = 0; 
en exprimant que ses racines satisfont ii l'équation (1), nous avons entre m, r, »•, la relation 

11*— n')w — 2«(a — ^)au -+- (^* — 2o?)(m' -4- iav) = 0, 
ou 2a«(^ — a)u -+- ial^ — ia^)v -4- («• -4- P» — 2«p — fl')«' = 0. 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 51 



Cette relation exprime que la droite nx-\-vi/ -{-w = passe par un point fixe dont les coordonnées 

sont 

,.^. 2aa(p-a) 2a^(p-2a) . 

^'' a-^ -t- P'- — 2r/? — a^ ' ' a> -^ ^2 _ t>a^ — a'- ' 



ce sont les coordonnées du point M' en fonction de celles du point M. 

Réciproquement, si nous nous donnons le point M' (ot', ^'), nous voyons que le point M est donné 
par l'intersection des deux coniques 

3.'(x- -\-ij- — 2ay — a-) — <iax(y - a) = 0, ^'[x^ + if — lay — a^) — 2rti/( j/ — 2a) = 0, 

équations dans lesquelles nous avons mis a? et j/ à la place de a et p. Il y a donc quatre points M qui 
correspondent au point M' donné. Or les deux coniques précédentes, qui déterminent ces points, ont le 
même centre, le centre du cercle, (0, n) ; en portant les axes parallèlement à eux-mêmes en ce point, 
leurs équations deviennent 

a'(a;2 M- j/2 — 2n2) _ laxy = 0, ^'(x^- -hy'^ — 2"-) — 2aiy- -1- 2a' = ; 

elles se coupent donc en quatre points, deux à deux symétriques par rapport à la nouvelle origine; 
ces quatre points sont situés sur deux droites passant à la nouvelle origine et le problème qui les déter- 
mine est du second degré. Les deux droites dont nous venons de parler s'obtiennent aisément en éli- 
minant la variable d'homogénéité entre les équations nouvelles des deux coniques; elles ont pouréfiua- 

tion 

a'(,/2 — x^) - 2(?'— rt).ry = : 

ce sont deux droites rectangulaires ; par suite les quatre points M qui correspondent îi un point M' 
forment un losange. Le calcul des coordonnées de ces points se poursuivrait facilement. 

1. Désignons maintenant par x et y les coordonnées du point M et exprimons que le point M' par- 
court une droite fixe (D), ux -^- inj -\- w = ; nous aurons immédiatement l'équation do la coni- 
que (K), 

(3) 2«( iix(y — a) + ^avy{y — 2a) -+- ir(x'' ■+■ y' — 2ai/ — a-) = 0. 

Cette conique a aussi pour centre le centre du cercle, (0, a); en portant les axes parallèlement à eux- 
mêmes en ce point, son équation devient 

M'.r^ + 'inuxy -h (w -h 'iav)y- — S^-fw -+- av) = 0. 

Elle se réduit à deux droites dans deux cas : ou bien quand le terme constant est nul, ce qui donne 
,/. 4- au = 0, condition qui exprime que la droite envisagée passe au point (0, a), centre du cercle ; ou 
bien quand l'ensemble des termes du second degré forme un carré parfait, ce qui donne 

ir(w ■+- 2'iu) — a'n- = 

Cette relation, du second degré en u, v, /r, montre quo par tout point du plan il passe deux droites 
de l'espèce envisagée ; elles enveloppent donc une conique. Nous aurons l'enveloppe de ces droites en 
exprimant que par un point du plan il passe deux droites confondues. Soit (.r, y) ce point, les den\ 
équations qui di'terrninent les droites passant en ce point sont 

ux -t- uy -^- "• = 0, w{it' H- 2ai') — a'u* = ; 

en éliminant v entre elles, nous avons une équation homogène en 1/ et //• qui détermine le rapport 

— ou — correspondant à ces droites ; celte équation est 
m; M 

nh/u'-\-ia.niir -h(-2a — y)u!* = ; 

écrivons qu'elle a une racine double et nous aurons renvelop|)e. Nous trouvons ainsi le cercle proposé 

(4) x*-\-if — iny = 0. 



32 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



2. Pour traiter la troisièmo partie nous désignerons par «' et ^' les coordonnées du point fixe, et 
nous aurons entre u,v,w la relation «/a' -h rP' h- «• = ; portant celle valeur de w dans l'équation 

de la conique (K), nous obtiendrons, avec un changement de 
signe, 

»/[a'(x' -i- yi — "iay — a'') — 2a.r(y — a)] 

-t- t«[?'(x« H- v' - iay - «') - iay{y - 2o)] = 0. 

Celte équation représente le faisceau linéaire des coniques 
qui passent aux quatre points M qui correspondent au point 
(a', p'); elle i)eiil donc se simplifier considérablement. Prenons 
en effet puur axes les deux diagonales du losange formé par ces 
quatre points ; désignons maintenant par a et h la demi- 
longueur des diagonales de ce losange ; le faisceau des coniques 
passant aux quatre points pourra être délini par lellipse qui a 
pour sommets ces quatre points et par le couple xi/ = qui 
représente les axes ; l'équation générale des coniques du 
faisceau est donc alors 

2ÀXI/ 




+ 



— ) =0. 



n' f ab 

Les hyperboles focales qui correspondent à cette conique sont 

(,3 _ tii)f 1 _ ).s) _ c^ = 0, c« = n^- — b\ x?(l — ).î) -(- ^tMb = ; 
il n'y a plus qu'à éliminer / entre ces deux équations; or, la première donne 1 — ).^ = — — 



puis, 



la seconde, > = — 



c'a? 



portant cette valeur de À dans l'expression de 1 — ).*, nous avons 



ni(ï»— a») ' 

l'équation du lieu du point (a, ^) qui a été supposé foyer. 
Le lien demandé est 
(5) (x'_y«)«_-^.TV-c';j'-v') =0. 

Quand le point fixe est situé sur le diamètre perpendiculaire à celui du point A, il n'y a pas de 

changement essentiel ; seulement les nouveaux axes étant parallèles aux bissectrices des anciens, le 

changement de coordonnées indiqué est plus facile à eflectuer. 

r,. FONTAINE, lycée Condorcet. 

HiMAnoiEs cftoMÉTRiouEs. — Les droites conjuguées qui passent on M décrivent un faisceau involu- 
tif dont les rayons doubles sont les tangentes. Ml" ol M(î, issues de ce point. Les parallèles menées par 
le point A décrivent aussi un faisceau involulif et l'on sait que les cordes relatives à ce faisceau passent 
par un point fixe ; si l'on mi'-ne par le point A les parallèles ii MF et à MG, AC et AH, les tangentes 
au cercli! ru C et B sont deux cordes particulières ; elles se coupent au point .M' ; le point M est eiicore 
sur le diamètre El) qui correspond aux deux bissectrices de l'angle FMti. 

Ilt'ciproqiK'inent. si on se donne le point M', et que l'on mène par ce point les tangentes au cercle 
M H, M't>, le point M csl sur l'une ou l'autre des tangentes parallèles à AU et sur l'une ou l'autre des 
tangente» parallèles à AC ; il y a donc quatre positions de M qui sont les sommets d'un losange cir- 
consrrit au cercle. Les diagonales de ce losange sont parallèles aux bissectrices de l'angle BAC ; ce 
sont donc, *n direction, les droites qui joignent le point A aux extrémités du diamètre qui passe 
en M'. 

Solution géométriqua. — I.01» droite* ronjuguèpR poMant par M «ont ronfondui-s, lorsque l'une d'elles 
Ml II rff nlr au rorcle «; . Il m r^>ulte que M' e»l ii l'interirclion de» tangentes au cercle en ses poinU» de ren- 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



53 



contre G, H avec les parallèles menées par A aux tangentes issues de M. A un point M correspond donc un seul 
point M'. Réciproquement, si M' est donné, les directions des tangentes issues de M sont seules déterminées, et 
les points M correspondants sont les quatre sommets d'un losange circonscrit au cercle (G). 

1 . Nous allons montrer que lorsque M' se déplace sur une droite (D), le lieu des sommets de ces losanges est 
une conique (K) concentrique au cercle (C). P et Q étant les points d'intersection de (G) et de (D), les dilTérents 
couples de droites AG, AH sont conjugués par rapport à AI', AQ. Si l'on projette la figure de façon que les points 
il l'infini sur AP, AQ deviennent les points cycliques, le cercle (C) se transforme en une conique concentrique, et 
le problème revient à trouver le lieu des sommets des rectangles circonscrits à cette conique, lieu qui est un 
cercle. En revenant à la question proposée, on voit que le lieu des points M est une conique ayant pour asymp- 
totes les parallèles menées à AP, AQ parle centre du cercle. Un aperçoit facilement qu'elle rencontre le cercle 
(C) aux points de contact des tangentes parallèles à AP, AQ (M' venant en P ou en Q). 

La conique (K) est un système de deux droites lorsque la droite (D) est tangente au cercle (C). P étant le 
point de contact, la conique (K) se décompose évidemment en les deux tangentes parallèles à AP. 

2. La droite (D) tournant autour d'un point fixe l'', un des losanges est fixe : c'est celui qui correspond au 

cas où M' est en F. Ur le lieu des foyers des coniques circonscrites à un losange ou à un parallélogramme est, 

comme on sait, une courbe du quatrième ordre. On peut d'ailleurs le montrer par un raisonnement élémentaire. 

Si l'on se donne les axes de la conique circonscrite, celle-ci est déterminée, ce qui montre qu'il y a deux points 

du lieu des foyers sur toute droite passant par le centre du parallélogramme. Pour que les loyers viennent en 

0, il faut que la conique se réduise aux diagonales du parallélogramme. Ce cas limite se présente lorsque les 

axes de la conique viennent se confondre avec les bissectrices de l'angle des diagonales du parallélogramme. La 

courbe, lieu des fovers, est donc une quartique qui a un point double réel en U. 

" H i 1 F VASNIER. 



926. — Par un point M d'une parabole donnée, on mUne deux cordes MMi et MM. également inclinée 
sur l'axi' de la parabole. Soient I le milieu de la corde M, Mo ri H.K les projections de M el de I sur l'axe. 

l" Montrer que la figure MHIK est un parallélogramme . 

2° Trouver t'enveloppe de MiM, et le lieu du point 1 i/uand In direction dr MM, reste fixe et que le point 
M décrit la parabide donnée. 

1. Soit y' — Ipx = l'équation de la parabole rapportée ii son axe et à sa tangente au sommet, 
et xo, Vo les coordonnées du point M. Nous avons i/o' — -V^a = 0. 

Désignons par m et — m les coefncients angulaires des cordes M.M, el 
MM,. L'équation de MM, est y — ;/„ = m(.c — .r») ; cette droite rencontre 
la parabole en deux points dont les ordonnées sont racines de l'équation 




ou y- 



■2p %p ) 



.V-î/o = '"^2^— -oy "" -J -'«-■\-2p 2p 

Cette équation admet la racine ;/ — i/o correspondant au point M, et 

2» 
une autre racine »/, =—»/, + --' ordonnée du point M,. 

L'ordonnée du point Mo est alors i/j = — y, — -f-- et par suite, celle 



du point I, 



?/i ■+- ?/2 



est égale à —i/o 



Les points M cl I ayant des ordonnées égales et de signes contraires la ligure MlllK est un paral- 
lélogramme. 

2. Soit ux-i-vij + w = l'équation de la droite M, M,. Celte droite rencontre la parabole en 

deux points dont les ordonnées vérifient l'équation mf- + 2/)/)»/ -H 2p;f = 0. 

~p 
Écrivons que cette équation admet pour racines — Wn H et 



Vu — 



c'est-à-dire 



4/)' _ 
qu'elle est identique à l'équation (y + Vo)' — "^ = *^- 



34 



CONCOUHS DE 1900 



Nous obtenons ainsi 



= ^ = 



ipw 



llo- - 



4p» 



par suite l'équation de MiM, est 



P 



y»'- 






ip 



— 



ou (1) 



2pj- 



-yyo -+- y»' 



4;,' 



= 0. 



Pour avoir lenvcloppe de cette droite, nous écrirons que celte équation en «/„ a une racine double, 
ce qui donne 

4/>» 



Ki) 



r 



2px-i- 



m= 



= 0, 



équation d'une parabole égale à la parabole donnée et ayant même axe. 

Le point 1 est déterminé par léqualion (1: et la suivante i/ = —y,,. L'équation du lieu de ce point 
s'obtient alors en remplaçant •/„ par —y dans l'équation (1), nous obtenons la parabole (2). 

II en résulte que le point I est le point de contact de la droite M,Mj et de son enveloppe. 

PELVOISIN. 

Bouoes solutions : MM. J.-l). boFAUT, école primaire supi5rieiirc (l'Aiguilloo; 
Lucien Maure.n, insliluliuu Saiate-Marie, La Seyoe-sur-Mcr; P. TRiiiiKn; J. Weiss, 
lycée de Bsr-le-Dur. 

Solution géométrique. - 1 . La tangente en M et la corde 
.Ml M.: étant égaleiiienl inclinées sur l'axe de la parabole, les diamètres 
MX, M'X' de ces directions sont symétriques par rapport à l'axe. 
D'oii il résulte Mil = IK. 

2 .Suppuson.s plus {îénéraiement que, M décrivant la parabole 
donnée, les cordes M.Mi, MM^ aient des directions fixes, d'ailleurs 
quelconques. .Menons les diamètres m,x„ iiKJi des cordes M.Mi, 
MMi. Nous avons M(M,M'M2X) = M'iM.M'MoX') = — 1, ce qui nous 
montre que M.M' passe par les milieux wi, n> des segments niim'i, 
mj/;('j. Comme, d'autre part. Ml passe au milieu i de ?»ii/Hj, iin et 
iiv,, parallèles .1 M.Mj et .M.Mi, ont des directions fixes; et le triangle 
riiins, dont les sommets >e déplacent sur des diamètres fixes, reste de 
grandeur constante. M'] = 2»i'i étant par suite constant, le lieu de 
I est une paraliole égale à la proposée, et ayant même axe. Comme 
d'ailleurs .MiMj est parallèle à la tangente en .M' à la parabole 




donnée, l'enveloppe de la droite W.Ms coïncide avec le lieu du point I. 



VASNILR . 



COiNCUUUS DE l'JOO [Suite I. 



ECOLE CE.NTItALE (Deuxième Session.) 
Giiométrie analytique. 

981. — Les axe» de coordonnées étant rectangulaires, on considère la conique C qui a pour é(|ualion 
y' — 2px = (», et un point P de son plan dont les co()rdoniu''es sont désignées par a, [i. 

1" Former Tt^qualion de la li(;iic S «pii limite la région du jilan dans laquelle doit se trouver le point 1', pour 
qu'il existe trois normale» réelles et disliiicles à la coniipie C issues de ce point I'. Tracer la ligne S. 

•i' Irouxer le lieu S' du point P pour lequel l'une des normales PQ à la conique (". passe par le milieu du 
segment intercepté 5ur l'axe Ox par le» deux autres. Urduir(' graphiquement la ligne S' du tracé de S. 

3» Les pieds de ce» deux dernière» normales étant .M et .N, trouver le lieu V du p(Me de la corde .M.N. quand 
le point P parcourt la ligne S'. 

4" Le pied de la troisième normale étant (J, trouver le lieu du pùlc de chacune des cordes y.M, QN. 

5" nuel e^l le i,..mlirc des poinU P tels que deux des normales à C, issue» de ce point, soient rectangulaires, 
et que lune d'elle» passe par le milieu du segment intercepté sur Ox par les deux autre» ? Construction gra- 
phique de ce» points. 

{SI tcpttmhrc, de 7 II. à Jl A.) 



CONCOURS DE 1900 



S5 




Physique et Chimie. 

I. ^ Décrire la mélhode adoptée par Regnault pour détenninerla densité des gaz. 

II. — 982. — Démontrer que le rayon incident Sli et le rayon émergent IjK 
sont équidistanls du point M d'intersection des normales aux points d'incidence et 
d'émergence. 

III. — Pero,\yde de chlore. 

1\'. —983. — Calculer la clwleur de formation de l'acétylène en partant des 
éléments. 
La chaleur de formation de l'anhydride carbonique est 94 calories 3. 
La chaleur de formation de l'eau est 09 calories. 
La chaleur de combustion de l'acétylène est 'il"> calories 1 . {21 septembre, de 3 h. à 5 k.) 

h'pure. 
Intersection d'un cône et d'un cylindiie 
984. — On demande de déterminer la projection horizontale de linlersection d'un cône et d'un cylindre, 
os surfaces étant définies de la manière suivante : 

1° Le cône a s.i liise contenue dans un plan donné par sa trace horizontale IIH (U sur le côté gauche du 

cadre à 240™'" du côté supérieur, H sur le côté supérieur 
à 180""" du côté gauche) et son angle — 00° avec le plan 
horizontal, de manière que le rabattement de la ligne de 
plus grande pente soit aP'. 

La base de ce cône est un cercle tangent en A au plan 
horizontal (A milieu de llli), son rayon est de 65°'"'. 

Le sommet du cône est le point S du plan horizontal (la 
droite SA fait un angle de 50" avec RII), la longueur 
AS = 320"'"'. 

2" Le cylmdre a sa base contenue dans un plan donné 
par sa trace horizontale L^K parallèle aux grands côtés 
du cadre et son angle = 40° avec le plan horizontal. Celte 
base se projette horizontalement suivant un cercle ui tan- 
gent en fi à la droite LK, le rayon de ce cercle est de 70""". Les génératrices du cylindre sont horizontales et paral- 
lèles à la droite RIi; celle qui passe par ? rencontre la droite .\S au point A tel que .\i = 140°'°'. 

On représentera le cône opa^Ki' en supprimant de cette surface la portion comprise dans le cylindre, cette 
dernière surface étant enlevée, On limitera le cône au plan de la base donnée. 

On construira ensuite à la place indiquée sur l'épure la projection horizontale du solide commun au cône et 
au cylindre en admettant la transparence des surfaces qui limitent ce solide. 

Les constructions nécessaires à l'obtention d'un point courant et de sa tangente, ainsi que celles exécutées 
pour la recherche des contours apparents ou des points et tangentes remarquables seront tracées à l'encre rouge. 
Cadre d« 270""' sur 4.')0°'°'. Titre intérieur: Cônk k.ntaillk par un cvi.indhe. 

Titre extérieur : Gkomktrie deschu'tive. Reproduire sur l'épure les données numériques. 

'J'rigoHomélrie. 

CALCUL 

I. — 985. — Donner l'expression générale des angles x qui satisfont à l'équation 

cos ^[i, 
sachantque « est le plus petit des angles positifs tels que cotg' a = — 0,3ji8o0 8, etque '^ = I32"2S 21 ,11. 

PROULÎCMK 

II. — 986. — On considère un triangle ABC et un point D pris sur BC. 

I» Trouver la condition nécessaire et sufdsante pour que les rayons des cercles circonscrits aux triangles 
ABD, .\CD soient respectivement proportionnels aux segments RI) et DC. 

2° Cette condition étant remplie, chercher celle qui doit être satisfaite pour que l'on puisse construire un 
triangle avec les données AD = i, RC = a et l'angle A. ^^ 

3° Construire graphiquement le triangle ABC, sachantque a = 9"", t — H"" et A = 64". 

{SS ieptembre, de i' h. ii 5 li.) 




^Q^-WB. 



Ig ' T = S'"' " ■ 



m 



OIESTIONS PllOPOSÉES 



ÉCOLE DES PONTS lîlT CHAUSSÉES Cours préparatoires). 

.\liji''On'. 
987. — Dans un triangle ABC, astreint à avoir les an^rles à la base B et C aigus, on donne ta base 
A 



BC = a, 

Ali+AC = / des deux autres côtés. 




la hauteur Ail = /< issue du soinniet A et la somme 

Calculer ces deux côtés AB = .<■ et AG = ;/• 

Discuter et déduire de la discussion le maximum et le minimum de / en supposant 
qu'on fasse varier cette longueur en laissant a et A invariables. 

Indiquer les formes du triangle qui correspondent au maximum et au minimum 



de I. 

Lavin (feuille 1 8 grand-aigle). 

Kaire à l'encre de Chine et à teintes plates ou à teintes fondues, le 
lavis d'un cylindre terminé |)ar deux demi-sphères. La surface du solide 
sera supposée dépolie. (In ne passera pas de teinte sur le fond et on se 
conformera aux cotes indiquées en millimètres sur le croquis ci-contre. Les 
traits du cadre et les contours apparents du solide seront passés à l'encre 
avant de laver. Le rayon luniineux est le rayon ordinaire à tï°. 

{imih; 3 h. ijS.) 

Géomi'lric analytique. 

988. — Lieu du centre C d'un cercle qui 
louche un cercle donné O et coupe orlhogonale- 
ment un second cercle également donné (.)'. 

Épure (feuille i/'t grand-aigle). 



( Durée : .V ft. t/S.) 





{Durée, 3 h. i/2.) 



Un donne les pointa (a, a') et (b, b'j dont les lignes de rappel sont à des distances 
du centre de la feuille, et dont les cotes et éloignements sont: 

aa' = 6'"°', '^b' = iH"", in = 8''°', pfc = C". 

Dans le plan qui passe jiar la droite [ab, db') et qui fait, du côté droit de ab pour 
un observateur placé en a et regardant le point b, un angle de 45° avec le plan hori- 
zontal, on construit l'hexagone régulier dont (ab, db') est la diagonale. 

On construit ensuite les trois cercles avant |iour diamètres les diagonales de 
1 hexagone et dont les plans sont perpendiculaires à celui de cet hexagone, c'est-à-dire 
dont un diamètre est dirigé suivant la perpendiculaire à ce plan élevée par le centre 
de l'hexagone. 

Par deux de ces cercles on peut faire passer un cylindre ayant ses génératrices paral- 
liMe» à la diagonale qui sert de diamètre au troisième cercle. On définit ainsi trois cylindres. 
Iteprésenter le solide commun à ces trois cylindres. 

Le contour apparent et les arêtes du solide obtenu seront dessinés en noir, les parties cachées étant en 
pointillé ; les lignes de constructicm seront en rouge, les côtés de l'hexagone en bleu. [Durée, 3 h. US.) 



QUESTIONS PROPOSÉES 



989. — Par un point fixe A de l'axe d'une parabole (m mène un rayon variable AM qui rencontre la para- 
bole en M ; on prend la projection II de ce point sur l'axe et le symétrique A, du point A par rapport à H. 

Trouver les lieux de la projection de A sur MA,, de la projection de Ai sur MA et de lorthocentre du 
triangle MAA|. 

Construire ces courbes quand le point A est nu fdjcr. IC.-N. Baiusikiii. 

990. — \a:* point» A, B. C étant fixe», par ItC on fait passer un cercle variable qui rencontre Ail et AC 
en If cl C. Trouver le lieu du pôle de B'C' par rapport à ce cercle. 



Erratum : N" de «cpicnibrc l'JOO, page 606, énoncé UCÎ : au lieu de ;>e»-ce lejilan polaire du point P, lire perce 
If plan polaire du pomt M . 

Le liédacleur-Gërant : II. VLlBEilT. 



■A»-Ui-i«c. lar. caaTB-iÀGgbKi. 



11* Année. 



N° 3. 



Décembre 1900. 



REVUE DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES 



PREMIERE PARTIE 



N T E 

.!.■ M. Th. Leconte, professeur ilo Mathémiiliinics spi'i'ialcs an lynrn de X.iiilos. 



Voici une application simple de la représentation paramétrique des points d'une conique. II s'agit 
d'une solution de la question d'examen suivante : 

l.rs géncralrices d'un mrme si/slème d'une quadriqui^ trareiil sur deux cercles parallèles de lu i/uadrique 
des arcs semblables. 

Soient deux coniques C et r tracées sur une quadrique. Une génératrice G les rencontre en M et ;*. 
Si G varie en restant dans le même système, il y a entre les paramètres / et ilélinissant les points 
M et ;ji une relation qui est homngraphiquc 

(1) a<0 4- /;/ + rO -+-(/ = 0. 

Les deux coniques G et r ont deux points communs. On pourra, on opérant des transformations 

homographiques sur / et 0, faire que ces points communs soient obtenus sur les deus coniques par les 

mêmes valeurs, clioisies arbitrairement, des paramètres. Ces deux valeurs seront alors racines de 

l'équation 

nr--h(b-\-c)l-{-d = 0, 

et on pourra les prendre égales ;i elx si les points communs aux deux coniques sont réels, à zLi 
s'ils sont imaginaires. Dans le premier cas, la relation (J) (trendra lu Ibrmc 



(-2) 
et dans le second, 

(3) 



= G" 



C". 



Supposons maintenant que G el r soient deux cercles parallèles. Rappelons que la représentation 
unicursaie classique d'un point M d'un cercle de cenlre O consiste à prendre pour paramètre 

t = tg —, o étant l'angle AOM, A élaiit un point llxe quelconque du cercle. De plus, les poinis à 

2 

l'infini du cercle sont donnés par les valeurs ± i de t. 

Employons celte représentation pour les cercles Cet l" de manière (jue les origines A el » prises 
sui- eux soient les traces d'une génératrice de même système que Mu. N'ius pourrons appli(|Ui'r la nda- 

lion(:i) qui existera entre Ig-^ et Ig^- Mais comme pour / = on aura t = 0, elle se réduiru 

à t — it ou encorei <p = •!/. 

La proposition est démontrée . 



58 



RECTIFICATION 



HECTIFKJATION 




MM 



Dans mon article du n" I de celte année, il y n une erreur qui ne change d'ailleurs rien au principe de la 
démonstration. Les sommets des polygones singuliers circonscrits ù 1' et inscrits dans V ne sont pas tous con- 
fondus au point de contact d'une tangente commune. Si, en eiret, du point Ai (Hg. 2 de l'article), on mène, comme 

tangente à V, la tangente commune, elle rencontre bien V 
en un point As confondu avec A|, mais ensuite, il faut de A^ 
mènera 11 une tangente diffi'rent,- delà précédente, ce qui 
donne pour troisième sommet un point différent de A|. 

Kn conséquence, il faut supprimer les trois lignes 8,9, 10 de 
la page 2, depuis les mots ■• Ce sont les quatre points •< jus- 
qu'aux mots <> avec les points AsAj. . . A^+i.. . " et les remplacer 
par ce qui suit : 

a Soit d'abord p impair = 2// — t (sur la figure 
V = 3). 

.Menons une tangente commune aux deux coni(|ues; ap|)e- 
lons A;,' son point de contact avec V. {Nous allons voir tout à 
riieure la raison de cette notation.) De Kp menons à U la 
tangente autre que la précédante. Klle coupe V en S,.- i. De A,,'-i menons la tangente autre que la précédente ; 
elle coupe V en Aj,-j, et ainsi do suite jusqu'à un point Ai. 

Si l'on part du point A., en menant à la conique l la tangente AiA.., ce qui donne un premier côté AiAj 
d'an polygone, puis, du point At, la tangente \±Ki, ce qui donne un second coté A;>Ài d'un polygone et ainsi de 
suite, on arrive au cùlé A,^_iA,.'. Arrivé à ce point de la construction, si l'on mène de A,/ une tangente à l' 
dilférente du coté A,/. ,.\,.', cette tangente n'est autre que la tangente commune, de sorte que A,,'+i coïncide 

avec .\;,'. On voit alors immédiatement qu'en continuant la construction, on repasse aux sommets A,/ i, A,,'--2 

et qu'on revient en Ai après 2/)'— 1 opérations. On obtient ainsi un polygone de ip'—K cùtés inscrit à V et 
circonscrit à li, mais qui n'est pas un vrai polygone, puisque le (p'-|-l)'""' sommet coïncide avec le p'«"^'', le 
(/>'-»- 2)-»'- avec le [j/— l)imo, et ainsi de suite. 

Il faut d'ailleurs remarquer que si l'on parlait d'un sommet de ce polygone autre que A,, on ne trouverait pas 
un polygone de 2/j' - 1 ciHés inscrit dans V et circonscrit à U. Supposons en effet qu'on parte de A», il est évi- 
dent qu'on y revient après 2;<' — 3 o|)érations seulement. 

Ainsi, à chaque tangente commune correspond un polygone singulier de 2p'— 1 côtés, et comme il y a quatre 
tangentes communes, il v a quatre de ces polygones. 

Les explications que nous venons de donner dans le 
cas où p est impair nous permellront d'être plus brefs 
dans le cas où p est pair. 

Soit /' = 2p' (sur la ligure ;/= 3). Prenons un point 
d'intersection des deux coniques, soit A^,i. En ce point 
menons la tangente à 1'. Elle coupe V en .V,,'. De 
A,,' menons à U la tangente autre que la prc^cédenle . 
Elle coupe V en A,.' i, et ainsi de suite jusqu'à un 
point Al. Si l'on part du point Ai, en menant à la 
conique T la tangente AiAj, on obtient, en continuant 
la construction, un polygone de 2p' cùtés inscrit dans 
V et circonscrit à I', mais qui n'est pas un vrai poly- 
gone, parce que A/ cotncide avec A,,vi, hf'-x avec 
A,,.ï, etc. 

Il y a quatre de ces polygones puisqu'il y a quatre 
points d'intersection. " 
Tout le reste de l'article subsiste sans modification. En résumé les quatre (Milygoncs singuliers dont les premiers 
«ommels Ai ^ont donné* par l'éqtialinn (21 sont moins simples que nou;' n'avions dit d'abord. 

Miinsiciir l.clieuvre, qui a bien voulu nous faire remarquer «elle erreur, nous annonce qu'il fait paraître un 
orticle itur le même sujet dans 1'" Enseignement Mallièmatiquc ». 

E. CAMEN. 




GEOMETRIE ANALYTIQUE 59 



GEOMETRIE ANALYTIQUE 



923- — On donne une ellipse E et ttnc droite D dans son plan ; on considère les coniques S ayant 
pour axe la droite D et bitangenies à l'ellipse E. 

1" Uèjnonirer que lu corde des contacts 2}assc par un point fixe P. 

'■2° Par un point M du plan passent deux coniques S; pour quelles positions du point M les coefficients 
des équations de ces coniques sont-ils réels ? 

3° Distinguer, suivant la position du point M dans le plan, le genre des coniques S qui passent par ce 
point. 

4" l.orsquc la droite D tourne autour d'un point Q, quel est le lieu du point P? 

1. l'renons pour axe des x la droite D et pour axe des y une perpendiculaire à cette droite, puis 

représentons par 

E = A.r2 -+- 2B"jj/ H- A'!/^ + 2B'a; -t- 2Bi/ -t- A" = 

l'ellipse donnée. L'une quelconque des coniques S aura alors pour équation 

E H- l{ux + vrj -h wY = 0, 

à condition que nous exprimions qu'elle admet Ox pour axe de symétrie, c'est-à-dire que les termes du 
premier degré en // sont nuls : ceci nous donne 

B" -+- luv =0, B -h Iva- = 0, puis Bu — B"«' = 0. 

La corde des contacts de la conique S avec la conique E passe donc par le point fixe dont les 

n 

coordonnéessont — — et ; ce point est sur Oa^ et il est naturel alors de porter les axes en ce point, 
B 

ou, ce qui revient au même, de supposer primitivement que B soit nul. Faisons alors B = 0, «• = 0, 

V =r ^, w = — m dans l'équation de S, nous aurons la relation unique B" — Àm = qui déter- 

H'' * 

mine l, À = L'équation générale des coniques S' est donc 

m 

S = mE{x, ij) + B"(y — mx)- = 0. 

Il est évident que cette conique est aussi doublement tangente à l'ellipse symétrique de E par rap- 
port à Oar, 

E, = Ax» — 2&'xy ■+■ \Y -t- 2B'a- + A" = ; 

mais ce résultat est facile à vérifier par le calcul, car on a E = Ei -h iiB"xy, et, par suite, 

S = mE,{x, y) -+■ B"(y + mx)' = 0. 

2. Si nous nous donnons x, y, l'équation S = est du second degré en m ; elle donne deux 
valeurs pour m; il y a donc deux coniques S qui passent par un point quelconque du plan. Ces coniques 
seront à coefficients réels, si les deux valeurs de m sont réelles, c'est-à-dire si le discriminant de 

l'équation ,, . 

B'm'x» -1- (E - SB'xi/)»» -t- B"y» = 

est positif, ce qui donne 

*" ^ (E — 2B"a;y)» - W-xh/ > 0, 

ou. E(E — AWxg) > 0, ou enfin EE, > 0. 

Pour interpréter cette inégalité, nous allons nous placer dans un cas de fifiuro déterminé : nous 
supposerons que l'ellipse E coupe l'axe des x en deux points réels et que l'ellipse K, rencontre E eu 
deux points réels, naturellement symétriques par rapport à Ox et situés sur l'axe des y choisi. Alors, 
ces deux ellipses divisent le plan en six régions, comme le montre la figure 1 ; dans la région extérieure 
aux deux ellipses, Eet E^ ont toutes deux le signe de A, le produit EE, est positif, et par chaque point 



fin 



fiÉoMfrrRii-: analytique 



de colle ivgion il passe deux conii|ucs S réelles; il on est de méiin' dans la iéi,'ion inlérioure aux doux 
ellipses ; tandis i|ue par les points dos (pialre régions liachurces il ne passe aucune coiii(|ue S réelle ou 
simplemeni avant une équation ;\ coellicients réels. Par chaque point de l'ellipse K ou de l'ellipse L,, il 
passe deux coniques S confondues, pour lesquelles la valeur de —m est le coefficienl aufîulaire de 
la droite qui joint le point au point de contact avec E|. 

3. Ola posé, nous remarquons que les deux coefGcients A et A' peuvent être supposés positifs, 

pui^ique la conique R es! une ellipse, cl qu'il en est de 
même (le B", iiuisque les coniques K et K, jouent le niénie 
rôle ; d'ailleurs en changeant le sons positif de Oj/, nous 
pouvons donner à B* le signe que nous voulons, lîn outre, 
le coellicient de m dans l'équalion du second ilegro qui 
détermine ce paramétre est 

E, = Ax* + A'vs -t- 2B'.c -f- A , 
et l'équation Ej = représente une ellipse ayant Or 
pour axe de symétrie et passant aux quatre points de ren- 
contre de E avec E,. Celte ellipse a été tracée en pointillé 
sur la ligure et traverse les régions hachurées. Des deux 
régions conservées, l'une est intérieure à E,,, l'autre exté- 
rieure ; dans la première, on a E, < 0, les doux racines 
de l'équation en m sont positives ; dans l'autre, E„ >• 0, 
les deux racines sont négatives. 

Développons maintenant les termes du second degré 
= AA' — B"'; nous aurons ici 

= iH(A-+-B"m)(H'' + A'm). 

Dan-î la région intérieure commune ii K et à E,, les deux valeurs de m sont positives, les deux 
valeurs de ô sont positives aussi et les deux coniques S qui se coupent en un point quelconque de cette 
région sont Irnijours des ellipses. 

Dans la région extérieure, les valeurs de m sont négatives et '> a le signe de 

— (A-HB'm)(B"-f-A'm>; 

A 
par conséquent ? ne pourra changer de signe que quand m atteindra l'une des valeurs — - ou 

II» 

j- . En portant ces deux nomhres dans l'équation du second degré qui donne m, ou dans S. nous 

A 



y 


E, 












^- \ 







f—^ 


^ / 

^ — ^ 1 


w 


^^ 


h\ 


A\ 






1 — ^v\ 


y^^ — \ 


1 x\. 


y^ / \ 


V "K V 






^^ ^^ \ 




W^ — '^ \ 




















E 



Kii:. I. 

de la conique S et formons 



peut <lianger de signe .'iVextérieur do E et do E, ; 
ce soiil di'ux coniques S, doux paraboles du faisceau: l'une, celle qui correspond à 



aurons les deux lieux sur lesquels seulement 

ce soiil di'ux 
pour équ.'ition 



W 



II 



I» — (Ax -h H';/)' - AE(.T,;/) = H. 
OH I' = - (AA — B-';;/' — ÎAB'x — AA ' = ; 

elle est sym<''triquc par rapport i\ Or et facile it placer ; l'autre, celle qui correspond à — — . a pour 
équation Q - (B"i 4- A;/)' — A'E(a-,y) = 0, 

ou - - (AA' - B")x' - 2A'B r - A'A" = ; 

elle se compose de deux droites parallMesà Oy. ce sont deux des tangentes commîmes ù E et à E, (/«';/. i). 
Plaçons ces courbes et rlierchons les signes de leurs premiers membres : comme AA' — B ' est posi- 
tif, chacune d'elles admet (lour réijion nt^galive la région extérieure, les régions positives sont donc les 



GtOMlîTlUR ANALYTIQUI' 



61 




régions intérieures. Numéro(oiis alors les 
légions découpées dans le plan par les quatre 
lignes (jiie nous avons rencontrées et voyons 
ce qui si; passe dans cliacune d'elles : il nous 
suffira pour cela de placer les racines de 
réqualioii du second degré en m par rapport 

A B" 

aux deux nombres — -j- et — (le 

premier étant plus petit que le second). 

Dans la région (1), P est positif et Q est 
négatif; il y a donc une valeur de m entre 



A U" B' 

— -^j- et -— et une entre — -- 

B A A 



et 



Fie. 



lieux nombres 



A. 



15" 



; la première rend o positif, et la seconde, 
ô négiitif. Par chaque point de (1) il passe 
une ellipse et une hyperbole. Même chose 
dans la région (7). 

Dans la région ("2), P et Q sont négatifs; 
l'une des valeurs de m est moindre que les 

l'autre est plus grande ; les deux coniques correspondantes sont 



B" A B 
— ou comprises entre — -rp; cl —-j^' les deux coniques sont de 

A D 



des hyperboles. 11 en est de même dans les régions (4) et (2'). 

Dans la région (3), P est négatif, Q est positif ; il passe par chaque point une hyperbole et une 
ellipse. Même résultat dans la région (3'). 

Passons maintenant aux régions intérieures à la fois aux deux lignes P et Q, par exemple, à la 

région (5>. Dans cette région, P et Q sont positifs, les valeurs de m sont toutes deux moindres que 

A ... 
— -r-7 ou supérieures a —- .^^ ^.^...,^...^v.. v— «v- „ -- ., 

n A o A 

même espèce. Pour savoir exactement ce qui se passe, nous nous appuierons sur la continuité de m et 
par suite de o, et nous en concluerons que les résultats sont les mêmes en tous les points de la région 
étudiée : or en un point de l'arc AK de l'ellipse E,, les deux valeurs de —m sont confondues avec le 
coeflicient angulaire de la corde des contacts avec Ei ; elles sont moindres que le coefficient angulaire 

B" '^' 

(lu diamètre conjugué de 0'/, c'est-ii-dire que —7-; nous avons donc "'>~"r?" '•'^•'* ''''"^ 

coniques confondues sont des hyperboles. Ce sont donc des hyperboles pour tous les |ioiiit.s de la 
région (5). 

Dans la région (6), nous prendrons un point de l'arc GK et ce point nous montrera ([uc — m est 

B" A u '^ 1 " ' 

alor.s compris entre -^ et -gj-; donc m est compris entre les deux nombres — ^r p' ^ 



A' B" ' " 

et les deux coniques correspondantes sont des ellipses. 

Nous ne poursuivrons pas cette discussion fastidieuse <iu'il serait facile d'achever. 

4. La deuxième partie est évidente.. Le lieu du point P est le lieu du point do rencontre d'une 
droite qui tourne autour d'un point fixe avec le diamètre conjugué de la direction perpendiculaire à la 
droite. C'est l'hyperbole d'Apollonius du point fixe n. 

Bemaroue. — La première partie est évidente géométriquement, si on se rappelle que tout point d«' 
la corde des contacts a même polaire dans les deux coniques ; car alors le point P où celle corde ren- 



fis CKOMÉTIUK A.NALYTiyUK 



contre D est un point dont la polaire est jicrpondiciilairc à D ; c'est donc un point du diamètre des 
cordes perpendiculaires à U; par conséquent ce |)oinl est lixe, il est le nn-mc pour toutes les coniques S. 



Trts bonns solution : M. Cans, k Versailles. 
Bonne solution : M. J. Weiss, Itci'c da Bar-lc-Duc. 



924. — On donne lii-ux rerrli's et 0', le cercle 0' nyanl son centre sur le cercle 0, et des extrémités 
A et A' d'un diiinvtre du cercle nn mè?ic nu cercle 0' des tangentes qui peuvent former un quadrila- 
tère (Q). 

l' Montrer que les quatre sommets du quadrilatère (Q) {autres que A et A') sont situés sur un cercle Q, 
et que le cercle Q est orthogonal au cercle 0. 

2" l^ cercle 0' étant assujetti à couper AA' sous un angle constant, trouver les courbes, lieux du point 
de concours P dts deux diagonales [autres que AA'; du quadrilatère (Q), du centre du cercle û et des cen- 
tres de similitude des cercles 0' et Q. 

3° Site point P décrit une droite A, le centre du cercle Q décrit une conique S. Trouver, lorsque la 
droite A tourne autour d'un point fixe, le lieu du centre et l'enveloppe des asymptotes de la conique S. 

Je prends pour axes le diamètre AA' du cercle cl le diamètre perpendiculaire; je désigne par a 
le rayon de ce cercle, son équation est alors r- -+- y' — o* = 0. D'autre part, les coordonnées Xo, i/o 
du point 0' vérifient la relation 

(1) xJ-H yl — a- = 0, 

et l'équation du cercle 0' est (x — xo)' -+- (y — yo)' — ?■ = 0, 

ou i' -h y- — 2xx(i — 2;/i/o + «" — ?' = 0. 

1. L'ensemble des tangentes menées du point A(a, 0) au cercle 0' a piour équation 
[xia — Xo) -h yyo—nx„ -h a^ — p*]' — (x' -h y'- ~^xx,—<iyij^-^ a'- — ?'-){ia^ -iaxo-?^) = 0, 
ou, en simplifiant et en utilisant la relation (1), 

(?« - yl)x' - 2./,(a - Xo)x./ + [p'--(a- x,)^ \y'- h- ia'tjl - p«)x -1- 2ay„(a - Xo)y -h a'(p'- - yl) = 0. 

En changeant a en —a, on obtient l'équation de l'ensemble des tangentes issues du point A' 

lp'~yi)''-+-2y,(<n-i/o)j-y + iP'— (a-4-Xo)'j.7* -2a(;/J— p-)x-t-2ayo(i4-x„)i/-i-a-(p- — vi) = 0. 

Tout revient à- établir qu'on peut combiner linéairement ces deux équations de manière à obtenir 
l'équation d'un cercle. Kliininons pour cela le terme en xy en inullipliaiit respectivement les deux 
équations par a -\- xg, a — t^ et en les ajoutant membre à membre ; nous obtenons 

(p*— î/î)(j?' -^ y')-'^Mp' - yl) ^-2yJy + "'(?' - yî) = o, 

on x' -4- y' — 2.rx, --2./ — -^1— _ + a' = 0. 

yî — p' 

C'est 1 équation du cercle Q. 

La puissance du point par rapport à ce cercle est égale à a', donc les cercles et Q sont ortho- 
gonaux. 

2. Soit 'J l'angle constant sous lequel le cercle ()' coupe AA', nous avons 
(t) yo = p cos 0. 

Le point de concours P des diagonales du quadrilatère (Q) est le polc de AA' par rapport au 
cercle (Y, il est donc facile d'avoir les coordonnées de ce point. On trouve 

(3) X = x.. y ^ .Î^Llil. 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUK 63 



Le lieu du point P s'obtient en éli minant Xn, i/o, p entre les équations (1), (2) et (3). Nous avons 
x„ = X ; puis j/o = v/a- — a;-, p— — i et en portant ces valeurs dans la deuxième équation (3), 

nous obtenons 

X- -+- If- cotg' — «2 = 0. 

Le lieu est une ellipse dont l'un des axes est AA' et dont l'autre a pour longueur a tg- 'i. 
Le centre du cercle o a pour coordonnées 

(4) .T = .o, y=-J' 



[l'a — ?'o 

Nous aurons l'équation du lieu de ce point en éliminant a.-,,, y„, p entre les équations (1), (2) et (4). 
Ce calcul est analogue au précédent et conduit à l'équation 

a;2 H- ?/2 tg* — a- = 0, 

qui représente encore une ellipse dont l'un des axes est AA'. 

Cherchons enfin le lieu des centres de similitude des cercles 0' et Q. Le rayon du cercle û est 

Désignons ce rayon par r. Les contres S de similitude des cercles 0' et Q sont définis par l'égalité 

SU' " ? ' 
par suite, les coordonnées des deux points S sont 

. , ± - Vo 

'/" — ^" ? 
X = .ro cl 1/ — ' • 



3 



OU, en remplaçant r par sa valeur, 



les signes se correspondant. 



[jiavoiis p par — 
quantités 



Remplaçons o par -^ , nous avons v= M'/,.- " désignant l'une ou l'autre des deux 
' ^ ' *^ cos 



V cos- 



cos'- 



1 ^dbvAr_L_ 

cos'O V cos'-O 
En opérant comme précédemment, on voit que le lieu des centres de similitude se compose des 
deux ellipses 

3. Soit ux + v>j + w = l'équation de la droite a. Puisque le point P décrit celle droite, on a 

(5) ux^ ■+■ V •''~^ + w = 0. 

ijo 

D'autre part, les coordonnées du'point 0' sont ^ 

X = xo, y = -^jrzili' 

et pour avoir le lieu de ce point, nous éliminons x„ y„ ? entre ces trois dernières équations et la rola- 
lion ajj + j/; — p'' = 0. 



6i 



GEOMETRIE ANALYriOUE 



La relation (5) s'ccrit 



y- 



tix-\-v — h w = ; 

V 
Pt, en y rniiiilaçanl i/,', par n- — .r", nous avons 

l'.r' — U.VIJ — irij — rrt' = ; 
c'est réqnalion de la roniquo S. 

Soit l'ï, i) le point fixe par Iciiucl passe A, alors ir ■= — (ii» + ujj) el i'é<iualioM clf la conique 
s écrit 

l'.i- — unj ■+■ (hï-(- u|i)i/ — va- — 0. 

Son centre esl il''tini par les (!M|uations 

t'rx — UIJ = 0, — lir - , 111 -(- l'^ =:= : 

«Miniinons le ra])porl -— entre ces deux é(jiiations, nous avons ré<iuation du lieu du centre 

2a:' — 2a.r - {iy = 0. 

Celle équation représente une parabole dont l'axe est perpendiculaire à AA'. 

Laconique S a une asymptote perpendiculaire à AA'. L'autre a pour coellicient angulaire — -. par 
suite l'équation de celle seconde asymptote esl 

/"x-H - f'ij — 0, ou ticx — m';/ 4- r(na -f- i-'fi) = l). 



le qui 



Pour avoir son enveloppe nous écrivons que celle équation a une racine double en 

II 
donne 

(x -t- a)- -t- V^ij = 

ou (a:-+-«)«-Hf;/ + (ï)î = (y_^j^ 

Cette enveloppe est une parai.olc qui a pour foyer le point ( — ï, - ,''i el pour directrice la droite 
V - ? - ". 

F. A. G., à Caen. 

Solulion géométrique — I» Les droites AO, A'd' liisseclrices des angles IrAli', BAB' étant rerlangulairo 

le quadrilalArc (H) a ses c(Més deux à deux également 
inclinés sur deux droites rectangulaires et est par suite 
insrripldde à un cercle u. 

Le cercle U esl conjugué par i apport au triangle 
Al'A'. Son rentre est donc le point de concoure w des 
liauleurs de ce triangle, el on a, en appelant r son 
rayon, 

i..l>. (oy = r'. 

Mais l> esl égalciiienl le point (riiilerscclioii des 
polnircs des points A cl A' par rapport au cercle O'. Le 
point I', pôle de AA'esl sur la perpendiculaire aliaissce 
de ()' sur AA'; on a, > étant U', rayon du cercle (•', 

O'P.0'Q = ,s'. 
Ile itlu», roinnic (J esl le milieti du segment (l'O", dont 
les extrémités sonl conjuguées par rapport li 'd', on a 

(Ty* = l\> <uU. 
Cela posé la puissance du cercle u par rapport au 
point f» esl 

P„ = Ô^ — r». 
iir, dans les triangles rectangles DUto, OQt>', on a 




GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



65 



Oto" — 00' = («Q — O'Q" ; 



d'où l'on déduit 



'»Q"-0'U' 



Mais 



<"Q" - O'Q = wQftoQ - PQ) = «oQ.wP = ,2; 



d'où' Po = a', c'est-à-dire le carré du rayon du cercle G, ce qui démontre rorthogonalité des cercles et 2. 
20 Si l'on désigne par 6 l'angle constant sous lequel le cercle 0' coupe AA', on a 



On en tire 



o'P = ^^= Ji:^ 

U'n cos^ 



O'Q - p cos 0. 

et par suite PQ = 0'q(i - -^^^ = _ O'Q tg» 6. 



Le lieu du point de concours P des diagonales du quadrilatère est donc une ellipse de sommets A et A' obte- 
nue en réduisant les ordonnées du cercle G dans le rapport de — tg- 6 à I . 
Le lieu du point u est une ellipse analogue. On a en effet 



wQ 



tro: 

PQ 



O'Qcotg^O. 



11 nous reste à chercher le lieu des centres de similitude des cercles G' et Q. Pour cela, calculons le rapport 
des rayons ; on a 

r2 _ .. .P..oQ _ (tuQ— PQ)».Q _ -cotg2 0(— cotg2f)-i-tg2e) . ^,, 

y - OP. O'Q - (O'Q-PQ)O'Q - l+lg-^(J = '^"'g*"^ - Ig'»)- 

On voit en passant que le rapport des rayons reste constant. Soit M un des centres de similitude, sur la droite uO' 
on a 

toM _ foQ — MQ )• 



O'M 



O'Q-MQ 



D'où l'on tire 



MQ = 



±-0'Q-,«Q 



— I 



_ I ± y/l — tg'= ti 

~ — tg^Ortvi — ig- 



Le lieu des centres de similitude se compose donc de deux ellipses de sommets A et A'. 
Nous allons chercher le lieu de <■> lorsque le point P décrit une droite A. 

Les deux rayons Aw, A'w forment des faisceaux homogra- 
phiques. Si l'on se donne par exemple Aw, la perpendiculaire 
abaissée de A' sur cette droite rencontre A en P : le rayon A'u 
ost la perpendiculaire à AP. H résulte de là que le lieu de <« 
est une conique S passant par les points A et A'. On voit qu'elle 
passe aussi par les points de rencontre du cercle (t et de la droite 
A. Lorsque P vient en 1) sur AA', le point w s'éloigne à l'inlini. La 
perpendiculaire élevée en D à AA' est donc une asymptote de la 
conique S. Lorsque P s'éloigne à l'infini sur la droite A, le point 
u s'éloigne à l'infini dans la direction perpendiculaire à A, 
puisque A'u) est perpendiculaire à AP et que AP devient parallèle 
à A. 

Du reste la deuxième asymptote de S coupe la corde AA' en 
un point D' tel que A'U' = AD, c'est-ii-dire au symétrique de D 
par rapport à 0. La deuxième asymptote est donc la perpendicu- 
laire à A menée par D'. 
Supposons maintenant que la droite A passe par un point lixe V. Une des asymptotes de la conique S con- 
serve une direction fixe. L'enveloppe de l'autre asymptote se trouve facilement. .Menons par D' la perpendicu- 
laire à la deuxième asymptote ; elle rencontre OK au point F' symétrique de F par rapport à 0. Le point V est 
donc fixe et l'enveloppe de l'asymptote est la parabole ayant pour foyer I'" et pour tangente au sommet AA'. 

Cherchons le lieu du centre C de la conique S, intersection des deux asymptotes. La perpendiculaire a A 
menée par rencontre UC en son milieu G. Or les deux triangles rectangles semblables ODC et KGD donnent 

CD _ FG 
pC ~ DO ' 




60 



GEOMETRIE ANALYTIQUE 




^^^"t>\ 


/D /G A 


X 

\ 


^Vly 


X. 


/ ~ j<y A' 


? 


! V 

1 x 



ou un. ne. = fgdc = dc/ dc, 

la droite F'G' étant parallèle A AA'. C est donc le point de con- 
cours des hauteurs d'un trianple dont deux sommets 0, ('■ sont 
lixes, et dont l'autre G' se dépince sur une droite lixe A' parallèle 
k OG. 

C'est un cas particulier d'un problème identique à celui qu'on 
n étudié plus haut. Le lieu de G' est une conique qui passe parles 
points U et G et qui a pour direction asyinptotiquc double la per- 
pendiculaire à .\.\'; c'est donc une parabole. Le lieu du centre C 
de la conique S qui s'obtient en doublant les ordonnées du lieu 
de C à partir de AA', est une parabole d'axe perpendiculaire à 
A A' et qui passe par les points et G. 

VASNIER. 



927. — /• Trouver le lieu du sommet du <ôno jxisxa»! par dt'ux cercles d'une quadriquc, l'un fixe. 
Vautre variable, situés datis des plans natt parallèles. 

H" Suivant la position du centre de la qwidriqne par ro}iporl au lieu trouvi' et à ses asymptotes, recon- 
naître la nature de celle quadrique. 

.V Trouver le lieu du si/métrique du cercle variable par rapport au centre de la sphère passant par ce 
cercle variable cl le cercle fixe, cl faire voir comment la nature de ce lieu est li('c à celle de la premii're qua- 
drique, en s'nppuyant sur le résultat obtenu dans la seconde partie. 

1° Los lieux cercles étant situés sur une iiiéine quadriciue ont en commun deux points réels ou 
imaginaires conjugués, situés sur la droite d'intersection des deux plans de ces cercles. Prenons pour 
origine le centre du cercle fixe, pour axe des y une parallèle à la droite d'intersection des deux plans et 
pour axes des .r et des ; les diamètres des cercles perpendiculaires ù Oy ou des parallèles à ces dia- 
mètres ; nous aurons ainsi un système d'axes dans lequel un seul angle n'est pas droit, l'angle xOz que 
nous représenterons par '». 

Cela posé, en supposant que ce soit le plan du cercle fixe qui ait été pris pour plan des .r;/ et en 
désignant par x' -+- »/' — K^ = l'équation de ce cercle, nous pourrons représenter la quadrique 
donnée par une équation de la forme 

j' + !/' -H :» — H» -V- 2(iar: -+- 26: = ; 

les deux cercles île l'énoncé sont alors les sections de cette surface par les plans : = et x — X = . 

Toute quadrique et, en particulier, l'un des d'mes passant par ces deux cercles, a une équation de 

la forme 

ar" -1- «/' -m' — R' 4- 2aT: + 26: -t- 2hî(-c — >-) = 0, 

ou, en changeant les paramètres, 

I» -\- ;/« -(-:'— H" -+- 2Xj-: -+- 2(x: = 0. 

Nous aurons le lieu du sommet de ce cône en annulant les quatre dérivées partielles et éliminant 
entre elle<( ) et ji; ce calcul donne successivement 

r -+-/: = (), ;/ - 0, : ')j--4-|i=(l et u: — R'^^fl; 

entre rex ••iiualiuii'*, l'élimination de X et (j est immédiate et l'on trouve pour équations du lieu 

y = et t" - :' — R« =r 0, 

ce qui représente, dans le plan des xz, une hyperbole équilatèrc dont les asymptotes sont les bissectrices 
de Ux et Oî. 

S* Revenons à In quadrique initiale et désignons par a. f> et y les coordonnées de son centre ; nous 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



67 



aurons de suite 



a-,' = 0, ^ = et Y -H aa H- 6 = ; d'où a 



— , h 



Décom- 



posons le premier membre de l'équation de cette quadrique en carrés et remplaçons — y, a et 6 par 
leurs valeurs en fonction de ^, ^, •,-, nous aurons sans peine 

(ï^ - «)^ -t- f'/ -^ (-r - »')(= - ï)-^ + fi^' -;'- R-^) - 0. 
Or, en égalant à les deux seuls coefficients de cette équation qui puissent changer de signe, nous 
obtenons 

a^ — f = et a^ — •;= — H- = 0, 

qui, dans le plan des xz, représentent les asymptotes de l'hyperbole trouvée antérieurement et cette 

courbe elle-même. 

Figurons ces lignes : elles divisent le plan en 6 régions, les 
régions 1, 2 et 3 et les régions symétriques, où les mêmes faits 
se reproduisent. 

Dans la région 1, les deux coefficients, tels qu'ils ont été 
écrits plus haut, sont négatifs; alors la quadrique est un ellipsoïde. 
Dans la région 2, le premier coefficient a le signe contraire au 
précédent, et la quadrique est un hyperboloïde à une nappe ; enfin, 
dans la région 3, cette quadrique est un hyperboloïde à deux 
nappes. Sur les asymptotes, c'est un cylindre elliptique; sur l'hy- 
perbole elle-même, un cône, comme on devait s'y attendre. 

S" La sphère considérée est l'une des quadriques passant par 
les deux cercles envisagés ; elle a donc une équation de la forme 

^.a _,_ y2 _^ :2 — R2 -(- 2oa.-2 -+- 26z -+ 2,uz(ar — X) = 0, 
dans laquelle il suffit d'exprimer que le coefficient de 2x; est égal à cosO; ceci donne a + j^ = cos') 
ou [A = cosO — a ; par conséquent l'équation de la sphère est définitivement 

a;2 4-y2-H:2_R2_^2a;zcosO + 2(6-f-rt). — XcosO)z =0. 
Les coordonnées du centre sont fournies par les équations 

a;^-3cos0 = 0, ?/ = et a;cose-f-J -f-6-^-aX — X cosO = 0; 

de là nous déduisons immédiatement 

.,• : _ X(cos — g) — 

— cosO ~ T ~" sin'^O 

par conséquent l'a; du plan symétrique de celui du cercle par rapport au centre de la sphère est fourni 

tion 

2cosO 




par l'équation 



x-H X = 



sin" 



(6 -(-aX — XcosO). 



Cette équation, jointe à celle de la sphère, définit le cercle dont on demande le lieu ; il n'y a plus 
qu'à éliminer X entre les deux équations ; ce calcul facile donne immédiatement l'équation du lieu 



V'+: 



R= -i- Uxz 



avec 



rt(l ■+- ces' 0) — 2 cos 



IJ = 



+- 2B; = 

— />sin'0 
;2acosO — 1 — cos^d 



2ocos6 — 1 — cos'-O 

Nous voyons que c'est l'une des surfaces déjà étudiées et rien n'est plus aisé que d'en trouver la 
nature. 



68 r.KOMÉTUlL A.NALVnui K 



928. — l.ieu des centres et lieu dc$ sommets des Irionfiles ('quilatéravx conjugues à une ellipse. 

Pour exprimer qu'un triangle conjugué à une ellipse est en même temps équilatéral, nous exprime- 
rons que le cercle circonscrit à ce triangle a même centre que le cercle conjugué ; or nous savons que 
le centre de ce dernier cercle coïncide avec le point de concours des hauteurs et que le carré de son 
rayon, p', est égal au |)roduit tcniniun des segments citnipris sur chaijue hauteur entre lepoint de con- 
cours de ces droites, puis respectivement le sommet et le coté opposé. Il résulte de là que, en désignant 

par II le rayon du cercle circonscrit, nous avons ici p- = — i ou R' = — 2p'; le cercle conjugué 

étant représenté par (x — a)' + (y — p)= — ?' = 0, le cercle circonscrit sera représenté par 

(.r — a)« + (;/ - W^ + 2p"- = 0. 

Cela posé, considérons le faisceau linéaire des coniques 

nous trouverons les coordonnées des sommets du lriani;le en cherchant les points doubles des coniques 
impropres de ce système, c'est-à-dire en annulant les dérivées du premier membre ; ceci nous donne 

—^-i-X—OL — O, 

ar 

Des deux premières, nous déduirons x = -- — -, ?/ = — — r- • puis, x— a = — — -. 
' rt*-t-), •' A' 4-/ a' -H A 

/fi 
Il — fi = — '^ » et la deuxième devient alors 

~r" A 

elle fournit les trois valeurs de X qui correspondent aux coniques impropres du faisceau linéaire, et 
chacune de ces valeurs donne un sommet du triangle conjugué dont les coordonnées ont été calculées 
avant la formation de cette équation du troisième degré. Pour écrire que le triangle est équilatéral. nous 
avons à exprimer que ces trois sommets sont sur le cercle (x — af -{-{y — p)' -h 2p' = ; ce calcul 
nous fournit une équation du quatrième degré en X, 

a' fl' 2p' 

qui doit avoir trois racines communes avec la précédente. 

Pour exprimer ce dernier fait, nous rendrons les deux équations entières par rapport à X, et nous 
écrirons ensuite que le premier iiiembrc de (2j ne dillère do relui de (1) que par un facteur linéaire ; si 
nous désignons |)ar II le coetlicient de X' dans la seconde équation et par /■ la racine non coinmuile, nous 
aurons l'identité 



}(a^ -t /)(/;« + ).) \ a' -4- X /;• -h X X / — (fi' 



.>)> (6' + X)> X» 

dan» laquelle II = «'-4- P'-f-2p', cl oii l'on a conservé les dénominateurs pour simplifier l'écriture. 
Celte identité entraîne quatre relations que nous obtiendrons en multipliant successivement les deux 
niornbrrs par «' -4- X)», (6' i- X)', X*, et faisant ensuite X = — n', X = — 6', X = 0, puis en 
égalant les coefficients de X' dans les deux membres rendus entiers ; voici ces relations : 

ttjk^a*) _ , -H(A + fc') , -HA- 

a' ~ '^ ' fc» ~ ' • a'b* ~ ' 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 69 



et — H^ - H(a» -h ?» — ?» — o2 — 6^) = 2: 6=a' + «-?= + 2(a- -t- b-)?'] . 

En ajoutant les deux premières relations, on retrouve la troisième ; il n'y a donc en tout que trois 
relations distinctes entre lesquelles il faudra éliminer p' et A: ; or on trouve immédiatement 

la dernière relation donne ensuite 

a'^ -+. /;> ofi S'^ 

et, comme, de H = a^-^b-, on déduit de suite p= = —, on a sans peine l'équation 

du lieu du centre 

(3) 4(6=5c2 _^ a^^î _ ayj2) _ („2 ^_ 62)(a2_,_ ps _„■>_ ^î) ^ q. 

Cette équation représente une conique qui fait partie du faisceau linéaire déterminé par lellipse et 
son cercle orthoptique. 

Nous aurons le lieu des sommets du triangle en nous servant du lieu du point (a, p) et revenant 
aux équations qui existent entre a, i, x, ;/, X et p^ 

Ix h/ 

_X-a(a;-a)-p(y-^)-p==:0, (a; - a)'^ -(- (y - 3)'^ 4- 2p2 = 0. 

Elles donnent d'abord 



X + g^ X-t-6' Iv hj . 

puis, en portant ces valeurs dans les deux dernières équations, 

x'^ V* x' v' 

en combinant ces deux dernières équations et posant E^—^-^ri — *> '^ ^ "*" ~*~ "Â*"' "'^"'^ 

obtenons 

XF 2 

XE — 3?2 = 0, XT + 2p= = 0, 



par suite, X = ^^ 



E 3 

2E 



et x — x ir ^' ?• = V -■ 



2E X ^ _ 2E «7 

3F ô»^' 



Portons cette valeur de X dans l'une ou l'autre des équations qui précèdent, remplaçons p* par 

a» + é' — a> — Û2 

^ et, dans cette expression, a et ^ par les valeurs que nous venons de trouver, nous 

aurons de suite pour équation du lieu 

4(E2-(-E) — 3CF= 0, 

où nous représentons par C le premier membrede l'équation du cercleorthoptiquo, x' -i- y- — a' — 6'. 
Cette équation développée s'écrit 

(4) ( A V -f- aYf — 3c\xY + 6'(3/*' — n')x' + a'(3a« - b')y' = ; 

elle représente une quartique ayant pour axes de symétrie les axes de l'ellipse et ayant un point double 
à rorigine. 

Le discriminant du trinôme des termes du quatrième degré est 3r'(3a' — é»)(n'— 2/»'); il en résulte que si 
a est <.b\/T, tous les termes du premier membre de l'équation de la courbe sont positifs, la quartique est 



70 



GÉOMfTTRIK ANALYTIQUE 



imaginaire. Si a = f)\'3. elle se décompose en deux coniques à coefficients imaginaires. Il reste donc 
le cas où a est >^A/3. Nous construirons la quarti(|ue au moyen des coordonnées polaires. 
On peut écrire l'équation transformée ainsi 

^ ^ ,../ («-Hg'a.)(tg»u..-tg'Ji]~ . 
•^ V (tg' « - tg' u,,)(tg= u. - tg» a.,) ' 

A'(«'— 3ft') 



en posant 3a' — 6' = Â', 



= tg* w^i, et Ig'oj,, tg-o>j étant les racines de l'équation 



a'(3a»— /*») 
a' tg' 0. -+- (în'é' — 3c') tg* ai -+- f = 0. 

On ne prendra devant le radical que le signe -t-, et on fera varier <« de à -^^ • ce qui revient à 

construire le quart de la courbe. On trouve 



rf= 



= h- 



tgu,(1+tg^u)ftg».u,-tg'a.Htg-«0t-Htg-(o) 



en posant 



dio v^( 1 H- tg'to)(tg» (U„ — lg»(u){lg.o — tg»(0,)»(tg» 10 — tg» !«,)'' 

_ 4c'(3a= — Ah'-) 
Ig» wj = 

*^ "* ^ a^ 3a' — 46» 

De plus, on vérifie facilement qu'en supposant toujours o'— 36'>0, les quantités ci-dessous 
sont rangées par ordre de grandeurs croistantes 

tg^'-O, tg*»-', tg'lOj, lg-(i>î. 

La discussion est alors très facile, et on obtient les résultats suivants : 





aU== 


h' 


2cV3 + o6 


a' 


3a' — 46» 


b' 


2cV3 — ab 



tu 







•"o 




(Ot 




tU3 




lUj 




+ i 


j 


k 


décroît 







X 


décroît 


(min.) 


croit 


œ 






diu 





— 


00 




X 


— 





■+- 


X 








Il suflil, pour avoir la courbe 
entière, de la compléter par symé- 
trie. Les tangentes au poinldouble 
sont les droites 

lu = ± «u„ ; 

cl les asymptotes, les droites 

<u = .3; ti».. 

Nous «ToiiH rcru <lo M. Vasnjkii une 
ctrelloote «olulion qui a M lootcfoiti ron- 
«iHéralilemrut n.odifié* ; m»\\ loul rc qui 
l'sl r lalif k la i ousiructioa dt la courbe a 
m laKftrilainriil cotiirnr6, 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 71 



QUESTIONS PROPOSÉES 



991. — Montrer que la condition nécessaire et suffisante pour qu'un tétraèdre (T) circonscrit à une qua- 
drique (Q) soit tel que les perpendiculaires abaissées des sommets de ce tétraèdre sur leurs plans polaires par rap- 
port à (Q) soient concourantes en un point H est que les normales à (Q) aux points de contact des faces de (T) 
soient concourantes en un point H'. Il existe un seul tétraèdre (T) relatif à un point II ; ce tétraèdre est inscrit 
dans une quadrique (Oi) ayant les mômes plans principaux que (Q). Quelle relation existe-t-il entre les longueurs 
des axes ou K's paramètres des sections principales des quadriques i(J) et (Qi) ? 

Dans tout ce qui va suivre, on supposera que la quadrique (Q) est un paraboloïde donné. 

1» 11 existe cinq tétraèdres (T) relatifs à un point H' donné. Les cinq droites joignant les points H de ces 
tétraèdres respectivement aux pieds des cinquièmes normales menées de 11' à iQ) sont sur une surface du second 
ordre. Quel lieu doit décrire le point H' pour que cette surface soit un paraboloïde, un cône ? Dans ce dernier 
cas, les cinq droites sont concourantes, trouver leur point de concours. 

2" Lorsque le point H est dans un certain plan (P), les paraboloides (Q) et (Qi) sont égaux. 

Montrer que dans ce cas les normales à (Qi) aux sommets de (T) sont concourantes. Le tétraèdre (T,) formé 
par les plans tangents à (U,) aux sommets de (T), jouit par rapport à (Q,) de la môme propriété que (T) par rap- 
port à (Q). Trouver le lieu du point II, analogue ù H. Montrer qu'on a alors une série de tétraèdres (T), (T.). . . . 
(T„) se déduisant les uns des autres de la même façon, et jouissant de la même propriété. 

3° Les quatre droites qui joignent les sommets du tétraèdre (T) aux points de contact des faces opposées sont 
comme on sait sur une surface du second degré. Dans quel cas cette surface est-elle un cône? Montrer que le 
point de concours I des quatre droites est sur la cubique aux pieds des normales menées de H au parabalolde 
(Q), et trouver le lieu du point II ainsi que celui du point L 

Vas.mer. 

992. — On donne dans un plan deux coniques (S) et (S') et un point R. Soient P,Q et P',Q' les points de 
contact des tangentes menées de R respectivement aux coniques (S) et (S'). 

i" Montrer que les droites PP', PQ', P'Q et OU' et les quatre tangentes communes aux coniques (S) et (S') sont 
tangentes à une même conique S. Pi,Q., et P'i, Q'i étant les points de contact des tangentes menées d'un point 
Ri a (S) et à (S), montrer qu'il existe une infinité de points Ri tels que les droites P,P'i, P,0',, OiP'i, QiQ'i 
soient tangentes à il et trouver le lieu des points Ri. 

2o La conique (S) et le point R étant supposés fixes, trouver l'enveloppe de la polaire de R par rapport à I, 
lorsque (S') varie en restant inscrite i un quadrilatère circonscrit à (S), ou circonscrite à un quadrilatère inscrit 
à (S). 

\ ASNIF.R. 

993. — On considère un triangle 0.\B rectangle en et le cercle circonscrit à ce triangle. Soit C un point 
variable sur ce cercle. On demande l'équation de la conique passant aux quatre points 0. .V, D, C et avant pour 
centre le milieu de 0.\. 

1" Trouver le lieu du pôle de OB par rapport à cette conique. 

20 Trouver le lieu du point de rencontre de la droite AG avec la droite qui joint les points de rencontre de OA 
avec BC et de OC avec BA. 

3° Trouver le lieu des sommets de cette conique et construire ce lieu. E. U. 



DEUXIÈME PARTIE 



GÉOMÉTRIE ANAI.YTIQUK 



921. — On donne une parabole l'apportée à son axe et à la tangente au sommet et un point H sur celte 
tangente. On mène par le sommet une sécante variable OM (y = mx); 
1° Equation du cercle qui passe par h's trois points 0, H, M; 
2° Equation de ta seconde corde commune au cercle et à In pirahole : construire celle corde PQ pour 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



une valeur donnée de i/i et trouver son enveloppe; discuter la nature des points de rencontre P e< (J situés 
sur cette corde, suivant la râleur de „i. Lieu du point de rencontre des cordes OM et FQ ; 

30 Vérifier ce dernier résultat en cherchant direriement le lieu des centres des sécantes communes à la 
parabole et <i un cercle variable passant par et lï. 

V Former l'équation de la seconde parabole qui passe par les quatre points 0, M, 1», Q et trouver le 
lieu du sovnnel et le lieu du foyer de celte parabole, quand m varie. 

1 Lesqualre points 0. M, 1", L'ianl 'es points de renconirp de la parabole donnée et dun cercle, les 
droites (tM et PQ sont également inclinées sur l'axe de la parabole, et comme celui-ci est pris pour axe 
des X, le coefficient angulaire de PQ est - "•• S..il y + mx -t- n = l'équation de PQ ; réquation 
générale des coniques passant par les quatre points 0, M, P, Q est 

).(iy''' — ips] -h {y — mr)(y ■+■ >nr -+- n) = 0. 

Pour que celte conique soit un cercle, il faut qu'on ait X = — (1 n- ni^), et pour que le cercle passe 
par le point H (0, A), on doit avoir n = hmK 

L'équation du cercle est alors 

— ('«' -i- *)(y' — -p-^) -^ (y — '^)iy "^ '"* "^ '""') = '^• 

ou m'(x' H- y') - x[2ju(l -+- ».») - hm^] - hm^y = 0. 

2. L'équation de la corde PQ est «/ -h mx n- hm' = 0. 

Soit OM' la droite symétrique de OM par rapport à Ox, la corde PQ est parallèle à OM'. De plus, PQ 
rencontre Or au point A d'abscisse — hm. Or ce point est situé sur la perpendiculaire à OM' menée 
par le point 11. On déduit de là la construction de la corde PQ. 

Pour avoir l'enveloppe de cette corde, il suffit d'écrire que l'équation du deuxième degré en w, 
1/ -4- mj- -4- Inn* = 0, a une racine double, ce qui donne 

,2 — \hy = 0, 
celle équation représente une parabole. 

Les ordonnées des points de rencontre P et Q de la droite PQ et de la parabole sont racines de 

réquation '«y' + 'P'J + 2/;''"'' = «• 

Pour que ces racines soient réelles, il faut qu'on ait 



^'<in 



Cest la condition pour que les points P et Q suieiil réels et distincts. Si l'on a "'' < "j/l" ' ^'^^ 

points P et Q sont imaginaires, enfin si m' = -^ , la droite PQ est tangente à la parabole. 
Le lieu du point de rencontre de OM et de PQ s'obtieni en éliminant m entre les équations 

y — mx = 0, ;/ -H m.i -+- /iw" = 0. 

On trouve y(^' -♦" h) = 0- 

Le facteur y ne convient évidemment pas; il a été introduit parce que pour m = les droites 
OM et PQ sont confondues avec Ox. Dans ce cas le cercle se réduit à l'axe Oy. 
Le véritable lieu est la i)arabole 2.t» -+- Ay = 0. 

3. L'équation d'un cercle variable passant par les points et II est 

i' -4- y' — 2ï.i- — /(;/ = ; 
toute conique passant par l'intersection de la parabcdo et de ce cercle a une équation de la forme 

r(x, y) El x' -4 y'— 2x1 — by ^- >(i/' — ip.r) = 0. 



I>e8 points doubles de ce faisceau sont déterminés par les équations 



r,^x-«-pX = 0, y'^'^""! "*"'•'" "' -jF. = -«X— -y-Xpx = 0. 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



73 



\ous aurons le lieu clierclié en éliminant Jt et À entre ces trois équations. Il sufdt d'éliminer 
ï -+- }ù entre la première et la troisième, et on obtient immédiatement la parabole 2a,- + liy — 0. 



4. La seconde parabole qui passe par les quatre points 0, M, V, ij a ses axes perpendiculaires à Ox; 
son équation est if — 2/m- — (y — mx)(y + vi.c -h hm-j = 0, 

ou (P) in-x' — ('Ip — hm').v — Inn-ii = 0. 

Son axe a pour équation 2w'j,' — {2p — hm'} = 0. 

. , 2u — linv 
Eliminons entre ces deux équations le rapport - nous avons pour équation du lieu des 

somiiiels i' + liy = 0, 

qui représente une parabole. 

Enfin, le foyer de la parabole (P) est déterminé par les deux équations 

'ihm^y + (2;j - hm'Y - hhn- = 0, "Im-x — ('2p — hm^) = 0. 

2/j — h m' 
Eliminons — ^ entre ces deux e(iualions, nous avons le lieu du loyer 

'ij;" -4- 4/(1/ — A- = 0, 

cette équation représente encore une parabole. 

J -1>. DUFAUT, à Aiguillon. 

BoLDCs solutious : MM. K.-.N. IIarisie.v : l!. Fontaine, lycée Conilorcet; .Mollon, pcnsioDDat \alb»Doite, ii Saiol-Elienne ; 
l'r.LvoisiN : Jules Rongieh, lycée doOlcnnonl ; I". V'alot. 

Remarques géométriques. — Le ccnlrc w du cercle UlI.M est au point de rencontre des perpendicu- 
laires élevées au milieu des cordes OH, O.M.PQ. Si l'on mène la symétrique IIE de la droite O.M par rapport à Du, 

IlE est parallùk- à PQ, et comme les points 
I,.l, situés sur les diamètres de cordes égale- 
ment inclinées sur l'axe (U-, sont également 
dislants de cet axe, on a 
IIE = RI— El = 2UI — 2GI = 2LC. = 011. 

Il en résulte immédiatement que la pro- 
jection T du point H sur Vlj est sur l'axe (te. 
L'enveloppe delà droite Pn est donc la para- 
bole qui a son sommet en et son fojcr on 
11. Etant donné ni, c'est-à-dire la corde (tM, on 
en déduit la corde PQ au moyen du point 
T qu'on a immédiatement. 

La parabole donnée (P) et la parabole 
enveloppe de PU ont trois tangentes com- 
munes, dont une seule réelle, de coefli- 
cient angulaire — ni. Il est clair que les 
points d'intersection P. U des tangentes à la 
deuxième parabole avec la première sont ima- 
ginaires lorsque III est compris entre + m' et 
+ oe. Dans tous les autres ca«, ils sont réels. 
N étani le point de rencontre de OM, PQ, 
etc. le poiiU de contact de l'H avec son enve- 
loppe, on u Ti: = < T. On en déduit entre les 
coordonnées («, ;/), (x', y") de- points C, .N les 
relations x = 4x', </ = — 2;/' ; ce qui montre 
(|ue le lieu du point .N est une parabole de 
sommet (>, dont l'axe est dirigé suivant Oi/'. 

(',o^^idé^ons maintenant In seconde para- 
bole d»', passant aux points 0, M, I', n. Les paraboles yV, et (Pi ayant leurs axes rcctan.L'ula.res, la distance 
^ du centre w du cercle à Taxe Ox de (P) est, comme on sait, égale au paramètre de la parabole (P). 




GfiOMÉTIUE ANALYTIUUK 



Celle parabole, de grandeur conslante, passe par le puinl Hxe 0. Le lieu do son sommet S est évidemment une 
parabole de sommet 0, égale à la parabole variable (P'i, cl dont l'axe est dirigé suivant <>i/' . Pour une même 
abscisse, en e(Tet, OL = SK, les ordonnées sont égales LS = KO. Le lieu du fover K de >P' est la parabole pré- 

011 



cédente, à laquelle on a fait subir une translation; parallèlement à Oy, d'amplitude SF = -7-- 



VASMKR. 




929. — Éloiil donnée une cardioidi- doni If point dr rebriiussement (Si G, soient O.K un rayon vecteur 
quelconque, OR un vecteur perpendiculaire à OA, OC, un vecteur ayant la même inclinaison que OA sur 

l'axe de la cardioïde et dont la longueur est différente de celle de O.K et OA' le 
recteur qui prolonge OA : 

1° Le lieu du centre de similitude externe des cercles de diamètre OA «t OA- 
<'x/ une rissoïde droite; 

i" /.<■ lieu des centres de similitude des cercles de diamètres OA c/OC se com- 
pose de deux lignes droites ; 

3" Construire les courbes lieu des centres de similitude des cercles de diamètres 
OA el OB; 

4" Le lieu du rentre de siinilitudr externe du cercle de diamètre AA' avec le 
rertle de centre A et de rayon .\0 est une cissoide droite. 

1. Les centres a el a' des cercles de diamètre OA et OA' sonl situés sur une cardioïde {^), honio- 
théliquc de la rardioïde donnée, le centre d'iiomothétie étant le point 0. Celte cardioïde (y) est la 

conclioïdo d'un cercle de diamètre Orf, el les points a cl ^l'sonl situes 
sur nii rayon vecteur Oi/i de ce cercle, de telle manière que 
ma = ma' = Od. 

Comme le point est le contre de similitude interne des deux cer- 
cles de diamètre oA et OA', le ccnire de similitude externe S est le 
conjugué liarnioni(}ue de par rapport à a et (i. Nous avons donc, 
puisque m est le milieu de aa', niO.mS = ma = Od*. 

Or 7» désignant le point de rencontre de Om el de la tangente 
en (/ au cercle 0(/, on a mO.Qp = Od', donc mS = 0;j, par 
suite mp = OS, ce qui montre que le lieu du point S est une 

cissoide droite dont le point de rebroussement est le point cl dont l'asyraptote est la symétrique 

de la droite dp par rapport au point (>. 

2. Le centre c du cercle de diamètre OC est symétrique de a par rapport à Od. Comme les centres 

Oc 
de similitude des cercles de diamètre OA el OC divisent la droite ca dans le rapport -:— -, ces centres 

On 

sonl situés sur les bissectrices de l'angle cOa. Or. ces bissectrices sont la droite Od et la perpendicu- 
laire 0/"; ces deux droites constituent le lieu cherché. 

3. I>e» centres a et /* des cer<;les de diamètre OA et OB sonl situés sur la cardioïde (y). Les centres 

de similitude a et o' de ces deux cercles sont les 
points de rencontre de ah el des bissectrices de 
l'angle aOb. 

Prenons pour axe polaire la droite Od, el soit 

i z= (i{ 1 -i- COS lu) 

l'équation de la cardioïde (y). 

Cherchons d'ahord le lieu du [loint a, centre 
df> similitude externe. Si on désigne par 3 et lu les 
coordonnées polaires de c« point, les angles [mlairos des points a el 6 sont respectivement 




«L-- 




GÉOMÉTKIIi; ANALYTIQUE 



75 



) et w — > et les rayons vecteurs On et 06 sont 

A A 



cos 10 si 



n t^ \ 

wr 



Oa = a[n-cos(.„-^)]=a( ^- ^ ^- 

[/ ~ M /i cos 10 sinio 
1 H- cos ( "> ~ T ) I ~ '^i 



■) 



v/2 "^ s/? _ 
Pour avoir une relation entre p et u, nous écrirons que l'aire du triangle lOa est égale à la somme 

des aires des triangles iQb et bOa, ce qui donne 

Oa.Ob^l 



Oa.Oa sin -^ = Os. 06 sin -^ H-0a.06, 
4 4 



d'où 



Oa = 



Oa — 06 



Or on a 

/ cos 10 sin<o\/. cosio sinw 
0a.06 = «M 1 ^- H ;=- U1-+ 



^ 



r)(' 



sinioN r/. sintoN- cos'ioT a' , ,5- . s. 



v/ï A'^ ^± "" »/2 

Oa — 06 = — «v'S cos (o, Oi = p, 

_ a(l-W2siniof 



2 cos 



par suite, l'équation du lieu est 

En changeant 'o en t.— w, p change de signe, donc la courbe est symétrique par rapport à Car ; 

nous en obtiendrons la moitié en faisant varier 10 de — à -+- -^• 

La dérivée de p par rapport à to est 

, _ o_ (l+v/l"sin»o)(v/Isin'<o— sinui — 2^/2) _ 
° 2 ' ces- fo 

Le trinôme \lt sin^ « — sin -^ — 2/2 a ses racines réelles de signes contraires et supérieures 
à 1 en valeur absolue, donc ce trinôme est négatif pour toutes les valeurs de '», et la dérivée a le signe 

,y de — (1 -H/2sin (o), elle est donc positive 

T. . t 

quand 10 varie de — - à t-> et néga- 
tive si (o varie de — -^ à + — ■ On peut 
donc dresser le tableau de variation suivant 




T 



~ï 



-00 croit décroit — ^ décroit —00 



La courbe admet deux asymptotes paral- 
lèles k 0»7 : l'une correspondant à <o = — -^ 

a pour abscisse — -| (v/ï - ^)^ l'autre cor- 
respondant Ji <- = -»- Y a pour abscisse 



Cherchons maintenant le lieu du point a' ; 
désignons encore par ? el 10 les coordonnées 
de ce point. Alors les angles polaires des points 



r.KOMKTFUK AN.M-YTIOrE 



1 et A sont •» — -- cl '" -i — -' leurs rayons vecteurs 
4 4 



I , r \ 1 / COS ui <\n ii> \ 

r . / ~ \ 1 / . COS <•• sin (o \ 



m Oc' — 



Oa-r-06 



D'aulreparl, Oo.O'» = (Ji.fV sin -^-r 0/«.Uî siii j^ 

pt, en remplaçant lia. Oh par leurs valeurs, Oj i>ar p, on trouve 

_ a(l ~h v^2 COS "i)' 
'^ ~ 2(»/i-hcos<o) 

Kn changeant >■> en - ">. s ne change pas. ijnnc la courbe est sjmétri"iue par rapport à l'axe 
polaire . il suflil de faire varier <u de <i -. 

(Il 1 -r- \/î COS <•> 3 - \'2 ces lo) 



Nous avons 



L»! facl«ur 3-^v/4eos<'> est toujours posilil, ?' est de signe contraire à 1 -r ^2 cos »«. 

On aura donc le tableau suivant 

'^- 

z 

4 




(I 



» I 



décroît cioil 



rt|/2-!) 



On en diWliiK aiséiiieiil la furnie de la rourbe. Les tangentes 

aux points oii la courbe n-nconlre l'axe polaire sont jterpendi- 

rulaires à cet axe. 

4. Hevenons à la cardioidc donnée; soit OD le diamètre du cercle dont elle est la conclioïdc el OM 

le rayon vecteur de ce cercle sur lesfjnels sont situés les poinis A et A. Nous avons M.\ = MA' — (11), 

par suite l<' point M est le centre du cercle qui a pour dia- 
mètre AA . 1,1' centre de similitude exiernc N des cercles 
considérés dans l'énoncéest situé sur A.V en dehors de AM, 
el l'on a 

NM _ MA NM _ MA . 

1Ï\"T\\' "" NA-.VM ~ OA - \\\' 

.\M MA 
ou encore MA" = ÔM" 

On en deduil UM..NM=(3I>, et en raisonnant comme 
dans lii première partie, on voit que le lieu du point N est 
une cissonle (|ui a pour point double le point el pour 
asvntplolv la diMle <vnii-triqui' i>ni lapporl au point <> de In tangente en I) au rcrrle de diamètre 00. 

PEI. VOISIN 




r.KOMETRlE ANAl.VriOUE 



930. — On L-oiisiilinr deux (i.ie.s ri'cliiiiijuluiii's Oi: fl Oij el, sur Ox, Ueu.i /ujinh A et f! dont lis 
abscisses sont a '■/ ~ à ; puis,eti outre, le faisceau des cerrlfs (ivlhuçjniiau.c nu rercle ayanl k paiiit A 
pour centre et passa» I eu (I et tniuieut en un poinl Vile Oi/ à la drnite qui juint ri' point 1' au point V, ; 
et on ilemande : 

1" L'i'i/nntion ijénrrale de ces cercles rn fùnetiun de roidunnér du point I' ; If lirti des centres de l'enve- 
loppe de ces cercles : 

2" Le lieu du milieu de la corde de contact de chaque cercle avec son enveloppr ; 

3" Les coordonnées du second point de rencontre de la pnlairr de |? pur rapport à l'un dr es cerclfs et 
le lifii de ce piiinl. t'onsiruirr ce diunier lieu. 

1" Appelons À roidoimée (lu point I'; réqualiun do la ilioite BP s'écrira alors )>3r — ai/ -j- «X = 0. 
Le corde clierché fait partie du faisceau linéaire de cercles déterminé par le cercle de rayon nul, avant 
son cenlri' an i)oiii( |> cl par la droite BP ; il a donc pour équation 

■V^ -+■ (y — l)- -H 2,u^^Xa; — ai/ - - al i = 0, 

H élanl déterminé en foncliim de / jiar la condition que ce cercle soi! orthogonal au cercle indiqué, 
AO, dont l'équation est 

'■" ^~ .'/'" — 2rt.r = 0. 
Cette condition d'orlhogonalilé est 

— 2aÀ|ji — À-' — 2rtÀ[ji = ; 

elle donne u= -• et i'équali(jii j^énérale des cercles du système clierché est, loutcs réductions 

'ta 

faites. 

}j :jx X' 

Les coordonnées du centre sont /• = 7= ' — : l'élimination de X entre ces doux, rolations 

Aa 't 

est immédiali' et nous avons de suite le liou du centre 

(2) 4.'/-- Oa.r=r 0. 

Ce lieu est une parahole rapportée a Sun axe Ox) et A sa tangenle au soinniel U71 : le pai-amètre 

. 9'/ 
de celte parabole est égal à — • 

H 

L'enveloppe du cercle (i) s'ohiieni aisément aussi : il n'y a qu'à exprimer que celle érpiatinn 'I), 

regardée comme étant du second degré eu X, a une racine double. Ce calcul donne immédiatement 

l'équation de l'enveloppe 

(3) 8(.c — a)i.r- + y-') -f- 2aif = 0. 

Cette courbe est facile à construire ; c'est une cubique circulaire ayant j)Our point double l'origine ; 
les tangentes en ce point sont les droites 1/ = ±:2.r/'2: de plus, l'asymptote réelle est parallèle à (li/ 

et a pour équation .1 = ; ajoutons qu'il y a symétrie par rapport à Or et que le sommet <le la 

H 

courbe, sur cet axe, a pour abscisse '( ; nous en aurons dit assez. 

2" Chaque cercle X touche son enveloppe en deux points «pii s'obliennenl en combinant l'équation 
du cercle avec la dérivée de cette équation par rapport à X. La corde des contacts de ce cercle a donc 
pour équation 

CL:zi-2){x — u)-^-6ay = (); 



78 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



le milieu de cette corde s'obtient en abaissant du centre du cercle à une perpendiculaire sur celte 
droite 



■('-è)-K»-T)=«. 



3a 

, 4./ ,/ V 

ou 3n.r _ 2>j/ + — = II. 

L'équation du lieu de ce milieu est le résultai de l'élimination de X entre cette équation et la pré- 
cédente ; on trouve ainsi 

(4) Hi(x — n)[4r — a) -h y'] -+- 9<i,f- - 0. 

Cette équation représente encore une cubique circulaire ayant Taxe des i pour axe de symétrie, 
dont le sommet est l'origine des coordonnées et qui a un point double isolé au point (ii, 0); l'asymp- 
lole réelle, parallèle à Oy, a pour équation Ifir — la =0. Ces remarques suffisent pour tracer la 
courbe. 

3" Pour obtenir le second point de rencontre do la polaire du point H avec le cercle ', il faut 
d'abord chercher les coordonnées du symétrique de 1' par rapport à la droite qui joint le point B au 
centre du cercle X et éliminer le paramètre X entre les équations qui donnent ces deux coordoimées. 
Or la droite qui joint le point H au centre du cercle >. a pour équation 

•àal{x -+a)— (X» H- 4a')t/ = ; 

si alors on désigne par a et [^ les coordonnées du symétrique de P(0, >), il faudra exprimer que le 
milieu du segment formé par les deux points est sur cette droite et que la droite qui les joint lui est 
perpendiculaire ; ceci donne 

3flX{« H- 2a) — (X» -+- •l«»)(p -+- >.) = 0, (X^ 4- ia'-)x -+- 3aX'p - X) = 0. 

De la seconde de ces équations, on déduit 

g _ p — X 
"SâT " — (X»4-4a')' 
et, en tenant compte de la première, 

a S — X 2X^-h2(7'/ 



3aX _(X'-|-4rt») (X« -h 4a»f M- 9«'X' 

Le dernier rapport peut se simplifier, il est divisible haut et bas par X* -\-a*, et l'on trouve défi- 
nitivement 

GaX« _ 8a»X — X» . 



X«-4-f6a' "^ X«-i-l(),(> 

poMOt cnfln X r= 4a<, (jn obtient 

(6) «ou j- = ^-j-j-j, flou y = 2« ,. , t ' 

ce sont le» deux équations de lu courbe exprimées à l'aide d'un paramètre / ; il est facile d'en déduire 
l'équ&tion cartésienne ordinaire. 

Pour construire cette ligne, remarquons d'abord que le changement de < en — t laisse x inva- 
riable et change simplement le signe de y ; celte simple remarque manifeste une symétrie par rapport à 

Oxel montre qu'il suffit do faire varier / de à +x. Pour '=0, x el y son! nuls, — de- 



CHIMIE 



79 




vient infini, l'arc considéré pari de l'origine langentiellement à Oj/, 
et, comme x et y sont positifs pour t infiniment petit, il est facile de 
(igiirer la portion de cet arc qui avoisine l'origine ; y devient nul pour 

' = -j^' v est alors égal à 2» ; oiifin, pour t — +70 , x = Ou, 

y — — =0 • On peut maintenant figurer l'arc décrit de cette façon. On 
vérifierait d'ailleurs sans peine que 1/ a un maximum dans l'intervalle 

(0, —j^Y La courbe s'achève par symétrie. 

11 reste à voir à quoi correspondent les deux solutions supprimées 

),-' + a= = 0. 

Pour X = ai, le cercle X devient 



x--^y'--^ 



(IX 



3«t 



~5~ 



0, 



ou 



Y - 'y - |-)(^ -+- «y -*- «) = i^ ; 



il se décompose en deux droites isotropes dont l'une passe au point B, 
X -i- iy -i-a — 0; la polaire du poir^t H par rapport à ce cercle parti- 
culier coïncide avec cette droite, qui dès lors fait tout entière partie du 
lieu; de même la droite x — iy-+-a = fait aussi partie du lieu 
total à titre exceptionnel. 
On vérifie aisément que ce cercle exceptionnel a son centre sur le cercle x--i-y^ — 2ai = cl 
on s'explique alors sans peine comment il est orthogonal ù celui-ci. 

J. D. DUFAUT, à .\iguillon. 
Donnes solutions : MM. Pelvoisin; F. A. C., h Caen. 



CHIMIE 



890- — Pans un eudiomètre gradué plac'- sur la cuve à morcure et contenant 145" d'oxyijène, on 

fait arriver les gaz qui se dégagent de deux ballons contenant, l'un des morceaux de sodium, l'autre des 

fragments de carbure de calcium, dans lesquels on verse, à froid, avec précaution, de l'eau en excès. Le 

volume total occupé maintenant par le mélange gazeux dans l'rudiométre est 2j0",5. 

On excite l'étincelle. Après l'explosion, un laisse refruidiret on constate que le volume du résidu est 8*^,2. 

Jl esl d'ailleurs complètement absorbable par la potasse. 

. On demande d'expliquer tes réactions, de les formuler et de calculer les poids de sodium et de carbure 

de calcium mis en expérience. 

Pour simplifier, un supposera les gaz purs, secs et mesurés dans les conditions normales de température 

et de pression. ' . 

{lïeole centrale, deuxième session de 1899.) 



Prenons pour inconnues et désignons par x el y les fractions de masses moléculaires de sodium 



80 OURSTKINR PIIOPOSKKS 



..l tic carbure -le «alciuin iiiiM> <-ii «iiiMc. L.s iiroiniôres léaclioiis seronUeprcscnli-ospai- les èqualiuiiN 

r Na> + 2I1»(> = 5NaOH + II- , 
t/rC'Ca-^2ll-0 ~ Ca(OH^»-i-C«U«l. 

Puisque II' résidu est complètPineiit absorbablo par la potasse, il se compose exclusivement de gaz 
carbonique, el il n'y a dexc-s ni d'oxygène, ni d'hydrogène, ni d'acc^lylène. Les combustions seront donc 
représentées jiur les équations 

ri H^4- —I»- - Il (I 1 

j/[c'H«-^ |-02 = n'o + acoH. 

Supposons le volume moléculaire égal à 2'ii'i,;i, valeur fjénéralemeni adoptée dans ces sortes de 
problèmes, el exprimons les volumes en ronction de r et \j dune part, des données d'autre part, nous 
aurons 

Volume d'oxysténe : ( ~ *" "^ ¥ 'V "'^'^ ~ "''*"'■ 

Volume d.'s !j;az : (or 4- .V)22,3 = 0,25tio — U,<45 = U,l 1 15. 

Volume du résidu : 2./.22.3 = 0.0892. 

Les données sont donc surabondantes, mais ces Irois éiiuations \ deux inconnues sont beureuse- 

nienl compatibles el donnent 

.(• = 0.003, 1/ = 0,002. 

Mn iMi déduit pour les poids demandés ; 

Sodium r Na* = 0,003 x *G = 0«',i:tS. 

Carbure de calcium v C'Ca = 0,tK)2 x <H = 0"J28. 



(QUESTIONS IMtOPOSEES 



094. _ Montrer que toute équation du troisième degré 

.r^ -(- ax^ -f h.-- -+- c = 

peut !ic mettre de deux façon» sous la forme (a; — n (jr — ï)' = U, », [i cl U étant certaine.'* constantes. 

Danfi quel c.i.s le nombre » de la première foiiiic csl-il rj;nl .m numlire ^i de bi seconde ? Calculer alors les 

valeurs de i, i <•! U rt résoudre l'èqualioii du Iroisii'inc dcfjré. 

t. . II. 

995 _ Du cunxidèri' un tlianièlre (Ixi* AU dans un cercle donné. Soient M tni point variable du cercle, I' »,n 
iirnjecliun sur Alî et A' If symétrique de A par l'apporl à P ; soit aussi O la jinijeclion de A sur .MA'. ' 

«•Trouver le lieu de l'orthocentrc du triaiijrle AMA'. 

2" Trouver l'enveloppe de la droite MA' cl In lieu du pninl M. Construire ces courbes. 

Iv.-.N. Habisik!». 

996 — Démontrer que ni l'on fait tourner un système do deux miroirs plans nn.Kuluires autour de leur 
intertertioii, le« imaKC" d'ordre pair, r'evl-A dire produites par un nombre pair de réllevinns, reslenl immobiles. 
Appliralioni i la rbaudirr claire. 

.*> _ 

Lr /li'dachur-Géiuiil : II. VUlltKHT. 



iM»-L«-BUc, lar. u>iiT«-uc«nRi . 



11' Année. N» 4. Janvier 1901. 



REVUE DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES 



PREMIÈRE PARTIE 



SUR LES LIEUX DES FOYERS DE CERTAINS RÉSEAUX 
DE CONIQUES OU DE QUADRIQUES 

par M. B. Gluzeau, élève de Mathématiques spéciales au collège Stanislas. 

Elanl donné un réseau tangenliel 

on sait qu'il existe une infinité de systèmes de deux points qui en font partie ; ce sont les ombilics des 
coniques non évanouissantes du réseau prises deux à deux; leur lieu est une courbe du quatrième degré 
en général. Il est clair, par suite, que si on considère le réseau défini par deux coniques C|(/', = 0), 
Cj(/'2 = 0; et un point double 0(fi = 0), le lieu des ombilics du réseau est le même que le lieu 
des points de contact des tangentes menées du point aux coniques du faisceau 

X,/-, -^ hf, = 0. 

Particularisons encore ce réseau ; supposons que la conique Ci soit constituée par les points cycli- 
ques, le réseau contient alors : 

les coniques homofocales à Ci ; 

les cercles de centre ; 

les coniques du faisceau déterminé par une des coniques homofocales à C, et un des cercles de 
centre 0. 

De ce qui précède, on déduit que le lieu des ombilics du réseau est le lieu des points de contact 
des tangentes issues de- aux coniques homofocales à C,, c'est à-dire eu gén^^ral une stroplioïde. 
Donc, si on donne un cercle et une conique, 

1° les faisceaux tangentiels déterminés par une quelconque des coniques homofocales à la propo- 
sée et l'un quelconque des cercles concentriques au cercle donné ont mi^mc lieu de foyers ; 

2° ce lieu est le même que celui des points de contact des tangentes isnies du cenlrc du cercle 
donné aux coniques homofocales à la conique donnée. 

Dans le cas général, ce lieu est une strophoide; si la conique donnée est une parabole, le li.'u se 
décompose en une droite et une parabole ; si c'est un cercle, le lieu se confond avec celui des points 
de contact des tangentes aux cercles concentriques à l'un menées par le centre de l'autre; c'est donc le 
cercle décrit sur la ligne des centres comme diamètre. 

La considération d'un réseau tangentiel de quadriques 

fournit des résultats analogues dans l'espace. 

Dans le cas particulier où /. = représente l'ombilicale et A = un point double, on voit 
que le lieu des focales du faisceau déterminé par une sphère (S) et une quadriquc (Q) est le même que 
le lieu des courbes de contact des cônes ayant pour sommet le centre de (S) et circonscrits aux qua- 



82 APPI.ICATIONS DE LA TUKORIE DES ENVELOPPES 

driqups honiofocales à (Q) ; ce lion rcsie par siiilo lo nituie quand on remplace (S) par uno sphère 
concenirique et (Q) par une surface homofocalf. 

Les rf'sullals précédenls perniellent de résoudre d'une manière simple le problème suivant proposé 
en iH'M au concours général (') : 

Soient ((,» uno quadrique circonscrite ;i un illipsoïde donné et A le pcMe par rapport à rellipsoïde 
du plan P de la courbe de conlact des deux surfaces. 

1 ■ Uénionlrer qu'il y a, en général, trois ijuadriques (Qi), (Qs)) (Qa) homofocales avec l'ellipsoïde 
et telles que les i)lans polaires P,, Pj, Pj du point A par rapport aux quadriques (Oi), (Qa), (Q3) passent 
par le oenire de la quadrique (Q). 

2' Les plans P,,P^.P:, sont les plans principaux de la quadriqiic (0) et les coniques C,, <y., Cj, 
intersections des surfaces (P,,Ui), (Pa.Q»), (PhUj) sont les focales de celte quadrique. 

3° Les projections orthogonales des coniques t^, Cj, C, sur les plans principaux d(! l'ellipsoïde (E) 
sont des coniques homofocales. 



On projettera en particulier les coniques sur le plan principal qui contient l'axe inajeni- et l'axe 
...^icn de rellipsoïde et l'on cliercliera le lieu des fuyersdes coniques i)r(ijetées quami la quadrique (Q) 
varie en restant circonscrite à l'ellipsoïde, le plan P de la courbe de conlact ne changeant pas. 



move 



Considérons le réseau langenticl déterminé par le point .V, l'ellipsoïde ( !•]) et l'ombilicale ; nous 
voyons que la quadrique (Q) en fait i)artie et comme d'après les résultats précédents, les focales du 
réseau ne sont autres que les courbes de contact des cônes de sommet A circonscrits au'i quadriques 
homofocales à (E). il existe trois de ces dernières (UiV(Qj), (Qd), admellanl [\>:\r plans polaires de .\ 
les plans principaux, P,, P3, Pa, de la surface (Q), et pour sections par ces plans les focales de (U)- 

Si on projette les coniques r.|,Cj,Cj sur un plan quelconque, les coniques ainsi obtenues et le 
contour apparent de (Q) sui; le même plan sont homofocales, puisque ce théorème est vrai pour les 
contours apparents de deux surfaces homofocales quelconques E ; en particulier, projetons sur l'un des 
|)lans principaux de (E) ; le liiu cherché est, d'ajirès ce que nous venons de dire, le lieu dos foyers des 
contours apparents des quadiiques Q sur ce ])lan : lo iilan P ne changeant pas, ces contours appa- 
rents sont bitangenis à la section principale de (E), le polo de la corde des contacts étant le point «, 
projection de A, le lieu cherché est donc le lieu des points de conlact des tangentes issues de aux 
coniques homofocales à la section principale de (E) ; c'est la slrophoïde déjà signalée. La démonstration 
subsiste quoi que soit le plan sur lequel on projette ; il sullit de remplacer la section principale par le 
contour apparent de (E) sur le plan choisi. 



SIH DKS AI'l'LUlAïlU.NS DH i.A TlilX)UII': DKS i'.NVI-i.uri'KS 

|inr M. H. MicbeL /•li-vr de Mnlln'maticnics s|K-ci.tlcs nu lycée de Douai. 



Lorsque, dan» la recherche des éléments d'une courbe el du lieu de ces éléments, on assujettit la 
coiirbo il passer par im point P, il esl quohiucfois avantageux do l'assujotllr à être langenlo à deux 
droilis arbitraires issues de P, puis de faite lindrc l'une des droites vers 1 autre; de mémo, si on veut 
astreindre une courbe à être tangente à une droite donnée, on peut commencer par la faire passer par 
deux points quelconques de la ilroile, puis faire tendre l'un de ces points vers l'autre. 

Ces simples remarques peuvent être utiles dans de nombreux iiroblomcs, et je me propose de le 
montrer dans les quelques exemples suivants : 

(•) Voir Hrriir, >'»• d'orlolirp cl novcmlirr t8'J2. 



APPLICATIONS DE LA THÉORIE DES ENVELOPPES 



83 





Lieu des foyers des paraboles tanijentes à deux droites OX, OY et passant par un point l>. 

Je mène par P les deux droites 
il, Aa, arbitraires, et je considère la para- 
bole tangente aux quatre droites OX, OY, 
Ai, A2. D'après un tliéori'me connu, son 
foyer est le second point commun aux 
cercles circonscrits aux triangles OA,B|, 
OA3B2. Faisons tendre ii vers Ao. La para- 
bole, à la limite, est tangente en P à A^ 
el son foyer est le point où le cercle cir- 
conscrit au triangle OAjBj touche son 
enveloppe. Il en résulte que le lieu des 
foyers nest autre que l'enveloppe du cer- 
cle (OAjBj), AjBj pivotant autour de P. 
On sait que si un cercle passe par un 
point fixe 0, son centre décrivant une courbe r, l'enveloppe du cercle est la podaire par rapport à 

1 

d'une courbe liomothétique à r, étant le centre et — le rajjport d'Iiomothétie. Le centre to du cercle 

(OAoBj) décrit visiblement une hyperbole S dont les directions asymptotiques sont perpendiculaires 
aux droites données OX, OY; i; passe par 0; le lieu des foyers étant la jiodaire d'une hyperbole 
passant en 0, par rapport à ce point, est une ([uarlique bicirculaire admettant en un point de 
rebroussement, la tangente en étani la normale en ce point a S. 

IL — Lieu des centres des coniques inscrites dans un Iriançilc ABC et passant par un point donné P. 

On sait que le lieu des centres des 
^ coniques inscrites dans un (luadrilatère 

A est la droite joignant les milieux des dia- 

gonales. Appliquant la méthode précé- 
demmentexposée, on voit que le problème 
est ramené au suivant : On mène par P 
une droite variable A, qui coupe en a, 6, c 
les trois côtés du triangle donné et l'on 
considère la droite D qui joint les milieux 
de deux des diagonales du quadrilatère 
complet formé par A et les cotés du 
triangle ; trouver l'enveloppe de D. Le milieu a, de Aa décrit la droite mn joignant les milieux des 
cotés AB, AC. De même, le milieu 6, décrit la droite mp. On voit sans peine que a„ b, décrivent sur 
mn, mp des divisions homographiques. Donc D enveloppe une conique r inscrite dans le triangle 
mnp formé par les milieux des côtés du triangle proposé, r est le lieu demandé. De plus, comme 
les coniques lieux de centres qui correspondent aux positions du point P dans le plan ne 
dépendent que de deux paramètres (les coordonnées de P), on voit (lu'unc conique quelconque 1" ins- 
crite dans le triangle mnp peut être considérée comme étant le lieu dos centres des coniques inscrites 
dans ABC et passant par un point P parfaitement déterminé drs que r l'est. 

m. — Lieu des centres des Injperboies équitatrres passnnl par deux points donnés el tamjentcs à une 
droite donnée. 

Soient A, B les points donnés, D la droite ii laquelle les hyiicrboles sont tangentes ; on faisant 





84 



UNE DEMONSTRATION DL l'HfDKÈME DE PASCAL 




passer ces hyperboles par deux poiats distincts de D, puis passant à la 
limite, on voit de suite qu'on est ramené au problème suivant : Deux 
sommets A, B d'un triangle étant fixes, le troisième, C, se déplaçant sur 
une droite AU, trouver l'i'nvclopito du cercle des neuf points du triangle. 
Ce cercle passe par le point M, milieu de AB; on voit aisément que le 
centre m du cercle des neuf points décrit une conique admettant la per- 
pendiculaire Mm abaissée de M sur U |)0ur axe de symétrie ; cette 
conique est une parabole dans le cas où AB est parallèle à D. Il en résulte que le lieu cherché est la 
podaire d'une conique par rapport à M, c'est-à-dire en général une quartique bicirculaire admettant 
M»/i pour axe de symétrie et M pour point dnublc l-a [lodaire se réduit ;i une cubique circulaire dans le 
cas oii AB est parallèle à D. 

La méthode peut s'appliquer également au lieu des foyers des coniques dont on donne un foyer, 

qui sont tangentes à une droite donnée et qui passent par un point donné, etc 

Elle est surtout avantajîeuse pour les coniques quand celles-ci sont assujetties à trois conditions 
tangenlielles et une ponctuelle, ou trois ponctuelles et une tangcntiellc, et comme les lieux sont obtenus 
parla théorie des enveloppes, elle met souvent en évidence certains détails intéressants au point de 
vue langcntiel sur les courbes trouvées, et qui ne sont pas toujours visibles a priori. 



UNE DKMONSTRATKtN itl TilKdUKMK DK LllI-XAGOMÎ DE PASCAL 

par M J. Thébes, ''lo\e au lycûe de Montpvllii'r. 



TtK'-oivine. — htanl donnés 5 poittls d'uiir cuniquc A, 15, C, 1), E, si l'on joint un point mol/ilf de cette 
conique M aux points A e/ E et qu'on prenne l'intersection Q de ME avec BC, puis l'interseclion R de MA 

avec CD, la droite Qll passe par un point fixe. 

En ellet, quand le point M se déplace sur laconique, les droites 
MA, ME engendrent deux faisceaux homograpbiques de sommets A 
et E. Si l'on coupe ces faisceaux par les droites CD, CB on obtient 
sur ces deux bases deux divisions homograpbiques engendrées par 
les points II et Q. 

D'autre part, si l'on amène M en C, les points R el (j sont con- 
fondus avec C ; par suite, ces deux divisions homograpbiques à 
bases disliiirlos ont deux points hnniologues confondus. On sait que 
dans ce cas la droite U(J. qui joint doux points corrcs|)ondants, 
passe par un point (ixe. 

<:<>r<>iliiir<- — Ucxniione de Pascal. — Considérons l'hexagone 
de Pascal ABCDEM. Soient 1, 2, 3, A, 5, (i les côtés consécutifs ; il 
faut prouver que les points de rencontre, I» de (I, 4), Q do (2, .'ï), R 
de (3, G) sont en ligne droite. 
(Considérons M comme mobile sur la coni<|ue. D'après le théorème précédent, QR passe i>ai un 
point fixe. (Cherchons ce point fixe. Pour cela dnnnims à M deux positions particulières. 
1" M est en H , alur-i n est en U, R est sur AU, donc H(J a la position AU. 

2" .M est en D ; alors R est en D, (J est sur DE, donc RU coïncide avec ED; par suite, le point 
d'inlerMclion P de AB avec ED est le point fixe cherché. P, (J, R sont donc en ligne droite. 




CONCOURS GKNÈRAL DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES (1900) 85 



GEOMETRIE 



918C). — Si un triangli' varie en restant inscrit dans une conique C et circonscrit à une autre conique 
C, la polaire fie tout point de C par rapport au sijstéme des trois côtés du triangle passe par un point 
fixe. 

Nous chercherons à démontrer la propriété corrélative qui s'énonce ainsi : 

Etant données deux coniques C et G' telles qu'il existe une infinité de triangles o^y inscrits dans C 
et circonscrits à C, le pôle trilinéaire par rapport à chacun de ces triangles d'une droite D tangente à C 
décrit une droite fixe. 

Pour démontrer celte proposition, désignons par I et J les points de rencontre de la droite D avec 
la conique C et faisons une transformation homographique de façon que I et J deviennent les points 
cycliques. La conique C devient un cercle etC une parabole ; les triangles a^Y sont alors les triangles 
inscrits dans le cercle et circonscrits à la parabole. Les pôles trilinéaires en cjueslion deviennent les 
centres de gravité des triangles afiY puisque D est maintenant la droite de l'infini. 

Or les orthocentres des triangles «^y décrivent une droite fixe, directrice de la parabole C et le centre 
du cercle circonscrit à chacun d'eux est fixe : c'est le centre du cercle C Donc le centre de gravité de 
chacun de ces triangles, qui est le milieu de la droite joignant le centre du cercle circonscrit à l'ortlio- 
cenlre, décrit aussi une droite, parallèle à la directrice de C. 

En revenant à la figure primitive, nous voyons bien que les pôles trilinéaires en question sont en 



ligne droite. 



G. LAPOINTE. 



CONCOURS GÉNÉRAL DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES (1900) 



Mathématiques (Paris et Départements). 
Solution de M. Galbrun (prix d'honneur), élève à l'Ecole normale supérieure. 



931. — On considère les paraboloides D représentés, en coordonnées rectangulaires, par l'équation 

-^ + -^ - 2.r - X = 0, 

p -\-/. q -h >■ 

dans laquelle p, q sont drs constantes et l un paramètre variable, et ion propose d'étudier la surface S, 
enveloppe des plans polaires P, par rapport aux paraboloides 11, d'un point donné A. 

1» La surface S est de la troisième classe el chaque plan polaire touche cette surface en tous les points 
d'une droite G. 

2" Les droites G sont tangentes à une courbe gauche V du Iroisicme ordre ; elles admettent un conc 
directeur C du second degré. 

3° La section de la surface S par un plan tangent, c'esl-à-dirc par un plan polaire P, se compose 
d'une droite G et d'une conique. — Déduire de là le degré de la surface -. 

4° Chaque droite G est le lieu des pôles d'un plan Q par rapport aux paraboloides II. 

Chaque plan (J est perpendiculaire à la droite G à laquelle il correspond. 

5° Trouver l'enveloppe Ci des plans Q qui correspondent aux diverses droites G. 

On indiquera les relations qui lient irnvrloppe C, avec les paraboloides II el avec le cône C. 

Les surfaces il représentées par l'équation 



;/ 



+ -:i^— 2.r-À = 0, 



/) -+- '■ '/■-+- 1- 



{•) Voir une solution analytieiue de cette question dans le n- de no\enibrc 1900 de la Revuf. 



86 CU.NCOUUS (JKNÉIIAI. UK MA TIII'MATIQIIKS SPÉCIALES {iSK)0) 



où f> el 7 sont des conslantos et X un p.iramèlre variable forment une famille di' paraboloïdes homo- 
focaux. Soient x», i/o, ^o '^^ coordonnées du point A; le plan polaire de ce point par rapport ;i l;i 
surface II qui correspond à la valeur X du paramètre a pour équation 

(P) ^_J^_^^.x„ + X = 0. 

Celte équation, si l'on y fait varier X, représente une famille ili- plans dépendant d'un seul para- 
mètre; ces plans enveloppent donc une surface développablo 1. D'autre part, l'équation (P) étant du 
troisième degré en X, par un point de l'espace passent trois plans tangents à ï, qui est par suite de la 
troisième classe. 

Si nous désignons par X,, Xj, Xj les racines do l'équation (P), en résolvant le système des trois 
équalione linéaires 



yv" 



p 

. j 
p- 



-+- Xj H- X, = 0, 



^. _J^__iii^+a-„ + X, = 0, 
- ■ ■ rt H- Xj 



p -H Xj 7 + X3 

nous aurons les expressions des coordonnées .r, y, ; du point par le(juel passent les trois plans qui 
correspondent aux valeurs X,, Xj, Xj du paramètre, en fonction de Xi, X^, X3. Ce sont 

/ J- = — (p 4- 9 -h X, -)- X, -H X3 -h xn), 

[ , (p-4-X.)(p+X,)(p-vX3) 

H) ■' yo{p — <]) 

I . ^ (y-H^'Ky + ^Kç + M 
\ ' -i^ip-'i) 

Si dans les expressions (1) je fais X, = X, = X et X3 = p, j'obtiens les expressions des coor- 
données d'un point quelconque de la surface lieu des points par lesquelles passent deux jtlans P 
confondus, c'est-à-dire de la surface S, en fonction des deux paramètres X et p Ce sont 

a!=— (p-t-9+2X + p-i- .To), 

(p-t-X)'(p+p) ^ 

(2) ' VJP-'I) 

^7 -^- >■)•(?-+ p) 
z,(p - q) 

Si dans If^s expressions (2) je considère X comnin (Ixe et p comme variable, je vois quo le point 
(ar, »/, :) décrit une droite (î. pénéralrice do la surface, intersection des doux plans P iiilinlinent 
voisins correspondant l'un à la valeur X du païainélre, l'autre à une valeur infiniment voisine. Le 
plan P corri>si>ondantii la valeur X du poramèln- est donc tangent à la surface le long de G. 

Si dans les expressions (2) je fais X = p, elles deviennent 

X — '/»-+-7-4-3X-»-ii.), 



(3) \ .7../' V 

\^P-9) 



CONCOURS GÉNÉRAL DE iMATHÉMATllJUliS SPÉCIALES (1900) 87 

Le poini (x, y, z) décrit alors une cubique gauche, lieu des points d'où l'on peut mener à la 
surface ^ trois pians tangents confondus ; cette courbe est donc l'arête de rebroussement de la surface, 
à laquelle les génératrices G sont tangentes. 

Les expressions des coordonnées d'un point quelconque d'une parallèle menée par l'origine à une 
génératrice de la surface S sont 

/ X = — 0, 



?/ 






\ 'o{p — q) 

En éliminant o, on voit que les équations de ces droites sont 

}?x ■+- SÀç-c + q''x-h zzjp — q)=Q, 

l^x -h 2lpx ■+ p-x — yy„{p — ?) = 0. 
En éliminant >, il vient 

(C) (,,'/,'/(, + ;:„)- + x'ip — <ir- — i{p — q)x[>jyo — ::„) =^ 0. 

Cette équation représente un cône du second degré qui est le cône directeur de la surface -. 

Revenons aux expressions (2j des coordonnées d'un point quelconque de la surface -. Si dans 
ces expressions je considère p comme constant et À comme variable, le point (x, y, z) décrit 
une parabole située sur la surface ï et dans le plan P correspondant à la valeur o du para- 
mètre. Tout plan P est donc tangent à la surface suivant une génératrice (i et la coupe suivant une 
parabole. Toute droite située dans un plan P coupe la surface ï en quatre points dont deux sont à l'inlor- 
soclion de celle droite et de la parabole, et dont les deux autres sont confondus avec le point d'in- 
leisection de cette droite cl de la génératrice. 

La surface - est donc du quatrième degré. 

On peut d'ailleurs apercevoir autrementce résultat. Considérons ladroile représentée par les équations 

UlX + t'i'/ -+- It'lZ + /il =: 0, 

ua- ■+- Vjy -+- îi'iZ + /i; = 0. 

Les X et p de ses points de rencontre avec la surface sont donnés par les solutions communes aux 
deux équations 

yo{p-q) 'o(p — 'iJ 

?/..(/' — 7) 'o{p — 'l) 

Si dans ces équations je considère X et p comme les coordonnées d'un iioint d'un plan, elles repré- 
sentent deux cubiques de ce plan; or, elles ont ii rinlini un |)<)inl simple commun dans la direction 
P = 0, et un point double dans la direction X = 0. Elles uni donc quatre points communs à dislance 
finie auxquels correspondent quatre systèmes de valeurs finies de X cl de p satisfaisant à ces deux 
équations ; la droite rencontre la surface S aux quatre points cone<pondants. 

' Soit 

iir -^ vy ■+- ii'z -!-/( = 

l'équation d'un plan O ; pour trouver le lieu des pôles de ce i)lan par rapport aux puraboloidus il, j'iden- 
tifie son équation avec celle du plan polaire d'un point (x, y, z), qui est 

X h a: -<- ? = 0. 

p + ? 7 -t- ? 



CONœURS GÉNÉHAL UK MATHKMATIQUES SPECIALES (19O0) 



Il vient ainsi 


u 

T ^ 


V II' Il 


-y - î * -^- P 




P-+-? '/-^? 


h 
ou x = 


?. 


y=^ — -(p+?), : = — — (</-l-p) 


Ce lieu esl donc nne droite. 






En posant — = 


-(P^ 


V (p + X)» 

^- T., -+- z>.). — = —7 ,' — 






les expressions des coordonnées du point courant de cette droite deviennent 

X = — f/j-(-7-t-2X-+-pH-a;o), 
(p + ).)'(p+p) 

. ^ iq + m^l + p) 
-Jp — fl) 
C'est donc une génératrice G de la surface i; et celte génératrice est le lieu des pôles du plan Q 
qui a pour équation 

_Ap-^'-yy (^ + ^) V (p -.,-..,„-. 2), = 0, 



î/«(p - 7) 2o(;j — 9) 

plan qui lui est évidemment perpendiculaire. 
L'équation de ce plan peut s'écrire 

lyJp — 9) ■'o'p — q)J l!h(p — i) 2»(P — 7) J yoip—9) Mp-g) 

L'enveloppe de ce plan a pour équation 

r_„py r- \T [—' = ir^ , /''y 9*^ „ g ^„1 ^ 

Lyo(p— 7) zoip — q) I Iv"'/' — 7) -«(P— 7UL yÀp — q) -"{p — g) J 

ou, en transportant l'origine des coordonnées au point A (lo, t/o, lo), 

U..'p — 7) wp — v^J \y»(p-g) :„(p-'/)/\ y<>(p — g) Mp — 7)- 

ou enfin 

(C.) .t(i/„: — :„y) -+- yz{p — 7) = 0. 

L'enveloppe «les plans (J esl donc un c«')ne du deuxième degré, de sommet, (xo. y^, -f) et qui n'est 
autre, puisque ces plans (J sont perpendiculaires aux droites G, que le cmur réciproque de C. 

Nous avons de plus démontré que le lieu des pôles d'un plan par rapport aux surfaces II esl une 
droite perpendiculaire à ce plan. Si je considère un plan I*, la droite lieu de ses pôles est la perpendi- 
culaire abaissée du point A sur ce plan : mais ce plan P i-sl Ini-nn'me parallèle à un plan tangent au 
c'me directeur C de la surface ï ; la droite lieu de cfs pôles est donc une génératrice de C|. 

Kn outre, celle génératrice est aussi une normale à la surface II tangente au plan P correspon- 
dant ; le cône <",, esl donc le lien des normales aux |)araboloïdes II passant par A. 

On peut èiablir ce résultat par le calcul. 

Une normale à une surface II a pour équations 

X— X Y— V Z— : 
p-t-> 7-f-X 



CONCOURS GÉNÉRAL DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES (1900) 



89 



Elle passe on A si l'on a 



.r„ — X _ / /„ — y 

— y 



On a donc 



Mais comme 



— -^0 ?) 






0(9 -h >) 



V- 



Xo + [J-x ijo -h ^ij :„ -+- \iz 



sont les coordonnées du poinl courant d'une droite 



1 + fA l-+-[Ji iH-lJi 

passant par A, pour obtenir l'équation du cône des normales, je n'ai qu'à éliminer \x- et p entre 

;/o + i^J/ _ VoiP + >') 2o + ^^3 hil -1- ^) 



gp H- jlX 
1 -i-[ji 



*o— P' 



ou 



11 vient 



1 -t- (Ji p + X — p 1 -r [i 9-+-X — p 

H(a: — j;„) -4- p + pu = 0, 

K(y — î/o)(7J -1- >0 — p!/o — pi^î/ = 0, 

A' — "«)(9 -t- '>) — ?3„ — ?H" = <•• 
.e — .<■„ 1 1 



y 



= 0, 



ou 



[y — y»){p-^'^) — ?/o 

( z — Zo)(q -t- X) — ;„ — z 

(•» — a;„)(2/o: — :„y) -f- (y — ?/o)(= — 2o)fp -^ '•) - (!/ — Vo)(= - -'<)('] -+■ >') = 0' 
et, en transportant l'origine en A, • 

x(y„z — z,y) ^ yz(p — 7) = 0. 

Cette équation est bien celle du cône Ci. . . 

Solution géométrique. — Les paraboloïdes n forment un faisceau tangenliel dequadriques; pour étudier 
les propriétés de hi sut lace i;, l'enveloppe des jjlans polaires d'un point A par rapport à ces paraboloïdes, je vais 
d'abord établir certaines propriétés communes à tous les faisceaux langentièls de quadriques. 

Il est (évident que le lieu des pôles d'un plan par rapport aux quadriques d'un faisceau tangenliel est une 
droite ; dans le cas des surfaces honiofocales, celte droite contient le poinl du plan de l'inlini pôle de la droite de 
l'infini du plan donné par rapport au cercle imaginaire de l'inlini r ; elle est donc perpendiculaire à ce plan. 

Ceci posé, considérons un plan P. et la droite A, lieu des pôles de ce plan par rapport aux quadriques d'un 
faisceau tangenliel ; supposons que le plan Pi tourne autour d'une droite Di et cherchons le lieu de Ai ; soient 
U'i et D'i les conjuguées de Di par rapport ;'i deux quadriques quelconques mais fixes du faisceau ; quand Pi 
tourne autour de Di, la droite Ai trace sur D'i et U'i deui divisions homographiques et engendre une surface 
réglée du second degré. 

L'un des systèmes de génératrices de celte surface est formé par les droites à,, l'autre par les droites 1)', 
conjuguées de Di par rapport aux (|uadriques du faisceau, puisque je puis prendre pour quadriques de base 
deux quadriques quelconques du faisceau. 

Celte surface du second degré, dans le cas des quadriques honiofocales, est un parabololde hyperbolique ; car 
je puis prendre pour quadrique de base de ce faisceau le cercle de l'inlini 1", et la conjuguée de Di par rapport 
à r n'est autre que la polaire du point à l'inlini de U, c'est-à-dire une droite réelle du plan de l'inlini. 

. Ainsi, si l'on considère un faisceau tangenliel de quadriques, à toute droite Di correspond une surface réglée 
du second degré S, dont l'un des systèmes de génératrices est formé par les conjuguées de Di el l'autre par 
les droites A|, lieux des pôles d'un plan Pi' tournant autour de Di. 

Ceci posé, considérons un point \ défini comme l'intersection de deux droites Di el Dj ; son plan polaire 
par rapport à une quadrique du faisceau jiasse par les conjuguées de Di et l)j par rapport à celte cpiadrique ; 
il est donc tangent aux deux quadriques Si et S- correspondant à l)i et D^. Ou voit donc que le plan polaire 
d'un point A par rapport aux quadriques d'un faisceau considéré enveloppe la développable circonscrite a. Si el Sj. 



90 CONCOURS GfiNÉIlAL DE MATHÉMATIQUES SPIÎCIALES (4900) 



Celle développable i; esl d'ailleurs de Iroisièruc classe car les quadriques S. et S; onl une génératrice 
cuinniune. la droile A,, lieu des pôles du plan de Iti el Dj. 

La développable S qui leur esl circonscrite peut <ics lors l'tre considérée comme la transformée par polaires 
réciproques de la cubique d'intersection des deux quadriques transformées de Si et S, ajanl une généralrice 
commune ; elle est donc de troisième classe. 

L'arête de rebroussemenl de la surface ï n'esl autre que la transformée par polaires réciproques de la sur- 
face enveloppée par le plan osculaleur à la cubique d'intersection de S', ni S .: transformées de S, et S;. Or, par 
tout point de l'espace non situé sur une tangente à la cubique, c'est ii-dire non situé sur la surface, on peut mener 
à la cubique trois plans osculateurs, puisque de ce point elle se projette sur un plan suivant une cubique à point 
double ayant trois points d'inflexions . la surface enveloppée par le plan osculaleur à la cubique esldoncde troisième 
classe et sa transformée, arèle de rebroussemenl de ^, est du troisième ordre. 

De même, à tout point «le i! situé dans un plan I' tanpenl à 1 suivant une génératrice C correspond dans 
la transformation par polaires réciproques un plan contenant le point /- de la cubique transformée de i: corres- 
pondant au plan P el langent à celte cubique. 

Ur, ces plans se divisent en deux groupes : l'un est l'ensemble des plans tangents au cône du second degré 
projetant la cubique du point /- ; l'autre esl l'ensemble des plans passant par la tangente en p à la cubique ; on 
voit de plu» que par la tanjjente en /> à la cubique et qui n'esl autre qu'une génératrice du cône, on ne peut 
m«ner à ce cône que deux plans tangents confondus avec le plan osculaleur en ji à la cubique. 

Il s'ensuit évidemment que le plan I' coupe la surface ^ suivant une génératrice G le long de laquelle 
M est Ungenl, el qui n'est autre que la transformée de la tangente en p à la cubique, el suivant une conique trans- 
formée du côrîe ; de plus celle conique est tangente à •'. au point oii G rencontre l'arête de rebroussemenl de ï. 
En résumé, nous voyons que l'enveloppe des plans polaires d'un point A par rapport aux quadri(|ues d'un 
faisceau tangenliel est une surface développable de troisième classe ï. Celle surface ï esl circonscrite à une 
inlinité de quadriques S, lieu des conjuguées des droites I) passant par A par rapport aux quadriques du fais- 
ceau. Dans le cas des quadriques homofocales, les quadriques S sont des paraboloïdes hypeiboliques. 
L'arête de rebroussemenl de la surface l est du troisième ordre. 

Un plan tangent la coupe suivant la génératrice de contact et une conique tangente à la génératrice au point 
où l'arôtede rebroussemenl esl tangente à la généralrice. 

Dans le cas des surfaces homofocales, le pkin de l'infini tangent aux paraboloïdes 8 est tangent à £. Les points 
a l'infini de 1 sont alors situés sur une droite et une conique. Les divers points de la conique sont les traces 
sur le plan de l'inlini des génératrices de 1 non situées dans ce plan et cette surface admet un cône directeur du 
second degré. 

Ce dernier résultai est évident, car si l'on revient à la transformation par polaires réciproques de la surface ï, 
à un point situé sur la coniqu>' d'intersection île celte surface et d'un de ses plans tangents P, correspond un 
plan langent à la cubique transformée de ï, passant par j, et contenant une tangente à la cubique. Mais la trans- 
formée de celte Ungente esl la généralrice de 1 passant par le jjoinl considéré. 

Dafin le cas des surfaces homofocales, on voit que les points b. l'inlini de la conique d'intersection d'un plan 
tangeni à ï avec la surface 1' sont confondus avec le point d'inlersection de ce plan el de la génératrice à 
l'infini d<- 1 : celte conique esl donc une parabole. 

Si maintenant je considère un plan langent a In surface 1, ce plan esl un plan osculaleur à son arèle de 
rebroussemenl; on voit dès lorsque les plans paraljèles à ces plans menés parun point (I de l'espace enveloppent 
le cône directeur de la surface S qui a son sommet en ce puinl. 

(»r le lieu de» pôles d'un plan I' tangents à i; par rapport au faisceau de quadriijups homofocales considérées 
e«il la droile i perpendiculaire à ce (dan passant pai A. Le plan tangent I'' infiniment voisin de I' donne une 
droite ^ irilininient vojsine de A, el le plan (J, qui pa>se |iar A et A' cl est tangeni suivant A au cône réciproque 
du cône directeur de la surface 1 de sommet A, a pcmr droite lieu de ses pôles la génératrice île ï, inlersectinn 
de I' et de !>'. 

Toute génératrice (■ de î^ esl donc le lieu de» pôles d'iMi plan n el ce plan enveloppe le cône <'i rèriproque 
du cône ('. directeur de la surface ^. 

De plus le point oii la génératrice A rencontre 1' est le point où la surface hniiiofiirale du faisceau tangente 
tt i' louche ce plan ; la génératrice A esl donc une noriiialo l'i celte surlace passant pai' A. Le cône C| esl le 
lieu des normales issues du puinl A aux surfaces homofocales considérées. 

ScliitioD aualoKue : M. J. V>tti.UM. au liarre. 

BoDDe •«lutiuD (lit^reolc : M. FiikCiKi, ^Irveile l'école uorwile supérieure. 



CONCOURS GÉNÉRAL DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES (1900) 91 

Physique (Paris). 
Solution iIp m a. Joly (I" prix), élève au lycée Henri IV. 



932. — Pour un prismr donné et une radiation donnée, à chaque angle d'incidence correspond en géné- 
ral un angle de déviation drtcrminé . Prenant l';s déviations comme abscixsrs et les incidences comme ordon- 
nées, la relation entre ces quantités peut être représentée par une courbe dont l'équation serait très compliquée, 
mais facile à tracer par points. Supposons qur pour le prisme en question on ail tracé ainsi les courbes 
relatives à un certain nombre de radiations. Chacune d'elles en particulier et leur rnsemble présentent un 
certain nombre de propriétés généi-ales que les principes fondamentaux du prisme permettent de mettre faci- 
lement en évidence et qu'on demande de trouver. En particulier : 

i" Comment sont placés sur la courbe les points relatifs à un angle donné d'incidence et à un angle 
d'émergence rorre.spondant ? 

2° Comment est placé le point gui correspond au minimum de déviation ? Quelle conclusion peut-on tirer 
de 1" et de 2° rolntivemenl à la forme générale de la courbe '.' 

3" IJiiel est le lieu des points gui, .lur les différentes courbes, correspondent au minimum de déviation ? 

i" Relation de ce Heu avec la droite qui joint sur une même courbe deux points correspondants d'inci- 
dence et d'émergence. 

3° Lieit des points d'émergence correspondant à une même valeur de l'angle d'incidence. 

6° Lieu des points formant en haut et en bas les extrémités de la partie réelle de chaque courbe. 

7° Comment variera l'ensemble des courbes quand, l'angle du prisme restant constant, on fera varier la 
nature de la substance qui le compose? 

8° Comment varie la courbe relative à une radiation donnée quand on fait varier l'angle du prisme de 
zéro à ta valeur limite au delà de laquelle le prisme n'est plus traversé par aucun rayon ? 

L'angle d'incidence i et la déviation a sont liés entre eux par les quatre formules du prisme 
sin (' = n sin r, sin i' = n sin )•', 

r-h )■' = A, A — l-\-i'—t\. 

L'équation de la courbe considérée s'obtiendrait donc en éliminant r, r' et i' entre ces quatre 
équations. 

1» On voit ijue ces formules sont réciproques en i et ï, r et /■' ; si l'on prend i' pour angle d'incidence, 
l'angle d'émergence est i ei on trouve la même déviation i ; on obtient ainsi deux points de la courbe 
ayant môme abscisse. Les points relatifs à un angle donné d'incidence et à un angle d'émergence corres- 
pondant se trouvent donc sur une môme parallèle à Uy, 

2" Au minimum de déviation, on a i = i', donc les deux points dont l'abscisse correipond à celle 
valeur de a sont confondus. La tangente en ce point est donc parallèle à Oy 

On arrive d'ailleurs à ce résultat en différentianl les formules du prisme : 

cosirft — »cos /•(//■, cos(''/i' = ;icos/'rfr', 

dr -+■ dr' = 0, rfA = di -t- di\ 

,./, cos»-'cosi\ 

don aA=rfi(l )■ 

\ cos ) cos )• / 

Au minimum do déviation, on a -^ = ; donc le coellicienl angulaire de la tangente à la 

ai 



98 



CONCOURS r.RNfiRAL DE MATIIKMATIQUES SPECIALES (1900) 



.V 












N 


K^ 


"1 

\ J 

1 1^ 


G 


'/ 


C 


/ 


1 

Y 

1 

1 

1 


f 





± 



courbe au poinlcorrespondanl estinGni 
cl celle tangente est parallèle à 0;/. 

La courbe a par conséquent une 
allure parabolique, Touvcrture étant 
tournée vers les x positifs. 

3° Au minimum de déviation, on a, 
quel que soit », ^ — ti — A. Celle 
équation, qu'on peut écrire 

(1) x = 2i/ — A, 

représente une droite BG de coefficient 
angulaire — • 







*• 4° En rapprochant celte équation 

(1) de l'expression générale de A, on 
voit que, pour une valeur déterminée de r, l'ordonnée de la droite est la moyenne des deux ordonnées 
de la courbe. Le point de rencontre de la droite avec une corde de la courbe parallèle à 0;/ est donc au 
milieu de celle corde et le lieu trouvé au ;; 3 est le diamètre conjugué de la direction Oi/ dans toutes les 
courbes relatives à un prisme donné. 

5" L'angle i étant constant et ï variable, l'éciuation générale a =; i + i' — A peut s'écrire 

(2) jt = i -t- y — A ; 

elle représente une droite KL inclinée à 15° sur les axes. Cette droite rencontre évidemment le lieu BC 
en un point E d'ordonnée i. 

(>'• La plus grande valeur que peut prendre l'an^ilo dincidoiiceest — • Donc le lieu du point d'arrêt 

supérieur des courbes est la droite ;/ = —, soit 1*N . 

Il y a de même un point d'arrêt lorsque l'angle d'émergence devient égal à — - ; le liiii du point 



correspondant représentatif de l'angle d'incidence sera, d'après le § 3, la droite x = y 



2 



— .\, soit 



l'.M. 



Considérons les deux points d'arrêt d'une même courbe. An puinl d'arrdl supérieur, 0, on a 
— ; on en conclut que -7:- = 1 ; la langcnte à la courbe en ce point est parallèle à la première 

T. rfA 

bisscctrirn de l'anirle des axes. Au point d'arrêt inférieur. Il, (' = — - et -77 est mfini ; donc la 

"^ Z (il 

tangente à la courbe en ce poinl est parallèle ;i Or. Ces deux points ont d'ailleurs même abscisse. La 
partie réelle de chaque courbe est donc enfermée dans un paralli''lo;,'ramine KliPIl donl deux entés PM 
et l'N sont (ixes pour un prisme donné ; les deux .uiti.'s si' (léplaciMit parallélonicnl à eux-mêmes: leur 
point de rencontre décrivant la droite BC. 

7" Pour une même valeur de i, si n augmente, A croit; les courbes, toujours limitées aux droites 
PM et PN, reculent vers le point V. 

H' Supposons n fixe et A variable. Si A croit, pour une même valeur de 1. a croit, et la courbe 
se déplace vers les .r positifs. En même temps, la droite PM 80 déplace vers les .i- négatifs. La courbe 



DC rétrécit donc cl, 4 un certain moment, se rédiiil it un poinl ; on a alors i = i' = 



par suite, 



»inr = Binr'= — el A = âr : donc sin — = On esl ainsi conduit naturellement à la valeur 

n z fi 

de l'angle limite. 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



93 



I 



Si, au contraire, A tend vers 0, la droite FM se déplace vers les x positifs. La droite BG en fait 
autant, passe à la limite par l'origine et les courbes se réduisent alors à l'axe des y, car a est nul quelle 
que soit l'incidence. 

Nota. — Les propriétés géométriques qui précèdent ont fait l'objet de vérifications expérimentales 
de la part de M. A. de Gramont, ce qui fournit une nouvelle démonstration indirecte de la loi de Descartes, 
point de départ de tous ces calculs. Les deux courbes reproduites sur la figure se rapportent à un prisme 
de 60° et à deux radiations 'pour lesquelles les indices sont respectivement l,64i7 (raie C) et 1,6872 
(raie réfrangible du doublet violet de l'aluminium). (Comples rendus de l'Académie des Sciences, tome 130, 
p. 403, 12 février 1900.) 



GÉOMÉTHIE ANALYTIQUE 



934. — On considère deux coniques 1 et S' situées dans un mi^me plan, et d'un point M de ce plan on 
leur mène des tangentes ; soient '\\ et Ta If s tangentes à la première conique, Ti et T. 1rs tanqentes à la 
seconde. On sait que le lieu des points M pour lesquels T, rt T» sant conjuguées harmoniques par rapport 
à T; et Ti est une conique F. 

Cela posé, on demande : 

1° de déterminer 1rs ragons doubles de l'involulion déterminée par les couples de droites T, et T», 
T; et T.!, et de déterminer leur enveloppe lorsque le point M décrit ta conique F ; 

2" d'examiner lés cas particuliers suivants : 

a) F est réductible, 

h) la conique S' est réductible à un sgsiéine de deux points. 

c) les deux points précédents siinl conjugués I ar rapport n S, 

d) 1' est une ellipse et S' est l'ensemble des points cgcliques du plan. 

Prenons pour triangle de référence le triangle conjugué commun aux coniques S et S', et dési- 
gnons par ï ^ au» -+- bv- -+- cw' = 0, 1" ^ an- -h b'v''-+- c'h'* = 
les équations tangentielles de ces courbes. 

Cherchons maintenant l'équation ponctuelle de la conique F. Soient xo. g^, Sj 'es coordonnées 
d'un point .M de cette conique ; les équations de l'ensemble des tangentes T,, T. et T;, Ti issues du 
point M aux coniques i et ï' sont respectivement 



/.;(: 



■ xz^y -+ c{xgu — gxaY = 0, 



«'(.V^o — -yo)^ ■+■ l>'{ix„ — xzoY -t- c\xg — xg„r = 0. 
Pour écrire que T,, T. sont conjuguées harmoniques pai i apport à T,', T',, nous coupons ces quatre 
droites par le côté : = du triangle de référence ; les points de rencontre sont définis par losé<|ua- 
tions ag^zl h- bx'zl -H ';(xi/, — gxo)'- = 0, a'y-z' -+- b'x% + f'( jy„ — ;/x„)» = U 

{hzl ■+■ cgljx' — 2cx„t/|,x!/ + («s; -H cx;.)y- - 0, {b'zl + c'yl)x* — ic'x^y^xy ■+■ (a'il -^ c'x'.jy^ = 0. 

et nous égalons à zéro l'invariant harmonique de ces deux trinômes. Nous avons ainsi 

[bzl-^- cyl){a'zi -+■ c'xl) 4- [azl -h cxD(b'zl -t- c'y',) — Scc'xjj/; = U, 
ou, en supprimant le facteur zl, que nous avons implicitement supposé différent de zéro, 
(i) (bc' + cb'jxl -<- (crt' -1- ac')yl -t- (al>' i - l>a' k = 0. 

On voit ainsi que la conique F a pour équation ponctuelU' 

F = {bc' -H cb')x- ■+■ (ca' 4- ac')y'' -4- (ab' ■+- ba'jz' = ; 
elle est conjuguée par rapport au triangle de référence. 



9| nEO.MÊTIUK ANALYTIQUE 



1. Les ra^voris doubles de l'involulion déGnie par les couples de droites T,, T. et T!, Tl sont les 
tangentes au point M aux coniques thi faisceau langenliel ï -+-/.Ï' = qui passe par ce point 
Les valeurs de À relatives à ces deux coniques sont racines de l'équation 

^"^ n 4- ).«' "*" h + W "^ ~c^^^W ^ ^' 

et la tangente au point M à lune de ces coniques a pour équation 



a ~ la! h -t- )// '• -t- )e' 

En remplaijant dans celte équation À successivement par le» racines de l'équation (2), nous aurons 
les équations des rayons doubles demandés. 

Nous allons chercher l'équation langenlielle de leur enveloppe quand le point M décrit la conique 
F, c'est-à-dire quand on a la relation (1). 

Soient M, V, w les coordonnées d'un de ces rayons doubles ; nous avons 

Ou ^ ^V^r Ou = . ^" ., , fi,c = 



a -I- là ' b -+- Ib' c H- le' 

nous en tirons x„ = f)u{a ■+■ la'), »/„ = 'le; A -h ).//), i„ = Oic(c + le'), 

et en portant ces valeurs dans la relation [t], nous obtenons 

u\n -f- la!) ■+■ v\b -f- Ib') -+- w\c -t- le') = 0, 

V 

d'où > = — -^» et par suite 

_ flii(aS' — a'S) _ fli;(»S' — 6'S) ^ _ 'UrirZ.' - r'Z\ 

Il ne nous reste plus pour avoir l'équation de l'enveloppe qu'à porter ces valeurs dans la relation (1), 
ce qui donne 

{bd H- cb')u\a^' - a'S)^ -f- (ca' -f- oc>'-(/yS' - 6'S)« ^^- (nb' + ba')tv\c^' — c'S)« = t) 

G = {be' -(- cft')H" (nb' — ba')v* - (en' — ac')ir'-]* -i- (en' ■+■ ar')v^l{hc' — cé')»'^ - (nb' — ba')u*]* 

■+■ (nb' -h bn')ii<''Hcii- — nr')u'' — (bc' — cb')v*Y = 0. 
L enveloppe est une courbe [C] de sixième classe. 

2. n) Pour que la conique F se décompose, il faut et il suffit que dans son équation, l'un des coef- 
ficients de x'. de y' ou de z' soil nul. Supposons par p\em|il(' ab' ^bn' = 0. L'éi|u;>lioii de l'enve- 
loppe s'écrit alors 

(6c' ■+- cb')u"{nb' — bn)u* — icn' — ac )ii:' ,' -h \i:ii -(- >ic ,v^^\bc — cb )/(•- — (ab — bu )u' .' = : 
la courbe (C) se décompose en deux courbes de troisième classe ayant pour équations langenticllos 
v/Ac' -i- cb'u (ah' - ba')v' - (m' - nc')w''] ± /— (en' -(- ne') v{(bc' - cb')ir* — (nb' - //fl'Jii» = 0. 
b) Supposons (■' = 0, et pour simplilier l'c'-ciilnre, posons n = b' — l : nous avons alors 
î," = u« -t- 0*. 

L'équation de la courbe (Ci s'écrit 

u'(«S' — ï)* -»- v\bV- V)» -t- (rt -+- //ifw'l"' = », 
ou ï^*\a*u^ -\- é'u» 4- c(n -4- b)w*] - 2L'i:'(a./« -h hv') -h i;'(M' -f- v*) = 0. 

On peut alors mettre S' en facteur, et on obtient après un calcul facile 
v'fc«,/'»-|-c(o -+- 6)w«(m» -+- r«)-+- (n _ b)'u*v'] = 0. 
l/envel(»p|in se compose dans ce cas de deux points ï.' et d'une courbe de (|ualriènH' classe l'. 
c^ l'our que les deux points »'-)-«' =0 soient conjugués par rapport à ï, il faut que l'on ail 
a -h b = 0. La courbe r se réduit alors à deux coniques a>anl pour ((juations langentielles 

c'w' ± taiuv = 0. 



GEOMETRIE ANALYTIOUK 



95 



rf)C'cstuncasparticulierciuparagiii{)he6). Uevenonsauxnulalionshabiluelles.Soit a-u--i /;-t-- -ir^—i) 
l'équation tangentielle dé l'ellipse 1' rapportée à ses axes, l'ensemble des points cycliques a pour équa- 
tion «2 4- y» = n. L'enveloppe est, outre les points cycliques, une courbe de quatrième classe ayant 
pour équation tangentielle w' — (a- -+- 6")w-(u' + v^} ■+■ (a^ — h^)-u^v- = 0, 

ou, en posant c- = n- — A-, w* — (a^-t- b-)w\u^-h v-) + c^uV — 0. 

Cette courbe est l'enveloppe des bissectrices des angles droits circonscrits à l'ellipse. Elle est symé- 
trique par rapport aux deux axes. 

Pour la construire, nous écrivons son équation tangentielle de la manière suivante : 

d'où nous tirons r*u- — («^ + b-)w'- — ^ablio-, c*v- — («- -+- h'^)w^ 

l désignant un paramètre, puis 



'2ah 



■ M'2, 



'•*M = «Va* -hhi-^ 'iafit, c-^v = u\/ a- -+- *» -F -Ë^ , 

et par suite, l'équation dune tangente à la courbe peut s'écrire 

(3j 



iVa- • 



h- -.' iafil + ;/v/fl- ■ 



■b-'- 



tab 



c- 



0, 



les radicaux ayant des signes arbitraires. Comme la courbe est symétrique par rapport aux deux axe», 
nous pouvons ne considérer que les signes -»-. 

Nous sommes ainsi conduit à chercher l'enveloppe de la droite (3) quand / varie. Dérivons l'équa- 
tion par rapport à /, nous avons 

abx àby _ x y 



i/«* -h b- -h labl 



'\ 



h- 



b-- 



-2ab 
( 



= 0, 



ou 



v/a2 ■+- b- -+- 2abt 



l'\/a'- 



6« 



iab 
~7~ 



Multiplions le premier rapport haut et bas par <,fa^-j-b'--i-2abl, le deuxième par ya^-hb' 
et ajoutons terme à terme : en tenant compte de l'équation (3), nous obtenons 



-2ab 




c'n\/n'' 



-é>- 



7 



'iab 
l 



(a- -1- é2j/2 4_ i„bl -hà'+b- 
cc qui donne les coordonnées d'un point de la courbe 
en fonction du paramètre /, et il est utile d'observer 
que la tangente en ce point est fournie par l'équa- 
tion ^3). 

Le dénominateur commun à j- et à y a ses raci- 
nes imaginaires ; pour que .r et y soient réels, il 

"'-rA' , 'liib 

faut lairc varier t de —7— u — — 

•2ub ri'-t-A' 

~x et de à -t- X . Dans le premier intervalle, ar varie de 

à —^¥^b- et y do — y/fl'-hi- à 0; dans le 

c' 



deuxième r varie de 



^' 



à et y de à 



" La branche de courbe relative au premier 

•ntervalle rencontre les axes de coordonnées k angle 
droit : au contraire la branche de courbe relative au 
second intervalle louche les axes de coordonnées et admet par suite quatre points de rebroussemenl. 



96 r.ÉOMKTHlE ANALYTIQUE 



93Q .s'i un Inaiigle carie en restant inscrit dans iinv conique C rt circonscrit à une autre conique C, 

If cercle circonscrit au triamjle reste orthogonal â un ci-rcle fi.re et son centre décrit une conique. 

On sait que si Ion considc^ro doux coniques S = fl ot S, = 0, \o faisceau do coniques 
S -t- >.S, = ol lYquation on "/ relative à ce laisceau, 

A H- «X -f- »,/.' -t- A|X' = 0. 
la condition h = it exprime que la conique Si est circonscrite à une inCnité de triangles autopolaires 
de S: il en correspond nu à rliaque point de S,; elle exprime aussi que S est inscrite dans une 
intjnité de triangles autupolaires de Si : il en correspond un à chaque tangente de S. Celte condition 
est linéaire par rapport aux coeflicients ponctuels de Sr el linéaire aussi par rapport aux coeflicienls 
langenliels de S. 

De même la condition **' — i»,\ — <i exprime (jue la conique S, est circonscrite à une infinité 
de triangles circonscrits à S : il en correspond un à chaque point de S,, un à chaque tangente de S. 
Celle condition est du second degré par rapport aux coeflicienls ponctuels de Si el du second degré 
aussi par rapport aux coeflicients langenliels de S. 

Cela étant rappelé, il est facile de voir qu'il y a une conique S el une seule conjuguée par rapport 
aux triangles qui sont à la fois inscrits dans S el circonscrits à Si, quand les deux coniques S et Si 
vérifient la condition »,- — 4«A, = 0, nécessaire el suilisanle pour i|u'il en soil ainsi. Il suffit, pour la 
déterminer, de chercher une conique ï conjupiée par rapport à l'un des triangles el telle (|ue, par 
rapport à celle conique, un des sommets d'un second triangle du système considéré soit le piMe duculé 
opposé. 

11 est d'ailleurs facile d'éclaircir complètement ce point. Soit, comme dans la question !ti8, 

ijz + zx -i- xy — 0, avtr ■+■ hwu -+■ cuv — 0, 

les équalions ponctuelle et tangenlielle des coniques S el Si (C et C de l'énoncé), rapportées h un des 
triangles indiqués. 

La conique ï étant conjuguée par rapport au triangle de référence a pour équation 

ax»+p,i/«-4-Y:2 = 0; 

nous allons achever de la déterminer en écrivant que S es! la conique réciproque de Si par rajjporl 

n fl , j • j. 

à ï. Pour cela représentons par — i r-> — c, les coordonnnees dune tangente quelconque 

u I' »/' Il II r 
de S,; les coordonnées de son pôle par rapport il la C()ni(iue ï sont — > — -: — , ou — r-' .— ; — r-» , 

"^ '^ » 3 Y "'■ P(l~^') Y 

a fi V 

et, en exprimant qu'il est sur S (luel inic soil X, nous avons — = -r- = -^ • La eoniiiue i.' a 

a II f 

donc pour équation a.r' -+- lnj' 4-' s' = 0. 

f^ela posé, soient X,, X,, Xj les jjaramèlres des trois côlés du Iriangl'.' général inscrit dans S et cir- 
conscrit à Si ; les deux cotés X, et X, se coupent en un point dont les coordonnées sont 

1 i l 

«(i-x,){i -X,)' 6X,x,' rx,x,r) -.x,)(i — X,)' 

et la polaire de ce point par rapport à - a pour équation 

•'■ .7 : 



(» — X,)(l-X,) X,X, ),,),,(!_ >,,)(i _),) 
en écrivant qu'elle coïncide avec le côlé X,, nous avons 



= 0: 



Il _ ),,)M _ X,)(l - X,) = — . X,X,X, = 4- 

h 

X,X,/4(1 — X,)(l - >4)(1 - A,) f= 

c ' 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



97 



ce sont justement les relations qui doivent exister entre i.,h^i (voir les formules (1) du n" 918) ; il en 

résulte pleinement que la conique -, telle qu'elle a été déterminée jouit de la propriété annoncée. 

Soit alors 

r = a;- + )/- — 2aa; — 2|ij/ -j- y = 

l'équation, dans un système d'axes rectangulaires, du cercle circonscrit à l'un des triangles envisagés. 
Pour avoir les relations que vérifient a,P, 7, il nous suffit d'exprimer que le cercle r estharmoniquement 
circonscrit à la conique s et qu'il passe par les sommets d'un triangle circonscrit à S,. La première 
relation est linéaire entre 2,^,7; elle exprime que le cercle r est orthogonal à un cercle fixe; on sait 
d'ailleurs que ce cercle fixe est le cercle orllioptique de la conique ï. La seconde relation est du second 
degré en a, {J, v ; jointe à la première, elle montre que le centre («, P) décrit une conique. 



Autres solutions. 

utile de publier : 



Nous avons reçu de ce problème deux autres solutions intéressantes qu'il nous parait 



I. — Soit t le paramètre en fonction duquel s'expriment rationnellement les coordonnées d'un point de S. 
Soient )., [Jt, p les trois paramètres des sommets du triangle mobile. Ces trois paramètres sont liés par deux 
l'elations évidemment symétriques, et telles que si l'on donne p par exemple, À et [i en résultent par la con- 
naissance de li-i. et X + |ji. Ces deux relations sont donc linéaires par rapporta Xfi, À-f-ii; il en est de 
même par rapport à ).p, X-)- p. Autrement dit, ellessont linéaires par rapport à l'un quelconque des paramètres 
X, |jt, p et comme elles sont symétriques, ce sont deux relations linéaires entre les fonctions symétriques simples 

Si = X -t- |JL -I- p, Sa = ly- •+■ ;jip + pX, S;i = Xjjip, 

ce qui revient à dire que Si et S> peuvent être exprimés linéairement en fonction de Sa (voir la solution du n" 918) 
(1) 



( S, = pS.+s-, 



Ceci dit, prenons pour axes les asymptotes de la conique S, et soit a;y = 1 l'équation de cette conique. 
Un point quelconque de S sera donné par x = t, y = — . 

Un cercle quelconque a une équation de la forme 

X- ■+■ kxy + y- — ax — ^1/ -f- /i — k = ; 
l'équation aux t des points de rencontre avec S est 

ji — a«3 + /jj2 _ pj _,_ j _ ; 

exprimons que cette équation a trois racines satisfaisant aux conditions (1). Soit < la quatrième raicine, nous 



(i) 



Si = pSi + q, 
Sj = p"&i + q', 



S.-f- « = a, 
tS, -h Sj = /*, 

«So + 83=?, 

'S., = I ; 
les trois premières équations deviennent, en tenant compte de la dernière 

( p'S.T-l-9« = h—p — q', 

. p'Si + t = r~q, 
( S3-f-î'< = ?-?>'; 
l'élimination de S3 et t entre ces trois relations donne 

h—p — q 1 — q % — p 

p" p I 

î ' 7' 

relation linéaire entre a, % h ; donc, d'après une propriété connue, le cer m^ cqnsidéré est orlt)()i Tonal à un cercle 
fixe. 



= 0. 



98 



C.ÉOM RTIUK ANALYTIQUE 



a el S sont exprimées linéairement en fonction des variables S3 et ( liées par l'équation (Sn = 1 qui est du 
second degré. Donc a el ^ sont liées par une équation du second degré. Donc le centre du cercle décrit bien une 
conique. 

Remarque. — Celte propriété peut être consiilérée comme une généralisation de la question 902, dans 
laquelle l'auteur a évidemment transformé d'abord jiar polaires réciproques la ligure formée par une conique 
lixe el un triangle inscrit ayant son centre de gravité au centre de la conique par ra|)port a un cercle de centre P, 
puis considéré le cercle inverse par rapport à P du icrcle circonscrit au triangle transformé, le module étant 
égal au rayon du cercle directeur. 



L. BICKAUT, lieutenant d'artillerie ii Fontainebleau. 



II. — l-'.crivons les équations et (C) et (C) 
(C) Aa;> -f 

(C'i ax* - 



2Bxy + Of- 
h 2bxi/ -+- cy- - 



el celle d'un cercle variable 

(F) 

a = Y = 1, i = 0. 

Soit 



ox- + i?xy + Y'/' 



. =0, 
= 0, 

= 0, 



ou 




r + ),c = 

l'équation d'un couple de sécantes communes aux coniques (r) 

el (C). On voit inimédiatemcnt que chacun de ces couples est lan- 
gent à (C). 

Donc si on considère l'équation 

r -t- /.C + ;iC' — 0, 
et si on écrit qu'elle représente deux droites, l'équation en t» que 
l'on obtient ainsi a une racine double. 

Cette équation en :* a déjà une racine nulle. Elle est de la 
forme 

Pi*' + {QÀ -+- IDii^- + (S).2 + TX + 1)iji = ; 
d'où l'on déduit la relation 

(yX + Mj» — 4P(S/,* -hTX -+- U) = 0, 
qui doil être vérifiée quand on y remplace X par les trois valeurs 
^•ii ''2) 'j» correspondant aux couples de sécantes communes à 1" 
etc. 

On a donc 

Q» — 4PS = 0, 
i)\\ iPT = 0, 
R> - 4 PU = 0. 

L'équation (() est indépendante des coefficients de P. Elle exprime qu'il existe des triangles inscrits à C el 
circonscrits à C ; 

(2) est linéaire et homogène en a, ^, •(, S, e, o ; 
(rt) eut (juadriilique el homogène en a, p, y, 2, t, o. 

FaiHon!! » = •;=!, [1 = 0. Les coordonnées du centre de P sont —S el — t. Kliminons entre (2) 
et (.1). .Nous aurons une relation du 2' degré en 0, ;. Le lieu du centre de P est une conique. 
Li relation 121 exprime, comme on sait, que V est orthogonal ii un cercle fixe. 

l;emnr<jue. — .Soit •■■ le rentre de P. Il sera à l'iiilini si un des soinmels du triangle Alît^esl à l'inlini sur C 
fait se produit deux fois. Ilonc le lieu du centre de I est une conique. Menons a C' deux tangentes parallèles a 
une asymptote de C. Klles rencontrent C en A et It. I.a droite AD fait partie de l'ensemble des cercles P. A la 
deuxième asymptote de C correspond une nouvelle droite A'II'. Le point commun à AH el A'it' est le centre du 
i-errle fixe orthogonal aux cercles f. 

Cliri'tVN, professeur au lycée d'Amiens. 

(icltc dernière mIuIiod dou» 11 Mf rijniinuiii<|urF par M. It t>EHuii>E, profo«seur ilc inatlii^aiBli'|uos spdclatos au IjcM ilo Lillo. 
Voir es oalre lu sujol Ai- rcttc qucation la doI« de M. ('•. KoNTKNt (N' d'Avril lUUO). 



(I) 
(2) 

(3) 



ALGÈBRE 



99 



QUESTIONS PROPOSEES 



997. — On considère une équation du troisième degré 

ax^ -+- 36.Ï- -I- :^'•ic + d— 0, 
dont on désigne les trois racines par a, p, •(. 
Trouver un trinôme du second degré 

tel que l'on ait simultanément 



6(a;) = px- 



Iqx 



0(1) = i, Oi^) = f, 0(y) = a 

ou 0(a) = Y, 0(jî) = a, 0(-f)=?. 

998. — Etant donnés une ellipse et trois groupes de quatre points concycliques situés sur elle : 

Ai,.^2,A3,A4 ; B„B2,Bn,Bi ; Ci.Ci.Ca.Ci ; 

les cercles circonscrits aux triangles AiB>C/r, qui ont pour sommets un point de chaque groupe, coupent laconique 
en des points D;. On considère les groupes formés par quatre points D;, qui proviennent de triangles A.ByG* 
n'ayant pas de sommet commun deux à deux, et on demande de montrer que ces groupe.-; sont concycliques. 

B. CLVir.w. 

999. — Trouver le lieu des sommets des coniques d'un faisceau ponctuel. 



DEUXIEME PARTIE 



ALGEBRE 



939. — fii'sovdre une ('quation du qualr'u'ine degré sachant i/uc les dérivées preiniùn; et troisième de 
l'équation donnée ont une racine commune. 

Soit f{x) = l'équation donnée. La dérivée troisiè'ne /\x) est un polynôme du premier degré 
qui admet une seule racine a, et nous supposons que cette racine annule f'{x). 

Formons l'équation qui admet pour racines celles do l'équation /"(x) = diminuées de a. Cette 
équation est 

( I ) f{a+x) = A«) + ^/"(«) -t- Ç r(a) + -Ç n«) + Ij- f'-i») = 0- 

Or, par hypothèse, /"(a) = /"'Y") = 0; par suite, l'équation (l) devient 

/■{«)+^r(«)-*-|^/""i«^ = o. 

Elle est bicarrée, elle peut donc ge résoudre. Connaissant ses racines, on on déduira aisément 
celles de l'équation proposée. 

I'. TIIIBIEU, lycée de Clermonl. 

BoDoes solutions : MM. Balaban, PÉGoniEn ol I'ei.voisi.n. 



100 



r.KOMÉTRII': ANALYTIQUE 



GEOMETRIE ANALYTIQUE 



922. — On conxidèrr une cmdr d'um- rlli/isf tille iiuc In perpendiculaire abaissée du pôle de cette 
corde sur elle passe <'i i/hc distance donnée du centre de l'ellipse. 
Trouver le lieu du pôle de celte corde et son enrehippe. 

La polaire du point M(«, P) par rapport à l'ellipse ~ï -^ Ji ~^ - ^ ^ P'J"'" équation 
h -7^ — 1 = 0. par suite, la perpendiculaire menée du point M à cette polaire a pour équation 



y-P 



ou 



a-'^x — 6-11/ — c'a^ = 0. 



± 1 

a- A" 

Pour que celte droite soit à une distance constante R du centre de l'ellipse, il faut qu'on ait 



c»»? 



' 3 = = n 

± ^V — é'a- 



OU 



c*o<'P'— R«(6V-Ha»?2) = 0. 



Par suite, le lieu cherché a pour équation 

c'xY — R'(<''x' + rt';/») = 0. 
Cette équation représente une courbe du quatrième degré symétrique par rapport aux deux axes, 
il nous sutlira de construire la |)orlion de celle courbe relative aux valeurs positives de x et de y. 
Résolvons Téqualion de la courbe par rapport à ;/-; nous aurons 

'J ~ ,'.r>— R^n» ■ 
Pour que y soil réel, il faut que c'x-— R'a' y>0, ou en se bornant aux valeurs positives de x, 

Ra« 



On peut écrire 



!/' = 



R'ft' 



R»«* 



Rg» 
~c*' 

par 

H- 00 



et l'on voil aussi que lorsque r croît de 

R-'A' 
à -I- M . y' décroît de -^ x à — —' 

suite la valeur positive de y décroit de 

a — ;- bn achevant par symétrie, on recon- 

('■* 

nuit ([uc la conrbe admet quatre asymptotes 

, \W ^ R6» 

ayant pour équations x=i , 1/ = :+:-— ■ 

il nous faut maintenant chprcherl'enveloppe 
de lu droite 

(1) /;'otr + n'pj/ — .j'A* = 0. 
a et p étant hés par la relation 

(2) r'i'p' - R'i//'»' ■ fl"/) = 0. 

Honformémenl à la niôlliodc générale, nous éliminerons a et f entre ces deux équations et la sui- 
vante 

r««p« — I\«/,«J ~ f 'a'p — R'a'P * 



GÉOMÉTKIb; ANALYTIQUIÎ 



101 



qui peut s'écrire 



b-ax 



«'?!/ 



c'a»?2 - 



Wb' 



C*a-£- ■ 



ou, en ajoutant les rapports termes à termes et en tenant compte des relations (1) et (2), 

b^'a.x a'-'^u a'-«^ 



On en déduit 



a'R^ 



IVtr?'- 



_ b^ 



c'a^P'^ 



ou 



4 



? 



b'R- 



et, en portant ces valeurs de ï et de ? dans la relation (1), on a 

On reconnaît l'équation d'une hypocycloïde à quatre rebroussements, enveloppe d'une droite de 
longueur constante ( et égale à -jr ) dont les extrémités décrivent les axes Ox et Oij. 

Ce résultat est facile à vérifier. En effet, soient A et B les points où la droite (1) rencontre les axes; 

«2 b^ 

nous avons OA = — ' OB = -^. D autre part, la relation (1 ) peut s'écrire 



//' 



R- 



on a donc 



— 2 — 2 c* (•' 

OA -^OB =-j^. ou -^^==-1^ 

CANS, à Versailles. 



Bonnes solutions : MM. Fontaine, lycûe Condorcet; Mollun, pcasioimal do Valboaollc, ik i>aiat-Ëtieaae > P. PÉGoniuR, fi Toulouse : 
Pelvoisin. 

Solution géométrique. — Soient .\!N une des cordes considérée, et mn la perpendiculaire abaissée sur 

cette corde de son pôle H. 

Ces deux droites rencontrent, comme on sait, les axes de l'ellipse 
(E) en des points conjugués par rapport aux foyers de (K), de sorte que 
l'on a 

Ô^. ÏÏM = c\ iû. ON = ~cK 

.Mais rotnme la corde »m reste à une distance fixe '/ du point 0, 
1 . I _ 1 
(/-■ ■ 




+ 



Oin On- 

Un en conclut immédiatement que 

Mis' = ÏÏM" 4- ÏÏN= = 



d» 



La corde MN étant de longueur constante enveloppe une hi/pocy- 

elu'ide à f/ualn; rebrousseinents. 

D'autre part, les projections P, Q du point M sur les axes de (E) 
ont respectivement pour polaires les perpendiculaires aux axes .MK, M\. 
Il en résulte que la droite PQ est la polaire de K ; et comme le lieu de 

K est le cercle (C), concentrique à (E), et de rayon -j, l'enveloppe 

de PU est l'ellipse (E), polaire réciproque du cercle (C) par rapport à l'ellipse (E). Le lieu de H est une 
hreuicurve, dont on reconnaît la génération ordinaire au moyen des tangentes à l'ellipse (E'). 

VASMEH . 



938. — Le lieu des points communs à deux coniques semblables ayant un foijrr commun fixe et 
dont les directrices correspondantes se coupent sous un angle constant en un point fixe A, se compose de 
deux cercles. 

Prenons des coordonnées rectangulaires, l'origine en 0, et OA pour axe des x. Posons OA = a, 
et soit e l'excentricité donnée des coniques. 



105» GÉOMETUIE ANALYTIQUE 



Les équations des deux coniques de l'énoncé sont 

^1^ x' + j/» = p'[(x — <i) cos a -H 1/ sin a]», 

(i) X* -+- y- = e*[{x - a) cos {1 -i- ;/ sin B]*, 

avec la condilion 

clanl langle constant sous lequel se coupent les deux directrices. 

On aura I équation du lieu des points de rencontre des coniques (1) et [i) en éliminant a et ^ entre 
les équations (l), (2) et (3). 

Or, (1) et (i) peuvent s'écrire 

[X — a) cos a -I- ;/ siu » = ± '!—■, 

[x — a) cos p -I- 1/ sin tJ = H ■i— • 

11 y a lieu de considérer deux cas, suivant que les radicaux de chacune de ces équations sont de 
uiùme signe ou de signes contraires : 

1° Si les radicaux sont de même signe, on a 

. ypc*~+ y' 

(X — «) cos a -r »/ sm a = :i— . 



(x — a) cos P + v sin p = 



_ Jx- -+■ 1/' 



e 



d'où, en résolvant par rapport à {x —a) et à y, 

{X - a) sin (a — p) = ^•^'"^■^'' (sin i - sin P), 

y sin (i— P) = "^'^ (cos ? — cos a), 

puis 

(X- «) cos — ^ - g '^ cos — j— ' 



y cos -^- = -^ sm — ^^ 



Elevons au carré et ajoutons ; nous aurons, en tenant cuniptc de la relation « — fi = 0, 

l(.t-a)« + ./|cos'-= — r^. 



ou enOn 



(j.2 + j^ïj/e» cos* 4- — - ^"'"•'" cos= -^ +a'c' cos» -!^ = 0. 



C'est l'équation d'un cercle. 

2" En prenant les radicaux de signes contraires, on a 

v/x» -+■ v' 
(.r — II) cas a -t- y sin » = ■■^—i 

(x - a) cos P •+- !/ sm «l = - -5! — =!-i- • 

Un calcul tout ii Tait semblable au |)réccdcnt donne 

x*-¥ y* 
l(x-a)' »!/'] «•»•- = -— r^, 



QUESTIONS PROPOSÉES 



103 



ou 



(S) 



(i-2 + î/2)(e2 sin- — — 1) _ •^ae'x sin^ - -+- aV sin^ -^ 



Le lieu se compose donc des deux cercles (4) et (S) 

e 1 

Si sin — = ± — > le cercle (5) devient la droite 



— et le cercle (4) a pour équation 



(fi) 



'X' 



îÇ^(^-«) = o. 



Si cos — =± le cercle (4) devient la dioile .i- = — - > et le cercle (a) a pour équation (G). 



E.-N.-BARISIEN. 



Bonne soIiiUdii : M. Cklvoisin. 



Solution géométrique. — Soient le foyer commun aux doux coniques, AH et AC les deux 
directrices qui se coupent sous l'angle fixe 20 ou t. — 20. Désignons en outre par e l'excontricilé 
commune aux deux coniques, par M un de leurs points communs el par .MI5 
et MC les distances de ce point aux deux directrices. Nous avons 

MO _ MO 

lîB " lie" ~ '^' 
par suite MB — .MC, et nous voyons que le point M est situé sur l'une des 
bissectrices de l'angle dos deux directrices. Nous avons donc aussi MH =MAsinO 
ou MB = MAcosO, suivant l'angle dans lequel se trouve le point M; par con- 
séquent, 

-rr — =esniO ou ecosO. 
MA 




Le lieu du point M se compose donc de deux cercles ayant leurs centres sur OA. 

Boiinca solulions : M.M. P. Tbiuier, lycéo de Clermonl; Vasnier. 



PKLVOISIN. 



QUESTIOiNS PUOPOSIiES 



1000. — Trouver toutes les ôqualions du Iroisiènie degré telles que si l'on désigne par a et p les racines de 
la dérivée par rapport à x, la dérivée par rapport à la variable d'homogénéité prenne, pour x = a el je = ^, les 
valeurs :t|iel 3o(. 

Trouver la relation qui e.\i^te entre les racines de l'aiie de ces équations et voir ce qu'elle devient quand 
l'équation envisagée a une racine double. 

I'. II. 



1001 . — On donne une hyperbole équil.ilère r.i()porléc! a ses axes el on deiiiamlc de trouver en fonction 
d'un sfui paramètre léqualion générale des paraboles tangentes en à Ox el di)nt les directrices enveloppent 
l'hyperbole. Trouver 

1" le lieu des foyers de ces paraboles; 

2° les lieux des projections de l'origine des coordonnées sur la tangente aii soinniel, sur la corde focale 

principale, sur la directrice et sur l'axe. 

IIalauan, 



lOi BIBLIOGIIAPHIK 



HlBLlOCiHAIMlll- 



Leçons sur la théorie des formes et la géométrie analytic[ue supérieure à 

l'usage dos L'liniiaiit< des faculti-s des sciences, jtar II. Amjoykh. mailre de coiifiMences el chargé de 
cours à la faculté des sciences de l'Université de Paris. — Paris, Gaulhier-Villars (1900). 

L'ouvrage que publie aujourd'hui M. Andoyer étail vivement attendu par tous ceux qui s'intéressent à la 
géométrie analytique supérieure et qui reculent devant la lecture des nonibreux mémoires où les éléments de 
cette vaste doctrine sont épars et isolés les uns des autres. Il avait en quelque sorte été annoncé, préparé, par la 
publication, il y a deux ans, d'un ouvrage moins didactique et moins l'tendu, consacré à la théorie des formes et 
destiné surtout aux candidats à l'agréjjation. M. .Naud en rendit compte ici-mènie dans un bel article, clair et 
détaillé ; il en constata la grande originalité, la rigueur et la belle ordonnance. Cet article qui, un peu modifié, 
pourrait s'appliqurt' à l'ouvrage actuel, nous dispense d'entrer dans de trop longs détails aujourd'hui et nous 
permet de réduire l'article actuel à une indication sommaire des matières que renferme le nouveau volume. 

Dans ce volume, l'auteur se propose d'étudier [)ar des procédés algébriques méthodiques et puissants les 
géométries relatives aux espaces à une et à deux dimensions, celles que l'auteur appelle géométrie binaire et 
géométrie ternaire. Il se place toujours dans le cas le plus général pour que les considérations dé\eloppées dans 
chaque question s'appliquent â tous les cas semblables qui peuvent se présenter. Mans chacune de ces deux 
géométries générales, les considérations géométriques [iroprenient dites sont précédées par l'étude algébrique des 
systèmes correspondants : l'introduction préci.se el nette de l'idée d'invariant, les théorèmes généraux relatifs aux 
invariants, les formations invariantes générales, puis les ajiplications analytiques aux formes et systèmes de 
formes les plus simples. 

Cet ouvrage, d'une très haute valeur scientifique et d'un intérêt considérable, demande à être lu avec 
beaucoup de soin et d'attention, tous les calculs étant repris et effectués lentement par l'étudiant ; il est néces- 
saire en ellet qu'il se familiarise complètement avec les notations commodes, mais très générales de l'auteur, ainsi 
qu'avec ses idées géométriques qui sont le développement systématique de celles de Cavley el qui généralisent 
absolument, dans une voie spéciale, les idées géométriques ordinaires. Mais que celui qui désire acquérir des 
connaissances sérieuses en mathématiques n'hésite pas un seul instant à faire l'efforl exigé : il en tirera grand 
profit el se félicitera plus lard d'avoir étudié les leçons d'un tel maître. K. 11. 

Éléments de la théorie des nombres, par E. Cahen, professeur de mathématiques spéciales 
au collège Kollin. — Paris, (jautliier-'Villars (i'JUd;. 

L'ouvrage de M. Cahen vient heureusement combler un vide qui existe depuis longtemps dans la littérature 
mathématique française. Depuis un siècle environ, aucun ouvrage didactique sur la théorie des nombres n'a été 
publié en France. M. Lucas Dt bien une tentative il y a quelques années; mais il ne put malheureusement con- 
duire son entreprise jusqu'au bout ; d'ailleurs, l'origiiialilé de .ses méihodes, ses vues toutes particulières sur la 
question eussent enlevé à son iruvre ce caractère cla'^siiiue (|ue nous aimons à retrouver dans l'ouvrage actuel. 

Dans ce premier volume, le seul encore qui ait paru, l'auteur commence par une étude élémentaire dis 
nombres entiers el des nombres fractionnaires ; il poursuit par l'exposé des notions ordinaires sur les 
congruenecs par les théorèmes de Fermai et d'Kuler, par une étude simple des congruences entières à module 
premier et par l'application de ces principes aux congrucnres binômes, à leui's racines primitives et à la théorie des 
indices qui en déroule. Il s'occupe ensuite des congrui nées à module non premier, des restes des puissances d'un 
nombre donné par rapport ii un module également donné ; l'uis il expose avec détails la Ihéorie des restes qua- 
dratiques et la loi de réciprocité de Legendre. 

Le chapitre suivant est consacré aux nombres incommensurables, h la théorie des fractions continues ei à ses 
applications aux nombres algébriques du second degré. La dernière partie, plus d'un tiers du volume, est 
employée i exposer la théorie des formes quadratiques binaires el de toutes les questions qui s'y rattachent. Que 
l'on ajoute aux théories précédente», indiquées toutefois d'une façon trop sommaire, diverses notes intéressantes 
sur les divers systèmes de numération, les nombres premiers, etc., les fonctions numérii]ues, les nombres entiers 
imaginaires, et l'on aura un aperçu suffisant des matières déjik traitées. 

Le plus bel éloge que nous puissions faire de ce premier volume consiste à dire qu'il est clair, bien ordonné 
cl d'une Itctiir'' facile. Nous ajouterons cependant qu'en dehors des connaissances spéciales qu'il apporte au 
lecteur, il précisera et développera sur bien des points les connaissances algébriques que le lecteur a déjà 

acquise*. E. II. 

♦ 

Le Hédacteur-Gérant : H. VUIBEIIT. 



■A«-La-uoc, mr. coarB-iAcui-iT. 



Il* Année. 



N" 5. 



Février 1901. 



REVUE DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES 



PREMIÈRE PARTIE 



SUR LES FAUSSES SOLUTIONS DU PROBLEME DE PONCELET 
POUR DEUX CONIQUES QUELCONQUES. 
par M. G. Fontené. 



Les remarques suivantes sont relatives à la note de M. E. Cahen parue dans la Rcviin, n» de 
décembre 1900. 

1. Etant données doux coniques quelconques U et V, supposons que l'on cherche un polygone de 
p côtés, p étant impair, circonscrit à U et inscrit à V ; nous désignerons les sommets et les côtés 
successifs par la notation 

A„, fli, A., fl:,, .. , A,,_i, I a,„ A;,^,, .. . a^j,_x, 

le côté Oj, étant opposé au sommet A„, .... 1" Si l'on part d'un point quelconque A, de la conique V 
pour former le contour ouvert A„, ai, A„ . . . , «,,,_,, A'„, on écrira que A'o se confond avec A„, et l'on 

obtiendra comme points Ao quatre points tels que le côlé «, sera une 
tangente commune aux deux coniques ; le polygone sera replié sur 




lui-même, A;, 



+ 1 



étant en A;,_i, . . . 



Poncelet indique ces 



fausses solutions. 2° Si l'on part d'une tangente a,, à la conique U 
pour former le contour ouvert 

CI;,, A;,_^.,, «p-f-2, ..., «j;.-!! Ao, «1, .., «'/>' 

on écrira que a'p se confond avec a,„ et l'on obtiendra comme tan- 
gentes n,. quatre tans(>nles toiles que le sommet Aj sera un point 
commim aux deux coniques. 3° Si les deux coniques satisfont à la 
condition de fermeture dn polygone pour un point de départ quel- 
conque, les fausses solutions que fournissaient les doux mélliodes 
dans le cas général se confondront en quatre solutions limites, 
Ao étant un point commun aux doux coniques, a,, étant en 
même temps une tangoiite conimune. 

2. Supposons maintenant que p est pair. 1" Si l'on part .l'un point A„ de la conique V pour 

obtenir le polygone 

A„, n,, Aj, «3, ■■■■, "l'-ir I Aj„ «,,-i-i. • •' "rp-u 

on obtiendra comme points A, quatre points tels que le sommet A,, sera un point commun aux deux 

coniques. On peut utiliser la figure ci-dessus, en supposant p = 0, et en négligeant la tangente -.,,. 

2° Si l'on part d'une tangente «o à la conique U pour obtenir le polygone 



A|, flTi, A:,, 



a,„ A,,. 



»i,- 



on obtiendra quatre tangentes a, telles que le côté a,, sera une tangente commune aux deux coniques. 
3» Si la condition de fermeture du polygone est satisfaite par los deux coniques, les quatre fausses 
solutions que fournissait la première méthode dans le cas général se réduisent ù deux solutions limites, 



106 



FAISCEAU DES HYPERBOLES ÉQUILATÈllES CIRGONSCiUTES A UN TRIANGLE 



la diagonale AoA, étant une corde commune aux tious coniques, et un fait analogue a lieu pour les 
quatre Tausses solutions fournies par la seconde méthode ; les deux cordes sont naturellement celles 
dont le point d'intersection appartient à toutes les diagonales joignant les sommets opposés du polygone 
mobile, etc. Pour p = 4, on peut prendre un cercle U ayant son centre sur un cercle V. 



SLR LE FAISCEAU DES HYPEHIJOLES EQUILATERES CIRCONSCRITES 

A UN TRIANGLE 

Par M. O. 



Les coeflicionts de l'équation de l'hyperbole équilatcre passant par quatre points donnés résultent 
d'un système de «luatre équations linéaires. Si ce système est déterminé il y a une solution; s'il ne 
l'est pas il y en a une infinité. Si donc on constate que par quatre points il passe plus d'une hyperbole équi- 
latère, il en passe une infinité. 

Chaque côté d'un triangle ABC joint à la hauteur correspondante constitue une hyperbole équila- 
lère dégénérée passant par les trois sommets et l'orlhocentre H. Par suite, en vertu de la remarque pré- 
cédente, il y aura une infinité d'hyperboles équilatères passant par ces quatre points. Autrement dit, 
Les liyperbnlfis étjuilaléres circmiscrites à itn trimigle passent toutes par l'orlhocentre de ce triangle. 
Cherchons le lieu des centres I de ces hyperboles. 

Nous en connaissons iniinédialenient neuf points : les pieds A', B', C des hauteurs correspondant 
aux trois hyperboles ilégénérées dont il vient d'être question, cl les milieux des distances des quatre 
points .\, B, C, Il pris deux à deux, c'est-à-dire les milieux A', B', C des côtés, A,, B„ Ci des distances 
de l'orlhocentre H aux trois sommets. 

Pour déterminer la nature de ce lieu, nous nous appuierons sur ce théorème bien connu, d'une 
démonstration d'ailleurs immédiate : .S*, sur une curdr d'une hyperbole prise pour diagonale, on construit 
un parullrlngramme aijanl ses cotés parallèles aux asymptotes, la seconde diagonale de ce parallélogramme 
passe par le centre de l'hyperbole. 

Donnons-nous arbitrairement les direclions rectangulaires .M' et .\fi de-s asymptotes d'une des 
hyperboles du faisceau. Si nous construisons les reiliinglcs ADHH et AFCtî ayant ces droites pour côtés, 

et les droites AB et .\C pour diagonales, nous 
voyons, d'après le théorème ci-dessus, que le cen- 
tre de l'hyperbole correspondante est le point de 
rencontre 1 do DE et de EO. Or, ces droites passent 
respectivement par les milieux C et B' de .\B et 
A(^, qui sont des points fixes. D'autre part, 

iruT - DEA-f-PHiA = ÏÏAE -+^cÂTî = Tue, 

(pli est conslanl. Donc le lieu du point 1 est un cer- 
cle, et |iar suite, les neuf points reconnus plus 
haut comme app.irleiiant au lieu sont sur ce cercle. 
On retrouve incidemment ainsi le (''''lèbre théo- 
ntue d'Euler. 

Nous avons vu que le centre est en un «les points 
A", II*. C lorsque 1rs directions asymploli(|ues sont 
celles d'un lies riMés du triangle el de In haiitnur correspondante. Voyons de même quelles sont les 
direclions asymplutiques qui donnent le centre en un des points A', B', C ou A,, 11,, C|. 




KCOLE POLYTECHNIQUE 107 



Pour que le centre I vienne en A' il faut que B'F se confonde avec C'A', c'est-à-dire soit parallèle 
à AB ; autrement dit, que 

BTC = BAÔn 
ou ^ ^_^ 

B'AG = BAG. 

c'est-à-dire que AG soit bissectrice de l'angle BAG. Par suite, U centre coïncide avec le milieu d'un côté 
lorsque les directions asymptutiqucs sont relies des bissectrices de l'anijle opposé. 

Pour que le centre I vienne en A„ il faut que B'F se confonde avec B'A, c'est-à-dire soit parallèle 
à ce ; autrement dit, le point G étant alors au-dessus de CC", que 

Î?GC = Gcir, 

ou ^_^ ^ 

B'CG = GCH, 

c'est-à-dire que CG soit bissectrice de l'angle ACH. Par suite, le centre coïncide avec le milieu de la 
distance de V orthocentre à un des sommets lorsque les directions asymptotiques sont celles des bissectrices 
des angles que les côtés issus de ce sommet font avec les hautein-s adjacentes non issues de ce sommet. 

D'après ce qui précède, les trois sommets d'un triangle, l'ortliocentre et les points h l'infini dans 
deux directions rectangulaires quelconques sont six points d'une même conique. Numérotant ces points 
de 1 à 6 dans un ordre arbitraire, et appliquant le théorème de Pascal, ii savoir que les couples de droites 
1-2 et 4-5, 2-3 et 5-6, 3-4 et 6-1 se coupent en des points en ligne droite, on obtient autant de pro- 
priétés du triangle. 

Plaçons, par exemple, les numéros 1 et 2 aux sommets B et C, 4 au sommet A, 5 à l'ortliocentre H, 
3 et 6 en deux points à l'infini dans deux directions rectangulaires quelconques. Nous avons alors ce 
théorème : Si par les sommets B et C on mène deux droites rcclanijulaires quelconques, qu'on abaisse du 
sommet A une perpendiculaire sur une de ces droites, de l'ortliocentre B une perpendiculaire sur l'autre, les 
pieds de ces perpendiculaires sont en ligne droite avec le pied de la hauteur AH sur BC. 

Nous laissons au lecteur le soin de former les énoncés correspondant à d'autres modes de réparti- 
tion des numéros de 1 à 6. La démonstration directe des théorèmes ainsi obtenus peut constituer d'utiles 
exercices de géométrie élémentaire. 



ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Concours de l'JUO). 



Mathéma tiques . 

942. — I. — Dans le plan (P) d'une section plahe d'une surface (E) pour trouver les normales à la 
section issues d'un point 0, on peut employer la méthode suivante : couper (E) par une sphère (S), et déter- 
miner le rayon r de la sphère de façon que leplan (P) soit langent au cône (C) qui a pour sommet le point 
et pour directrice l'intersection (E, S). La génératrice de contact OG est noi-male à la section plane au 
point G où elle rencontre la directrice (E, S) du cône (C). 

Justifier celte méthode. 

x' v' ï' 

II. — i" Application. — On coupe l'ellipsoïde (E) -j- + ^T -^- "^ — * = •^ P"*" ''' pl"» i^) 

ux -h vy -+- tvz = 0. Sur le diamètre perpendiculaire on porte à partir du centre une longueur OM dont 

„ , , 2 ^ 1 . 

le carré soit moyenne harmonique entre tes carrés des demi-axes ^ et J^ de ta section : =r^ =—-(- — 

— /Jeu dupiiinl M, quand (P) pivote autour du point 0. 

III _ 9- Application. — Même problème en remplaçant la longueur OM par la longueur ON déduite 



108 £COLE POLYTECHNIQUE 



de la formule ■ = — Etudier la forme du lieu du iioinl N, el celles des sections paral- 

' UN a P 

li'les aux trois plaus des coordunuées. 

On conseiceia les unlulious indiquées. 

I. Coupons la surface (E) par une sphère quelconque ayanl son centre au point et considérons 
les sections faites par le plan IP; dans la sphère et dans la surface. 

Ces deux lignes se coupent en divers points A, B, C, l), . . . , qu'il sullil de joindre au point pour 
avoir les jréiiéralricc- du c'me projetant de ce point la ligne d'intersection des deux surfaces et qui sont 
dans ce plan P). Quand deux de ces points, A et B par exemple, viennent se confondre en un point 
G, la droite AB devient tangente en G à l'intersection des deux surfaces et à leurs sections par le plan 
(Pi, el la droite OG est perpendiculaire sur AH. Comme d'autre part le conc projetant est tangent au 
plan (P) le long de OG, il en résulte bien qu'une génératrice de contact d'un pareil cooe avec le plan 
(P) est une normale à la section de la surface (li) abaissée du point 0. 

lléciproquemcnt. si on prend pour rayon de la sjilière la longueur de l'une des normales menées 
du point à la seciion, la tangente à celle section au pied de la normale est une tangente commune 
à la sphère et à la surface (Ej et par suite, le plan (P), qui projette celte droite du point 0, est tangent 
au cône projetant l'intersection des deux surfaces. 

II. Cela posé, soit x' -4- «/'+:* — p' = l'équation d'une sphère quelconque concentrique à 
l'ellipsoïde donné. Le cône qui projette de l'origine l'intersection des deux surfaces, a pour équation 



j' «/» := y--^y- 



|! /.i 



b* 



0, 



P"^ — a' . p' — ^" „ p' — C , 
a' o' c' 

En exprimant qu'il est tangent au plan «a -i- oy -+- ?r; =0, nous obtenons une équalion qui 
donne les longueurs des normales à la section abaissée du point 0, c'est-à-dire les longueurs des demi- 
axes de cette section. Cette équation est 

a'i(- h'v* c')/' 



p« — a' p' — b' p" — c' 



= 0. 



on 



{a'u' -^ b^v' -H c*,r'-y — [a'(t' -+- c'-)u* -4- 6'(a» -h c*)v^ -+- c»(a» + b*)w^]?* -h a*bh*(u' -+- r» -i- w') = 0. 

Elle donne 

J_ 1_ _ a'(6» -f- c^)u* -H &«(a» -H c')t)' ■+■ f '(«' ■+■ b*)w* 

1»"*" "P^ ~ «'i'c'(u« H- »' -»- H>») 

Or, en désignant par r, y, z les coordonnées d'un point du lieu, nous avons O.M" = x'-f-»/'-+ 

U V //' 

el — = — = L équalion du lieu esl donc 

I y z 

2 a*{b* -4- c').r- -h ft^g' -t- c')i/« -+- c\a' + b^)z- . 



x' -+- 1/ -H î» a»//»c»(a:* -+- 1/' -+- :') 

elle se décompose en deux 

x'h-i/' -+-:' = () 

I.,a première représente le cône isotrope el s explique de la façon suivante : quand le plan esl tan- 
gent an c^no i^f.ir(i(Éf l'un des axes de la section a une longueur nulle, — — i- -^y- est infini, par 



ÉCOLE POLYTECHNIQUE 100 



suite CM est nul, et l'on doit porter sur la normale au plan, c'est-à-dire sur la génératrice de contact 
avec le cône isotrope, une longueur nulle ; on obtient ainsi tous les points de cette génératrice et l'on 
voit que le lieu du point M est le cône isotrope lui-même. 

La deuxième représente un ellipsoïde concentrique à l'ellipsoïde proposé et ayant mêmes directions 
d'axes que lui ; c'est le vrai lieu. Elle peut encore s'écrire 

J_ J_ 1 \ . ., „ .,v / x- v" î' 
a- 0- 



4)("-»'-'-)-(f+^ +!-)=«. 



et, sous cette forme, elle montre que les plans cycliques de cet ellipsoïde sont les mômes que ceux de 
l'ellipsoïde proposé. 

111 1112 

III. La relation -— = — se translorme successivement en — - = — r-t--r^ . 

OiN a (î QJ^^ a- p- a^ 



puis 



4 / 1 j i_y 



Or l'équation en p- que nous avons trouvée dans la deuxième partie, nous donne 

1 1 _ la\b- -+- c^)u' 

1 _ la^u^ 

par conséquent, en appelant aussi x, y, z les coordonnées du point N et remarquant que «, v, w sont 
proportionnels à -v. ij, z, nous avons de suite l'équation du lieu 



— T 



Cette équation se décompose encore en x'^-i- y'^ -+-i- — 0, représentant un lieu exceptionnel qui 
s'introduit pour une raison analogue à celle donnée antérieurement, et en 

Celle-ci représente le vrai lieu. 

Il est évident, d'après les calculs que nous avons faits, que l'équation (2) représente aussi le lieu qui 

111 1112,, 

convient à la relation — rrr = 1- — • Dans le premiercas, on a — r -t- 7^ — -=t = -r ' dans le 

ON' a p '^ ^' £- ON" "? 

, 111 2 

second, — --r--r- 



^' ON'' ^? 

La surface se compose de deux nappes ayant respectivement pour équations 






abc 

/ 1 1 \ 9./y 

et 



. La première nappe, lieu du jjoint N, est extérieure à l'ellipsoïde ï/ — -h -j jjr' — 1 = ; lu 

seconde, lieu du point N', est intérieilre au même ellipsoïde ; elle n'a pas de directions asymploliques. 
Au contraire, la première nappe a pour directions asymptotiques celles qui correspondent à « = ?; co 
sont les normales aux plans cycliques. Dès lors, cette nappn s'allonge en quatre fuseaux inlinis entou- 
rant ces deux normales. Nous pouvons donc prévoir que pour des plans assez éloignés cl parallèles au 
plan des xy ou au plan des yz, les sections se réduiront à deux ovales symétriques l'un de l'autre cl de 



jlO ECOLE POLYTKCIINIUUE 



plus ea plus éloign.^== du centre .lo la section ; et que, pour des plans assez éloignés et parallèles au 
plan des xz, les seclions deviendront imaginaires. 

Il nous reste à justifier tout ce que nous venons de dire et à étudier d'une façon précise les formes 
des diverses sections. 

Si nous développons léqualion (2) nous obtenons 

Supposons, comme habituellement, a>b>r et posons 

1 1 ___!_ 1_±=1, -i L = _±, 

1 11 »J_± A + -L = J- 

récriture de l'équation (2) se simpliliera beaucoup et nous aurons 

X» y' ^ £!^_.?!!f!._^^f!yl_-!fl-^- — -4-1 = 
■^■^"ÂT"^ '•; "^ 6W cîa; a!/.î oi bi ri 

Les directions asvmploliques sont fournies par l'équation 

X' v' il ^ ^y!i! _ ?!!fl + -^'y' = 



ou 






11 est visible maintenant gue le cône des directions asymptoliques se décompose en quatre plans 
imaginaires conjugues deux à deux 

0, C, Oi 11 Cl Ol 

11 y a deux directions asymploliqucs réelles seulement et ces directions sont doubles ; ce sont les 

deux directions — ± -I- = du pian 'i = 0; elles oui poui paramètres directeurs 'ii, 0, -•, et 

a, r, 

a,, 0, — c , et il est facile de vérifior qu'elles sont perpendiculaires aux doux plans cycliques de l'ellip- 
soïde donné, 
l'roposons-nousd'étudioruiaiulenanl les sections faites par des plans parallèles au plan des .ri/, z = h. 

Elles ont pour équation g-'nérale 

\a] b] ) n^,\c] a]J b\ \ c\ b\ I c' <■; 

nous voyons donc qu'elles ont toutes les mêmes directions asymptoliques. doubles et imaginaires, et 
qu'elles ont en outre les axes Ox et Ot/ pour axes de symétrie. Etudions les sommets de ces lignes. 
Ceux qui sont situés sur t)x ont pour abscisses les racines de l'équation 

a\ a] \c', al ) """ c\ c] 

Cette équation, regardée comme étant du second degré en x', a toujours ses racines réelles; il est 
facile de le vérifier. La tomme de ce» deux nombres est toujours positive et croissante ; le produit est 



ÉCOLE POLYTECHNIQUE 



111 



positif quand k- vaiiede à a=ci, négatif quand /*'- varie de ac? à ^-c-, et positif ensuite ; ici, <x'- et p- 

2e; 
désignent les deux, racines de l'équation X- j- X -+- 1 = 0, et il est facile de voir que a- est plus 

petit que 1 et p- plus grand que I. Donc, quand h varie de Oà aci, les deux valeurs de a;- sont réelles 
et positives, la plus petite diminue, lautre augmente, etla première devient nulle pour A = aci ; quand 
/( varie de ac, à ^c,, une seule des valeurs de x^ reste positive, et elle continue à croître; 
enfin, quand h varie de pc, à -(-x, l'autre valeur de x- redevient positive aussi et elles croissent 
toutes deux. 

Les sommets situés sur Oi/ ont pour ordonnées les racines de l'équation 

y' , 2v» fh'^ b\ 
b\ h\ \ c; h\ 

11 est facile de vérifier encore que cette équation, regardée comme étant du second degré en xf 



F +— r +1 =0. 

bi ) c\ c-. 



et b] 

a toujours ses racines réelles; ceci résulte de ce que -v > -rr 



ou 



1 1 

/';Cï c\b\ 



y, l'équation de la seclion se transformera 






-1-1=0. 



Le produit des racines présente les mêmes variations de signes que dans le cas précédent ; quant 

à la somme, elle est d'abord positive, puis elle cesse de l'être à partir de h = — — ; cette valeur de h 

est d'ailleui's comprise entre ac, et pc,. Les deux valeurs de y- sont donc réelles et positives quand A 
varie de à aci ; pour h = aci, la plus petite devient nulle. Quand h varie de ae, à jîci, une seule 
reste réelle et positive, et elle devient nulle pour h = pc,. Ensuite, les deux valeurs de j/^ sont néga- 
tives. 

Pour compléter cette étude par les sommets, il faut maintenant discuter rapidement l'équation qui 
relie x a. y. Dans le but d'abréger cette rédaction déjà longue, nuus ne le ferons que dans un cas, dans 
le cas où h est compris entre et aci, c'est-à-dire quand la courbe a deux sommets sur chacun des 

X- y' 

demi-axes positifs. Posons alors — — = u et -77- 

en 

2As 

cl 

Elle représente alors une parabole dont l'axe est parallèle à la seconde bissectrice des axes Ou et Oo 
et qui coupe chacun de ces axes en deux points situés sur la partie positive. 

Il est facile de vérifier en outre que celte ligne 
rencontre le diamètre u -t- « = en un point 
d'abscisse positive ; par conséquent elle occupe la 
position figurée ci-contre. Les seuls arcs utiles sont 
ceux sur lesquels 1/ et v sont tous deux positifs ; 
ce sont donc les arcs AC et IJI). Au point de vue 
de la discussion des deux équations bicarrées en 
X et en y, il faut encore voir si le coefficient 
angulaire de la tangente en D est positif ou 
négatif. On reconnaît facilement que dans le cas 
actuel il est positif ; pour abréger, nous omettrons 
ce calcul, ((ui est facile. 

Soient alors x„ et j, les abscisses des deux 
sommets de la section situés sur Ox, ;/„ et y, les 
ordonnées de ceu.v ipii sont sur Oy et y, la valeur de j/qui correspond à la plus haute valeur de urela- 




Fig. 1 



m 



ÉCOLE POLYrECHNIQUE 




Kip. 2 



livc à la parabole. Quand x varie de à x„ les quatre 
valeurs de ;/ sont réelles ; de .r„ à x,, il n'y en a que 
deux, et enlin, au delà de x,, il ny en a pas. Quand y 
varie de à »/„, les quatre valeurs de x sont réelles ; de 
»/„à i/i, il n'y en a que deux ; de j/, à j/., elles sont toutes 
réelles encore, et enûn, au delà de i/s, il n'y en a jdus. 
La courbe totale se compose donc de deux courbes 
fermées extérieures l'une ii l'autre : la courbe intérieure 
est un ovale ; elle n'est pas sur la nappe utile de la sur- 
face ; la courbe extérieure présente des points d'in- 
flexion {/ig. 2). 

Pour II = ic,, l'ovale intérieur se réduit à un 
point. 

Quand h varie de ac, à JiCi, il n'y a pas d'ovale inté- 
rieur, la ligne extérieure garde la forme générale. 
Pour h = fie-,, les deux sommets situés sur Oy viennent se confondre avec le point et il y a un 

point double à l'origine (fig. 3). 

Enfin, quand h est supérieur 

.V il Pc, la courbe se dédouble en 

(li'ux boucles symétriques l'une 

de l'autre par rapport à Oy 

(A;/- 4). 

Nous étudierions de la même 
Kig. 4 façon les sections parallèles au 

plan des ijz. 

Voyons maintenant les sections parallèles au plan diis ;x. En désignant par y = /. un plan quel- 
conque parallèle au plan des x:, nous avons pour équation de la projection de cette section sur le plan 
des IX 

/.' iir- 




O 



o- 



F'K. 3 



/_x^_i'y 2x» / a» _ A' \ ^/c? A* \ 



-+--r 



l>\ 



1 



0. 



doubles et réelles, 



et que de plus elles admettent les axes des x et des : comme axes 



Cette équation nous montre d'abord que toutes ces lignes ont les mômes directions asymptotiques, 

a, ~ it Cl 
de symétrie. En annulant le terme constant de cotte équation, nous obtenons une équation bicarrée 

en -j— qui a ses quatre racines réelles ; les deux valeurs positives de h ainsi obtenues pi'uv(>nt se 
"\ 

représenter par a7ii et ^'A,, a' étant plus p lil quo 1 el > jdus grand ; pour chacune de ces 

valeurs, la courbe a un point double à l'origine, isolé pour la première, et ordinaire pour la 

seconde. Enfin, il est évident que, pour des valeurs sulllsamment grandes de A-, la courbe devient 

imaginairo. 

Les asymptotes ont pour équations 



X . î _ . / TTlj ?T ¥ . 
elles forment un loB.inge ayant pour centre le point 0, quand A* est moin ire (|ue ''2 = ^ ( -4 "+" "T )• 

Z \ tti Ct / 

elles sont deux ii deux confondues pour k = A„. cl imaginaires, pour A > A,,. 



ÉCOLE POLYTECHNIQUE 



113 



Or, pour k = ko, les coefficients de —7- et —r ont une somme nulle; par conséquent, l'équa- 



tion prend la forme 



où Q désigne la quantité 



.2 

V ; il est facile de vérifier que ce trinôme est un carré parfait; par 



x; 



ni c 

suite, pour /.• = ko, la ligne se réduit à une hyperbole double 

x^ z^ _ l / a; ff >. 
a, '■; ~ 2 \ fl! c: ) ' 

Si Ton a k > A„, c'est-à-dire si k- = Aii-t- A;, le premier membre devient 

[X- :» 1 / a; ef\l^ 2A-; / x- z- \ ^ 

en désignant par AT l'accroissement du trinôme bicarré à partir de A' = A; (on a aA- = A;); cet accrois- 
sement est posilif, puisque kl dépasse la plus grande racine du trinôme. Donc la courbe est imaginaire. 

11 résulte encore des considérations précédentes que les deux plans y = dz A^ touchent chacun 
la surface en tous les points d'une hyperbole et qu'elle est comprise tout entière entre ces deux plans. 
Il existe aussi deux plans parallèles à chacun des autres plans de coordonnées et tangents chacun à la 
surface tout le long d'une conique ; seulement ces deux plans sont imaginaires. Les huit points de ren- 
contre de ces six plans trois à trois sont des points doubles de la surface ; ils sont évidemment imagi- 
naires. 

Eludions maintenantles sommets de la section. Ceux qui sont situés sur Ox ont pour abscisses les 
racines de l'équation bicarrée 

x' ^ /\5[ _ ^' \ '•' _ ?Ë 1-0 
a\ a; \ ai h- / 6; hl 

Tant que k est inférieur à a'6,, les deux valeurs de x^ sont réelles et positives ; quand k est com- 
pris entre a'A, et <^'b,, une seule valeur de a;- reste positive. 



(0<A<a'6,) 




Fig. 



Si -5- est plus grande que -^' 1*® ^^"^ valeurs de x' rede- 

viennent réelles et positives, lorsque k augmente de p'é, jusqu'à 

A»; pour k = A,,, elles se confondent, et l'hyperbole limite 

a' '1 

a alors ses sommets sur Oa;. Si -^ est moindre que —, les 

a, ff 

valeurs de x' cessent d'être positives avant A = Aj, l'hy- 
perbole a ses sommets sur 0:, et il résultera de ce qui suit 
que les sommets do la seclion qui sont sur Or sont imagi- 
naires à partir de A- = p'A|. 

Les sommets qui sont situés sur 0: ont pour cotes les 
racines de l'équation 

TT c? \c\ b\)^ b\ bi ^ 



De même que précédemment, on voit que si A est infé- 
rieur à «6,, les deux valeurs de :' sont réelles et positives; quand A" varie de «'6, à p.'6, une seule valeur 



lU 



ÉCOLE POLYTIiCllMQUE 



de î' reste positive. Kiilin, au delà de ^'6,, jusqu'à k^, les résultats sodI iuverses des précédents. 

(A- = fJ'ft.) 





Fig. 6 



Fig. 7 



Remarquons en outre que les asymptotes de chaque couple sont le plus éloignées possible pour 

* = 0, et quelles se rapprochent graduolle- 



(?'6, <k< Âo) 

i 



k = A-„ 





Fig. 8 



Fig. il 



ment quand k augmente de à /i"o. Nous 
pouvons alors, en nous aidant de quelques 
remarques évidentes, tracer les lignes qui 
viennent d'être étudiées. 

L'ovale intérieur appartient à la nappe 
de la surface qui n'est pas à considérer. Il 
se réduit à un point, pour k — a'A, et dis- 
parait ensuite. 

On obtiendra approximativement les 

aï c? 
formes qui correspondent a —r'^~)^ 

Oi Ci 

c"est-k-dire à h'^ac, en faisant tourner les 
figures précédentes de 90° autour du point 0. 



Physique. 

943. — fjn prudulr OP dont la durfe des pHitm oscillations rsl T est écarte de la verticale, d'un 
angle s et abnndontié ù lui-im'me : au point le plus has de ta course. A, la masse P rhasse un nuthilc m, 
pot^ sur un lupport S, avec une viletse V égale a celle de P avant lerhnc. 

()n demande l'éi/ualion de la courbe G décrite par le mobile après le choc rapportée aux axes horizontal 
A;/ et vertical Ai. 

i 

Application numérique : a = 00" ; T = ■— de seconde ; g = 981 (C. (î. S) ; it = 3,14. 

o 
Calculer l'ordonnée i/ de la courbe C pour z — AB ^ 1". 

La donnée T pormol doc.-ilcii!(!r la longueur du pondul(>. De ï = ri /_, on lire l — «T' 

\ g ît« ■' * 



GËOMÉÏRIK ANALYTIQUE 



115 




La vitesse V est donnée par V = y/^^ = v^2^/(l — cos a) ou, en remplaçant 
/, V = -^ v/2!(l— cosa). 

L'équation de la courbe résulte de l'élimination de t entre 

y=v< et = = -|^''- 

Elle est V* = z^ 

9 
ou, en remplaçant V par sa valeur, 

,,V 



y- = i ^^;- (1 — cos ï):. 



l 



^^'XJ f IX 109 

Application numérique : y^ = Ax — zrr^r, — (1 T " ~ , „„„„ 2 = 22,11 ;. 

Pour z = lOO'", on a i/^ = 2211, y = 47°°". 

(M. J.-D. DoFAUT a envoyé une solution exacte en frincipe mais avec une faute de calful.) 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



935- — On peut mener à une conique à centre quatre tangentes dont tes segments limités aux deux tan- 
gentes menées d'un point à cette conique ont une longueur donnée 2/ ; ces quatre tangentes sont tangentes à 
un cercle qui u son centre au point si/métrique du point envisagé par rapport au centre de la conique. 

Prenons pour axes les deux tangentes menées de P à la conique donnée. 

Soient a et ^ les coordonnées de P'. Les parallèles aux axes de coordonnées menées par P' sont 

évidemment tangentes à la conique. L'équation tangentielle 
de cette dernière est donc de la forme 

(1) 2/iut) = w{ux -t- v^ H- «•). 
Or la condition pour que le segment de la droite 

ux -h vy -^- w = 0, compris entre les axes de coordonnées, ait 
une longueur 2/ est 

(2) 4/-u«t)* = «'-(«' + v' — 2wu cos 0). 
Si l'on porte dans (2) la valeur de iuv tirée de (1), et 

qu'on divise par le facteur w^ qui correspond aux tangentes 
Px, Py, on a /2(«a-f- u^-t- ?«f = /(''(u^ -+-«-— 2«u cos e), 

Il sinO ... , , 

équation tangentiello d'un cercle de centre P'(», ?>), et de rayon ? = — ^ — » ce qui démontre la pro- 
position. 

Remarol'e. - Si l'on traite la question en prenant pour axes de coordonnées, les axes de la 
conique : 




les coordonnées de P étant a-», i/o, on trouve pour la valeur du rayon : 



VASNIER. 



Solutions identiques : MM. Tbibikb. Ivci'e ite Cli-rmont; Cans, .^ Versailles. 



116 



QUESTIONS PHOI'OSEES 



Autre solution. — Kn prenant les mêmes axes que précédemment, onpeut représenter l'cqualion 
de la conJ(|ue par 

2xy — (ax — In/ 4-c)« = 0. 

bc a 



Les coordonnées du centre sont 



i—iab 1 — iab 

2(i'x — iii{ax -+- il/ + c) + y = 0, 
où jji désigne un paramètre variable. 

Les segments interceptés sur les axes, à partir de 0, sont OA = 



; l'équation générale des tangentes est 



et OB 



2c(x 



(j. — a 1 — 2An 

En écrivant que AB = 2/, on a une équation du (imUrième degré en (i, ce qui montre que le problème 

admet quatre solutions. 

Soit maintenant 0' le symétrique de par rapport au centre de la conique; ce point a pour coor- 

26c Sac 
données --— . — — et le triangle AH a pour aire 



sin 








a — a 





2fa 


1 — i/rl 


ibc 


In,- 



c» sin 
i—iab 



1 — 2a6 I — Iab 

Donc celle aire est constante. 

Il en résulte évidemmentque les quatre tangentes AB de longueur 2Z louchent un cercle de centre 
c' sin 
f(l — 2(j6)' Capitaine G. DULIMBERT, à Grenoble. 



et de rayon R = 



QUESTIONS PROPOSÉES 



1002. — On donne une ellipse et deux droites reclansiilaires D, D'. l'ne droite A coupe l'ellipse aux points H, Q. 
I Trouver l'enveloppe de la droite A, de façon qu'il existe une conique tangente aux deux droites D, D' et 

ayant pour foyers H, Q. 

2° Trouver l'enveloppe du cercle orthoptique de celle ionique, et le lieu de son centre. 

P. PuiG. 

1003. — On ronsid^re un cylindre paraliolique el une normale à ce cylindre. On demande le lieu des foyers 
des parabole!) obtenues en coupant le cylindre par des plans qui tournent autour de la normale. 

1004. — l'n ballon spbériqiie en verre mince, vide cl de rayon H, est placé entre deux glaces pjanes, 

minces, parallèles et indéfinies dont il est séparé par des distances égales à son 

diamètre, l/inlervallc est rempli d'eau dont l'indice n est -— . 

A 

C On se formera l'iiiiai^e d'un objet placé en .\ pour un observateur placé 

— - en sur l'axe AlK.Il <lu système, et quel sera le prossissenienl ? 

2» Si la glare A <•>! couvrrle de [itipier noir el le ballon rempli d'un gaz 
i coloré, jaune par exi'nipje, la hrIIc où se fait l'expérienrp étant d'ailleurs éclairée 

par de la lumière blanche, qui-l sera l'aspect du ballon pour l'observateur supposé 
1res éloigné ? 
"X' Comment col nxpoct varierait-il avec l'indice >i '.' 



>KP)r 



ALGÈBRE li: 



DEUXIEME PARTIE 



ALGEBRE 



941. — On demande de déterminer les nombres rationnels l et [x de façon que l'équation 

ï* -f- Ax' — 4Xa; -H 4iJi = 
ait une racine double de la forme a -i- p v'S , a e/ S étant rationnels. Résoudre l'équation dans ce cas. 

L'équation donnée étant à coefficients rationnels et ayant une racine double irrationnelle 
a-i-pv/3 admettra aussi deux fois la racine conjuguée a — ? v'S ; la somme des racines est donc 
égale à 42 ; d'autre part, elle vaut — 4 ; donc a = — 1. 

Les deux nombres — 1 +^ v'S'et — 1 — ^ /S" sont racines de l'équation dérivée 

x' -h 3a;2 — X z= ; 

la somme des racines étant égale à — 3, nous voyons de suite que la troisième racine de la dérivée 
est 1. 

En annulant alors la somme des produits deux à deux de ces trois nombres, nous avons ^- = i, 
ce qui nous donne ^ = ± 1 et nous montre que l'équation proposée doit admettre les deux racines 
doubles — l-(-/3 et —l — ^T- 

Le produit des racines de l'équation dérivée est égal à >. 

X = _ 1 (_ 1 + v/3)(- 1 - v/3) = 2. 

De même, le produit des racines de l'équation proposée est égal à 4(Jt, 

4i. = (- 1 + v/3 )n- 1 - v/â")' = 4 ; 
d'où |Ji = 1. 

L'équation demandée est donc 

a;* -(-4a;' — 8a;-^4 = 0, 

et elle admet bien comme racines doubles les deux nombres trouvés, ainsi qu'il est aisé, mais néces- 
saire, de le vérifier. 

PELVOISIN. 
Bonne solution : M. F. Pégobifb, à Toulouse. 



950. — On considère l'équation à coefficients réels 

a;* -h ax^ -t- bx- -^-cx-^rd =0. 

Trouver la relation qui doit exister entre les coefficients pour que cette équation ait deux racines ima- 
ginaires conjuguées démodule 1. Quelle inégalité faut-il joindre à cette relation pour qu'elle ne convienne 
qu'au cas signalé ? 

Résoudre l'équation dans ce cas. 

Les deux racines imaginaires conjuguées de module 1 ont pour produit l'unité, et, par suite, ce 
sont les racines d'un trinôme de la forme x'' -\-lx-i- i. Le polynôme du quatrième degré donné est 
donc susceptible du mode de décomposition suivant 

X* -t- ax^ + A.C» H- ca; -t- rf = (a;' -I- Xx -H l)(;c* -t- jjuc -1- d). 



118 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



et celle idenlificalion fournil entre X et jx les Irois relations suivantes 

X-H (1 = a, 

X(i-i- (/-+-! = 6, 

Xrf-i- (1 = c. 

a — c r — ad 

La première et la dernière donnent de suite a et n, A z= . . n = _ . ; en portant ces 

valeurs dans la seconde nous avons la relation cherchée 

(1) (ft — rf-l)(l — rf)'-H(n — c)(arf-c) = 0. 

Mais cette relation convient aussi au cas où l'équation aurait deux racines réelles inverses l'une de 
l'autre. Four séparer les deux cas, il faut encore exprimer que les racines du trinôme l'-t-Xi-t-l 
sont imaginaires, c'est-à-dire que À' — 4 est né},'atif; ceci fournit l'inégalité (n — c)' — 4(1 — d)»<0, 
qu'il suffit d'adjoindre à la relation déjà trouvée. 

Quant à la résolution de l'équation proposée, elle est immédiate, lorsque la relation (1) est vérifiée, 

puisque les valeurs de X et fi sont alors connues : elle est ramenée à la résolution de deux équations 

du second degré 

x*-H^ar -1-1=0 
1 — d 

c — ad . 

et x' -+■ T x-^d — 0. 

1 — a 

G. de FRANCE, à Versailles. 



GÉOMÉTHin; ANALYTIQUE 



940. — On considère vn diamètre variable d'une hyperbole équilalère donnée. Par les extrémités, 
M '■/ M , (le ce diamètre on fait passer un cercle de rayon constant qui rencontre l' hypirbole en deux autres 
points P et P". Trouver et construire : 1° le lieu du centre de ce cercle; 2° le lieu du point de rencontre des 
droites MM' et PP'. 

Soit x° —y* — n' = l'équation de l'hyporbole équilatère rapportée à ses axes, et y — mx = 
l'équation du diamètre MM'. Puisque les quatre points M, M , P, P' sont sur un cercle, le coetlicienl 
angulaire de PP' est égal à —m, et l'équation de celte droite peut s'écrire j/ -i- nw -t- jx = 0. 

L'équation générale des coniques passant par les quatre points considérés est alors 
Ux' — y' — «•) -H |i/ - 'nx}(y + mx -^ jj.) = ; 
le coefficient de xy est nul, el pour écrire que l'équation représente un cercle, il suffit d'exprimer que 

les coefficienls de x* el de y' sont égaux. On trouve X = — - — , et l'équation du cercle devient 

(1 — m'Xx» -t- y*) — iyimx -f- i^y - n*{l + m*) = 0, 
ou encore, en mettant le rayon en évidence, 

V ~ 1 — m» / '^V'^l — m^l (1 — m')» 

Pour que le rayon soit constant el égal à R il l'aul qu'on ait 
(Il (i-\-m*)[ii'-i-n'il -m»)l= KVl— m')». 

1. Les coordonnées du centre sont 

(*^ * = . — —t' ;/ = - i 



1 — »n« •' 1 - m' 

nous aurons le lieu de ce point en éliminant m el |x entre les équations (1) et (2). 
Des équations ' j) on lire sans dinirullé 

X x' — V* 
m = 1 11 = —t 

y y 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUK 



119 



et en portant ces valeurs dans l'équation (i), on a 

• (.i-2 _ y 2)[x* _ y* _ (flS H- B.^)x^ —(a"-— R2)t/= I = 0. 
A la solution x^ ~y^ = correspondent les valeurs (^ = 0, m = ± l; le cercle dans ce cas 
se réduit à la droite de l'infini. 

Le véritable lieu est fourni par l'équation 

x' — j/'- — (a2 4- R')a;= — {a^ — K^)if = 0, 
qui représente une courbe du quatrième degré symétrique par rapport aux deux axes, admettant pour 

asymptotes les droites {x — y)(x-i-y) = 0, et ayant à l'origine un point 
double dont les tangentes ne sont réelles que si a^ — R- est négatif. 

Pour construire cette courbe, nous poserons y = tx ; nous avons 
alors 




x^ = 



{a' — ny^ 



R2 



et en prenant la dérivée par rapport à /, 

2([(a-— R-)<* + 2<V 



{x') 



R-)-ha^- -R2] 



(1-/*)^ 

Fig. 1 A toute valeur de t correspondent deux valeurs de x égales et de signes 

contraires, et deux valeurs de t égales et de signes contraires donnent les mômes valeurs de x. Nous 
donnerons seulement à t des valeurs positives et nous étudierons les valeurs positives correspon- 
dantes de x; nous obtiendrons ainsi le quart de la courbe. En prenant la symétrique de cette portion 
par rapport aux deux axes nous aurons la courbe entière. 

1° Supposons a- — R^ > 0. Le numérateur de x^ est sans cesse positif. Pour que x soit réel, il 
faut que 1 — <* soit positif. Nous ferons varier t de à 1. Quand l croit de à 1, la valeur positive 
de X croît de \/a- -+- R- à -i- œ. Nous en déduisons la courbe ci-contre (fig. 1). 

2° Supposons a- — R- <; 0. Le numérateur de x'^ s'annule pour t = y -^ — — ; celui de 
(.l'j' a deux racines positives a et ^ entre lesquelles sont comprises 1 et y -^ — —■ Pour que a: soit 



/«2 . 

réel, il faut que / soit compris soit entre et 1, soit entre y — 
alors les variations de x : 



R» 



R' 



et -H 00. Voici quelles sont 








a 




1 




décroît 


7nin. 


croît 




y/a^ H- R2 


+ 00 



V R^ 



croît 



max. décroît 




Fig. 2 



Pour ^=+00, j/ prend la valeur y/R* — a' . La courbe 
correspondante {fig. 2) a reçu le nom de courbe du diable. 

Observons enfin que pour a' — R* = 0, la courbe a la forme 
de la figure 1 . 

2. l'our avoir le lieu du point de rencontre des droites MM' et 
PP', il faut éliminer m et (x entre les équations 

y — mx = 0, y -hmx -h n — O, 

(1 + m')l |x^ + a»(l - w')] = R'(l - m')' . 

Les deux premières nous donnent m = -^, n = — 2»/, et 



120 



TaiGONOMÉTRIE 



en portant ces valeurs dans la Iroisième, on oblionl léqualion du lieu 

Axuj\x* -h y*) + (x« — y»)[(a« - R»)x» -H (a« -i- R')y«] = 0. 
Celte équation représente une courbe du sixième degré symétrique par rapport aux deux axes. 
Pour la construire, posons ;/ = tx; nous avons 

nous donnerons à t des valeurs positives et nous ne considérerons que les 
valeurs positives de x. 

Si a- — R' est positif, x n'est réel que si / est plus grand que 1, et 
quand t varie de 1 à -+- x . x varie de à ^/a*-+- R-. La courbe est repré- 
sentée par la figure 3. 

_. Si a-— R' est négatif, a: s'annule encore pour ' = \/ïti r' et pour 

que X soit réel, il faut faire varier t de à y/ ^^, ^^ et de 1 à -^ » . 

Pour / = 0, X est inlini, mais y prend la valeur 





•R^ 



Hr * 



Quand / varie de à V - .... ~ '., ' x varie do +x 

à 0. Enfin quand / varie de 1 à + oo , x varie de à 
v/R* + a'. 

La courbe admet dans ce cas quatre asymptotes {fig. 4). 

Si a^ — H* = 0, la courbe se réduit au quatrième 
degré 

4x''(x» ■+■ y«) -4- (o> -4- R«)(x« — tf) = 0, 

elle est aisée à construire. 

BALABAN. 
Solutions exactes par MM. F. Piîgoribii, k Toulouse, et Pelvoisin. 



TRIGONOMKTHJI- 



CALCUL 

963. — Trouver Ut angles compris entre ri 180° sulisfaisant à l'équation 

sin — X = a ' cotg' a cos'2p. 

«5 

<i = 15,41875, « = 130°35'17'.2». •? = 19° 42'13",16. 

(Ècoie ctnlrale, 1900. 1" sttiion.) 
On a 

2p=: 3n"24'26",32, 

cctga = — COlg(T: — «) =— cotg '»3° 2442, 711. 
L'équation donnée est donc de la forme 

(i) 



sm — - X = — sm o, 
3 



TRIGONOMÉTRIE 



121 



en posant 

(2) 
d'où l'on tire 



sino — 



cotg^ 43° 24'42",76 X cos- 39° 24'2f.",32 



or l'équation (1) donne deux solutions 

4 



ou bien 



— X = 2A'it — o 
3 

X = (2A-+l)TtH-(t,, 



15,41875 
= 3»51'38",2.') ; 



3A-7r 3 

dou x = -^-— <p, 

3 3 
d'où a- zn — (2/i-h l)n-t- — -ç. 

4 4 



La seconde solution seule donnera une valeur comprise entre et 180°, en prenant /.■ = 0, 
savoir 

X = l37<'o3'43",68. 



PROBLEME 

964. — 1" Résoudre un Irianrjli' ABC connaissant la médiane AD = jjl issue du somincl A, l'angle 
H et l'angle ?> = DAC . 

2° ^variant, résoudre le triangle pour lequel lé côté a est maiimum, celui pour lequel le côté c est 
maximum et celui pour lequel le côté h est maximum. ^^ 

3° Construire le triangle dont b est maximum pour le cas où n — 4 centimètres et B = 46°. 

t.— Résolution du triangle ABC— Prenons pourinconnue l'angle G du triangle. Nous aurons l'angle 

A par la formule 
^ A=7:-B— G, 

et les côtés a, b, c, ainsi que l'angle C, par les relations 

a 
u T c 




Fig. 1 



sinB 
a 



sin(B + p+C) sin(pH-G)' 

b 



sinG sinîi sin(? + G) 



Ue ces quatre équations, on déduit la relation 

sin C 



sin?. 



^"^ SinB sin (B -H ^ -t- C) ' 

qui permet de calculer l'angle C, et les expressions de a, b, c, en fonclion de l'angle C, 



(?) 



a = 2!i 



sin(B 4-P-hC) 



sin(i -t- C) 



c = n 



sin(? + C) 



sinB ' sin G sinB 

Ges expressions sont calculables par logarithmes ; lout revient à calculer l'angle C. 
L'équation («) peut s'écrire 

c'est-à-dire 



d'où l'on déduit 



2 sin (B -*- fl + C) sin C = 2 sin B sin p. 
cos (B + ^) — cos (B -H P + 2C) = cos (B — fi) — cos (B -H p), 
cos (B + p -h 2G) = 2 cas (B -h ?) - cos (B - P). 



iîi TRIGONOMETIUE 



En rendant calculable par logarithmes le second membre de celte équation (a) et posant 
2 cos (B -h p) — cos (B — p) = CCS f, on est ramené à résoudre l'équation 

cos (B + |i -+- 2C) = cos ç, 
d'où l'on tire 

o 1 
B-4-P+ 2C = 2A-T:±:ip, et par suite C=/,-ti±-i _(B + p). 

Il reste, pour discuter le problème, à voir dans quelles conditions on peut déterminer l'angle f, ce 
qui exige 

— l<2cos(B-+-îi) -cos(B-P)<l, 

et de plus si les valeurs trouvées pour C sont accejjtables. Une valeur de C n'est acceptable que si elle 
est comprise entre et tt et si la valeur corresi)ondante pour A est elle-même comprise entre et -, 
ce qui exige que C soit plus petit que i^ — B. En délinitive, C doit <'lre compris entre et t: — B. 

Pour faciliter cette discussion, reprenons l'équation en C, sous sa première forme (a); on peut 
l'écrire 

sinC sin(B + P-+-G) = sin B sin fi(cos»C-Hsin=C). 

Développant et prenant pour inconnue cotgC, il vient 

(a') cotgs c — (cotg B -+- colg fi) cotg C -+- 2 — cotg B cotg p = 0. 

Une valeur de cotg C, pour être acceptable, doit être réelle et comprise entre cotgO = -t-oo et 
cotg (t:— B) = — cotg B. 

La condition de réalité est la suivante 

(colg B + colg ?)' -+- 4 (colg B cotg ^ — 2) > 0, 

ou, en ordonnant par rapport à cotg P, 

cotg» p-^6 cotg B cotg fJ -t- colg= B — 8 > 0, 
ce qui exige 

{cotg p -H 3 colg B)2 > 8(1 -(- cotg'B), 

ou (colgp + 3colgB)'> .**„ • 

sm' B 

Substituons mainlenant dans le iireniiermiiiilire de l'équation (»') les valeurs — colgB et +» • 
il vient 

/'(-cotg B)= 2 cotg'B + 2>0, /"(-hc») = -t-oo. 

Les résultats de substitution sont de même signe, les deux valeurs de cotg G sont comprises dans 

le même intervalle que leur demi-somme -3- (cotg B -4- cotg p). 

Pour qu'elles soient acceptables, il faut donc que la demi-somme soit comprise entre — cotgB el 
-4- « , ce qui exige 

—(colg B -4- colg p)>_cotg B, 

c'est-à-dire 

(2) colg ? -+- 3 colg B > ; 



TRIGONOMÉTRIE 



123 



ces deux inégalités (1) et (2) donnent les conditions de possiiiilité du problème. Elles se réduisent à une 

seule inégalité 

2v/2 




cotg p + 3 cotg B > 



ou encore 



cotg p > 



2v/2 



sinB 
3 cos B 



sin B 



I 



Cette condition étant supposée remplie, le problème 
admettra deux solutions. 

La construction géométrique est immédiate {fig. 2). 
Ayant décrit sur AD = [Jt comme corde un segment 
de cercle capable de l'angle B, on mènera par le point 
A la droite AC faisant avec AD l'angle ^ Tout revient à 
mener par le point D la droite BC, telle que 
BD = DC. 
Le point B se trouvera à l'intersection du segment 
DBA avec la parallèle à AC menée par le point E, symétri- 
que de A par rapport au point D. Suivant que l'angle p 
sera inférieur, égal ou supérieur à l'angle que fait la tangente ET avec la droite EA,_ on aura 
deux solutions distinctes ou confondues ou bien pas de solution. 
Calculons l'angle limite V. 



Fig. 



Soit [fig. 3) 



) 




on a 



) v = 


= V, + V,; 


*e '' - EH 


1 OH 
~ 3 I)H 


ig V. _ g^ 


00 
"~ ET ~ 



-j cotg B, 



2 sin B 



\ 



yi sin B 



Fig. 3 



ou encore cotg V = 



d'où tg V = 



tgV, + tgV, 
1 - tg V, tg V, 



- cotg B 



i 



^l'J'i sin B 



6/2 sin2 B — cos B &\pi — cos B — 6/2 cos- B 



cotg B 
6v/2 sin B 
2/2 — 3 cos B 



(2/2 cos B + 3)sin B (2/2cos B +3)sin B sin B 

Le problème n'est possible que si p < V, autrement dit, si 

2/2 — 3 cos B 
cotg p > cotg V, c'est-à-dire cotg p > -ï — ^-g 

II. Maximum des côtés a, b, c. — La construction géométrique montre que a est maximum en 
même temps que la corde DB ; il faut pour cela que DB passe par le centre du cercle (fig. 4). Le 

triangle BAD étant rectangle, on a 

tg B = -i^. tg p = -^ d'où tg B. tg fi = — • 




AB •" - 2|x 

Vérifions ce résultat par le calcul. 



Le maximum de 



, .sin(B-l-PH 

a = 2(1 : — jT- 

sm B 



C) 



a lieu quand 



l'angle B-h p h- C = Y' «" en déduit 

B-+-p+2C = i:-(B-+-?) et cos(B-+-p-(-2C)=-co9(B-i-?). 



\ti 



TRliiONOMETIllK 



Portons celle valeur dans l'équation (a'); nous aurons la condition cherchée 

— cos(Bh-?) = 2cos(B-»-^l — cos(B— ?), ou 2 cos B cos ^ = 4 sin B sin ji, 

1 



ou enfin 

On a dans ce cas 



Ig H Ip p = 



a = 



2(x 



C=--(B 
b = 



v. 



A = 



[ji cos B 



^ 



c = [1 colgB. 



sinB' " cosiB-t-p) 

Pareillement, c est maximum quand AB passe par le point [fig. 5) ; dans ce cas, le triangle 
BDA est rectangle en 1) et le triangle BEA isocèle. On en déduit 

B + ? = -J. 

sin(? + C) 




Si on se reporte à l'expression de c, c = ^■ 



sin B 



on 



voit que < est maximum pour p -i- C = — • 

d'où C = -^— p. 

Portant dans l'équation (a), il vient 



Fig. 5 



d'où 

condition qui équivaut à la précédente. 

On a, dans ce cas, C = B, 



(1 = :2jxcotgH, 



cos p 
sin B 

lgBtgp= 1, 



sin p 



in(B-.l) 



SI 



sin p 
cos Bj' 



A 



2B, 



sioB 



Enfin, si on remarque que dans la lijîure du cas {lénéral {fig. 2). on a toujours AC = EB, AC = EB', 
on voit que // sera maximum ou minimum dans le cas oii la sécante EHB' i)assera par le centre du 
cercle G : c'est le cas où l'angle fi égale l'angle V, de la discussion précédente, 



tgP 



1 



cotg B, 



ou encore 



1 



Ig B tg p = -^ 



Fai-sons la figure en sujjposant (jl = 4 cent i mètres et B = 16°. Le triangle ,\BC correspond au 

minimum de /; el le triangle ABC correspond au maxi- 
mum (fig. 6). 

Tout 3 qui précède suppose le point situé au-des- 
sus de la médiane AU, c'csl-àdire l'anglft B aigu. Il est 
facile de vérifier par lo calcul que les conditions trou- 
vées ne sont compatibles avec la condition de possibilité 
(lu problème 

iJi — 3 cos B 




colg?> 
que si l'angle B est aigu. 



sin B 



1 



Ftg. fi 



1° IgB tg p = — - ou cotg? = 2tg B ; il faut que l'on 



TRIGONOMETRIE 12o 



„ „ -2^-2 — 3cosB 
^^g«> s.aB ' 

multipliant les deux membres par sin B, qui est positif (0 •< B < t.), il vient 

2 sin' B + 3 cos^ B — Sy/g cos B ^ 

^slB > ' 

en remarquant que le numérateur se réduit à 2 — 2v/ïcos B-i-cos-B, c'est-à-dire à (^2— cosB)', 

on obtient -î— =r — ^>0, ce qui exige cosB>0, autrement dit B aijru. 

cos B 

2°tgBlg? = l ou colg^ = tgB; la condition de possibilité se réduit à 

. n ^ 2v/2 - 3 cos B sin- H -h 3 cos'^ B — 2s/2 cos B ^ ,, (1 — ^'2 cos B)' ^ „ 

l'rB>— !^ : — ; ou jT >0 ou encore -! ^ ^ > 0. 

sin B cos B cos B 

* . . n, ., , j-.- j •.-,•... • .0.0^ 2v/£> — 3cosB 



3MgBtg|î = — ou cotg^=3tgB; la condition de possibilité devient 3tgB> 



sia B 



ou encore 3 sin- D -h 3 cos^ B- 2v/2cos B ^^ ou enfin ^-V^cosB^q Or cos B étant plus 

cos B cos B 

3 — 

petit que 1 est plus petit que -575-' le numérateurs — 2/2cosB est positif et l'inégalité se réduit 

encore à cosB>>0. 

1 
Remarquons enfin que dans l'hypothèse tg B tg ? = — • l'équation (»') se réduit à 

cos(B+p4-2C) =0, 
d'où B + i + aC = (2A■-Hl)-J■ 

Vérifions celte relation sur la figure 6. Soit d'abord le triangle ABC. On a 

BDA = BDd-H-(3DA. 

Or, BDA = ^ + C, BDO = OBD = it - C, ODÀ = y— B, 

d'où Bh-P + 2C=-^- 

2 

boit maintenant le triangle AB'C. On a de même 

BUV = ÔÛa — ODB', 

6^ = ?4-C', ODÀ=^ B, (JÏÏÙ' = OBI) = C, 

d'où B-+-p + 2C' = |-- 

Nous avons pu déduire les conditions du maximum des côtés a et c de leurs expressions (?). 
Prenons de môme l'expression du côté h 



126 CONCOl'RS DE 15)00 



et cherchons le maximum el k' minimum df ce cùlé lorsque p varie; b dépend de deux variables ^ et C, 
liées parla relation (a). Eliminant l'angle C entre cette relation el l'expression de b, on aura la rela- 
tion qui existe entre b et ?. 

„ b — a cos B 

On tire de (B') cotg C = „ '^ • 

psinp 

Portant dans l'équation d'), il vient, tous calculs faits, 

!>'— /;(i(3cosp-f sinPcolgB)+2(i» = 0, 

équation qui donne pour A deux valeurs dniii le pioduit est constant et égal à 2u'. Posons, en 

prenant u<-r" . n ., /- 

^ 'i b= [1/2 tg u, b' = iJi/2 colg u ; 

à un minimum de u correspondront pour b et pour b' le minimum cl le maximum du cùlé h. D'ail- 
leurs, u est donné par la relation 

b-\-b' — (iv^ (tg M -h colg h) = [ji(3 cos ^ -f sin p colg B), 

d'où on tire = 3 cos &-i- sin ? cotg B, 

2 sin M cos « 

ou encore sin iii = 



3 cos ^4- sinp cotgB ' 



sin 2u varie en sens inverse de son dénominalour : = 3 cos p + sin |i colg B . 

Prenons la dérivée :' = — 3 sinfi -t-cos ? cotg B ; fi variant entre el V, :' est d'abord positif, 
reste positif tant que 

cotg B. colg^ > 3, 

s'annule pour cotgBcolgp = 3 (lgBtg?= — j, 

et devient négatif pour cotg B cotg p < 3. 

On a donc un maximum de : et par suite un minimum de sin 2» lorsque IgB tg p = -— • L'arc 

o 

2o pris entre G cl — varie dans le même sens que son sinus; l'arc moitié u varie aussi dans le même 
sens On a donc bien un minimum de u. 



P. L 



-♦- 



CUNCOUISS DE 1900 (Suite). 



i;COLE DES MINES DE SAINT-KTIENNE 



Physique fl Chimie. 

I. — 1006. — On donne un rérlpienl cylindrique formé A A' posant, vide, 3r.ni"' cl dont les dimensions 
0* »onl : bâte : lOC"' ; baulcur : ÎO'". 
L'épaisseur d k parois est supposée négligeable. 



CONCOURS DE ISOO 127 




Ce récipient floUe dans un liquide L dont la densité à 0» est 0,01. On a introduit dans ce récipient, après y 
avoir fait le vide, un poids a; de mercure et un poids y d'eau, ciioisis de telle sorte qu'à la 
température de 100» : l» le système affleure exactement au niveau A', 2° toute l'eau soitcxac- 
, tement réduite en vapeur saturée. 
:" On demande : 

l" De calculer les quantités x et tj; 

1° De calculer la hauteur 3, comptée à partir du fond A, dont s'enfoncera le système pour 
une température quelconque t comprise entre 0° et iOO»; 
A 3» D'évaluer la force qu'il faudrait appliquer, à la température de 100°, à un piston très 

mince supposé mis à la place du fond A pour le maintenir. On admettra que la pression est 
uniforme dans tout l'espace occupé par la vapeur. 

Données numériques : Densité du mercure à C, 13,0 ; de la vapeur d'eau, -^ • 

8 
Poids du litre d'air à 0° et 'ÎOO""" : [s^S. 

Pression atmosphérique : "SO™"". 

Coefficients de dilatation : linéaire de l'enveloppe, 0,00001 ; cubique du mercure, 0,00018; cubique du liquide 

L, ■^^■, des gaz, 0,0036. 

On prendra comme unités le centimètre et le gramme. 

II. — 1006. — Dans une solution d'iodure de potassium on fait arriver le eaz provenant de l'action de 
l'acide chlorliydrique en excès sur Ob', 435 de bioxyde de manganèse, puis on verse 2l)ir"'= d'eau de brome. 

On décolore ensuite la liqueur exactement à l'aide «l'une solution d'hyposullite de soude contenant lb»',8 de 
ce sel anhydre par litre. 

Sachant qu'il a fallu employer pour cela 200'""' de la solution d'hyposulfitc, on demande la teneur de l'eau 
de brome. 

Poids atomiques : 01:^33,5, Dr = 80, 1 = 127, Na = 23, Mn = o".. 

{Durée : 3 keures i!S.\ 

Mathématiques. 

1 
1007. — On considère la fonction exponentielle y = c^ , la lellie e désignant la base des logarithmes 
népériens. 

1" litudier la loi de formation des dérivées successives de y par rapport li ./; et démontrer qu'en général la 

/Il -L 

dérivée d'ordre n, -^^, estdelaforme (— 1)" Q„x-2".e', Q„ étant un polynôme de degré n — I en x; 

dx" 
trouver la relation (I) qui existe entre Q,„ Q„_i et Q'„-i (Q'»-i désignant la dérivée de Qn-i par rapport à x). 
2" Etablir une formule de récurrence entre trois polynômes O successifs, Q,,-., Q„-i, Q,,; on désignera celte 
formule par le n° (II). 

3° Démontrer que le polynôme Q,. n'est autre que la fonction primitive du polynôme précédent U„-i, mul- 
tipliée par une constante numérique ; formule (III). 

40 litablir la relation identique qui existe entre le polynôme U« et ses deux premières dérivées Q',„ Q',i ; 

formule (IV). 

5» Démontrer par l'application du théorème do Rolle aux formules (I) et (III) ou aux formules (III) cl (IV) : 
a) que l'un quelconque des polynômes Q,. a ses racines réelles et inégales ; 6) que les racines d'un polynôme U,ui 
séparent celles du polynôme suivant Q,,. 

6° On représente le développement du polynôme Q„ par la formule 

Q„ = An .T"-' + A„^a;'-- + ... -h A„ x"-'' +...-(- A„,_,a; + A,,^. 
On demande de trouver l'expression générale du coefficient A„_ et de démontrer que l'on a identiquement 

1.2...» 

le symbole K?-' désignant le nombre des combinaisons compK/.s de /) lettres n—pk n—p. 

{Durée : 1 heiirrt. 



1S8 



QUESTIONS PROPOSÉKS 



Calcul triijoiionu'lrique. 



Pans un triangle ABC, on donne 



a = 3645"',430, 
b = 41 56"", 280. 

c = r.OiT^.r.eo. 

On demande de calculer les angles A, U, C, la surface S el le rayon r du cercle inscrit. 

IHpure de géomi'lrir descriplivn. 



[Durée: i heure.) 




1008. — Inlersieclion de deux cAnes obliques i\ bases circulaires ci-dessons définis. 

Soient HH la trace sur le plan vertical de projection d'un plan horizontal 
H et KK la trace sur le plan horizontal d'un plan de front K. 

Le premier cône a son sommet (s', s) dans le plan F à On",-20 au dessus du 
plan II où se trouve son cercle de base C de O^.OÎ de rayon. Le centre <» 
de C est à O^.OT en avant de F et à 0"',l.'> à gaucbe du plan de profil P qui 
contient le point {s, s']. 

Le deuxième cône a pour sommet (a, t'), point qui est sur l'intersection 

H de II et de P, à 0'°,\S en avant du plan 1'" où se trouve son cercle de b.ise 

■;'• ''°"l 's rayon est O^.oe. Le centre de y' est à O^.OG au-dessus du plan H 

•■' et à 0™,10 k gauche de P. 

On demande de représenter : 

1» en projection verticale, le solide commun aux deux cônes ; 
2° en projection horizontale, la portion du premier cône qui est exté- 
rieure au second et limitée en outre, inférieurement par le plan II, et supé- 
rieurement par le plan de section circulaire antiparallt'le qui passe par le 
point (s, a'). 

Les parties conservées seront passées à l'encre de Chine en faisant la distinction des parties vues et cachées. 

On reproduira en outre à l'encre (traits continus de couleur ou traits noirs discontinus) la conslrurlion d'un 

point courant de l'intersection avec la tangente, ainsi que celle d'un point el d'une tangente remarquables de 

chaque espèce (points sur les contours apparents, points où l'intersection est tangente à une génératrice de l'un 

des cône:»). 

Les courbes seront tracées à la main sans faire usage de pistolets. 

On prendra pour ligne HH le petit axe de la feuille et on placera le point O à 0<°,ni à gauche du grand axe. 

(Durée : 3 heures.) 




QUESTIONS PHOPOSKRS 



1009. — Trouver les lieux des centres, des smiinipls et des foyers des hyperboles écpiilalrres qui ont leurs 
directions asymploliques données et qui coupent un cercle donné rn des points dont trois soient les commets 
d'un triangle équilaléral. 

1010. — Soit M un point variable sur «ne ellipse dont les axes sont AA' et HH'. Trouver : 
1" L'enveloppe de l'axe radic-il des cercles circonscrits aux triangles MAA' et Mltll' ; 

S' Le lieu du second point commun à ces cercles. 

M. (t. 



I.e. nfdacteur-Géranl : 11. VUIUKIIT. 



«A* LK hlH., IHP. l»IIITII-IAr.<JI!KT. 



11' Année. N" 6. Mars 1901. 



REVUE DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES 



PREMIERE PARTIE 



SUR L'EQUATION AUX SIX RAPPORTS ANHARMONIOUES 
APPLICATION AUX FORMES BINAIRES CUBIQUE ET BIQUADRATIQUE 

par M Lelieuvre, professeur au lycée de Caen. 



I. Soit à former l'équalion du sixième degré qui a pour racines les six rapports anharmoniques de 

1 1 1 

quatre quantités : si o dési£;ne 1 un d eux, les six racines sont : o, —, 1 — o, 1 i , 

'" ' p 1 

\ 

j- • On est donc conduit à cherclier la forme générale de 1 équation du sixième degré F(:) =0 qui, 

P 
à la fois, est réciproque et a les mêmes racines que sa transformée en I — : ; cette dernière condition 
permet d'exprimer Ffr) comme le produit de trois diviseurs du second degré, tels que la somme des 
deux racines de chacun d'eux soit égale a 1 : l'un d'eux est de la forme :- — : — ", donc le polynôme 
F(j) satisfaisant à la condition en question peut s'écrire sous la forme d'un polynôme entier du troisième 
degré en :■ — :, soit 

F(3) ^ XJ-J - zy -h A,(:^ — zy -+- A,(;^^- :) H- A,. 

Reste à exprimer qu'il est réciproque, aucune de ses racines n'étant d'ailleurs, en général, égale à 
± 1 ; d'où (rois équations linéaires entre les quatre coefficients A, ce qui permet d'exprimer linéaire- 
ment trois d'entre eux en fonction du quatrième, et d'écrire F(3) sous la forme 

F(z)=cp(z)+X.X:), 
A étant un coeflicienl arbitraire, et -^ et 4' deux polynômes qui sont des solutions particulières delà 
question. 

Iléciproquement, si ofs) et '\i{z) sont deux polynômes du sixième degré n'ayant pas les mêmes 
racines, et satisfaisant aux identités 

cs(-!^j=o(z), ;s/lj=, ],(;), o(l-:) = ç.(;), ^-(1 - :) = <Kî), 

l'équation cherchée peut toujours se mettre sous Informe 

F(!) = <?(!) + X4.(î)=0; 

car on a évidemment ;■■ f[— ] = F(:), F(l— î) = Fv:), de sorte qu il sullit que l'équalion 

admotto l'un des six rapports considérés comme racine, pour admettre les cin(i autres ; or, on peut 
choisir ). de façon qu'iiio ait une racinedonnéo : = p, et on obtiendra ainsi une solution unique et 
non illusoire, car la valeur attribuée à > ne pourra rendre Fi:) identique à (), puisque o et •}, par 
hypothèse, n'ont pas les mêmes rarincs. 

On aura donc la solution générale du problème une fois choisis ? et •{/; nous prendrons nalurpliemenl 
les polynômes qui correspondent à p = ± 1 ; pour ? = I. "" a '<?s trois racines doubles I, U, « ; 



130 ÉQUATION AUX IIAIM'OUTS ANIIARMOMQUËS 



jeposerai ^-(ï) =:«(: — ! )•; pour ? = -l (cas de la proportion harmonique),onaleslroisracinesdoubles 
_1, 2, 1; jeposerai o(:) = (ï-+- I)'(î - 2)^(2: - 1)^ les polynômes ainsi choisis satisfont 
bien aux conditions voulues. Alors l'équation demandée est 

li: + l)(:-2)(2:-l)l-^-t->zHî-i)' = 0. 
et À se détermine en écrivant quelle admet la racine : = p. 

Conséquence. — Deux des six rapports anharmoniques sont encore égaux quand on a 

,s j_j.j_o c'est-à-dire p = — '" ou —">'; on trouve alors les deux racines triples — w cl 

— w=; les quantités considérées sont dites (Ml inoporlion équianharmoni(iu(-. D'après ce qui précède, 
on doit pouvoir trouver deux constantes, a, [1, telles que l'on ail lidenlilé 

( 1 -, «'(: _ 1 f + pl(î ^ I)(: - 2)(-2c _ 1)]^ = ^n- u,)»(z 4- ^y ^ ^î» _ ; -h 1)». 

27 ^ 1 
F.n faisant successivement :=0 et : =^ — I , on trouve a = — , p = — 

II. Application à la forme cubique binaire. — l" Ik-lultun eitlrr une forme cubique el ses cova- 
riants. — Soit la forme binaire 

f = ax^-h 'ibx^ij -H 3tx;/2 + di/. 

J'en considère le hessien H, l'invariant 1 et le jacobien J ([ue je prends, suivant l'usage, sous les 
formes suivantes 



H 



ax -\-by 6x H- oj 

ùx -t- cy ex + dy 



^ lac — b')x* -t- {ad — bc)xy ■+- (W — c%'. 



1 = (ad - hcY — \{ac — b^){bd - c*), J = - I ^ ^^" 

Si l'on fait subir à la forme une substitution de module a, on sait que l'on a, après la substitution, 

H, =:i'H, I. = A«I, J. = A»J. 

Je suppose le cas général où la forme a ses trois racines distinctes, et je fais une substitution telle 
qu'elle devienne identiquement f, = xy(x H- ;/)• On a alors 

1 11° 

H, = --(3;« + xv-Hi/'), '■=-7f' J' = -5= (r -!/)(•'- + 2.vj(2x 4-;/). 

On voit immédlalenieiil que ll| a ses racines en pio[iortiou é({uiaiiliarmoiiique avec celles de /i, et 

Ji ses racines en pro|)Orlion li.irmonique avec ces mêmes racines ; par suite, je ramènerai l'identité (1) 

.r 
ci-dessus à une relation enlrc ^, Hi, Ji. Si j'y pose z = . elle devient ainsi 

iTxyix -+- ;/)]• -I- [{X - y)(x -^ 2y)(y + ix)]^ = i{x' + .'■,'/ 4- y'f 
d'où 27/;-+-2-».J?= -4.!)'li;. 

Ucvcnant aux fonctions initiales avant la substitution, on trouve /"'-l-âTiMs :s — 4.-27A'ir 
cl d'ailleurs, on a I, = — — - = AM, ce qui permet d'éliminer a et d'arriver à la relation invariante 

connue 

4H' = 1/^» - J'. 

2* k'qwilion aux rapport» nnbarmintiquet des racines de la fornir ri d'unr quantité quelconque. — Soil 

à calculer une IcUe équation, la quantité donnée étant la racine — delà forme linéaire o — ii-x— h/. 

Pour cela, je fais subir ù la fois ii f cl o une même substitution linéaire ramenant /'identiquement àla 
forme ^ = x>/(x-t-y). 



ÉQUATION AUX RAPPORTS ANHARMONIQUES 1:51 



Celte substilulion n'altère pas les rapports anharmoniques, ni par conséquent l'équation cherchée ; 
supposons que tp soit devenue identique à '^, — mx — hj: l'un des rapports p considérés est — — ', 
l'équation demandée peut s'écrire 

[(:-+- IX: - 2)("2; - 1)P + A(;^ -: + 1)^ = 

et on détermine k par l'équation 

[(/ — m)(/+2m)(2/ -(- m)]- +A-(/-+ ?»/ + )«-)=' = 0. 

Désignons par un accent, ' , les résultats de la substilulion w ^ l, y = m dans la forme et ses 
covariants ; nous aurons, d'après ce qui précède, 

(/ — m)(/ -t- 2»n)(2Z + m) = 27J', (l'indice 1 s'appliquant après la substitution), /' h- ml -+- m" — — 9h;, 

d'où 272J',-^ — A-.9'H;^ = 0. 

J'' 
Si nous revenons aux fonctions miliales H et J nous avons donc k i= — — ; d'où l'équation 

11'' 

demandée 

H'^[(ï-+- l)(z — 2)(22 — l)p + J'2{:^ -: ^ I)' = 0, 

dans laquelle H' et J' désignent les valeurs prises par H et J pour x —X, y = \i. 

III. Application à la forme biquadratique. — Equation aux rapports anhannoiutjues des rucmes de 
la forme. 

Soit la forme biquadratique binaire 

f = ax^ -+- ibx'y 4- &cx-y^ -h idxy^ + t'y* . 
Je considérerai ses deux invariants S et T qui ont les valeurs connues 

a b c 
S = ae — ibd -t- 3c% T = i c d 

c d e 

On sait qu'après une substitution de module quelconque A, on a 

Si = i-S, T, = i'T. 

Une telle substitution ne change pas l'équation demandée ; je la choisis de fa(.'on à ramener identi- 
quemenl la forme h fi — xy{x h- y)[mx — ly), en supposant, bien entendu, le cas général d'une forme 
ayant au moins trois racines distinctes. 

L'équation cherchée sera, d'après le paragraphe précédent, 

[(z-H)(:-2n2;-l)]'^ ^ (z-'-z-^iy 
[(/ _ m){l -+- 'im){m -+- 2/) J* (Z* -H ml h- m^ 

Le dénominateur de son premier membre s'annule quand les quatre racines sont en proportion har- 
monique; celui du second membre quand elles sont en proportion équianbarmoni(iuo ; or, on sait que 
le premier cas se présente quand T = et le second quand S = ; calculons donc S, et T, pour 

la forme A ; nous trouverons 

t' -+- Im + m' _ ( /— m)(/-t-2m;(2/+»i) 

^' = n^ ' ' ~ âTâ^ • 

On aura donc, en appelant a le module de la substitution faite 

/2 _^ im -t- ,„■' ^ 2^3a-S, (/ — »»)(/ -^ 2m)(2/ -(- m) = 2'.3^A'T ; 

d'où l'équation demandée 

Remarque. — Je rappelle qu'on obtient bien aisément lus invariants S ul Tel leur signiUcatiou 



n-2 ÉCOLE NOKMALK SUPÉRIEURE 



péom<*lriquc. en les ramonant aux invariants simultanés de la conique ^' — ■x-( = et de la suivante, 
qui lui est harmoniquemenl circonscrite, 

(ji'- -h 46i^ -(-6cp« -I- id'^ -t- cy' — 2c(p' — a-f) = 0. 

(Voir Alijrbre supérieure de Sahnon, page 28t).) 



I 



ÉCOLE NUUMALE SUPlililEURE (Coucour. de 1900). 



Mathématiques . 

945. — //ans un plan rapporté à des axes de coordonnées reclnmjulaires, on donne la cubiquf dont 

Véquation esl 

{x''-hil-)x = tr'. 

Montrer que par les quatre points d'intersection (à dislance finie) de cette cubiqKe et d'un cercle on peut 
faire passer une conique. Trouver les conditions nécessaires et suffisantes pour que celte conique soit hilan- 
genle au cercle. 

Montrer que tes cercles hitangents ii la culii'jue se distrihaeni en quatre familles distinctes [deux réelles 
et deux imaginaires) et que les cordes de contact sont soit parallèles à une asymplote, soit concourantes en un 
det trois points de la courbe situés sur l'axe des x. 

/■.'tudier le lieu des centres et le lieu des milieux des cordes de contact des cercles qui louchent la cubique 
en deux points réels. 

Montrer que les points de contact avec la cubique de deux cercles bilangenls de la même famille sont sur 
un même cercle. 

Par un point arbitraire Mo de la cubique passent deux crrcles bilangenls réels, qui touchent respective- 
ment la cubique rn deux autres points .M|, ^A,; calculer, rn fonction des coordonnées Xt,, j/o du point M,, 
les coordonnées des points {autres que les points de contact) oii les tangentes en Mi. M, renconlient la cubi- 
que; en conclure que ces tangentes concourent en un point de ta caurbe. Comment le eakul doit-il être modifié 
pour les cercles imaginaires bilangenls qui passent par /<■ point M„!' 

Considérons un cercle quelconque d'cqualion 

a« -*-«/" — -2^x - ipg -t- Y = ; 
ce cercle coupe la cubique proposée sur la ligne 

i(2u'4-2^ri/- YX2 -a':') = 0, 
qui se décompose en la droite de i'inlini ; = el la conique 

2m;» -^- 2^X1/ — Y* — a' = 0. 
La droite de l'infini passe par les points cycliques, I et J, qui sont communs au cercle et à 1:1 cubi- 
i|ue ; In conique passe par les quatre autres points de rencontre. 

Pour que le cercle proposé soit doublement langent à celte conique, il faut que pour certaines valeurs 
de /, u, V, ir, on ait l'identité 

2ij-' r- i'f.xy — Y-r - a» -t- Àfx' , ./» — 2w - 2[Jy -f- y) = («-f + vg -+■ »•)», 
ce qui nous donne six équations de condition entre X, a, ^, y, m, i>, w ; ce sont 
X -t- 2ï = ««, p = nu, ). = i-i, Y ^- 2).a = - 2u//', ).^ = - vw, l^ - a' = w'. 

La troisième relation donne ) = u' el les autres deviennent 
**="' — e*i ? = «f, f = v*{v' — u') — iuw, pv*=—ow, Y"' = 'f' -t- a'- 



I 



ÉCOLE NORMALE SUPERIEURE |33 



L'une d'elles nous conduit à étudier la solution u = ; nous avons alors successivement À = 0, 
2a — u^, Ç> — 0, Y =: —2uw et w^-\-a^ = ; puis, immédiatement, f- = — 8a^a. Nous avons 
donc une famille de cercles ayant leurs centres sur Ox 



„2 . r^ 



pour chacun d'eux la conique envisagée plus haut se réduit à une droite double parallèle à Oij et four- 
nit ainsi la corde des contacts. Cette solution était évidente a priori, la cubique proposée ayant pour 
axe de symétrie l'axe des .r. 

Supposons maintenant u t^ et égalons les deux valeurs de p ainsi que les deux valeurs de y i 
nous aurons les deux équations 

uv- -h ir = 0, u^v^ -+- 2î(i'-?/,' -+- w^ =z v" — a', 

qui ne contiennent plus que w, v, ir. En vertu de la première, il est manifeste que la seconde se réduit 
à v*^ — a' = ; elle donne donc v- = a, v- = aj, v^ = ap, j et j- étant les deux racines cubi- 
ques imaginaires de l'unité. La première relation se réduit alors à ua-i-ir = 0, ou uaj-^-tv =0, 
ou uaj- -4- îc = ; elle exprime que la corde des contacts passe par l'un dus trois sommets de la 
cubique. 

Eludions plus spécialement la solution réelle v^ — a. Pour cette solution, les sept nombres X, », 

p, Y, «, V, w prennent les valeurs respectives a, — - — , «j/a, a'-t-r/M-, u, v'a, — nu. Donc, 

en prenant pour paramètre variable p = u'Ja, le cercle et la corde des contacts sont respectivement 
représentés par les équations suivantes : 

x=+j/^-+- "'~''" .r — 2Py-t-fl--t-P'- = 0, 

pxH-o;/ — a^ = 0. 
Ces deux équations se prêtent facilement aux vérifications indiquées. 
Le lieu des centres est immédiat : il a pour équation 

2a = '^"~" ou v" — 2flr — a^ = 0. 

C'est une parabole ayant pour axe Ci-, pour paramètre a, pour foyer l'origine et dont la concavité 
est tournée du côté des a; positifs. 

Pour avoir le lieu du milieu de la corde des contacts, nous abaisserons du centre du cercle une 
perpendiculaire sur la corde des contacts et nous éliminerons fi entre les équations de ces deux droites. 
La perpendiculaire indiquée a pour équation 



a f P^ — a= \ 



a 



son coeOicient angulaire — est le quotient des dérivées par rapport ii p des deux fonctions y — ^ et 

M (fï 

X — ^—^ , qui représentent la parabole lieu des centres; donc cette droite est la tangente à la 

parabole au centre du cercle considéré, et il en résulte que le lieu cherché est la podaire de cette para- 
bole par rapport au point A (a, 0) ; ce lieu est donc une cubique circulaire ayant un point double au 
point A. Kfl'ectuons le calcul indiqué ; nous obtenons l'équation 

(2.r + a){x — ay -+- 2j/=(x — a) -+- ai/ = ; 
en y remplaçant x par .r+ «, nous avons une équation plus simple 

2a-(a;2-i- j/2) -h a{3x^ + y-) = 0, 
qui met en évidence tous les résultats signalés. 

Si maintenant on considère la série exceptionnelle de cercles bilangenls dont les cordes de con- 
tact sont parallèles à Oy, il est évident que les deux lieux demandés co'i'ncident avec l'axe des x. 



134 ÉCOLE NORMALE SUPERIEURE 



Soient M pl M , .N et N les points de contact avec la cubique de deux cercles de la même famille. 
S'ils appartiennent à la série exceptionnelle dont nous venons de parler, ce sont les sommets d'un tra- 
pèze isocèle et, par suite, il est évident qu'ils sont sur un mi'^me cercle. S'ils appartiennent à la série 
dont les cordes de contact passent en A, la propriété demandée exijre que AM.AM' = AN. AN ; tout 
revient donc à démontrer que les cercles de celte famille ont même puissance par rapport au point A. 
Or, les coordonnées du point A étant a etO, il suffit de constater que le premier membre de l'équation 
de ces cercles prend pour o et une valeur cunstante ; on véride imméiliatouienl (pie le premier 
membre de l'équation de ces cercles prend ainsi la valeur .'{«', ce qui établit la propriété demandée. 

Pour traiter la deuxième partie, désignons par xo et j/o les coordonnées du point .Mo. Le point M, 
étant symétrique du point M„ par rapport à Or, ses coordonnées, .r, et t/i. sont égales à .vo et — yo- 
Pour obtenir les coordonnées du point M,, portons les a.xes parallèlement à eux-mêmes au point A ; 
nous aurons x, = fi-Hx',, ?/= = îA ^^ ■r:„ = a-^-x'^, Vo = î/'o- P^'S. en appliquant les 
formules relatives à l'inversion, 

xi^-^yl- x'„^-hy!.- 

de là, nous déduison* 

3n'(xo — a) 3n*yo 



Xt = a -h ;-i Vj = 



(x„ — a]-+yl •' (to — a)--t-»/' 

a' 
Transformons la valeur de a-j en tenant compte de ce que xl-hyl = — > nous aurons finale- 



ment 



2aS 



a -h 2a 
Cela posé, l'équation de la tangente au point {x, y) s'écrit 

X(3x= -1- v-j -H 2Yx!/ — 3a' = 0, 

et réqaialion aux abscisses des points de rencontre de cette droite avec la cubique est 

Ax\'(a*—X') = X[3a' — X(3.r« -i- y»)]« ; 

le produit de» racines est donc -— ^ r-^ — r— . ; (^n désignant par x' l'abscisse du point de ren- 

' (3.r' -H y*)* -+- 4.r*»/' '^ ' 

contre de cette tangente avec la cubique, nous avons 

, _ 4n'y» 



(3.r2 H- !/«)• + -^^V ' 

n' — .r' 
remplaçons dans celte formule ?/' par : nous aurons finalement 



.r 



, ix(a' — X*) 

X = — i '-■ 

a' -+- Hx' 

La valeur de .r' pour x = x„ est alors facile h déterminer et tout revient à démontrer que pour 

X = X, et x = -— — la va:leur de x' ne cliange pas; ce calcul est immédiat. Les mêmes 

a-+-2x„ 

calculs peuvent se répéter pour les ordonnées et le dernier point est complètement établi 

Il suffit de changer n on aj ou en aj* pour passer au cas des cercles iniciginaires bitangents qui 

touchent la cubique en Mn. Le résultat est «^vidi'iiunrnt li' même. 

Remaro'K. — Dans l'identité initiale dont tons nos calculs dérivent, nous n'avons pas considéré la 
Talour infinie de À. Mais il est évident qu'elle ne convient pas tant qu'on considère des cercles véritables. 
Par conséquent il n'y a pas d'autre solution (|ue celles qui ont été trouvées. 

DULLMRFRT. à Gronoble. 

Bonnr Mlulion, M. Khir.HitT. 



ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE ifiS 



Remarques géométriques. — Considérons nn cercle qui coupe la cubique en A, H, C, D ; c'est 
une conique ayant six points communs avec cette couri)e, I, J, A, B, C et D. (ir on sait que les droites 
IJ, AB, eu coupent la cubique en trois autres points E, F, G, (|ni sont en lif,'ne droite. La droite F(i est 
donc parallèle à l'asymptote. Si les points A et C coïncident, ainsi que les points B et U, les deux 
droites AB et CD comcident aussi et la droite FG est tanpente à la cubique. Donc, quand le cercle est 
bilangent à la cubique, la corde des contacts passe par l'un des quatre points de contact avec cette 
cubique des tangentes parallèles à l'asymptote. 

Su|îposons maintenant que ce soient les points A et B, C et D qui se confondent deux à deux ; 
ces droites sont tangentes à la cubique aux deux points M,, et M;, (k =1. 2,. 3, 4) ; elles coupent celle 
ligne en des points Po et P;. qui sont sur une même parallèle à l'asymptote ; donc les quatre points P;,. 
coïncident avec le symétrique de Po par rappnrl à Ox. 

Il est facile de voir aussi que le lieu du milieu de la corde des contacts est la podaire du point A 
par rapport au lieu des centres de la famille de cercles relatives à ce point. 

Nous en resterons là ; pour plus de détails, voir la lliéorie des anallagtnatiqucs du troisième et du 
quatrième ordre. 

M. FRÉCHET. 



Physique. 



946. — Dans une expérience de mesure de g on fait osciller un pendule autour d'un axe horizontal 
et Von mesure la durée l de l'oscillation simple. Dans le plan défini par cet axe et le centre de gravité, on 
cherche ensuite un axe parallèle au premier, situé de l'autre côté du centre de gravité, et tel que la durée 
d'oscillation autour de cet axe paraisse encore être t. 

La durée de V oscillation autour du premier axe est supposée mesurée d'une manière parfaite, viais on 
a pu commettre une erreur relative de un dix-millième sur la durée d'oscillation autour du serond axe. 

On demande quelle est l'incertitude .mr la position du second axe, et quelle est l'incertitude qui en 
résulte pour la valeur de g que l'on peut déduire de la mesure de la distance des deux axes. On pourra 
regarder les incertitudes comme infiniment petites et ne conserver dans les calculs que les termes principaux. 

On admettra que les expériences sont faites en itn lieu oii g vaut 981 C. G. S., avec des pendules dont 
la durée d' oscillation simple, t, est de i seconde, et l'on traitera numériquement les deux cas .suivants : 

i'" cas. — La distance du premier axe au centre de gravité est de 10 centimètres. 

2« cas. — La distance du premier axe au centre de gravité est de 4Î>,7 centimètres . 

Note. — Lu durée d'oscillation simple d'un pendule autour d'un axe horizontal situé a une distance a 
du centre de gravité est donnée par la formule 



le 



=v^ 



■ /,-2 



ag 

Soit a la distance du centre de gravité au premier axe ; la piemière durée d'oscillation est repré- 
sentée par 

V ag 

Soit a' la distance du centre de gravité à un second axe pour lequel la durée d'oscillation serait 
rigoureusement égale à t, on a de même 



(2) 



» no 



On en déduit d'abord, en rombinant (1) et ("2), 



a 



136 ÉCOLE NORMALE SUPI^.RIEURE 



Soient -: l'erreur relative commise sur la seconde durée d'oscillation el i l'erreur qui en résulte 
pour la position du second axe ; on a 

Élevons au carré les deux membres de cette dernière égalité el négligeons les quantités du second ordre: 

n''- -+- 2a'» -+- k' 



t\{ -4- 2e) 



5E^ = t'^ 



{a -t-alj 

ou, en chassant le dénominateur et négligeant le terme en ea, 

t\a' -h a -H 2a'£)«/ = n*(n'2 -f- 2a'a -h A») ; 

mais, d'après l'équation d). on a 

l*a'g = -«(a'2 -h A'). 

Il reste donc <'(« ■+■ 'in'^)9 = S^^n'a, 

''■°" ' = 2zV-y=' 

ou enfin, en remplaçant h' par sa valeur en fonction de t et de a, 



a = 2e 






D'autre part, si on désigne par y l'erreur commise sur g, on a 

^ .7 -*- Y 
d'où, par un calcul analogue au précédent, 



-^-5 2rt 

L'application numérique donne d'abord 

E = 0,0()0I el -^ = 99,4 : 

par suite, . = 0.0002 x ^'l'IJ;^^"/' - v = 0,0002x981 xg^- 

!• Pour ./ = 10, ï = 0'=°',0224. y = 0,2209. 

2" Pour a = 49,7, a = » , y = 00 . 

Dans ce dernier cas. le centre de gravilé se trouve précisément au milieu de la longueur du pen- 
dule et le résultai obtenu se rattache à l'i-luile ^l'nérale de la variation de /. Sujiposons en elTel qu'on 
déplace dune manière conliiiiic l'.ixc de suspension |par rapport au centre de gravité; la variation de / 
est donnée par les équations 

_ / "' -H A-'" dt^ _ - g' - <.' 

'~"V ^ ' d,t ~ ty/Tf ^a'(a* -t- k*) ' 

Si a croit à partir de /.ém, /, d'abord intlni, commence par diminuer, puis il passe par un minimum 

k' 
pour o' = A' ou a = — , c'est-à-dire quand le centre de gravilé est au milieu de la longueur du 

II 

/ik 
pendnlo: ce minimum est égal à «V/^ — ; ' croit ensuite indélinimenl. Au minimum, une variation 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 137 



notable de a ne produit qu'une variation insensible de /, ce qui expliriuo l'incertitude que présente 
alors la détermination de la valeur de a correspondant à une valeur donnée de l. 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



948. — On considi'ir une parabole (P), y'^ — 2px = 0, et un cercle (C) de centre C passant au 
suinmel de celte parabole. Les troix autres points de rencontre du cercle (G) avec la parabole sont les pieds 
des normales abaissées d'un point A sur la parabole. 

i° On demande les coordonnées du point A en fonction de celles du point C, l'équation de In droite AG, 
puis le lieu du point G et l'enveloppe de la droite AC quand le cercle (G) se meut en louchant la parabole 
ailleurs qu'au sommet. 

2" Par les points de rencontre de la parabole (P) et du cercle (C). il passe une autre parabole ; déter- 
miner le cercle (Cj de façon quelle soit éijale â la parabole donnée et qu'elle louche une Inngenle donnée (T) 
de cette parabole. Trouver le lieu de son point de contact, quand la droite [T) enveloppe la parabole (P) • 
construire ce lieu. Dans les mêmes conditions, trouver l'enveloppe du cercle circonscrit au triangle auto- 
polaire commun aux deux paraboles et construire cette courbe. 

1» Soient n'- — 2px = Q 

et a?^ -f- 1/2 _ 2ax — 2p7 = 

les équations de la parabole et du cercle donnés; les coordonnées du point G sont alors représentées 
par a et p. Désignons par a' et [i' les coordonnées du point A et exprimons que la normale au point 
(x, y) passe par ce point ; nous aurons l'équation 

o^'-x ^ P'-y 
— P y ' 

qui s'écrit xy -h (/; — a')î/ — p'^' = 0, 

et qui représente, quand x et y varient, une hyperbole équilalère passant par le point à l'infini sur Ox 

et par les pieds des trois normales menées du point A ù la parabole (P). En éliminant entre cette 

équation et celle de la parabole la solution y = 0, : = 0, nous formerons une conique ((ui passe 

aux pieds des trois normales et qui ne passe plus au point à l'inllni. Il sullit pour cela d'écrire ainsi les 

deux équations 

y .y — ^px.z = 0, 

[x + ip — ^'}z]>i — /)P': .1=0, 

de les regarder comme étant linéaires en y el z et d'annuler leur déterminant ; cela nous donne la 

parabole 

2j;-4-2(p — a')x — ?'i/ = 0. 

Il n'y a plus qu'à former une combinaison linéaire des trois équations qui représente un cercle 
pour obtenir le cercle qui passe aux pieds des trois normales issues du point A. (^ette combinaison 
s'obtient en multipliant par 2 l'équation de la parabole {l') et l'ajoutant à celle-ci. Nous trouvons ainsi 

2(x» -h 1/2) _ 2(a' _,_ p)x — ^'y = 0. 

Ce cercle passe à l'origine, ce qui donne le théorème bien connu que nous avons énoncé au début do la 
question actuelle et en identifiant son équation avec celle du cercle (G), nous avons immédiatement 
les coordonnées du point A en fonction de celles du point G 

a' = 2a — /> 

f' = 4?. 



138 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



L'équalion de la droite AC, (mi fonction des coordonnées du point C, est donc 



'< 1 



= 



ii — p 4â 1 

ou — 3àx-|-(a-/) i/-Hp(2»+p) = 0. 

La condition de contact du cercle (C) avec la parabole (P) s'obtient aisément en formant l'équation 
aux ordonnées des points de rencontre des deux lignes; celle-ci s'obtient immédiatement: l'équation 

de la parabole donne x = •^; les ordonnées des points communs aux deux courbes sont donc racines 

de l'équation 

îA.y' + 4;j(?'-=')y-8/j'p] = o; 

elle se décompose en »/ = 0, qui correspond à l'origine, et en 

qui correspond aux trois autres points de rencontre. La condition cherchée s'obtient alors en annulant 
le discriminant de cette dernière équation et s'écrit 

27pfi' — 4;» - /;)' = 0. 
Le lieu du point C est donc la parabole semi-cubique 

(1) 27p!/' -''('•-/')' =0. 

La relation entre a et ? peut se remplacer par a — p = 3p/-, ? = iJ;j/S et l'équation de la droite 
AC ne contient plu> qu'un paramètre; cette équation, ordonnée par rapport aux puissances décroissantes 

de / est 

ipt^'^'ip — x)t-hy = 0; 

on exprime aisément qu'elle a une racine double, et l'on trouve ainsi l'enveloppe de la droite AC, 

(2) 27p!/- — 8(.r— /))='= 0. 

C'est une autre parabole semi-cubique ; c'est la développée de la parabole (PI. 

Nous laissons au lecteur le soin d'apercevoir géomélriquemont que, dans le cas actuel, le lieu du 
point A et l'enveloppe de la droite AC coïncident nécessairement avec la développée de la parabole 
proposée. 

i" On sait que dans tout faisceau linéaire il y a deux jjaraboles; il y a donc une seconde parabole 

passant par les points de rencontre de la parabole proposée et du cercle (C) ; son équation s'obtient 

d'ailleurs immédiatement on retranchant de l'équation du cercle celle de In parabole (P). On trouve 

ainsi 

a:' -H 2fp — ï).r — 23i/ = ; 

cette parabole a pour paramétre |?|; il faut donc faire ^ =.± p. Bornons-nous au cas de '^ = p \ 
nous aurons alors pour équation de cette autre parabole 

.r' 4- 2(;) — i).r — 2pi/ = 0. 
La tangente au point (.r, t/) est 

\{x-+-p — a) — /)Y - ()i — a)i — PII — 0: 

en "'xprimant qu'elle touche la parabole (P). on a 

2(x -t- p — »)| {/) — a)x — Pli] — /}' = 0, 

2»!/ r' 

et le lieu du point (r, y) s'obtient en rempli . ml /) — » par -^ dans cette relation. Le 

tx 
résultat est 

CA) x* -^ 2;).ri/ - 2/)' = (I. 

équation d'um; cubique que nous construisons cnsuile. 

Les somnuts du triangle autopolaire commun aux coniques d'un faisceau linéaire 

fi^x. '.i)-i ygix.y) =0 

sont, pour trois valeurs parlieulières de )■, les solutions communes aux équations 

/■;-♦- ^3/ = 0, /.; /;/ :-- 0, p -4- );,; ■= 0; 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



13'J 



0. 



ce sont donc les trois points de rencontre des coniques 

fry:, - /y!/: = 0, Cr,' _ /y^; = o, f^fi-- - fia; 

Dans le cas actuel, où les coniques de base ont pour éciuations 

y- — 2/j.c = et .(•- + 2(/j — 'j)x — 'ijvi = 0, 

les trois coniques précédentes sont représentées par 

■nj + (/) — a)î/ — p- = 0, .t- -1- pij = U, p'f — [p — 'j)-i:]l -t- /3-I.' = 0. 

En multipliant la première équation par p — a, la seconde par p, la troisième par 1 et ajoutant, 
on obtient le cercle qui fait partie du réseau déterminé par ces trois coniques, c'est-à-dire le cercle 
circonscrit au triangle autopolaire commun. 

p{x- + ?/-) + p-\.r H- ;/) + {p — -/)-;/ — p-{p — a) = 0. 

11 n'y a plus qu'à écrire que cette équation, regardée comme étant du second degré en p — x, a une 

racine double, pour obtenir l'enveloppe de ce cercle mobile. 
C'est la courbe 

(i) 4i/(a;-^ -h y-) + Ap]l[x + »/) — p^ = 0. 

Construisons maintenant les deux lignes représentées 
par les équations (3) et (4). 

L'équation (3) donne de suite 

2P!/ = — a; 




Fig. 



2/)^ 



nous voyons alors immédiatement que cotte courbe admet 
la parabole x"- -\-'2.py = Q pour parabole asymptote, que, 
pour a;>0, elle est au-dessous de 0.r, et qu'à gauche 
de l'axe des y, elle est au-dessous de Oa? pour les grandes 
valeurs de x, au-dessus à partir de '■ = —p^'i ; en 
outre, elle admet l'axe des y comme asymptote ; puis son 
ordonnée présente un maximum pour .r — p, la valeur 

correspondante de y étant ^- Cela sudil pour la 

construction de la ligne considérée {fig. 1). 

Pour construire la courbe (4), nous remarquons que 
son équation est du second degré en x et nous discutons cette équation en y regardant .r comme 

variable principale et y comme variable paramétrique. L'équa- 
tion, ordonnée par rapport aux puissances décroissantes de x, 

est 

4,1/1= -+- 'ipyx -+- 4i/^ -H \py- — p' = ; 

les deux premiers coellicients changent de signes pour y — 0; 
le dernier, 4y'-t-4py- — p', change de signe pour une valeur 

unique, positive, comprise entre et — et voisine de — ' 

y = yg. IJonc, quand y varie de — » à 0, il n'y a pas do 
racine positive, il y a ou 2 racines négatives; de ù yo, il y 
a une racine positive et une négative; do y„ à ' * . pas de 
racine positive, ou 2 négatives. La condition de réalilo achève 
de nous fixer ; c'esl ici 
Fig. 2 i/(y + /))(27 -t-p)(2y — /() < 0. 




110 



ÉCOLE CENTRALE 






I 



Elle montre que les racines sont réelles de 

— ;> il — et de à -4:- • Enfin, en remar- 

2 2 

(luanl que pour 7 =0 il y a une racine double 



infinie et pour »/ = — p ou — 



ou 



Fip. :t 



une racine double égale à — 4"' '' ^®^ facile de 

compléter la discussion. Les résultats principaux 
en sont fournis par la figure 2. La courbe s'en suit 
immédiatement (/î</. 3). 



La solution que nous avons négligée, ? = — /*, doiuierait des courbes symétriques par rapport à Ox. 

CANS, à Versailles . 

Boaac solulioii : MM. F. Pëgoried, à Toulouse ; J.-D. Défaut, à AiguilloD. 



QUESTIONS PROPOSEES 



1011. — On considère une droite Z'Z et un plan P. Etudier le complexe des droites D telles que le point 
d'intersection de la droite D et du plan soit le pied de la perpendiculaire commune aux deux droites Z'Z et D. 

P. Prie. 

1012. - Si un triangle varie en restant inscrit dans une conique et circonscrit à une autre conique, le 
cercle qui passe par les pieds des perpendiculaires abaissées d'un point fixe sur les côtés du triangle reste ortho- 
gonal à un cercle fixe. 

1013. — On considère une sphère variable tangente au plan des xy en un point do Qix et telle que la cote 
du point du cône circonscrit de sommet (• qui se projette au point de contact soit constante, et on dem.inde : 

1» Le lieu du centre de cetti: sphère ; 

2o Le lieu du grand cercle de cette sphère perpendiculaire au plan des zx et dont le plan passe au point 0. 
Construire la trace de cette surface sur le plan des zx. 

3» On considère la ligne qui joint les centres de deux sphères infiniment voisines, et on demande le lieu de 
la projection de l'origine sur cette droite. 

1:. II. 

♦ 

DEUXIÈME PARTIE 



KCOIJ-: CK.NTHALI': ^l'.KJO, Iro Session). 



Géométrie analytique. 
959. — li-t axes de coordonnées étant rectangulaires, on prend sur l'axe Ox les points A, .V dont les 
alnciife, nont „ et Ga, puù, sur l'axe Oy, le point U d'ordonnée 3a. On considère le faisceau des hyper- 
haies ét/uilati^res cirronxcrUrs an Irianf/lc AAB. 

i' Formrr IVqualion génrrat.- de ,v., r„„i,/ws ,1 ni déduire que Ces courbes ont un quatrième imint 
commun. 

Troutrr Ir heu det centres ri tracer cette liqne. 

2" Trouver le lieu du point M du plan pour lequel l'hyperbole .'quUatére M A AU se réduit d deut 
droites. 



ÉCOLE CENTRALE 



l'il 



3° Former l'équation du lieu S des points M du plan pour lesquels l'axe de l'une desparaboles MAA'B 
est également incliné sur les asymptotes de l'hijperbole équilatére circonscrilc nu même quridrilalère. 

4° M étant un point d'abscisse 2a et d'ordonnée positive sur le lieu S, construire les axes mêmes des 
paraboles MAA'B et les asijmptoles de l'Iujpcrbole équilatére passant par ces mêmes points. 

5° Voir par le calcul si l'un peut déterminer un point M sur le lieu S, par la condition que toutes 
les coniques circonscrites an quadrilatère MAA'B aient mêmes directions d'axes. 

1- Soit x'-h^lxy — </--hWx-h2Eij-{-F-0 

l'équation g^énéiale des hyperboles équilatères circonscrites au triangle AA'B. On a les relations 

«- + iDa 4- l-- = 0, 'Mit- -H i'IDa + F = 0, — 9a-' -)- 6Ea -|-F = 0, 
d'où 2D = — 7a, ■iE = a, F = Ga\ 

L'équation générale cherchée est donc 
(1) x" -f- 2/.ri/ — 1/- — 7aj; -t- ai/ -f- 6a- = 0. 

Toutes ces hyperboles passent par quatre points fixes qui sont 
les points d'intersection de l'hyperbole équilatére 

x^ — y- — lax -H ay h- 6a- = et des droites xy = 0. 
L'intersection avec l'axe des x donne les points A et A' ; l'in- 
tersection avec l'axe des y donne le point D et le point B' 
{x = 0, y — — -a). Ce point B' n'est autre chose que l'orLhocentre du triangle AA'B. 

Cela était d'ailleurs évident géométriquement, car on sait que toute hyperbole équilatére circonscrite 
à un triangle passe aussi par l'orthocentre de ce triangle. Ce point B' est facile à déterminer; en effet, 
les deux triangles rectangles AOB, A'OB' sont semblables, et l'on a 

OB' OA' 




2, 



donc 



OB' = 20A = 2a. 



OA ~ OB 
Le centre de l'hyperbole (l) est à l'intersection des deux droites 

2.r 4-2).»/ — 7a = 0, 2)>x — 2;/ +a = 0. 

L'élimination de >. entre ces deux équations donne pour le lieu des centres 
(2) 2(a;' + y-) — 7a.r — ay — 0. 

On reconnaît aisément que ce cercle n'est autre que le cercle des neuf points du triangle AA'B. 
Géométriquement, on sait que le lieu des centres des hyperboles équilatères circonscrites à un 
triangle est le cercle des neuf points de ce triangle. 

2. Soit M (Jo>î/o) uri point tel que l'hyperbole équilatére MA'.\B se réduise à deux droites. On 
aura d'abord 



(3) 



• 2>-roi/o — Vo' — ^axo -f- ai/„ -t- %a^- = 0, 



puis, en annulant le discriminant de (1), 



(4) 



X 
— 7a 



— l -TT- 



— 6a^ 



= 0, 



ou 



12X2-I-7X — 12 = Ù. 



et 



Cette équation devrait être du troisième degré (équation en )); elle admet une racine infinie 

3 4 
deux racines finies )., = —, X^ = — ; à chacune de ces racines correspond un lieu du 

4 o 

point M : 

A la racine infinie, correspond l'hyperbole équilatére xy = 0, décomposée en 4eux droites : le 
côté _AA' du triangle et la hauteur BB' correspondante ; 



11^ 



ECOLK CKMIIALE 




3 i 

Aux deux aulres racines )i = — , >.. — , correspondent 

'i ■ 3 



Ips doux hyperbolfs équilatères 

•' •«■" + — ^'.1 - ;/• 

décomposée en deux droites : le côté A'B et la hauteur AD', et 
8 



7o.r -H n>i -+- firt- = 0, 



.'---3-x.v. 



i/= — lar -*- mj -+- 6n- = 0, 



décomposée en doux droites : le ciMé AB et la hauteur A'B'. 

Le lieu complet se compose donc de l'ensenihle des côtés et des hauteurs du triangle AA B. 

Géométriquement, soit M un point du lieu. Lhyperbole équilalère corresjjondante devant passer 
en A, A, B, B', et se décomposer en deux droites, M doit forcément se trouver sur un des côtés ou 
sur lune des hauteurs. Le lieu se compose donc des trois côtés et des trois hauteurs du triangle. 

3. Soit encore M (a-^, ;/(,) un point quelconque du plan. 

L'hyperbole équilalère circonscrite au quadrilatère AA B.M a pour équation 

a-' -4-2b:j/ — y* — lax -+■ ai/ -+- 6a' = 0, 
avec -r^' -f- 2)a-„;/, — j/„- — 7rtXo -H ay, -i- 6a' = 0. 

Soil (1/ — mxf -H 21)x H- 1\L\i + F = 

l'équation dune jiarabole .MAA'B. On aura 

m V — 2Da -t- F = 0, 30m=a= -^ l2Da -+- F = o, Oa^ -i- CEa H- F = 0. 

Un en tire 2D = — 7am», F = &a^rn}, 2E = — a(3 + 2m»). L'équation de la parabole MAAB 
est donc 

(fi) (y — nu")' — 7am2.r — n 3 + '■Im-) y -(- 6ahn- —0\ 

elle est vérifiée pour les coordonnées Xo, y„. 



{') 



(y„ — mxj» — 7am2.r, — n(3 -I- 2m')i/(, + Ga^m^ = 0. 



Les coefficients angulaires des axes de l'hyperbole sont racines de l'équation 

).[ji'-f-2;ji — ). = 0. 

L'axe de la parabole (6; étant également incliné sur les asymptotes, est parallèle à l'un des axes de 
l'hyperbole. 

Nous pouvons donc poser m = |i. 

2h 2m 



Alors 






1 - h'^ 

et l'égalité relative à l'hyperbole équilalère devient 

4m 



1 



m' 



18) 



x; 



■ 7ax, -4- o;/o -4- 6rt= = 0. 



1 — m' 

Tout revient à éliminer m entre les deux équations (7) et (8) ; ajoutons-les membre A membre; 
nous trouvons 

(9) (x„ + my^y — 7a.r„ - rj(2 -i- 3m')i/„ ^- fw» = 0. 

L'élimination de m entre (7) et (9) se fait alors immédiatement en ajoutant ces deux équations 
membre à membre, ce qui donne, après suppression du facteur (1 -+- m'), 

(10) (S) a:' -4- »/' — 7a.r - 5av -t- 6a' = 0. 

Le lieu de M est donc un cercle ; on rcconnail aisément que c'est le cercle circonscrit au triangle 
AAIi. 

Ce résultat peut être obtenu beaucoup plus r.i|iidement par la géométrie. 

En offct, l'axn lie l'une dos paraboles AA'B.M •'•l.inl également inr.Iiné sur los asymptotes de l'hyper- 
bole AA'UM, est parallèle li l'un di-s axes de celte hyperbole. Los quatre points d'intersection do cos deux 
coniques »onl donc sur un cercle, et ce cercle est fixe puisqu'il est circonscrit au triangle donné AA'B. 



ECOLE CENTRALE 



143 



N' 



^^-<. 



^O \. 



\ 

\ 




. * 


/ 

/ 
/ 
/ ^ 


M \ 
\\ \ 


s 1 

\ ) 
\ / 


N 
B' 


\ 






4. L'équation (7) montre que par chaque point M du plan passent deux paraboles P, et P.. Si 
le point M se trouve sur le cercle (S), leurs axes sont rectangulniros et parallèles respectiveniont aux 

axes de l'hyperbole équilatère 
(AA'BM). 

Construisons d'abord les 
axes des deux paraboles ; nous 
en connaissons les directions, 
ce sont celles des bissectrices 
des angles formos par les côtés 
opposés du quadrilatère, NP et 
N'P ; considérons par exemple 
les deux cotés MA' et BA ; ils 
sont également inclinés sur l'axe 
de la parabole ; les dianièUes 
correspondants sont équidisiants 
de l'axe ; en efTet, les tangentes 
aux extrémités T et T de ces diamètres sont parallèles ;i MA' et BA, par suite également inclinées sur 
l'axe ; donc T et T' sont symétriques par rapport à l'axe. Pour avoir ces diamètres nous n'avons qu'à 
mener par les milieux de MA' et BA des parallèles à N'P ; d'oii la construction de l'axe correspondant. 
On construirait de même l'axe de la deuxième parabole Pj. 

Pour construire les asymptotes de l'hyperbole AA'BM, il suffit d'en trouver le centre, puisque les 

asymptotes font des angles de 45° avec chacun des axes des para- 
boles ou avec les bissectrices PN, PN'. 

Or, on sait que si par deux [joints d'une hyperbole on mène des 
parallèles aux asymptotes, le point de concours appartient au 
diamètre conjugué de la corde joignant les deux points ; la direction 
des asymptotes étant connue, on construit immédiatement ce dia- 
mètre conjugué. Comme nous avons quatre points de l'hyperbole, 
nous pouvons tracer au moins deux diamètres qui nous donneront 
le centre de l'hyperbole, et par suite ses asymptotes. 

Analytiquement, le point M donné a pour abscisse .r, = 2a 
et pour ordonnée la racine positive de l'équation 







liaij — ka' = 0, 



c'est-à-dire 

L'équation (7) qui donne les coefficients angulaires des axes des paraboles passant par un point M 
(xo, t/„) peut s'écrire 

(7') m'[xl — 7ax„ — Say» + Ua^) — 2mXo'j, -f- Vo' — 3ay„ = 0, 

ou, en tenant compte de ce que le point (Jo.î/u) est situé sur le lieu S, 



d'où 



K-i)(?/o^ 

2m 
T— m' ' 



-3ai/„) + 2mx„t/, = 0, 
I/o— 3a v/IÏ — 1. 



au lieu de calculer les valeurs de M, remarquons que ■'^" ~ - est le coeflicient angulaire de lu droite 
MB qui joint le point M (x„, i/„) au point B (0,3a); on aura donc les directions des axes des deux paraboles 
en prenant les bissectrices des angles formés par MB avec l'axe des x. Connaissant quatre points d'une 
parabole et la direction de l'axe, on peut construire les tangentes en deux de ces points ( He.vagonc de 



iU ÉCOLE CENTRALE 



Pascal) et on est ramené à délerminer l'axe d une parabole, connaissant deux tangentes avec leurs 
points de contact, problème connu. 

5. Soit M un point quelconque de S. Los coniques circonscrites au quadrilatère AABM, ont 
toutes mêmes diieclions d'axes, ;i savoir les directions des bissectrices NP et N'P, puisque les quatre 
points AABM sont un cercle. Si donc on faisait le calcul demandé, on trouverait que tous les points du 

lieu S satisfont à la condition énoncée. 

J.-b. DUl'AUT, à Aiguillon. 



Géométi'ie descriptive. 

0.MBRE d'une sphère SL'H UN HÉMISPHÈRE 

962. — On donne : i° une, sphérr C de raijon r = oO" 



Imm 



J'niji'ction du centre C à 130°"" du côté ijauche du cidre et à Oa""" au-dessus du côté inférieur. 

Cote du centre au-dessus du plan horizontal = 120°"". 

2" un hémisplnh-e reposant par sa base sur le plan horizontal, rayon II = 80'"™. 

Centre dans le plan horizontal à 260°'°' du nUé ijauche du cadre et à ISo"" au-dessus du calé 
inférieur. 

3° «lie direction lumineuse — cette direction faisant avec te plan horizontal un angle de 40° et sa 
projection horizontale faisant avec le grand côté du cadre un angle de S."}" — et l'on demande de déterminer 
en projection horizontale : 

a. Les ombres propres de la sphère et de l'hhnisphère éclairés par des ragons lumineux parallèles à la 
direction donnée ; 

h. L'ambre portée par la sphère sur l'hémisphère ; 

c. L'ombre portée par l'hémisphère sur le plan horizontal. 

On aura soin de recouvrir de hachures noires régulièrement espacées les parties vues en projection 
horizontale, qui sont dans l'ombre. 

Les courbes d'ombres propres ou portées seront déterminées par points. 

On indiquera à l'encre rouge et pour chacune d'elles la construction d'une tangente. 

Il sera tenu compte de la recherche des points et droites remarquables. 

i" Ombre profirr de la sphère. — l'renons pour plan vertical de |)rojerlion le plan projetant horizonlale- 
menl la paralli'lc uux rayons luiiiincuv menée par Ip centre C. de la s|)lii'rc ; la ligne de (erre xy passera par c 
et fera un angle de 25° avec le grand côté du cadre. La courbe d'ombre sur la sphère est le grand cercle dont 
le plan est perpendiculaire à cette direction de rayons lumineux ; ce plan, de bout dans le système jri/, a pour 
trace verticale c'e. On en déduit la projection horizontale de ce grand cercle; c'est l'ellipse de grand axe ab et 
de demi-petit axe ce. Pour en avoir un point quelccpn(|ue, nous prenons sur c'e un point quelconque m' et sur 
la ligne de rappel m'H nous prenons |i»( = mV. La tangente mt en m est obtenue enjoignant »i à i où M,' 
rencontre ab. 

2° Ombri- propre de l'hémisphère. — Nous procédons comme dans le cas précédent avec rhémisplière dont 
le centre est (o, o'j et nous trouvons eu projection horizontale une demi-ellipse i^d projection de la séparatrice 
de l'ombre sur cet hémisphère. 

:i° Ombrr portéi' par la sphère sur l'hémisphère. — Cette ombre est l'intersection de l'hémisphère <l du 
r>Iindrc circonscrit à la sphère dont les génératrices sont parallèles à la direction des rayons lumineux. La 
directrice de ce cylindre est la courbe d'ombre propre sur la sphère. 

Pour avoir un point quelconque de cette ombre portée, nous prenons sur la directrice de ce cylindre un point 
quelconque (m. m') et nous menons la génératrice («in, m'n'} de ce point. 

Le plan projetant horizontalement cette généralrire coupe l'hémisphère suivant un demi-cercle projeté ver- 
ticalement en vraie grandeur sur le cercle de rentre </ et de rayon o'i' qui est rencontré par ;'/'"' en n' d"où le 
point (n, II'; de celle onilire portée. La tangente n- en ce point est l'intersection des j>lans tangents en i\ à 
riiémisplière et .lU cylindre ; nous l'avons construite à l'aide d'un plan horizontal auxiliaire H', qui coupe ces deux 
plans tangents suivant les horizontales jr. et gr ; d'où le point -. 

Nous avons obtenu, roinine pointi remarquables, les points <•/ et A sur le contour apparent horizontal du 
cylindre circonscrit à la sphère. 



146 



ALGÈBRE 



L'interseclion du cylindre et de la sphère complète de centre se compose de deux courbes distinctes dont 
l'une, entièrement située sur l'hémisphère supérieur, qui est celui donné, reste; l'autre a un seul arc sur cet 
hémisphèro; l'autre arc de cette seconde courbe est sur l'hémisphère inférieur et ne fait pas partie de la courbe 
cherchée puisqu'on ne considôre que l'hémisphère supérieur. 11 ne devrait donc pas ("Ire représenté. Ici, pour 
mieux montrer la forme de courbe, nous l'avons conser\é en le marquant d'un trait de construction. 

4° Ombre portée par V hhnixphère sur le plan horiinntal. — C'est la trace horizontale du cylindre circonscrit 
k l'hémisphère et dont les génératices sont parallèles aux rayons lumineux. Pour en avoir un point quelconque, 
nous prenons sur la directrice de ce c\lindre, qui psI le deiiii-prand cercle d'ombre propre sur l'hémisphère, 
un point quelconque i/, /' et n)enons par ce point la parallèle (lu, l'u) aux rayons lumineux. Sa trace hori-îontale 
est («, u ) et i( est un point quelconque de celte ombre portée. La tangente eu ce point est la trace horizontale 
(u;) du plan tangent à l'hémisphère au point L. 

Cette ombre portée est une demi-ellipse de petit axe ai et de demi-grand axe oo, le point ? étant la trace 
horizontale de la parallèle aux rayons lumineux menée par {d, W). 



N.C. 



ALGKBRE 



965. — Trouver un polynôme (entier /{x) tel que la dérivée du produit e'flx) soit e'{.r — l)(.r — 2). 
Etudier la fonction ainsi formée. 

La dérivée de e'f(r) étant e^{f{x) -+■ Ax)], nous devons avoir identiquement 

f{x) H- f'(x) ^{x — l){x — 2) = a'- — Sx-h 2. 

Celte identité nous montre que /"(a-) doit être du second degré ; nous avons donc 

f[x) = ax- -{- bx -h r ; 
par suite n.i- + hx + c + 2n.r + A = .r' — 3.t -(- 2 ; 

d'où l'on déduit immédiatement 

0=1, 6 + 2az=— 3, 6 -+-'•= 2, 

c'est-à-dire a=1, h = — 5, c = 7. 

La fonction cherchée est donc 

t'iJ-"- — 'âx -H 7). 

Pour étudier celte fonclion, il suflit de connaître les signes de la dérivée. Or, celle-ci, qui est donnée 
a priori, e'ix — i)(x — 2), est positive de — oo ii 1, négative de 1 à 2, positive de 2 à -+- x. La 

fonclion est donc croissante dans le premier intervalle, 
décroissante dans le second el croissante dans le troi- 
sième. D'ailleurs, pour les grandes valeurs de x, la 




fonctif)n piMtl s'écrire .t'pM 1 l(l 1» les 



deux derniers facteurs tendent vers 1 ; le premier, jtV, 
tend vers pour x = — « el grandit indélin'imenl 
pour X = -(- 3c. Kn outre, pour .r = I, lafonctionest 
égale à 3e, et pour x = 2 elle est égale à e'. Nous 
avons dès lors tout ce qu'il faut pour indiquer la marche 
de la fonction et pour en tracer la courbo représontative. 
Nous pouvons même ici trouver aisément Ifs points 
d'inflexion de colle c<iurli(> en cherchant les rai-inos de la dérivée seconde, qui se trouve et se résout 
immédiatement. P. TlUniKU. 

Bonnr «olulinn : .M. 1. KnANcior.HiNi. 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 147 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



951. — On considère un clUpsoide (E) (H miP xection rcntra/r iC); soil A b' puint de rfncnnlrf de 
Vellipsoide et du diamètre conjugué du plan de (C). 

1° Démontrer que si ce plan tourne autour du centre de l'eltipsoide, le cône qui a pour base In 
conique (C) el pour sommet le point A garde un volume constant. 

2° Trouver le lieu d'un point B quelconque de OA et tel que le volume du cône de sommet B et de 
base (C) soit constant et égal à V. 

3° Trouver le lieu d'un point C de la perpendiculaire en nu plan de la conique (C) et tel que le 
volume du cône de sommet G et de hase (C) soit constant el égal à V. 

a;' 1/'^ s^ 

1. Soient — v+'rr""' — 3 ' —0 l'équation de rellipsoïde (E) rapporté à ses axes et 

a'- II' c- 

ux -\- ry -\- wz = celle du plan de la section centrale (C) ; on sait que les dcini-longueurs d'axes de 

section sont racines de l'équation 

„8 „2 „,2 

^^i 7- = 0, 



j. 1_ J 1_ J^ 1 

ô^" f h- p2 c- 



ou u- 
ou encore 



(^-^)(^-f)-.-(^-f)(^-f)-'(^-f)(^-f)-'. 



Il en résulte que le produit des demi-longueurs d'axes de l'ellipse (C) est 



/ u- -h V- -+- w' 



I 



et, par suite, l'aire de l'ellipse (C) est 



, / «^ -+- v^ - 



!;'■' + c'w- 
Le diamètre conjugué du plan a pour équation 

a^u b^v c'w 
un point quelconque de ce diamètre a pour coordonnées 

/■ = a-ul, y = b'vl, z = c'u'X; 

en écrivant que ce point est sur l'ellipsoïde, nous aurons les valeurs de X relatives aux points de 
rencontre du diamètre et de l'ellipsoïde. Nous obtenons ainsi 

X2(«2„. + A^,. + ch,^) = 1 ou X^ = „V + W-^rV' 

et, par suite, les coordonnées du point A sont 

a»M é^y £!li; 

^ ~ t^a^u^ -+- hV -+- chu' ' •'' ~ ^</a^u' + 6»u» -+- <-'-iv^ ' " ~ 6»/a»u»H-6V -i- c'w' 

t étant égal à ±: 1 . 

La distance de ce point au plan de l'ellipse (C) est 



* U'-H t> 



ftîy' -+■ C^W^ 



Commi' In volume d'un cône est égal à la surface do la base multipliée par le tiers de la hauteur, le 



148 GEOMETRIE ANALYTlorE 



volume du cône considéré est -^ S/i, c'esl-à-diro -—-abc ; ce volume est constant et égal au tiers du 
volume de l'ellipsoïde, 

2. Soient 

(1) r = a*ul, ]i — h-r'k, z = r'fc), 

les coordonnées d'un point B situé sur OA. La distance du point H au plan de l'ellipse (C) est 

),(fl2H« -+- **«= -1- chv^) . 



h' = 



,/,7 



^ { 

le volume du cône de sommet B et de base (C) est -r-SA', ou -—T.nbcl\/a'-u''-h b'^w'^ -h chr'. On doit 

o o 

donc avoir 

(2) i-rraécXv/a^H» -t- b^v' h- chv^ = V, 

o 

et nous aurons le lieu du point B en éliminant )., h, i', w entre les équations (1) et (2). Cette élimi- 
nation est fort simple, car l'équation (2) peut s'écrire 

et en y remplaçant «), «X, rX respectivement par —;;■•, -j^ et -^- nous obtenons 

C'est l'équation du lieu; elle représente un ellipsoïde homothétique et concentrique à l'ellipsoïde E. 

3. Un point C de la perpendiculaire en au plan de la conique (K) a pour coordonnées 

(3) r = Xm, 7 ^= Xu, : = X«'. 

La distance de ce point au plan de la conique est Xv/m* + «* -h w', et, par suite, le volume du cône 
de sommet C et de base (C) est 

(4) V = -— itaécX ■ • 

3 s!n*u^ -H bH^ H- c« «-' 

En éliminant X, u, v, »• entre (3) et (4), nous aurons le lieu du point G; pour cela, dans l'équation (4), 
nous remplaçons «, r\ w respectivement par —, -^-^ — -, X (iis|iarait, ol, on élevant au carré, 

A A A 

nous obienons pour équation du lieu 

(^. 4. y> ^ :»). _ _^^(a V -4- i»t/« -H c':^) = 0, 

qui représente une surface du quatrième ordre. 

Solution géométrique des deux premières parties.-- Soient (IM ot ON les axes de l'ellipstî (0.). 
Le parallfli^pipcdi' construit sur <>A.(t.M,(t.N a pdiir vtilume nhc, en vertu d'un théori-me d'Apollo- 
nius; i)ar suite, la pyraunde (i'i qui a pour smnniet le point A et pour base le rectangle (H) construit 

sur OM et ON a pour volume —nhc. Or le rapport de l'aire de l'ellipse (C) à celle du rectangle (H) 

T. OM ON 

est — '■ — '- ou -T.. et comme le rapport des volumes du cône de sommet A et de base (C) et de la 

t t.M , OiN 

pyramide (P) est égal au rapport des bases, ou en conclut que le volume du cône est —iMbc. 

Désignons ce volume par V». 

Considérons d'autre part un point B situé sur OA. Le rapport des volumes des deux cônes de base 



EXAMENS ORAUX DE 1900 (ECOLE CENTRALE) 14'J 



OB ., . OB V 



(G) et de sommets B et A, est égal au rapport des hauleurs, ou au rapport On a donc -— = _. 

. OB . ^^ ""^ ^'« 



Comme V et Vo sont constants, — est constant, et le lieu du point B est un ellipsoïde homothélique 
de (Ej, le centre d'homothétie étant le point 0, ul le rapport triiymothélie étant égal à — 

Bouae soiuiion par M . I!ai.auan din Moldova. G. DE FRANCE, à Versailles. 



QUESTIONS l'OSIÎES AUX EXAMENS ORAUX 
ECOLE CENTRALE (1900). 

Arithmétique (M, Combeitk). 

1516. — Nombre de chiffres d'un produit ab. Limites supérieure et inférieure du nombre des chitlres de A\ 

1517. — On donne le nombre 7318 écrit dans le système décimal. L'écrire dans le système de base 7. 

1518. — Kestes des divisions de 738 et de 738* par II. 

1519. — Le produit de cinq nombres entiers consécutifs est divisible par 3 ! — Etendre la propriété au cas de p nom- 
bres entiers consécutifs. 

1520. — Former les diviseurs d'un nombre entier N. Uuel est le nondire de ces diviseurs? Kx. : .\ = 2'3T 

>■ = 2^3^75, N = 3=5'7, N = 3'5'7. 

1521.— -j- et ^ étant deux fractions irréductibles, à quelle condition la fraction "' "^, est-elle irréductible ? 

1522. — On donne le produit de deux nombies qui diffèrent de deux unités. Trouver ces nombres par l'aiilhniétique. 
— Cas où les deux nonibresdill'èrentde trois unités. 

1523. — La racine carrée de a{n + Il est-elle plus approchée de a que de o + 1 .' 

1524. — On donne les dimensions d'un lectangle : a z= 2m,58 à 1 centième près el b — l",ilj à 1 millième près. 
Avec combien de chilTres exacts peut-on calculer la surface'? 

1525. — On donne les deux nombres 37,48 à 1 centième près et 2,53t à 1 millième près. Quelle est l'erreur relative 
de leur produit ? 

152G. — Effectuer le produit 4i,3528lï X 2,094128 à 1 centième près. 

1527. — Calculer i:x 41,6912, -y/S, i:' à un centième près. 

1528. — Le rayon d'un cercle est R = 4"',75l. Calculer la longueur de la circonférence 0= 2zK à l'" près. 

1529. — Le rayon d'un cercle est R = 12™,73. Calculer sa surface h l"""! près. 

1530. — Calculer à 1 centième près la surface d'une sphère de rayon Ft = 51"',317. 

1531. — Quotient à 1 centième près de 3,927618 par 0,o43228. 

1532. — La longueur dune circonférence est .^f^.S. .\vec quelle approximation peut-on calculer son rayon ? 

1533. — Qu'appello-t on racine carrée à une unité près de 7ô.'JI7 ? Montrer (|u'un nombre terminé par un 7 ne peut 
pas être un carré parfait. 

1534. — Racine carrée à um; unité près de 7313. On retranche luO unités : la racine est-elle la même? La racine 
obtenue est-elle approchée à une demi-unité près ? 

1535. — Racine carrée de 71,643 à 1 millième près. 
1536 — Racine quatrième de z à 1 centième près. 

Algèbre (M. Comuette). 

1537. — Déjnontrer que A" x A'' = A"' • '■. Donner la suite des théorèmes relatifs » l'interversion des facteurs d'un 
produit. Etendre la démonstration aux nombres incommensurables. Ex. : ny/S . 

1538. — Rendre rationnel le dénominateur de la fraclion — = — -=• • 

yl + ip 

1539. — Division de ar-^a" par x'' ± «'■. 

1540. — Décomposer a;' -f- px^ -hq en un produit de facteurs réels du second degré. 

1541. — Condition pour que y/a -h \/lj- puisse se mettre sous l'orme dune somme de deux radicaux simples. 

1542. — Condition pourqnele polynôme ax' -t- 2bxy + cy* + ■ ■ ■ +f puisse se réduire: l- ii un produit de facteurs 
linéaires en .r et y, 2" ii un carré parfait. 

1543. — On donne une progression géométriiiue a, b, c, .... It, k, I. Calculer la somme S = abc +- bcd + ... ■< hkl. 

1544. — Calculer les intérêts produits par un capital C placé ii intérêts composés au Uiux r pendant n années cl une 
fraction f d'année. 



150 



KXAME.NS ORAUX DE l'JOO (ÉCOLE CENTRALE) 



154Ï 



Résoudre les systèmes 



3x-2y~t-iz = 1, 
^ 5x-h3ji -■>: = i. 
' a»- -1- y — 2: =: i; 



8J-- 



4x -t- Sj/ -f- 2c = I , 
5x — 2y-+-iz — :), 



! 9j + j/H-i: 



1546. — Sachant que le dt^terminant 



en déduire la relation 









i> 
F 



X - 31/ -4- 2: = 1 , 

4j-+-2!/-33 = 2, 

X — 5!/ — 2s = 4 ; 

(I II c d 

a' b' e' d' 

a" II" c" d" 

a'" II'" c'" (/'" 



3x — y -)- 23 = 1. 
J 7x -t- 2» - a» = -, 
f 4x -(- 31/ — K3 = 3 : 



. 5.r — 2y -f- 
■ 3x -1- 5j/ — 
( 4x — 3!/ - 



33 = 0, 

43 = 0, 

3^0. 



= 0, 



éléments 
0, 3, 2 



(A, B, C, D, A'. H', C, I»' sont les mineurs relutifs aux 

t\ I» V* 1» 

a, fe, c, (/, a'. II', c', d'i. 

1547. — Former un polynôme du troisième degré incnant les valeurs 3, 4, 2, 1 pour les \aleurs I, 
de la variable x. 

1548. — Former un polynôme du troisième degré prenant les valeurs 3, 4, 1, 8 pour x = 2, 3, — 2, —5. 

1549. — Calculer les sommes 1.2 -t- 2.3 -+-3. J -t- .. . -i- n(n + 1), 

1. 2. 3 -1-2. 3. 4 -1-3. 4. 5 -t-... -i- 98.99.100. 

1550. — Vcriûer que la somme des cubes des h premiers nombres est égale au carré de leur somme. 

1 551 . — Calculer la-t-b-h c)^. 

1552. — Terme général du développement de (a-4- 6-f-c-i-d)'. Nombre des termes de la forme a'bc'd'. Nombre 
toLil des termes. 

1553. — Etudier les séries u. — —r< u,— —- 



n' 



II- 



1554. — Etudier les séries 



I 1 1 


-H 


1 


T. ' -+l ' --U2 

1 1 « 


z-t-n 


T. Z4-1 ' «-1-2 
t 1 » 


-»- 


1 1 1 


r. ' z^2 ::+l 


t:4- 4 ' --f-6 15 -h3 



1 




n» 






1 1 




1 1 



1 

1-(— 1)— ' -p ■+■ 



\/S 



1555. — Etant données deux séries convergentes 

n,, tii, «,,...«.,...: 
la série dont le terme général est a.u. est-elle convergente .' 
'i^ I 

1556. — Limite de 7 quand x tend vers 1. 

X' — 1 

1557. — Limite de "^i quand n augmente indéâiiiment. 

1558. — Limites pour x=0 des expressions suivantes : 
sin.ïx tgSr — 2sin4x sin' 3x -f- tg' 3x 



i -i-2x-t-3x'-H • 



do, (II, (II, . . . a., . . ., 



-i-nx^'-t- 



sin'3x — tgx.sin Sx 



l^'x IgSi sin7j.t(!2x xtg'x 

1 I 

1559. — Limites de (1 -t-»)~, (1 -l-2ii~ quand j tend vers 0. 

1560. — Limiti'de M— _J pour m infini. 

1501. — Limites de (l-l-3sinx|*'"'«', (l — sin3xi'^ •''■■'■' quand x tend vers 0. 
1562. — Dérivées des Tonctions suivantes : 

y = Vï. 



sin2xtg3x 
x' — sin^Sx 



y = cos' 4r, 
1/ = cos' 4x', 
y = (arc tg 5x")', 
y = (arcsln Sx*)', 
y = V cos* 4x, 
V = »/ sln' 4X) 



1/ = ^ cos' 4x'j 
y ■= \l sin' 7x*, 



(/ = i/ tg» 4x>, 
y = !/i\rc tg 8x', 
y = i/iarctgSx")', 
V =t '»''. 
)/ = L «In s', 
y = L nrc sIn Ix", 



j/ = (L arc tg lix'l", 
y = (cos7.t')5x', 
y = a"', cos' Sx, 
y — sin(lx'-t-l) Larctg3x, y — 
sin' 3x» 



8/ = 
J/ = 



1503. - DiTivi^c» di-,* fonctions suivantes : 

y - (3x)"', 1/ = (2x -f- \Y\ 

V = (.H -t- 3)''-. w = (5x' — 1)"'-', 

y = X""', y = (arc »ln *x")»' 

1504. Un donne |/ = sIn' 3x. r^lruler y' et y" 



" tg'4x" 
cos* 4x' 

■" = -HT" 

y= (3x'-4-l)^, 
(/ = («In lix")'', 
y — (arc sln 5x*)', 



y — 



U = 



tg' 4x 
y/l — 5x' 

tg'4x 
sin' .Ix* 
Vtg 1? " 
L(3-f-5x')' 

C'8Jê 
cos'Sx 



y = {ix>- 2)'', 
y = {x' — sln'x)^, 
y = (LsinSx')'". 



EXAMENS ORAUX DE 1900 (ÊCOf.E CENTRALE) loi 

3 X 

1565. — Dérivée u° des fonctions u=r . m = ■ u = o'^' sin 4x. 

X — S x^ — 1 

1566. — Dérivées des fonctions y définies parles équations suivantes : 

i' Vî/ — cos' 5x^ -{-y, = 0, sin' Sx — cos- 3;/ + a = 0, sin' ox— 2'!/= + a = 0, 

3"" -(- tg 4i/' -f- X = U, tg' 4x2 -t- LTxy -I- À = 0, 3Lx^ + Larcl6î/»+ X = 0, 

î/sin (3X---H 1) + L(|/- — 3) -t-À = 0, tg-|2x-+- 3i/) — 5-' v'op'-l- 1 = 0. 

1567.— /"(x, «/) désignant une fonction liomogène de degré m, montrer que l'on a 

. , •r/x + y/"ï = '«/■(»-»/)• 

Réciproquement, itablir la relation 

x2/ï. + ixyl% + t/'/Js = in[m — l)nx, )/). 

1568. — Trouver les primitives des fonctions suivantes : 

1 ,x-t-2 .x-i-2 ,x-*-2 

" .«- — 1 •' X'— 1 ^ (x-1)» * 

x—\ „■ — ^~^ , , 3x — 1 



, _ X* + t 
j,' = ^, y - (n + iK^'-i)' y = ' 



X'-l-l' 


1 


x' + l 


X-f- 2 



y = sin 3x, V' = «'" ^ "^ T^Tf ^ TTF' "' = *'"'' •^• 

«/' = sia*x, y' — cos'x, y' = sin(2x + a).sin(3x— ;:), j/' =sin»x, 

y' — \.%j:, î/ = cos(2x-+-a)cos(3x+ a) (cosixH-i), y' ^ tg' x, i/' = tg' x, y' = 3x» — cos'x. 

1569. — Variations des fonctions 

X' — -'X 4- i x' — 2x X' — 3x 



y= x'-i ' ^^ x'-i ' ^ = 

ix» — 3 X' — 2x' 

X' — X x' — 2x' 

!/=^ — ;ï-ri — ' y = — TT-T—' y 



x' — \ 
2x^ — lx 
x' + l ' 
sin'x — 2 sin X 



x' + l x' + l cos'x — 2 cos X 

1570. — Maximum de x'^y, sachant que x + j/ = a. 

1571. — Exprimer que l'équation x' — l.x^ + Bx + m = admet une racine double. 

1572. — Exprimer que x* + px' + qx^ + rx + s =0 admet une racine triple. 

1573. — Exprimer ciue l'équation x' +ax' H = admet une racine double et une racine triple. 

1574. — Exprimer que l'équation x' + px' + gx' + rx +s = admet une racine quadruple. Montrer qu'il suffit 
d'exprimer que f(x) est divisible par /'./i. 

1575. — Condition pour que l'équalion ox' 4-6x' + ex- + i/c + c = ait deux racines dont le produit soit 
égal à 1 . 

1576. — Equation aux sommes deux à deux des racines de l'équation x' +px' ■+■ çx* + rx + s = 0. 

1577. — On considère l'équation f{x\ = x'+px+(/= dont les racines sont a, 6, c. Former l'é(|ualiiin du 
troisième degré qui admet pour racines f'(a), f(b), f'{c). 

1578. — Exprimer que deux des racines de l'équation f(x) = sont liées par la relation o(i, fi) -U. 

1579. — Exprimer que les deux équations .r'+ax' + fc = 0, x'+ a'x" + ((' = ont une racine commune. 

1580. — Faire disparaître le second terme de l'équation x'— ox' + 7x— 1 = 0. 

111 

1581. — Montrer (lue l'équation h ;- -\ 1=0 a ses trois racines réelles et distinctes. 

X — a X — X — c 

1582. — Montrer que si l'équation f{x) = a toutes ses racines réelles et distinctes, il en est de même de l'équa- 
tion /"(x) + a/"(x) = . Montrer cpie dans les mêmes conditions l'éciuation f- — ff = a toutes ses racines ima- 
ginaires 

1583. — On pose F(x) = f{x') -hxfiif) -h x*f,{x^). Trouver le reste de la division de F(x) par x'— a'. 

1584. — En supijos.int ^Â" iiiciimmensurable, montrer (pic la relation ni\fy + n]/\ = p ne peut avoir lieu que 
si les coefficients )7j, n, p sont nuls (on suppose A, m, n. /* conunensurables). 

1585. — On donne l'équation x' — 8.c' — 1 = 0. Que donne le fliéurrme de Kescartcs .' Peut-on voir s'il y a des 
racines imaginaires sans compter les variations .' .Montrer que dans l'éiiuation binôme, le nombre de racines réelles est 
égal au nombre des variations V-t-V'. 

1586. — Si l'équation f(x) = a toutes ses racines réelles et dislincles, il en est de même des équations 

nx) = 0, f{x)=l). 

Montrer que deux dérivées successives ne peuvent s'annuler pour x= n. Lorsque /t'l{x) s'annule, p.'^'){x) et fl'^'Xx) sont 
de signes contraires. Le nombre des racines de f{x} = comprises entre deux nombres » et ? (» < ?) est la différence 
Va — \f des nombres de variations ipie présente la suite 

/■(x), nx). fix), .... rr)(x}, 

quand on y fait successivement x = a, x = p. 



ISi ULESTIU.NS l'IlOl'USEES 



1587. — UésouJre les équations liinoiiies x' — \ = d, j^ — i'' ■= o. 

1588. — Ri'soudre les é(|uations 

x^ — X -I- 5 =. 0, j" — 8j -»- 1 = (I. .1 ' — j.r H- 1 U, 

X» — 7t— 2 ;0, a:" — "i.r -f- J = 0, j' — 3x« — 1=^0. 

1589. — Nombre lies racines réelles des tîqualions 

tx" — Ix* + 3x H- 1 ^ 0, X'— 5x» +x— 1 - 11, X'— 5x* — X— I -^ 0, x'-7x» + !=0, 

X«_3j;^-1 = 0, X*— TX— 1 ^(t, x"— IX'-^X— 1 = 0, X» -4- 3X« — l = 0, 

X> _ 3j ^ 2 = 0, x' — 3x2 — 1 - U, X' — 2x -F 3 = 0, x' — "x* + I == 0, 

x' -(- 2x5 H- 1 = 0, x= — 3x» — x+1 = 0. 

159U. — Nombre des racines réelles de l'équation .r- — l.c— 1 =0. Calculer la racine positive par la métliode de 
Newton. .Mi'in'! question pour l'équation x' — l.r' -+- 1 =«; calculer la racine négative. 
lôJII. — Nature des racines de l'équation .r' — 8x — 1=0. Calculer i:a'fc'. 

1592. — Mèine question pour x' — 3x' — t =0. Calculer Snft'. 

1593. — a étant racine multiple d'ordre a de /',x), trouver la limite de — — „ pour x = n : limite de 

Axi 

(X — m' 

159'». — llécomposer en éléments simples les fractions rationnelles 

2x -H 1 x' -I- 3 x= -f- 1 x' + l .r' ^ I 



x'— X — l' (X — 1 ' ' (X — 3)' ' x" — x» + x' (x -l)(X=-4- x+ Ij 

Trigonométrie (M. ("omuette). 
1595. — Résoudre le système : 

sin (2x -2y\ = sin ( 2x -+- 3;/ -(- -^j- j , tg (x — -^j = cotg Ui -;- -^ j ■ 

1590. — On donne sin2x; calculer cos 3x, tg4x. 

1597. — On donne cosSx; calculer sin 2.r. 

1598. — On donne tg 2x ; calculer tg 3.r. 

1599. — On donne tg3x; calculer sin 2x, cos 2x. 

1600. — Résoudre les inégalités: 

V^ï — sin .r < 2 sin X — I , v'2-i-sin-x > 3 sin .r — I , v tg'x-l-2 > 3 tg .c — 1 . 

^à cos X -(- 1 < 3 cosx — 1, y/a — sin' .r < 2 + 3 cos X, y'i -i-sin»x < 3 sin .r ^- J, 

^mwx > tgx— 2. 

KiOl . — .Mn\iniuiii du produit sin-'-r X cos'.c (|U.ind .r \ariede à — • 

UitCJ - Calcul de sin 10", cos 10". 

HW.i — Hésoudre un triangle connaissant A, a, h — c — m. 



(.4 siiivrf.) 



UUESTIONS PllOPOSEES 



1014 — On considère une ellipse el une hyperbole ayant niêiiie centre et pour équations respectives 

fcijfJ -f- a'y* — a'b* = 0, 
fr'x' — -l'i/î -t- a'ft'fo» — b*) = n. 

.Suit i'U la ciirde polaiie d'un point M de l'hyperbolu dansi l'ellipse. 

{• Montrer que les liissrTlrircs de l'anple l'OlJ ont des directions fixes. 

2* Irouver le lieu ilu pied île la symédiane tsyiiiilriqiie de la médiane par rapport à la bisscclriee) issue de (> 
dans le triangle OPy. 1". N. IImiisibn. 

1015. — On dnniie une circonférence el deux points A, U sur celte courbe. On considère toutes les liyper- 
boles équilad-res passant pur A et IJ. el lan^'ontcs au cercle. Lieu des rentres des ces hyperboles. Lieu des 
p6les de AB por rapport :i ces hyperboles. 

♦ 

Le i{,'daclrur-(n;;iut : 11. Vl'lULill. 



kA>-ui-iivc, lar. cuiiTa-jAcgi'iT. 



11" Année. W 7. Avril 1901. 



REVUE DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES 



PREMIERE PARTIE 



NOTIONS SUR LES FONCTIONS HYPERBOLIQUES 

par M. P. Barbarin, professeur au lycée de Bordeaux. 



Dans ces dernières années, quelques questions touchant les fonctions hyperboliques ont été posées 
aux examens de l'École Polytechnique ; il ne parait donc pas inutile de dire quelques mots à ce sujet. 
Tous les élèves connaissent et appliquent les principes du calcul des exposants ; ils savent de quelle 
façon Neper et Euler ont su en extraire ces deux merveilleux moyens de transformation qui s'appellent: 
les logarithmes d'une part, les fonctions circulaires de l'autre. Notre intention est de montrer ici 
simplement aux studieux que, sans introduire aucune idée nouvelle, l'on peut tirer des mêmes principes 
un troisième outil de transformation qui ne le cède à aucun des deux premiers, et qui, utilisé à propos, 
est capable de rendre de précieux services. 

Soit X un nombre positif ou négatif quelconque choisi pour argument. Les fonctions 

e^ + e-^ e'' — c"' e'' — e'^ 

2 ' 2 ' e' -+- e-' 

sont appelées respectivement cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique, et tangente hyperbolique de cet 

argument. Les algébristes sont d'accord, depuis le savant italien J. de Uiccati (1676-1734), pour les 

désigner par les notations 

ch a-, sh X, th x. 

On a évidemment entre elles les relations 

sh X 
ch- X — sh^ X — i, th X = - — j 

en a; 

dont la première explique le qualificatif, puisque 

X = ch X, Y = sh X 

sont les coordonnées d'un point M de l'hyperbole équilatôre qui a son demi-axe OA égal à i. D'ailleurs 
l'aire du secteur hyperbolique AOM a pour mesure 2.r. 

C'est un jeu de vérifier, d'après les définitions qui précèdent, les identités 

ch (X + ;/) = ch X ch ;/ -+- sh x sh y, 
sh (x -h j/) = sh a; ch y -h ch i; sh y, 
ainsi que la formule générale de multiplication 

(ch X ■+■ sh a:)" = ch nx ■+■ sh nx, 
qui rappelle celle de Moivre. On en déduit pour n = 2, et n — 3, 

ch -Ix = ch2 X -+- sh'-a-, ch 3j; = 4 ch ' r — 3 ch x, 

sh 2.1 = 2 sh X ch x, sh 3.r = 4 sh' .i ■+- 3 sh x. 

Four notre objet, ceci suffit absolument ; il nous reste à montrer quel parti l'on peut en Uni. 



Lorsque dans les calculs on se trouve en présence d'une irrationnelle de la forme ^/l — «', 



IS4 NOTIONS SUR LES FONCTIONS HYPHUBOLIQUES 



il vient nalurpllemcnt à la pensée delà Iransfuinier en une fonction circulaire en posant n — cosx. 
Mais on trouve fréquemment aussi des irrationnelles telles que \^1 -hu-, ou \/u' — 1 ; à la vérité, 
par u — lgx dans le premier cas, et u = secj dans le second, on parvient k les ramener respec- 
tivement aux fonctions circulaires secx et Igj-, mais l'emploi des lanfrenles et sécantes qui sont des 
fractions est Ijien loin de présenter les mêmes avaiilajres pratiques que celui des sinus et cosinus. C'est 
donc ici que l'introduction des sinus et cosinus hyperboliques a sa place toute marquée. 

Si A = /l -i-u', on posera u = slix, et A égalera ch x; 

Si A = ^u* —l, on posera m = ch r, et on aura de même A = sh r. 

Les exemples, même tout élémentaires, ne nous manqueront pas pour justifier ce qui précède. 

1° Calcul d'une dérivée. 

Soit la fonction »/ = L{x-t- v'I -Hi'). Posons a; = sh z, et nous avons 



x-h s/l-\- X- = sh : -h cil : = e=, 
donc ;/ = z, ou 'j\ = z\. D'ailleurs, on a aisément 

X: = ch z, et z'r 



donc y = 



ch: 
1 1 



ch : v'i -t- a;' 

20 Théorie de l'hyperbole. — Les coordonnées d'un point M de l'hyperbole 

peuvent s'exprimer au moyen de l'argument : par les formules 

X = a ch ;, ;/ = /' sh ;, 

et les propriétés de la courbe se démontrent alors par des calculs de même forme que ceux qui servent 
pour l'ellipse ; en particulier, l'extrémité M' du rayon CM' conjugué à OM a pour coordonnées 

X = o sh :, 7 = /; ch :. 

3° liésolulion de l'équation x' + px -1-7 = 0. — il suffit de pojor, selon que 7 est positif ou 
négatif, 

— = sin' :, ou r^ = sh* : : 

les racines sont dans le premier cas réelles et de même signe, 

x' = — 7JCOS' ■^. x" = —i)s'\i\'y'< 
dans le deuxième, elles sont de signes contraires, 

x' = —p ch- -'- , r ' = ;) sh^Y • 

A" Héiolulwn de l'équation .r' + px -+-7=0.— Lorsque l'on donne l>^s fonctions circulaires cos a 

ou sin a, le calcul de cos — ou sin - conduit à une équation du troisième degré ayant ses trois 

racines réelles; cl réciproquement, toute équation du troisième degré à racines réelles se ramène, par 
un changement convenable de l'inconnue, à une trisection d'angle. Nous allons voir de même que si 
l'équation n'a plus qu'une seule racine réelle, relie rai'ine et l.s deux conjuguées qui l'accompagnent 
dépendent d'une division d'argument hypiTholique par .'L II nous faut pour cela étudier d'abord celte 
question : 

/■.'tant dnnné sh 1 ou ch 'i, trouver sh — ou ch — • 

3 o 



NOTIONS SUR LES FONCTIONS HYPERBOLIQUES iS5 

D'après la formule qui donne sh3« en fonction de sh a, nous voyons aisément que sh a étant 
donné, sh — = ; est racine réelle de l'équation 



(i) .'^A,. 


^h« _o 


4 -^' 


qui a pour résolvante 




(2) u-^ ^Y 


64 


Les racines de la résolvante sont 




U.= ^e^ 


U. = l e-', 


et par conséquent celles de (1) sont 




r. = sh-, 





=2 = — -y Uh -jj- + iV3ch y . 

1 r ■ « ■ TT 1. « 1 

;, = 1 sli isji CD -— - I . 

2 L 3 3 J 



Semblablement, si l'on donne chc, les racines de l'équation 

3 ch a 

(3) '^'-T^ 4-=° 

sont , « 

2-2 = 



-[ch^+,V3shf], 

1 r , a . ,— , « 1 
.3 = -^[ch^ 'v/3sh-3-J. 



Envisageons maintenant l'équation générale du troisième degré 

a-' +px-{-q =0, 
en nous altacliant spécialement au cas où elle n'a qu'une racine réelle. On sait que les expressions de 
celte racine et des deux conjuguées qui l'accompagnent en fonction de radicaux cubiques sont très 
incommodes pour les calculs ; il y a donc un grand intérêt à les simplilier, et l'emploi des fonctions 
hyperboliques s'y prèle merveilleusement. Il faut distinguer deux cas suivant le signe de p, à cause du 
signe de la fonction ch a qui est toujours positive, tandis ([ue sh a a le signe de n. 
l" Soit d'abord /j>0. Faisons 

), = 2v/£-, sha = — ^, a; = ).:, 

V .} pi 

l'équation proposée est ramenée à la forme (1) ; les racines demandées sont donc 

Xt = X sh -;— 1 

(5 



2» Soit maintenant /j <0. Nous ferons cette fois 



j?j = — -^ sh -|- -f- (V3"ch — > 



^ = =^-V^' ^"« = |r' ^■ = ' 



isr. AGRÉGATION DES SCIENCES MATHÉMATIQUES 

nous choisirons le signe ambigu de X égal à celui do — q, aun que — r- soil positif, et nous serons 



ramenés à l'équation (3). Les racines en x sont donc 



pi 



Xi = )«ch-— j 

o 



x.= --i-[ch-^ + .V3sh-^], 

"'=-4-[^''i— '^^^^^]- 

Le recueil si connu de Formules et Tables numériques de Houël renferme Table XIV, pages 36-SS, 
les logarithmes et arguments des fonctions hyperboliques avec quatre décimales. Cette approximation, 
suffisante pour une première évaluation prati(iiio, permet de calculer rapidement avec quatre chiffres 
exacts les racines des équations du troisième degré. Voici les résultats numériques d'un exemple que 
nous engageons les élèves à revoir eux-mêmes : 

Soit p = ', 7 = 7, log>. = 0,4830, a = —0,8 686. 

On trouve x, = — 0,8969, j;, = ii,4i84o — 2,757(, a-, = 0,44 843 -H2,757i. 



Nous avons reçu de M. M. Lanet, élève à l'Éfole Polytechnique, une note relative à l'hyperbole 
équilatère et renfermant une idée intéressante. Pour éviter des longueurs et des redites, nous nous 
bornons à publier la suile des propriétés qui y ligurent sous forme d'énoncés. Les lecteurs de la Revue 
pourront en trouver aisément diverses solutions analytiques et géométriques, et, bien qu'il, n'y ait là rien 
de nouveau, ils retireront certainement quelque prolil di> leur travail. 

Soient ABC un triangle et H le point deroiifours des hauteurs. 

1° Le lieu du point .M, tel que les pieds des perpendiculaires abaissées de ce point sur les côtés du 
triangle soient en ligne droite, est le cercle circonscrit au triangle. La droite A ainsi obtenue se nomme 
habituellement In droite de Simson du point M. 

i° Cette droite passe par le milieu de MH. 

■i" L'angle des deux droites de Simson relatives à deux points M et M' est la moitié de l'angle au 
centre sous-tendu par l'arc M.M'. Son sens de rolallun est inverse de celui du second auiile. 

4" La droite de Simson, a, enveloppe une hypocycloïde à trois rebroussenients tangente aux trois 
côtés du triangle et aux hauteurs, et tritangente au cercle des neuf points de ce triangle. 

5° Toute hy()erbolo éqiiilatére circonscrite an triangle AI5C passe au point H. 

6" Les asymptotes de cette hy|)erbole sont deux droites de Simson relalives à deux point* diamé- 
tralement opposés sur le cercle circonscrit. 

7" Le lieu du centre de cette hyperbole est le cercle des neuf points du triangle. 

8" Les axes do cette hyperbole enveloppent une autre hypocycloïde à trois rebroussements, égale 
à la précédente et tritangente au mémo cercle. 



A(.ltl-;<iATI(»N l»i:S SCIK.NCES MATIIKM.\TIQri-S (lyoOj 



Mathématiques spéciales. 

952. — JJlaiit dnnnét Irait axei Oj, 0;/, Oi, on considère un cône du second ordre C lanyent aux 
lieux pldiif .tOi/ et xOz, respectivement, suivant (li/ ri (.(:, et une droite l) rencontrant Ox. 



AGRÉGATION DES SCIENCES MATHÉMATIQUES lb7 



1° Pour quelles positions de la droite D cxiste-t-il au moins une surface du second ordre S indécom- 
posable, passant par celle droite et tanr/ente au cône G en tous les points d'une courbe plane ? 

T La droite D étant située dans le plan xOt/ et restant fixe, trouver le lieu géométrique des centra 
des surfaces S. 

Ce lieu est un plan P. 

3° La droite D se déplaçant dans le plan xOy de façon que le plan P passe par un point donné A de 
l'espace, trouver l'enveloppe du plan P, et montrer que la droite D enveloppe une parabole Q. 

4° Quel est le lieu géométrique des positions du point A pour lesquelles la parabole Q correspondante 
est égale à une parabole donnée ? 

5° La droite D étant toujours située dans le plan xOy et restant fixe, on donne un plan quelconque n. 
Montrer que le lieu géométrique des points de contact avec le plan n des surfaces S qui lui sont tangentes 
est une droite A. 

Etudier la distribution des droites A dans l'espace quand U se déplace arbitrairement. 

Combien y a-l-il de droites A passant par un point quelconque de l'espace ? 

Quelle est l'enveloppe du plan H lorsque la droite A se déplace dans unplanpjassant par D ? 

1. On voit facilement que les équations tangentielles du c(3ne C peuvent se mettre sous la forme 

u' -I- 'imvw =0, r = ; 

d'autre part comme la droite D rencontre Ox, on peut la définir par les équations ponctuelles suivantes 

axH-Py + yj-l-S = 0, p';y -|- f: = . 

Toute quadrique inscrite dans le cône (C) a pour équation tangentielle 

u^ -H 2mvw -+- r{Au -+- Bv + Cw -H Dr) = 0. 

Écrivons que cette surface contient la droite D, et pour cela, qu'elle est tangente à tout plan passanl 

par la droite D ; un tel plan a pour équation 

xr ^ (p -^ lf,')x + (y + A-/)?/ + S = 0, 
on doit donc avoir, quel que soit 1, 

a2 H- 2m(P -t- Xp')(Y + h') + S[Aa + B(P + )/^') + C{y ^- ),/) H- D8] = 0, 
ce qui donne les conditions 

/ 2m^Y = 0, 

(1) j 2m(^/ -t- Y^') H- G(Bp' -f- Cf) = 0, 

( a^ -H ^m^[ + S[Aa H- B? + Cy -H D] = 0. 

De la première, on déduit soit ^' = 0, soit y' = 0, ce qui indique que la droite D doit appar- 
tenir soit au plan zOx soit au plan xOy. 

Je dis que cette condition est sutTisanle. Pour cela, nous allons supposer que la droite D appartient 
par exemple au plan -cO;/, et nous démontrerons qu'il existe une infinité de qiiadriques inscrites au cône 
G et passant par la droite D. 

Supposons donc que fi' soit nul; nous pouvons remplacer y' P^r ^i et comme la droite D est alors 
définie par les équations ax-i- ^ij -i-yz-^ S = 0, z = 0, on peut remplacer ces équations par 
«a; -H py -H 8 = 0, 3 = 0, ce qui revient à remplacer y par 0. Les relations (J) deviennent alors 

2mp-i-3C = 0, a» + S(Aa-hBp-)-D) =0. 

On voit d'abord que 8 ne peut être nul, sans quoi a et p seraient nuls et la droite D serait indé- 
terminée. Faisons 8=1; nous obtenons 

C = — 2w|3, D =— (Aa-hBp-^-aî), 

et l'équation générale des surfaces S considérées est 

f(u, v, w, r) = M= -+- 2muw -+- r\Au -hBv — '■Iviiir — i-(Aa -f Bp H- a')] = ; 
elle contient deux paramètres variables A et B. 



158 AGREGATION DES SCIENCES MATHI'MATIQUES 

La droilc D est délcnninée parles doux équaliniis xr -+- ?j/ 4- I = 0, : = 0. 

2. Le centre de la quadriquo f[u, v, w, r) = a pour équation tangentielle 

f\. = Ah 4- Br — 2w?h' — 2r(Aa -i- B? 4- a^ ) = ; 
par suite, les coordonnées x, ;/, : de ce point sont données par les équations 

.1- »/ : 1 

~K^~W"^ — imH ^ — 2(Ai -H B3 -h a») ' 
Le lieu du centre s'obtient en éliminant A el B entre ces équations; cette éii niaation est iinnaî- 
diate et conduit à l'équation 

2»pa; + 22-7 h p = 0, 

qui représente un plan P. 

3. Ecrivons que le plan P passi^ parle point Aix^, »/„, îj) ; nous avons 

(2) 2afixo -+- 2P-./0 — -^^ +3 = 0. 

ni 

de sorte que l'équation du plan P peut s'écrire 

2a?(x - xo) -4- 2?^(;/ - y„) ^-{z- :„) = 0. 

3 
Nous aurons l'enveloppe de ce plan en exprimant que cette équation a une racine double en -^ . ce 

qui donne 

(x - .T„)' H- _ (y - j/J(; _ :„) = 0. 

2 
Or, si on remarque que l'équation ponctuelle du cône G est j'h yz = 0, on voit que l'en- 

voloiipe du plan P est un c'ine C parallèle au ci>ne C et ayant pour sommet le point A. 

D'autre pari, de la relation H), on déduit immédiatenienl l'équalion tangentielle de l'enveloppe de I), 

u V 

en remplaçant a et & par — el — -^ et on obtient 

ir w 

iuvT. + 2u-i/o — -+- vw = 0. 

m 

Cette équalion représente une parabole dont l'axe est parallèle à Oi/ On a aisémeni son équation 

ponctuelle, en tirant par exem[ile de l'équalion prccédenlo la valeur de ir, 

w ^ _ _Lf2ui-.r„H-2t'=Vo- —V 
V \ m / 

portant cette valeur dans léqualion de la droite, et écrivant que l'équation obtenue ^homogène en u et u) 
a une racine double en On obtient ainsi 

V 

(x ~ ix,Y - 4 -^ ( V - 2v„) = 0. 

4. Si l'on désigne par •) l'anffle jtO;/. le paramétre do cotte parabole est égal à 2 sin' -^ 

Pour que cette parabole soit égale àuneparaboloilonnéodoparamolro /» ondoilavoir 2sin'0 — =±/j; 
par suite, le lieu du point A se compose des deux plans 

. _ ^ /"" 



2sin"t 
5. Soit UT -i-vij -t- w: +- c = rei|uatioii ilii plan II ; nous allons chercher ]>' lieu di>s piMes d'i 
plan 11 par rapport aux quadriqui>s considérées. L'intersection de ce lieu el du plan 11 constitue le lieu 
des points où les quadriques louchent le plan II. 



AGRÉGATION DES SCIENCES MATHÉMATIQUES 159 

Les coordonnées du pôle du plan n par rapport à la quadrique f{u, y, tu, r) = sont définies 
par les équations 

ou 

X _ y ^ ^ ^ l 

2m -h Ar 2mi(' + Br 2Miy — 2?n,3/' K'u — Sa;-) 4- B(« — 2^?') — 2mp(> — 2a-r 

Pour avoir le lieu de ce point, il faut éliminer A et B entre ces équations. 

En considérant le premier et le troisième rapjjort, puis le deuxièmo et le troisième, on calcule faci- 
lement les valeurs de A et de B, 

2?na;'(y — ^r) — 2mz 2wi?/(u — ^r) — 'imwz 
A = 1 B = ) 

rz rz 

et en portant ces valeurs dans l'équation formée par les deux derniers rapports, on obtient 

r (w_ar)- 1 

x(u — 2c<r) + tj{v - - 2pr) - z\ — ^ ^ ^u,\—r^O, 

ce qu'on peut écrire 

use -i-vy -i-ivz-+-r , „ . , (u — ar)* 4- 2?nKi(i; — flr) ,, 

2- (oix -h^y + i) — Z : T-. = 0. 

2/- ' ' ^mr{c — p?-) 

Le lieu de ce pôle est donc un plan ; il coupe le plan il suivant une droite A, qui est le lieu des 

points où les quadriques touchent le plan il. 

Les équations de A peuvent s'écrire 

(n) ux -\-vy ^ wz -1- j- = 0, 

n' ax+?,y+l-i-z- -^- j^ !-^=0. 

2?n?-(u — |i/') 

Le plan (n') passe par la droite D ; donc A rencontre D ; de plus, nous allons montrer que A est 

tangente au cône. 

„ ... {Il — ac)^ -4- 2î>î!<,'(« — S?') .,. , 

Posons pour un mstant li = ^ -, et considérons un plan passant par a et 

2î«;'(y — (ir) 

ayant pour équation 

(it H- Xa)a; H- (v-h^)y -i- {w-hlh)z -)-r+X =0. 

Nous allons démontrer que ce plan est tangent au cône pour une valeur convenable de X, et pour 
cela que les deux équations 

(m 4- Xa)* -t- 2m(u + y^){w -\-}.h) = 0, r + X = 0, 

ont une solution commune en X. Si en effet dans la première nous remplaçons X par — r, et si nous 
résolvons par raf)port à h, nous trouvons précisément 

_ (m — ac)- + 2mw(v — ?/■) 
2mr(u — pr) 
Il en résultfi que les droites a rencontrent la droite D et sont tangentes au cône C. 
Les droites A passant par un i)oint A seront les tangentes menées par le point A à la section du 
cône C parle plan (A, D); donc par un point quelconque de l'espace, passent deux droites a. 

Supposons maintenant que la droite A se déplace dans un plan fixe R passant par D et ayant pour 
équation ax + piy + /;z -h l =0. Le plan (iV) doit coïncider avec ce plan : on doit donc avoir 

_ ( u — »)•)'■' -V- 2ni ic{ V — Pr) 
2?n/'(y — p»-) 
ou (u — ac)2 4- 2m.(u — pr){w — kr) = 0, 

telle est l'équation langenlielle de l'enveloppe du plan II. 

Or, u — ar = 0, r— pr = 0, w — kr = sont les équations tang( ntielles des points A, B, C 



100 AGRÉGATION DES SCIKNCES MATHEMATIQUES 



où le plan R rencontre respecUvement Ox, Ot/, 0:. L'éiiualion (3) représente donc une conique située 
dans le plan ABC, tangente en B et C aux droilos AB et AC. De plas, les plans lani^enls menés par 
loi ipine à celle conique sont définis par les équations w- -f- 'inivic = 0, c = ; cos plans sont donc 
tangents au cùne C, et par suite la conique est située sur ce cône. 

En définitive, l'enveloppe du plan il est la conique section du cône C par le plan R. 

Solution géométrique. — 1. Au point où la droite I), génératrice Je S, rencontre la courbe de contact 
de S et de C, les deux surfaces ont même plan langent. Ce plan passe par la génératrice D, donc est tan- 
gente au cône C. Puisque celte droite rencontre l>-t- elle doit se trouver dans Tun des plans .lO; ou xOy, qui 
sont les deux plans tangents que l'on peut mener au cône C par la droite Ox. 

2. Cherchons d'une façon plus générale le lieu des pôles d'un plan quelconque n par rapport aux sur- 
faces S. 

Soil a la trace de U .«ur le plan n. Par le poinl a, on peut mener au cône deux plans tangents, dont l'un, 
xOy, est fixe, et dont l'autre, (i, coupe 11 suivant une droile A qui passe en n et détermine ainsi avec l) un plan 
(D, ^). Ce plan, passant par la génératrice D coininune aux surfaces S, louche toutes ces surfaces. Le plan n, 
langent au cône, les louche également. 

Dés lors, le plan P qui passe par A et qui est conjugué harmonique de 11 par rapport à .a el D, A) conlienl 
les pôles de 11 par rapport à toutes les surfaces S. 

Si maintonanl le plan il s'éloigne à l'Infini, le plan ji devient le plan tangent au cône, distinct de xOy, 
parallèle à D. Le plan il», A) est celui qui passe jiar 1) el est parallèle à [i. 

Par suite, le plan P, lieu des centres des quadriques S, est parallèle aux deux précédents et à égale distance 
de chacun d'eux. 

3. Si on assujettit ce plan P à passer par un iioint A, comme il est parallèle à un plan langent ii au cône 
C, il enveloppera le cône C, qui a pour sommet le point A et qui est parallèle au cône C. 

Soit B le symétrique de par rapport à A. Le plan (D, A) passe par I! et enveloppe un cône C" de som- 
met B parallèle au cône (". La droite D louchant ce cône C" t-t restant dans le plan xOy aura pour enveloppe 
la seclion Q du cône C" par ce plan, ("elle section est une parabole puisque le plan xOy étant langent au cône 
C est parallèle a un plan langent du cône C". 

4. La grandeur de celte parabole ne dépend évidemment que des positions relatives du plan ; = et du 
point B, c'est-à-dire puisque OB = 20A, des positions relatives du plan z = et du point A. Le lieu 
demandé se compose donc de deux plans parallèles au plan xOy et symétriques par rapport ii ce plan . 

5. Nous avons vu que le lieu des pôles d'un plan il par rapport aux surfaces S était un plan P. Si la sur- 
face S touche !•■ pian II, le poinl de contact décrira li droile A intersection des plans n el P. 

Celte droite A rencontre D el se trouve dans un plan n tangent au C(\i)C. Donc, lorsque n varie, la droite A 
varie en rencontrant I) et en étant tangente au cône. 

Par un point quelconque el la droite D passe un plan qui coupe le cône C suivant une cnnique à laquelle 
on peut mener du |>oint donné deux tangentes. Il y a donc deux droites A passant par un poinl donné. 

Si l'on se donne arbitrairement une droite A, le plan 11 corruspondant n'est pas déterminé ; il est seulement 
assujetti à rrmienir la droite A. 

Si la droite A se déplace dans un plan fixe passant par I), elle restera constamment tangente à une conique 
fixe, section du cône C par le plan donné. C'est celle conique qui constitue l'enveloppe du plan II. 

ItrMARot'K. — Transformons la figure donnée par polaires réciproques. Au cône C correspiuiil une conique 
Cl et les surfaces S se transforment en surfaces qui passent par la conique Ci el une droile lixe Di, qui doit 
évidemment rencontrer Ci. 

Les rorrélntivc» des questions proposées se traitent très simplement sur celte nouvelle figure. Par exemple, 
étant donné un point (( il existe une seule droite is^ne de el rencontrant Ci et |)| en des points distincts 
m el n. Le Conjugué harmonique /> de O par rnpp'irl a m et n est un poinl (ixe qui appartient nux plans 
polaires de O par rapport à tontes les surfaces. 

L. BICKART. 



BOURSES DE LICENCE 



161 



BOURSES DE LICENCE PRÈS LES FACULTÉS DES SCIENCES (1900) 



Mathématiques. 

953. — On donne une parabole {V). Soie M (di ijoinl de cette convbe; soit N le point où la normale 
en M à In parabole rencontre l'axe de cette courbe ; soit M' le point symétrique du point M par rapport 
au point N. Quand M décrit la parabole [V), le point M' décrit une seconde parabole (P'). 

Soient A, B les points oii la tangente en M à la parabole (P) est rencontrée par les tangentes à la 
parabole (P') aux points oii celle-ci est coupée par la normale MN. 

Du point M' on mène de la parabole (P) les deux normales autres que la normale MN ; soient C, D les 
pieds de ces normales sur la parabole (P) ; soit E le point d'intersection des droites CD, MN. 

En supposant que le point M décrive la parabole (P), on demande Us lieux décrits par les points 
A, B, E. Démontrer que la droite CD passe par un point fixe. 



Soient a et p les coordonnées du point M, I et I' les projections des points M et M' sur l'axe de la 

parabole, et «', (i' les coordonnées du point M'. La construc- 
tion indiquée donne U' = 2 IN et l'M'— — IM; d'autre 
part, la sous-normale IN est égale au paramètre; nous avons 
donc a' = a +2/3, ^' = — ?. Le lieu du point M' s'obtient 
donc en remplaçant ot et p par a' — 2p et — '^t' dans 
l'équation de la parabole (P), ou par x — 2/; et — i/, ce 
qui donne 

(1) î/- — 2/w -+- 4/5^ = ; 

c'est une parabole égale à la proposée, et que l'on déduit de 
celle-ci en lui faisant subir une translation égale à 2/3 dans le 
sens Ox. 

Ce résultat était évident a priori; en elfet, soit Mi le symé- 
trique de M par rapport à l'axe de la parabole; le segment 
MiM' est parallèle à Oj; et a pour valeur algébrique 2/3. 

Désignons par M"(a", P") le second point de rencontre de 
la parabole (P) avec la noimale MN ; nous aurons les coordonnées de ce point en cherchant l'intersec- 
tion de la droite MN avec celte parabole et éliminant le point M'. Or l'équation de la droite MN est 



y 




^ 


/^^^ 


A/ 


^ 1 \ 
/ ' \ 


1 

1 / 


^"^ 

y 

X 


^^\ 


^^- i 


>iV:p") 







\ 1 


^ \ 
\ \ 


|i' j 






^ 


kM'(a'.|3'l 




>C\ 







elle donne x =v, — p\i., y = pn-p;^, et les valeurs de ^ji ([ui correspondent aux points M' et M" 
s'obtiennent en portant ces doux valeurs de .i- et y dans l'équation (1) et tenant compte de la relation 
p-— 2/3a ~ 0, pour simplifier le résultat ; nous avons ainsi l'équation du second degré 

a[Ji- H- (2a -\-p)\x •+• Ip — 0. 

P 
fini admet visiblement les racmes —2 et '—■ La luemièrc valeur correspond au point M', la 



seconde au point M" et les coordonnées de ce point sont a' = a- 



a. 



?' = P' 



<-f) 



Cela posé, les tangentes aux points M, M' et M" ont respectivement pour équations 



'^y -P'' -/''•' - f)' 



a'V — px — px' 4- 4p2 — 0, 



?"i/— yjx — /3»"-4-4/3'' = 0; 



IGi BOURSES 1»K LICIÎNCK 



les doux dernières s'exprimenl iminédialemenl à l'aide de a e( ^ et deviennent ainsi 

pi/ -+- pr -+- ;ji — 2;j- = 0, i i —/))>/ — /ji.r — ;3(ii* — 4/ji -h ;>') = 0. 

1.0 lieu du point A résulle de l'éliminalion de » et ? entre les trois équations 

i;/ — px —pi = 0, 'fiy-^px-^ /)» — 2/)^ = et '?' — 2/jï = 0. 

I.es deux premières, combinées par voie d'addition et de soustraction, donnent imnièdJMleinenl 

fi = - — et 1 — p — .1- ; l'équation du lieu di' .\ l'u découle, et s écrit, toute simplifiée, 

,2) 2i/ V — /J '+/*' = "' 

Le lieu du point B résulte de l'élimination do a et p entre les trois équations 

pj/ — px — pt = 0. >i a — p);/ — pxr — )t\ i- — 4/Ja -h p'^) = 0, et f.^ — 2pa = ; 

en multipliant la première jiar i et la retranchant de la seconde, nous avons de suite l'équation plus 

simple 

fjiy + ;)■' — 4/ja = 0; 

/j(4j- h- p) 



■ ) p 



6. = 



le calcul de i et de fc est alors immédiat et fournil les valeurs a = - , , „ 

ô 3;/ 

Le calcul total s'achève sans peine et conduit à l'cquation cherchée 

(3) 6yHx -+-/')— //(4a; -4- p)^ = 0. 

Pour traiter les autres parties du problème, nous partirons de l'équation de la normale au point cou- 
rant (x, y) delà i)arabole (P), nous exprimerons qu'elle passe au point M' (i-^^p, — i), et en portant 

v" 

dans la relation ainsi tiouvée .t = — i nous formerons l'équation aux pieds des trois normales issues 

2/> 

de ce point; nous aurons ain.>ii une ('quation du troisième degré 

y -ip[i,-p)y-^lp^^ =0, 

qui admcl i''vi(leniinf'iil la racine y = fi, et qui, par suite, s'abaisse au second degré 

V' + ^y - 2p^ = ; 

cette dernière équation fournit les ordonnées des points de rencontre de la droile CI) avec la parabole 
(P). Dès lors, soit ux -^- vy -\- ir = (• l'équation de celle droite: les y des points de rencontre de 
celte droile avec la parabole sont aussi donnés par l'équation 

«!/' H- 2/Jri/ -I- ipw = 0, 

et nous calculerons u. t\ »/• en identifiant les deux équations en y ainsi obtenues; en prenant v = p. 

f, 
nous avons r — -^i ir = — />-' ; l'équation de la droile (!l) e*l donc 

2/) .r — P) r- 'fiy — 0. 

11 est visible qu'elle passe par un point fixe, le point (p, 0). 

Quant au lieu <lu point de rencontre de la dmiie CD avec la normale MN, il s'obtient en éliminiinl 
a cl Ji entre l'équation précé<lente, celle de la nrurnale MN et la relation "' — 2/)i = 0. La première 

donne 'i = — i-^ , la seconde donne ensuite a = — — '- ■■!— ; l'équation du lieu est alors 

immédiate et s'écrit, toutes simidifications faites, 

(*) V' — Sy^-r — /')■' 4- 4/j(.r — p)' = 0. 

H n'y a jdus qu'à consiruire les courbes (2), .'t) et (4). 

La rourbe lij se construit immédiatement <lle est symétrique par rapport i\ (Ij-, admet la droite 



BOURSES DE LICENCE 



163 



X = p pour asymptole simple, 
ladroite y = pourasymplole 
double, touche la parabole (P) 

aux lieux points (-^ 

et est tout entière à l'extérieur 
de cette courbe. Elle est repré- 
sentée dans la ligure 1. 

La courbe (3) est aussi 
symétrique par rapport à Ox, 
tangente à la parabole (P) aux 
mômes points que la précédente, 
extérieure à cette courbe et tout 
entière à droite de la perpendi- 
FiK- !■ Fi^. 2. culaire à Ox, x = — p, qui 

est une asymptote simple de celte courbe ; elle admet un point double sur 0,l-( — ~-, 0) et deux 

branches paraboliques dans la direction Ox ; les deux tangentes au point double ont pour coellicieiils 
W2 





angulaires ± 



3 



Cette ligne est dès lors aisée à tracer (/îr/. 2), 



Pour construire la ligne (3), nous portons d'abord les axes parallèlement à eux-mêmes au point 
(/j, 0) ; l'équation devient ainsi 



r 



2,,.-7-^4-4/jj-' = 0: 



elle montre que la courbe a un point triple à l'origine et ([ue les trois tangentes en ce point sont confon- 
dues avec Oi/. Les directions asymplotiques sont y^ = et y = ± x\/2 ; à la première corres- 
pondent deux branches inlinies paraboliques dans la direction 
Ox; aux deux autres, doux asymptotes simples ordinaires 
(jui ont pour équation 

chacune d'elles rencontre la courbe en deux points cuntondus 
à l'inlini et en deux points imaginaires. Les branches parabo- 
liques sont asymptotes à la parabole y- — 2/J.r — 2p'- = 0, 
c'est-à-dire à la parabole donnée (P). 

La discussion de l'cquation bicarrée achèvera de nous 
donner la forme de la courbe ; nous voyons de suite que si a- 
est négatif, il y a une valeur positive de >/ et une seule, cl 
que si .T est positif, il y a ou 2 valeurs positives, le doute 
étant levé par la condition de réalité dos deux valeurs de ;/-', 
x^ — 4pa;'>0; celte condition fnuniii la valeur .r = ip, 
à partir de laquelle les quatre valeurs de y sont réelles ; 
entre OclAp, elles sont toutes imaginaires. 

La forme de la courbe est évidente après tout ce qui 
vient d'être dit (//f/. 3). 

lionnes solutions: MM. .1. Uuait; Y. I'kcobikii. à Toulouse: P. Tiuniin. 




un HOURSKs ni- licence 



Physique. 

954. — /." loiitjuiur du penilule siinrhronr il'iin pendule A rsl jttslc de 1 mrlre. 

Le pendule A nscillanl devant le balancier d'une horloge qui bal exnrlenient la seconde, un observe 
une coïncidence toutes les 495 secondes, le pendule A nscillanl un peu plus lentement que le balancier. 

Au même endroit, un baromrlre normal indii/iir nw hauteur de 75 centimètres, le mercure étnnt à 
20 degrés. 

(ht demande de calculer en dijnes la force pressante exercée en c- moment par l'atmosphère sur un déci- 
mètre carré. 

hensité du menure à 0° ;■'"■ rapport éi l'caii <i i ", 13, (i. 

Coefficient de dilatation absolue du mercure, (1,00018. 

La diiroe d"unn ocillation du iioiuIuIp A est 



'=^\/— 



.7 

Mais pendant 495 secondes le pendule ne fait que VOo — 2 ou 493 oscillations; on a donc, pour 
déterminer g, l'équation 



ttfo _ / lui 

193 " 'V ,/ 



.. . r.^X493"x 100 
d ou g = -~ 

.'195 
Tout revient maintenant à chercher le poids di- 7500'^'' de mercure à 20", lors(iue g a celle valeur. (>r 
les masses spécifiqnes étant inversement proporliounelles aux binômes de dilatation, on a, en désignant 
par X la masse spécifique du mercure à 20", 

_ I3,G _ 13,6 

*~ 1 +0,00018X20 ~ 1.0036 
Le poids de 7500"^' de mercure est alors 



.I.-D. UUI'AIT, à .\iguillon. 



Chimie. 



955. - L'ne dissolution de sulfite neutre dr smluiin est maintenue longtimps n rélitillilion arec de la 
fleur de soufre, puis filtrée, thins ta lii/ueur obtenue, on verse de l'eau de chlore, puis une dissidution de 
chlorure de bari/um 

On demande quel /apport il g a entre le poiil^ du précipité ohlrnu. et celui qui se produirait, ^i on 
recommenrait l'expérience arec la même dissolution de sulfite de sodiunt, mais sans la faire bouillir avec la 
fleur dr soufre. 

Premier groupe de réactions : 

SU'iNa' -4- S = S«0'^a^ 

S'O'Na' - 4C1» H iiH'U ^ 2S0*Nall -+- 8HCI, 
2S0',Nali JUaCl' = 2NaCI -' 2HG1 -I- 2S0'IJa. 
Second groupe de réactions : 

SO^Na' + CI' . il'O SO'Null . NaCI -i MCI. 
S(i'j\nH-(-HaCl' NaCl i IICl4-B0'Da. 



GÉOiMÉTRfE ANAI.YTInrE 16o 



(,e premier précipité est donc double du sccniid. 

On a supposé, ce qui semble sous-entendu dans l'énoncé, que les réactions étaient complètes. 

Si on les suppose incomplètes, mais que la môme quantilé de chlore agisse dans les deux cas, 
diverses solutions peuvent se présenter. Par exemple, si le chlore est strictement suffisant pour pro- 
duire complètement la seconde réaction, il n'y en a que le quart de ce qui est nécessaire pour produire la 
première et le premier précipité est moitié du second. 

Si la dose de chlore est moindre, le rapport reste le même. 

Si la dose de chlore est plus grande, le rapport peut varier d ^ à 2. 



QUESTIONS PROPOSÉES 



1016 — (Jri considère une droite fixe Us un point li\e li sur celte droite et un point fixe A en dehors de 
cette droile. 

1" Trouver réquatioii générale des cercles passant par le point li el rencontrant la droite (D) en un second 
point M où la tangente soit la druite AM. i.ieii des centres de ces cercles. 

'i° On associe ces cercles deux à deii.x de façon qu'ils soient orthogonaux cl on demande le lieu du second 
point de rencontre de ces deux cercles, l'équation de la droite qui joint leurs centres et son enveloppe. 

.1° Trouver l'équation de la droite qui joint les pôles de la droite (D) par rapport aux deii.x cercles envisagés 
et le lieu du point de rencontre de cette droile avec la ligne des centres. 

K. II. 

1017. — On considère une ellipse n,\e et un point .\t variable sur cette ellipse. Soient P, O, l{ les piuds des 
autres normales abaissées du point .M sur l'ellipse. On demande de trouver le lieu des centres «les sécantes communes 
à l'ellipse et au cercle circonscrit au triangle PUR. puis de trouver le lieu du centre et l'enveloppe de ce cercle. 

Balab.kn. 

4 



DEUXIEME PARTIE 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



937. — pur un point V\<i, In pris it l'intérieur d'un anijle dmit ijO.r mi trace une droile arhitrairc .MN 
qui rencontre Ox en M et 0;/ e,i N. Par ces points on fait passer une circonférence (C) urthoijonnte <> la 
circonférence de centre et de rai/on OV. /.a circonférence (C) coupe Ox emm second point P, et Oij en 
un second point Q. 

Cela posé, si on fait tourner MA' autour de F on demande : 

i° L'enveloppe de la droite Pu ; 

2° Le lieu du centre du cercle C) ; 

3° Le lien du point de rencontre des droites M.\ et PO; 

4" L'enveloppe de lu polaire du point par rapport à la circonférence (Cj, et le lieu des points où se 
rencontrent deux polaires qui correspondent à deux droites MN rerlanfiulnires. 

Soient (x — a)cosç.-f- (i/— // sin -^ — U et uu -f- u;/ -f /r = les équations des dou.v droites 
M.N et PQ. Le cercle passant aux quatre points .M. N, P et Q aura une équation de la l'orme 

[{x — a) cos -f -(- (y — h) sin o](mj- -î- cij ■+■ w) r+ i'/.xy = 0, 



tfifi 



GKOMETHir. ANALYTIQUE 



en donnant à >. >'. v. ir des valeurs convenables, (ir en cxpriniaiil d'abord que l'équalion représente un 

cercle, nous trouvons de suite n = sins, v = coso, 2X = — 1; le 
coelTicienl de x'-t- y^ est sin tp cos o, le terme constant. 

— w{n cos o -4- /; sin ç) ; 
par conséquent la liiiissanco de lorigine par rapport à ce cercle est 

— IV {a cos o-hb sin o i 




sin o cos o 
■t, en écrivant qu'elle est égale à a* -+- A', 
(a* + /y-isinocoso 



(j cos •- '' sin ti 



ou 



nous aurons »/•, 

— c- sin 9 cos ^ 



n cos f -t- I) sin -j 



en posant c- = a- — //-. 

1" L'équalion de la droiti' PO est alors 

7 cos a 



•'' sin ocos o 



./• sin <; 



= 0, 



n COS o H- 6 sill 

et l'équation de son envelo|)pe s'obtient en considérant celle de la droite coiiiine homogène et du 
second degré en cosç et sin o et écrivant qu'elle a une racine double. Ce calcul donne immédiatement 

(I) Inx-^ h]i — i-'^f — inbxy — 0, 

équation qui représeiiie une parabole tangente aux deux axes ; la corde des contacls ))asse au point F 
et est perpendiculaire à OT ; il en résulte que ce jioint est le foyer de la parabole. Il serait aisé de 
trouver les autres éléments de cette ligne. 

2° Le? coordonnées du centre du cercle (C) sont données par les forniiiles 

1,0 cos o 4- 6 sin o) sin o — iv cos ^ 

X = '■ — : — '■ » 

2 sin ocoso 

(a cos !i -(- <» sin o; cos t. — w sin o . 



!/ 



4 



2 Sin o cos 3 



en V remplaçant w par sa valeur, puis posant / = tgs, elles prennent la forme 

x = 
(2) ' 



.'/ = 



'Ma -^ ht) 



2/fn ■+■ bt) 
Ces deux équations représentent une cubique dont les trois directions asymptotiques correspondent 

aux valeurs de I égales à 0, x et — ■ l'onr l'instruire celte ligne, nous supposerons, ce qui est 

li>ujourspermis, sauf quand <i=li, (|ui' n et '( soni 
lousdeuxpositifsetque a est plus grand que tr. nous 
aurons alors le tableau ci-contre renferniant les 
\aleurs principales des fonctions .r et y et donnant 
la forme générale de la courbe. 11 reste mainlcnanl 
:> trouver l'asymptote ((ui correspond à la valeur 

l'I ;\ placer la courbe par rapport ii sesasymp- 

li'les. Son coellicienl angulaire est la limite de 



( 




■r 


— X 




— X 


a 




— X 


I, 




->rx 


(1 


a 

1 


r} 


-t- « 




-4- X 



c» 



■ili 



V ■ . " . 

■^ quand ' lend M-rs ;-; c est 

r b 



-7-- L'i>r- 
n 



diinnée à l'origine i-sl. dans les mêmes ronditions. 



la limite de 



7 -H y -r; c'est 



—r-^ de sorte quecellc asAnijilole a pom l'ipialiiin <i.r -\- hy — — = 0, 



GÉOMÉTHIE ANALYTIQUE 



167 



oUe est perpendiculaire à OF et passe au milieu de 01". Les segments OA' et OB qu'elle intercepte 

sur les axes ont respecliv(jment pour valeurs 

et — — : ils servent à construire les deux 




2o 'ili 

asymptotes parallèles aux axes et dont les équations 

'/ '■- b c- 

En cherchani les signes des trois fonctions 



sont 



nx 



+ '>y-~- 



(;2 



c- 



respectivement au voisinage de 



/ = --. < = 



et 



t =^ X . 



.1- sin o + 1/ cos o 



nons aurons la position de la courbe par rapport à 
chacune de ses asymptotes Cette ligne est ensuite 
aisoe à tracer. 

3" Pour avoir le lieu du point de rencontre des 
droites MN et PQ, il n'y a qu'à éliminer cos ç et 
sin 'f entre les deux équations 
c^ sin o cos =i 



= 0, 



«); 



a cos Cf. -4- 6 sin o 

{.u — a I cos ç. -r- (y — i ) sin 'j ^ ; 

celte dernière donne de suite des quantités proportionnelles à cos o et sin f, y — b et 

en les portant dans la première, nous avons immédiatement l'équation du lieu 

(3) [y{y — b) — x{x — a)](ay — hx) + c'Hx — '<)()/ — b) = 0. 

Celte équation représente une cubique qui admette point ¥{a, b) comme point double. En portanl 
les axes parallèlement à eux-mêmes en ce point, l'équation se simplifie et devient 



'4j 



[ay — bx){y- ■ 



ab(x'^ 



= 0. 



Le point F, origine actuelle, est un point double isolé : les directions asymptotiques sont OF et les 
deux bissectrices de l'angle des axes. Cette courbe est aisée à construire en posant y = ix et en 
exprimant x et y en fonction de (. 

A" Nous avons trouvé pour équation du cercle (C) 
sinocosç(.r' -i-y'' -+- o-i — Tfacoso + Asin<p)sino — wcosojx— [(a cos» + 6 sin -f) cos ? — wsin o];/ = 0. 
La polaire de l'origine par rapport a ce cercle est donc 

Ja cos ç -(- A sin ti)sin -i — ir cos sjx -4- [(a cos o + ft sin s) cos -^ — w sin -i ;i/ — 2c' sin » cos o = 0, 
ou xxt,-h !/!/„ — c- = 0, en appelant x^ et ;/o les coordonnées du centre du cercle (C). Cette dernière 
équation nous montre que la droite considérée est la polaire par rapport au cercle fixe x' -+- i/' — .■* = 
du centre du cercle (Ci, propriété évidente n priori si on se rappelle que l'axe radical de deux cercles 
orthogonaux est la polaire du centre de chacun d'eux par rajtport à l'autre. L'enveloppe de celte droite 
est donc la polaire réciproque du lieu du centre du cercle (C) par rapport au cercle fixe, et les proprié- 
tés de cette enveloppe peuvent se déduire de celles du lieu (pii a été étudié antérieurement. 

Pour étudier directement cette enveloppe, on posera de nouveau / = tg o ; <>n aura pour équa- 
tion de la droite mobile, 

[t{a -+- bt)^ -+- cH]x -t- [{a -+- hlY ■+■ cH^]y — icU{a ■+ bt) = 0, 
puis on exprimera que cette équation cubique en / a une racine double, ou bien on prendra la dérivée 



1B8 



(lÉOMÉTHIt \\AL\ ilULE 



par rapport ;i /, on la joindra à l'iM|iiation précédente et on résoudra par rapport à j- et à 7. Ces deux 
calculs offrent peu d'inlérét. 

Pour obtenii' le dernier lien, dési;inons par / l'I // les coordonniM's du ])uint où se ri'ucontrenldeux 
polaires (]ui correspondent à des droites MN rectangulaires, et exprimons que la polaire courante passe 
en ce point; nous aurons pour déterminer I une équation du troisième degré el nous devrons exprimer 

que le produit de deux de ses racines est égal à — I. Or le produit des racines est - — — ^ donc il 

sullil d'exprimer que la valeur de lune des racines de l'équation cubique en / esl -j/ • 

On trouve ainsi par un calcul facile, et après suppression de la solution étrangère ;/ = 0, 

t'e dernier lieu esl une ellipse qui passe à l'origine. 

Comme exercice, nos lecteurs feront bien de traiter à nouveau el complètement le cas où a = h. 

Rf.marqui's. — M. Hioux neniploie pas l'équation du cercle passant aux quatre points .M, N, P. Q : 

n H- bl 
il remarque simplement que OM.OI' r= GN.QQ = <■-, et, comme o .1 = n -hl>i, ON = ^ il 

on déduit (le suite DP el OQ, en fonction de /. par suite, l'équalion de P(J, puis son enveloppe. Il 
montre aussi que a.OP -h b.OQ — '-, que l'angle PFn est droit, toutes remarques qui conduisent 
imiuédiatement à la solution des premières questions. En outre, les coordonnées du centre du cercle 

DP -I- O.M OQ -I- ON 



sont immédiates : ce sont .1 = 



.'/ 



2 



Solution géométrique. — 1° (^omme on a 

ÔM.ÔP= "ON. (5g =,<2 + fci. 
les quatrièmes sonuiiets L, K des rectangles OM.M., OPQU sont les pôles des droites PQ, .MN par rapport au 
cercle lO). 

De la relation évidente HM.K.N = 011. UK, on déduit, d'autre part, que le lieu du |K>inl 1. e>t l'hyperbole 
équilalére {H, d'asymptotes Fit. FK, qui passe en •>. 



La droite Pu enveloppe la polaire réciproque de (II) 



droite! I.l' el .MN, uu Cl 
l'autre. 



(/e?t la parahulc (P) tangente aux axes en leurs points 
(le rencontre .A, It avec la tan- 
gente en F au cercle (<>). Celle 
parabole a évidernincnt pour 
foyer le point F. 

2" Si C. est le centre d'un cer- 
cle (('.) de rayon p, la droite 
('.F rencontre à nouveau le cer- 
cle (0) au point (i, tel que 

CF. et; = ,s'. La polaire du 
point I' dans le cercle (C), 
droite |>crpendiculaire à .FG, 
s'obtient donc en joignant ('• 
au point F" diarné-lralement 
opposé a F. 

Le point de rencontre L de 
celle droite el de M.N', conjugué 
harmonique de F par rappurl à 
MlN, esl sur (IF' svnièlriquc de 
• •F par rapport aux axe». (In 
voit ainsi la correspondance des 
cl Cl) ,t) milieu de MN d lu •unslruction suiiple (pii permet de passer de l'une à 




GÉOMÉTRIK ANALYTIQUE 169 



Or le point D a pour lieu une hyperbole (H') honiothétique à (H) dans le rapport — , et l'enveloppe des 

droites DC est l'antipodaire de cette courbe par rapport à iin de ses points F C'est, comme on sait, la polaire 
réciproque, par rapport à un cercle de centre F, de l'inverse par rapport au même cercle de l'hyperbole (H'). 

Celte inverse étant une cubique circulaire ayant pour point double F, l'enveloppe de CD est une courbe de 
troisième classe bitangente à la droite de l'infini, et ayant pour foyer le point F. Tout ce qui précède montre 
que les rayons CF, CD décrivent deux faisceaux d'ordre 1 et 3 rapportés projectivement. Le lieu complet des 
points C est donc du quatrième ordre. Cependant, les rayons coïncidant dans une de leurs positions (perpendi- 
culaire FT abaissée sur OF'i, le lieu des centres se décompose en la droite FT et une cubique (r). 

La construction indiquée plus haut montre qu'il n'y a qu'un point de la courbe sur toute droite passant 
en F. Le point F est donc double. D'ailleurs, le point C ne vient en F que si les droites MN et CD coïncident, 
ce qui exige que MN passe par un des ombilics du plan, 1, J. MN et GE (perpendiculaire à CF) ont visiblement 
des directions conjuguées dans l'angle FOF', par suite CF et CD dans l'angle AFT. Il en résulte que les tan- 
gentes en F à la cubique (r) sont les conjuguées Fi, Fj des droites isotropes FI, F.l dans l'angle AFT. Le point 
C s'éloigne à l'infini, soit lorsque CD s'éloigne à l'infini, soit lorsque CD et CF deviennent parallèles. On en 
conclut que les direclions asymptotiques de (Tj sont Ox, Oy, AB. 

.3° Le lieu des points de rencontre S de MN et PQ, rayons homologues de faisceaux d'ordre 1 et 2, est une 
cubique ayant F pour point double. Les tangentes en ce point sont les droites isotropes, car FI, FJ coïncident 
avec leurs conjuguées, issues de F, par rapport au cercle (0). Enlin, les directions asymptotiques de la courbe 
sont les bissectrices de l'angle xOy et la droite OF, car MN ayant une de ces directions, PQ lui est parallèle, 
ou s'éloigne à l'infini. 

4° Les cercles (0) et (C) étant orthogonaux, les polaires du centre de l'un par rapport à l'autre sont confon- 
dues avec leur axe radical. 

L'enveloppe de cet axe est donc la polaire réciproque par rapport à (0) de la cubique (r), lieu du centre C. 
C'est une courbe (1) de troisième classe, admettant pour tangente double la droite AB, et pour tangentes sim- 
ples les droites Oj;, Oy, OF. 

Au lieu de chercher le lieu des points de rencontre de deux polaires correspondant à deux droites MN rec- 
tangulaires, on peut se proposer de trouver l'enveloppe des droites joignant les centres des deux cercles (C) cor- 
respondants. Il suffit, pour y arriver, de faire une transformation homographique qui amène les points imagi- 
naires 1, j aux points cycliques I, J (en réduisant par exemple les ordonnées de la figure dans le rapport de 

, 6- ' 

I à —7). A deux droites CD rectangulaires correspondent deux droites CF conjuguées par rapport à Oi. Oj ; 

elles deviennent donc rectangulaires après la transformation. La cubique (V) se transforme en une cubique (!"'), 
qui a en F un point double à tangentes isotropes, et qui passe par les points à l'infini sur Ox, Oy, OF'. Le pro- 
blème revient à chercher l'enveloppe des cordes de la cubique vues du point double sous un angle droit, ou, ce 
qui revient au même, le lieu des sommets des angles droits circonscrits à la polaire réciproque {ï,') de (F') par 
rapport à un cercle de centre F. 

La courbe (S') étant une bypocycloïde à trois rcbroussements (elle est bitangente à la droite de l'infini aux 
points cycliques) tangente aux droites FH, FK, FT, le lieu cherché est, comme on sait, le cercle tritangent à la 
courbe, lequel passe en F. 

L'enveloppe des cordps de la cubique (r') est donc une parabole Iritangente à celle cubique et ayant pour 
foyer F, et la polaire réciproque de la transformée homographique de cette parabole est le lieu du point de ren- 
contre des polaires correspondant à deux droites Mi\ rectangulaires. C'est une conique passant en 0, tritangenle 
à la courbe (S), et passant par ses points de contact avec AB. 

VASNIER. 



966. — Soienl h; point de rebroussemenl d'une cardmide et M un point quelconque de cette courbe ; 
soient en outre P In projection du point M sur t'axe de In cardioide et C te symétrique de par rapport 
à P. 

Trouver et construire les courbes suivantes : 

1° L'enveloppe de In droite MO'; 

2* Le lieu de la projection de sur MO' ; 



170 GÉOMÊTRIi: ANALYTlUUE 



3* Le lieu de l'orlhocenlre du triangle OMO' ; 

4° Le lieu du centre du crrcle circonscrit à ce Irinufjle. 

V L'équation en coordonnées polaires de la cardioïde est p — R(l + ces <•>) ; par conséquent les 
coordonnées d'un point M quelconque de cette lourbo sont 

X = Rcos (.i(H-cos to), 

y = Ksinu)(l ■+■ cos w), 
et rabaisse du point 0' est 

00' = 2RC0S <o(l-4-COSto). 

D'autre part, le coefOcient an<îulaire de MO' est visiblement égal et de signe contraire au coefficient 
angulaire de MO. L'équation de MO' est donc 

y = — tg bi[x — SH cosiufl -4- cos tu)], 

on .!• sin "> -+- y cos w — 2H sin <o cos (u(l -(- cos <o) = . 

Pour obtenir lenveloppe de cette droite, il faut adjoindre à son équation la dérivée de cette équation 
par rapport à lo et résoudre ensuite les deux é<iuations ainsi obtenues par rapport à x et à y, ou bien, 
plus rapidement, diviser successivement l'équation de la droite par cosu< et sincj et prendre ensuite la 
dérivée par rapport à to ; on trouve ainsi isolément les deux valeurs de x et de y 

l ï = 2Rcos= to(costo -i-cos2to), 
/ y = il\ sin* to(sin to -+- sin 2io). 

2* La perpendiculaire abaissée de l'origine sur la droite MO ayant pour équation — 



sm 10 ces to 

nous aurons le second lieu soit en éliminant cos «o el sin<o entre cette équation, celle de MO' et la rela- 
tion cos- to -+- sin- to = 1, soit en résolvant les deux équations par rapport à a: et à ;/. Ce dernier 

procédé nous donne 

i jr = 2R sin' lo cos tofl -\- cos to), 

(2) 

' 1/ = 2Rsinto cos- to(l -1- costo). 

3" L'orthocentre du triangle MOO' est le point de rencontre des droites x = R cos io(l -i- cos m) et 

= —- — ■> ses coordonnées sont donc 



sin 'u cos (o 

!a; = R cos '<•{{ -+- cos to), 
j/ = H — : (1 -+- cos to). 
Sin (o ^ 

Ce sont les équations paramétriques du troisii'-nie lieu. * 

'fKnlIn les équations parauiétriipiesdu qiialrii'ine lieu s'obtiennent en chercliant le p<iint de rencontre 
de la droite Ml' avec la perpendiculaire éleviîe au milieu de O.M. e'est-à-diie en ii>s(ilvnnt par rapport 
à X et 7 les deux équations 

X = Rcos(o(l -f- costo) 

el cos lui j cos'ofl -• cos'o) I sin '"II/ j sin io(l t- cosioM = ; 

Celte dernière équation ae simplifie et s'écrit j cos lo t- y sin to ^ (1 -f- cosm) := 0; en y poi- 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



171 



tant la valeur de .r, on trouve aisément celle de y, et les équations annoncées sont 

X = R cos w(l -I- cos < 

(4) ] R cos 2a)(l -H cos (o) 



y 



Isintu 



Reste maintenant à construire les diverses courbes dont nous venons de trouver les équations. 

Pour construire la courbe (1), nous remarquons d'abord qu'il sufût de faire varier •<> de à it, car 
en changeant w en — w, x ne change pas et y change de signe ; ce résultat indi [ue une symétrie 
par rapport à Oj,- et permet de réduire de moitié l'intervalle dans lequel nous devons faire varier w. 

Dans l'intervalle (0, ti) y s'annule trois fois: pour (0=0, m— — - et «> = ti ; a; ne s annule 

que deux fois : pour lo = -^ et (o = tt. 

Les dérivées de r et de y par rapport à w sont 

x' = — 2R sin w cos u>{9 cos^ w + 3 cos w — 2), 

1/' = 2R sin- io(8 cos- o> + 3 cos w — 2) ; 
elles s'annulent en même temps pour les valeurs de w fournies par les équations cos =< = ^r- 



et cos ^ = 



3 — v/73 
IG 



Il faut maintenant classer les diverses valeurs de <» ; or ceci se fait aisément, car on a de suite 
-3 + ^/73^ I _.__._. ^ ^ _-.... .,„„ 3^-^7-3^1 _ _fi^,,,^; 



P> 



16 

2u 



1T 

3 



< — c'est-à-dire cos a < cos— ou »>-;- ; et de même " '.''" > ^ ou cos p< cos 



1« 



Dès lors, rien n'est plus simple que de construire le tableau des variations de x et de y, puis 



d'en déduire la lorme de la courbî (/?</. 1). 



(0 


x' 


X 


y' 


y 








4R 








— 




décroît 






Y 


— 





-; 


croît 




décroit 






a 





min. nég. 





max. pos. 




_J_ 


croît 




décroit 


"2" 






décroît 


— 


2K 
décroît 


2t. 
3 


— 







décroît 


'? 





min. nég. 





min. nég. 




-+- 


croit 


-+- 


croît 


- 


u 





u 







17Î 



EXAME.NS ORAUX DE 1900 (ÉCOLE CENTRALE) 



La courbe (2), de nK'-nie que 
la précédente et ([ue les deux 
î^uivanles, présente une symé- 
trie par rapport à Ox, et pour 
la construire , il sulfit encore 




Fig. 2. 

de faire varier to de à r. 
Dans cet intervalle, les fonctions 
xelj/ s'annulent trois fois, pourO, 

-^ et :t. 

Mais le plus simple est de 
prendre pour paramètre cosi» = / cl do faire varier t de 
en se bornant à la valeur positive de y, 

X = miH — t')(^ + 1), 



l 


x' 


X 


y' 


'7 


y' 

x' 


— i 








(1 


(1 
croît 


X 


i — ^/STt 


— 


décroit 


U 


max. pos. 




« 













décroit 




i - ,'n 





min. nég.. 


— 




« 


8 








croît 











-+- 



croit 





min. = 





1-4-v/n 





max. pos. 
décroit 


+ 






8 






1-t- ^m 


— 







max. pos. 




8 











— 


décroît 




l 












00 



1 à -t-l. On a ainsi successivement, 



puis 



y = 2IU>(1 -H 0/1 — «S 
x' = 2R(/ + l)(- 4/^+^ + 1), 
2Hi 



.'/ = 



,((_Hl)(_4,2 + /-4-2). 



v/1 - /«' 

Il est alors aisé de construire le tableau des vai iations des fonctions .r et y et ensuite de tracer la 
courbe (/iy. 2). 

On suivra le nii''ine procédé jiDur conslruiri' les niurbcs i3) et (i). 



QUKSTIONS POSÉES AUX EXAMKNS (HiAlX 



HCOLK CKNTMALK (liK)O, Snilfi). 



Géométrie analytique iM. fiociiLY). 

Gfométri'' nnahjlxqiie ii <ii-\ix (timemions . 

1604 . — Inicrprétor IV-qunllon jr» -f- |>* = (x cos i -4- (/ Ain «)'. 

lOOr» — LoiiKiipiir <l« In liingontf mi-n/o rliin polnl (.r„. i/J nii «(Trie r' -( i/' — B' = «. 

1600. — l.leii flci rentres rie» ci'rrlcs Inngonl."! ii mw tlroiic dniiiire cl roiipiinl un rerrlo clonni"' suivant un «llnmètre. 

1607. — l.lcu dea points ^iiuldlslnnts d'un cercle f\ d'une droite. 

1608. — On donne un point et une droite D, p.irnIIMo ii Oy On joint le imiiit ii un point A de In ilrolle D et on 
prend Mir OA le point M tel (pie ÔM ÏÏÂ = l». Lieu du polnl M. 



EXAMENS ORAUX DE 1900 (ÉCOLE CENTRALE) 173 

1609. — On donne un cercle et un point A sur ce cercle. Par le point A, on mène une corde variable AB et on prend 
sur cette corde le point M tel que AB x AM r= t\ Lieu du point M. 

IGIO. — Les données étant les mêmes que précédemment, on prend le point M, tel que AM X MB = /.'. Lieu du 
point M. 

1611. — Construire les courbes 

x^- + i X'' — 4 X-— l 

v = x2— 4x + 3, y = —, — r" y = -zi — T' y = 



X- — 1 x^ — 1 X* — 4 

x' + i .E-" + 1 1 X 



y = — -• y — -———, y=x + —, y: 



X— \ X + 1 X x'— i 

1612. — Construire les courbes 

y = v'o- — £j y — x± v/a'- — x'^ y = x± >/ {i —x){l -h x), 

y — x±^{x— \)fx + i], y= x±<J(x''+ 1, y = x± ^x- -t- x + l, 

y = X + l± v'.P~+T, y = X ± t/ix ■+- 6)5 ± a-, y = .t- ± v'i — a^S 

, . , /' x — l . I X — 1 



y 



/ x'-- \ . / X^-i . / (X-l)(j-2) 



y=yx\ !/' - a;i/ + !_=: 0, y'' — x^ - x, y=x^±yx^, y'-hx' = x, 

y' — x'-t-c = 0, y = xàzMx-, y —x[x^ + y-), x- = y^—l. 

1613. — Asymptote de la courbe 2x-y + y^ —x = 0. Construire cette courbe. 
161^. — Construire les courbes 

;/* -I- \/x- -+- y' + a = 0, ;/ = \/l — cos x, y = ± y'i —2 sin x-, y^ = L,r. 

1615. — Construire les courbes 

1 1 1 

P := 1 p = > p z= 1 p ^ cos u, 

cos w a cos M + 6 sm u cos u + 2 sm u 

11, k 

p =: Kw, p = • 



= 1 



1 — cos (.1 '2 — cos w 

1 



1 — w w — 1 

IGIG. — Distance du pôle à une droite en coordonnées polaires. 

1617. — Simplifier les équations 

2x2 _)_ xry ■+■ Hy- + x = U, 2x- + 'txy + !/'■ + x ;= 0, 

parla transformation des coordonnées. 

1618. — Faire disparaître le terme en xy dans l'équation 

x' -+- Xi/ -h î/- — ft' = . 

1619. — On donne l'équation h'x^ + a'y- — a'6* =: 0, les axes faisant un angle 9 ; longueur des axes. 

1620. — Mener par un point une normale i\ la parabole. 

1621. — On donne deux axes O.r. Oy, un point A sur Ox, uu point B sur Oy. lîquatior. générale des coniques 
passant par 0, A, B, et pour lesquelles la polaire du point (a, 6) est parallèle à AB. 

1622. — On donne deux droites parallèles. — Ei[ualion générale ilos coni([ues tangentes à ces deux droites. — 
Peut-on avoir dos paraboles ? 

1623. — On donne une parabole et un point M sur cette parabole. — Equation générale des cercles tangents en M 
à la parabole. 

1<>24. — Combien font de conditions une asymptote, deux asymptotes, deux directions asymptoti(iues ? 

l<>2ô — Kiinatioii d'une liyperbole asymptote ii l'axe des x, ayani pour directrice la droite y = iii.v et passant par 
un point donné. 

1626. — l'eut-on construiie une hyperbole équilatère connaissant une tangente et le point de contact.' 

1627. — Construire une hyperbole équilatère connaissant le centre et deux points. 

1628. — On donne un cercle, un diamètre BA et une corde parallèle CD. — Kquation de l'hyperbole équilatère qui 
passe par A, B, C et D. — Lieu des sommets (|uand CD varie. 

I62tt. — Con>^truire une hyperbole connaissant trois points et une asymplote. 

1630. — (.onstruire une hyperbole coiinaissant trois points et les directions asymptotiques. — Equation de cette 
hyperbole. 

1631. — Equation générale des paraboles circonscrites ii un triangle. — Combien de ces paraboles passent par un 
point donné du plan? — Angle des axes de ces paraboles. — Lieu des points pour lesquels les doux paraboles ont leurs 
axes rectangulaires. 

1632. — Tonslruirc une p.iraboli' connaissant ili'ux points cl la direrlion des diamètres. — Le problème est-il 
possible ? Construire une parabole connaissant trois points et la direction des diamètres. 



t74 EXAMENS ORAUX DE 1000 (ÉCOLE CENTRALE) 

lU:i3. — Construire une parabole coniiaissiinl le fo;or F et deux points. — Kqualion île cette iiarat)ole. — Calcul du 
païamotre. 

lU:)^. — Construire une paraliole connaissant une lan^îente, le point de contact et deux autres points. 

I(>:i.">. — Equation d'une parabole tangente à Ox en un point A et a>ant son foyer sur une droite AI) donnée. — Les 
polaires de l'origine par lapport à toutes ees paraboles passent par un point fixe: quel est ce point .' 

1636. — Equation d'une parabole de paramétre donné tangente aux axes. — Lieu du foyer. 

ir>:i7 — lieu des foyers des paraboles qui passent par un point llxe et admettent pour direririce une droite donnée. 

l(>:tS. — Lieu des foyers des coniques qui admettent une dirceliiciMlonnée et qui passent par deux points donnés. 

16'.}!». — Interpréter les équations PQ-i- XRS = 0, IMJ -{- aK = 0, l'y -t- V, = 0. 

164U. — Pour quelles valeurs de X les équations 
1= — 2.r!/ + y' -1- .r -H }/ -I- ). = 0. x' — ixy — j/-' + .r — y 4 ). = d. 2.r' — 3X1/ + Sy' -t- r).r + ;/ -l- X = 0, 

représentent-elles les coniques réduites à deux droites ? 

1641. — Equation quadratique du faisceau des droites qui .joignent l'origine aux points d'intersection des deux courbes 

x* m' 

__.__,=„, ,= + j,._K= = u. 

1642. Sécantes communes aux coniques représentées par l'équation x' + y' — It- + Xyx — o) = 0. Voir à priori que 
l'équation en X doit s'abaisser au second degré. 

1043. —Même question pour les coniques x' — y* -t- X{x — a){y — 6) = 0. Prévoir la racine nulle et la racine infinie. 

1644. — ijuels sont les points communs il toutes les coniques représentées par l'équation x' + j/î — R' -(- 2\xy = '? 
Equation de la polaire d'un point (a. ,3). — Cbercher le point commun à toutes ces polaires. 

1645. — On considère les coniques représentées par l'équation .t' -h j/' — R* + 2Xx(.v -+-c) = 0. Lieu des centres. 

1646. — Etudier les coniques 

II' — 2px ■+■ 2Xxy = 0, v' — 2px -+- X(x' — y'—a') = D. 

x^ y- 

1647. — Equation générale des coniques passant par l'intersection de l'ellipse ~ï""*""r; — 1=0 avec la droite 

y ■=. mx -(- h. — Exprimer qu'une pareille conique est un cercle. 

1648. — On considère le cercle .r«-+- y' — U' = o et la tangente en A à ce ceicle. — Equation générale des coniques 
tangentes au cercle en A. — Exprimer que ces coniques sont des paraboles. 

1649. — Equation générale des paraboles bitangentcs à l'ellipse "T"*" i 1 = 0, la corde des contacts étant 

y—q=. mix — p). 

1650. — Equation générale des coniques inscrites dans un parallélograuime (axes de coordonnées parallèles aux côtés 
du parallélogramniei. — Montrer que ces coniques ont pour centre le centre du parallélogramme. 

1651. — On donne un cercle, deux axes rectangulaires ne passant pas par le centre ; on demande l'équation d'vme 
droite AU menée par l'origine telle que OA ^011. — Kc|iiation générale des coniques passant par A et B. 

1652. — Propriétés communes aux coniques 

(1 — m')x* -(- .(/' -r- 2mr.r — r' = 0. 
I6Ô3. — Sécantes coumiunes ii deux coniques ayant un foyer commun. 

1654. — l'oints communs a deux coniques ijui ont une directrice commune et même excentricité. 

Géoiiiilrie analfilique à irnis dimensions. 

1655. — Equation de la droite d'intersection des deux plans 

2j' -+- :)y — 43 -+- ;i = (I, .r — y -t- I = . 

1656. - Par la droite .r = n;-t-p, y=bz-^-q, mener un plan perpendiculaire au plan m.r-+- ni/ -t- ji; = 0. 

1657 . — .\ngle de O; avec le plan 2x-t-3i/-4-4z— j =0. 

1658. — KisUince de lorigine à la ilroite x = as -+- 6, ;/ = cï H-d. 

1659. — Uistince de l'origine à la droite mx -4- ny -4- ps -t- g = 0, m'x 4- n'y ■+■ ;)': -hq' = 0. 
KS60. — Plus courte distance entre t): et la droite .;■ — ai + p, y = bz -h q. 

HHH . — Lieu des points équidistants de O.r et du point a, 'fi, y. 
16<'.2. — Lieu de.<> points étiuidistants d'une sphère et d'un plan. 

1663. — longueur de la tangente menée d'un point (j„ y,, z,) il la xpliérc xi 4- y' -t :■ — R> = (i. 

1664. — Lieu des points il'oi'i l'on peut mener à deux ■.plicres des tangentes égales. 

1665. — Mener a In xplitre .r* -t- y' -t- :' - U' = " un plan tnigent par le point (x„, y., :„). — Enveloppe de tous 
ces plans tangents. 

1666. — .»lener par Ox un plan langent h la sphère (x — a)' -+- (|f — 6|» -+- (ï — c)' — R' - 0. 

1667. — Tangente en un point (x„ y„ s,) aux courbes 

) X' -»- y» — î = 0, ^ x* — y* 4- 1 = n, I oj* -I- fcy' -•- «s -*- rf = 0. 

j xy— î=0, (»• — 2px-n. ( o'x'-t-c'i = 0. 

1 668 . — Equation d un cône ayant pour sommet l'origine et pour directrice le cercle x' -t- y' — R' = 0, o\i l'ellipse 
b'x' -f- a'y' — a'b' = u dans le plan : = A. 



EXAMENS ORAUX DE 1900 (ECOLE CENTRALE) 175 

1G69. — Cylindre circoujciit h la sphère x2 + î/2 + s^ — R' ^ et de génératrices paialltles ;i la direction a, ?, y. 
HÎ70. — Cône circonscrit à la sphère x'-h y- -i- z- — R^ = et de sommet (,r„ ^o, Soi- 

^o-. n, ■ ■. • 1 r (a;— J-o)- , iy—y„\'- ^ {z - z^)- , „ . , . ,• • ■ 

1671 . — Cône circonscrit a la surface 1 r; 1 ^ 1=0 et ayant pour sommet 1 origine. 

a' b^ c- j r o 

1672. — Cône circonscrit à la sphère x^ -(- y-+z- — 1!" = ou à l'ellipsoïde —, + 'r: + -7 — 1 = suivant la 

fl- h- (- 

courhe de section par un plan P = 0. 

1673. — Equation de la surface engendrée par une droite qui se drplace parallèlement au plan des xy en s'appuyant 
sur 0: et sur la droite y = h, z ^ mx. 

1674. — Surface engendrée par la droite x := 0, : = my + h en tournant autour de Ox. 

1675. — Surface engendrée par la droite x =^ a, : = my en tournant autour de 0;. 

1676. — Surface cn^tendrée par la parabole y — 0, z- = ipx en tournant autour de O.r. 

1677. — Montrer que le cône xy + yz -^- zx ^^ est de révolution . 

1678. — (jue représentent les équations 

f(x- + y \ z) = 0, y = sZ-r- -h z' + 0, y^ = /r' + :- -^ c, y^ — {x' -+- 2») + c = 0, 

y' — ip^/x'-^-z-^^O, {x^-hy^i^—z = 0, a;» + 3'± y/x'— 1 = 0, x^+y--l=s/3, 

X- -h y' =z sin- z, j/- -t- 3- = sin^ j;, y = c^-^'-, y =z l{x^ + 2'). 

1679. — Faire disparaître les termes en xy, yz, zx de l'équation dune ciuadrii|iie par une tiansfoimation des coordonnées. 

.r' y- z' 

1680. — l'Ian tangent a la surface —^ + —— -t 1 =: parallèlement a une direction a, "i. y. 

a- b- c- 

1681 . — Sections planes de — --H-^zh 1=0. 

a' 6- c- 

1682. — On donne une surface x' — y' + z =^ 0. Etudier le plan diamétral des cordes de direction a, J5, y, et la 
section par ce plan . 

x' y' 

1683. — On donne la surface —z rr + * = "• Diamètre conjugue d'une direction de plan donnée. 

a* 

X- 11- Z' 

1684. — Sections circulanes de h 1 1=0. 

a- h- c- 

1685. — Equation générale des quadriques qui admettent pour plan diamétral le plan des xy . 

1686. — Combien donne-t-oii de conditions dans une quadii([ue en donnant: t" une génératrice, 2" un point, 3" un 
plan tangent. 4" un plan tangent et son point de contact. 

1687. — Combien de conditions en donnant: 1° une conicpi;. 2» deux génératrices de même système. 3° deux généra- 
trices de systèmes différents. 

1688. — Equation générale des quadrii|ues passant par 0: et la droite x = «, y := mz. 
168Î). — E(iuation générale des iiuadriques passant par Ox et tangentes au plan yOz. 

1690. — Equation générale des quadrlcjues admettant x^ + y- — R-= 0, z=k comme section circulaire. 

1691. — Propriétés communes aux quadriques f[x,y,z)+ X = 0. 

1692. — Interpréter les équations S -4- XPQ = 0, S -f- XP- = 0, S -1- ÀP = 0, PQ h- XR' = 0. 

1693. — Equation générale des quadriques bitangentes à S =: en ses points de rencontre avec la ilroite P = 0, 
U = 0. 

1694. — Intersection île deux quadriques tangentes en deux points. 

1695. — (jue représentent les écjuations 

a;'-4-î/*-i-3'— ()«j;-+-Kî/-Hps-Hg/ = 0, (ax+6y-)-M+rf)'±a;« = 0, z'+{y—x-i-z)- = <i, [f\x,y,z)\^ + [g{x,y,z)Y = <i, 

yz—x'=-i), a;.!/ + 1/2 -t- 2a; = 0, zx — y^ = 0, x--hy-±z=^0, .rj/ — 2' = 0, xy = z, 

z*~y' + x— 0, y- — 2xy -h z =. 0, {y — x)' + z' —2x = 0, {x + y){y + z) = z. {x -hy){y -i- z) + z - x = 0, 
{y—z)' — x^ = 0, ï'-t-(j;- j/)»-+-2 = 0, {y — zf — x' — l—O, x'--h(y — s) = 0, x^ + y' - zx + x + y=: 0, 

2x'-hy' + z^ —xy = 0, ix' -h y^ + z' — xy — 3x — 0, x° -h y'— zx—zy+ z =0, xy-hyz + zx— l, 

x^—yz+x-hy = 0, xy-\-x+y+z+l=0, x'—y'-^ax+byrhcz-t-d, x{az—cy)-{-bz—dy = 0, {ax+by)i-tcx+dz+y = 0. 

1696. — Cônes asymptotes des surfaces 

X- + y' — zx -^- X -h y = 0, xy — z' -h x +y -h : = 0, xy + y' -h z'' + Xx + y = û . 

1697. — Quand ). vaiie, iléterminer le lieu de l'intersection des deux plans 

1' (u- -I- Xy -t- c = 0, j ax-i- Xy =0, { ax + by -+- X = 0, i /x -+- my -t- "Kz -t- p = 0, 

( bz-h\x -t-d = 0; \ Ix + b'y -i-c'z -hd' = U; \ a'x + b'y^ 'i,z+d'z = U; \ l'x + \y -t-tn'z + p' = 0. 

1698. — Que représentent les équations 



y — X ±i </x- ■+■ a*, y = X + l ± \lx' -h zx-h l, y = x-h l± y /a;' -1- z', y — z + ldt ^{x — 2|(j + ;)-(- I, 

y = x+z- *-i±<Jx--i-z % y = z±</x' + y'-i-nx+b, y = x-i-l àz</x--hz'+i, y = z + l±<i/>xz — z' — ix'-hx, 

y = x±\/x' — z'+l. y = z + l±y/x^ — 2zx + 2z'-t- X, y = x±y/z'—U y = z-t-x ± y/j ' -*->x + 2, 

y = ar ± v^z' H- 1 . y = x±i/z -t-i, z = y±/r, y = x±^z— I , 

y^x±\/z, z =a;-t-y±v/j/-(-l, y=iX-^z±^z^ z := ma: -f- wj/ ± y/j/ -1- 1 . 



17G 



OUKSTKINS PROPOSÉES 



CONGO rus DR lilOO 



CONCOUHS GÉNÉRAUX KK UELGIQUE (ATHÉNÉES) 

Rhétorique des Humanités modernes [Section scientifique). 
Rhétorique des Humanités anciennes {Section latine). 



C',„,„ + I — C, 



m - A.n + I 



Mathêuatiques 
Trigonométrie. 

On donne deux côtés b, c el l'angle compris A d'un triangle rectiligne ABC inscrit dans une sphère de 
rayon R. 

Déterminer la surface du triangle sphérique ABC correspondant. Appliquer la formule au cas où H = /y = c= !■", 
A = 90V 

AIffébrc. 
Démontrer la relation 
m{m -+■ l)(»i -(- 2) . . . (m -f- » — 1 1 + („, — i ,»i(»( -)- 1) . . . (m + « _ 21 + 

+ (»i — k + l)(m— /i +2) ... (m — h -h n) = 

f* -I- I 

C',„.„ désignant le nombre de combinaisons avec répétition de m lettres n U n. 

Géométrie descriptive . 

On donne deux droites I et 2, la première horizontale, la deuxiènie de front. Construire les projections d'une 
pvrainide triangulaire ré^julière ayant pour hauteur leur perpendiculaire commune et 
dont la base a l'un de ses sommets en un point A donné sur la droite 2. 

Géométrie analytique. 

I. — Rfchercher les positions d'équilibre d'une niasse M d'électricité (positive occu- 
pant un point d'une ellipse mais assujettie à se mouvoir sous l'aclion de 2 masses m' 
et m" d'électricité de même nom, sans action réciproque et placées respectivement 
aux foyers f e\. f de la courbe 

HeMARQUt:. — On rappelle que les attractions et les répulsions électriques sont 
proportionnelles aux masses et en raison inverse des carrés des distances. 

II. — Un des sommets d'un parallélogramme circonscrit à une hyperbole se meut 
f ' ~»^ ' sur la circonférence ayant l'axe transverse pour diamètre et dans l'un des angles for- 
més par les asymptotes et comprenant l'axe imaginaire. Hechercher les lieux décrits par les autres sommets. 

N.-B. L.es élèves oui 6 heures pour faire leur traTall. 



*> 






'S 


\ 






\ 


Y 






.^ 



QUESTIONS l'HOl'OSÉES 



1018. — On considère une parabole (P) et un point .\. De A on mène les deux tangentes AD, AE àlacourbe 
(l), E sont les points de contact i, puis on considère leceiclc (C| circonscrit au triangle ADE et l'hyperbole équilatère 
(H) passant par A, 1), E et par le sommet de la parabole. 

Lieu de l'intersection M de (C) el (II) quand A décrit une droite. 

Enveloppe de AM dans les mêmes conditions. 

1010. — Etant donnés trois axes rectangulaires (i.r, (i./, (i;, trouver l'équation du conoide engendré par 
une droite qui se meut en «'appuyant sur I)j-, en restant parallèle à .'/U;, de fa^iin que sa plus courte distance 

A une droite donnée passant par 0, — = -j- = —, soit égale à une longueur donnée /. Sections par des plans 
parallèles aux plans de coordonnées. 



I.f Hédacleur-Géranl : II. VUIDEKT. 



tAR-L«-UI)C, M*. COHTI-JACOt-KT. 



11' Année. N" 8. Mai 1901. 



t 



REVUE DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES 



PREMIERE PARTIE 



SUR QUELQUES APPLICATIONS DES TRANSFORiMATIOxNS QUADRATIQUES INVOLUTIVES 

par ME. Duporcq. 



Une des leçons de Malhémaliques Spéciales inscrites au programme de l'agrégation porte sur les 
transformations quadratiques et leurs applications. Bienqu'il ne soit pas diliicile de multiplier les exemples 
d'applications élégantes de ces transformations, le suivant, où nous n'établirons d'ailleurs aucun résultat 
nouveau, intéressera peut-être les lecteurs de la Revue. 

1. Soient 

G = 0, G, = 0, G, = 0, C;, = 

les équations tangentielles de quatre coniques ; les coniques représentées par l'équation 

(1) XG -f- X,C, + Î^A + >-:.C3 = 0, 

représentent toutes les coniques harmoniquement inscrites aux coniques d'un faisceau ponctuel : 
celui-ci est constitué par les coniques harmoniquement circonscrites aux quatre coniques C, C,, G, et Gj. 
Or l'équation (1) peut, pour des valeurs convenables des paramètres À, représenter un système de 
deux, points, dont l'un arbitrairement choisi : ces couples de points constituant des coniques harmoni- 
quement inscrites aux coniques d'un faisceau ponctuel sont conjugués à toutes ces coniques : autre- 
ment dit, ils sont associés dans la transformation du second ordre qui a pour points doubles les points 
de base du faisceau ponctuel considéré. 

2. Supposons maintenant que les coniques C,, Cj et C3 soient inscrites à un môme triangle -jS-,-. 
L'équation (1) représente alors une conique d'un faisceau tangentiel défini par la conique C et par une 
conique quelconque inscrite au triangle «^y : les ombilics de ces faisceaux tangentiels constituent les 
coniques réduites à deux points représentées par l'équation (1). On voit donc que 

Deux oinhilics opposiis a et a' d'une cuniijue fixe C et d'une amique inscrite à un Iriamjle ap-( se 
correspondent dans une transfonnalion du second ordre. 

On peut remarquer que le point a et un point quelconque de fiy constituent une conique inscrite au 
triangle ap-c ; et il en résulte que si a vient en a, son correspondant a' est indéterminé sur ^y- ^*'* 
points a, f> et y sont donc les trois points siiKjuliers de la transformation (a, a'). 

3. Si le point a décrit une droite, le point à décrira donc une conique circonscrite au triangle a.i-(. 
Supposons, en particulier, que n décrive une tangente a à la conique G : le point a' sera alors un 
ombilic de C et d'une conique r tangente à A et inscrite au triangle «Py- Ce point viendra donc sur G 
lorsque r lui sera tangente : il sera alors le point de contact de G et de i". On voit donc que 

A désignant une taiigcnte aune conique C, el a^Y "" triangle quelconque, il existe quatre coniques 
msci'ites à a^f, tangentes à A et touchant G en un autre point que A ; les quatre points de contact sont sur 
une conique circonscrite au triangle a^;. 



178 Ol'AHKIQL'I-S PASSANT PAR DEUX DROITES FIXES 



4. Supposons mainleiianl le Iriangle a^f conjugué à la conique C : par polaires réciproques rcla- 
tivemenl à C, les quatre coniques oblenues devicMidronl les quatre coniques circonscrites au triangle 
i?Y. passant par le point de contact de a et loucliaul C aux mêmes points que les précédentes. Ainsi : 

^« iJJv est (/Il Iriamilc conjugué â une conique C cl vi un point quelconque de celle courbe, il vxixte quatre 
coniques circonscrites à oi'fi-^, passant par m, et liunienles à C en des points différents de m; ces quatre 
points sont sur une conique circonscrite au Iriangle a^r-; (') 

D'après la manière mémo dont ce résultat a l'Ié établi, on voit ((uo celte conique est justement la 
Iransformée de la tangente A en m, au moyen de la Iransformalion du second ordre précédcmuienl 
étudiée. 

5. Appliquons enlin cette transformation du second ordre au résultat précédent lui-même : à la 
conique C, conjuguée au triangle aSv correspond, comme on sait, une quartique adm.'tlant a, ? et y 
pour points doubles à tangentes d'inilexion touclumt C: aux quatre coniques envisagées précédemment 
correspondent les quatre tangentes à celte quarti([ue issues d'un de ses points : on voit que leurs points 
de contact sont sur la droite A elle-même Ainsi : 

Ue tout point d'une quartiqiie unicursale à puinls doubles d'inflexion, on peut mener à celle cuurbe 
quatre tunqentcs: leurs points de ronlacl sont sur une droite donl l'enveloppe est la conique tangente aux 
six tangentes d'inflexion. 

La lemniscale offre un exemple de ces quarliques. 

6. On aura un résullal analogue corrélativement pour les courbes de quatrième classe à tangentes 
doubles bicuspidales, par exemple les développéos de coniques ou riiypocycloide à quatre rebrousse- 

ments. 

♦ 

CONJLGUIiES DUNE DllUlTE TAU H.\PI'()1{T AIX (JlADlîKJUI-S 
n\'\ PASSENT l'Ai; lii:i X UUdlTES FIXES 

par M. L. Bickart. 



1. _ Un consiilêre dan> loulc leur généralité les quadriqnes Q qui conliiriiirnt deux droites données A, B 
ne se rcnfonlraul pas. 

(tn di'iiiande d'cludicr le coniplexo des conjuguées par rapport ii ces quadriques d'uni' droite donnée A qui 
ne rencontre aucune des deux preinièi'es. 

II. — 1. On suppose ensuite que les trois paranii-tres donl dépendent les quadriqnes tj vérifient une 
r4dalii)n linéaire. Démontrer ipie ilans cette hypollièsi'. les génératrices de ces (]iuuiri(iues qui sont du même 
sjsléme(|iie A, H, sont les droites d'un certain complexe linéaire. 

2. Montrer (pie sur eliacuiie des droites de ce complexe les quadriques (J Ira'-enl une iiividulion dont les 
points d(lulde^ ilc'criM'ul une (piailrique S. 

3. Montrer qu'il > a une inlinité lie droites dont les ennjnguées respectives par rapport aux ipiadriipies du 
réseau sont lixes, et que ces droites, ainsi (pie leurs conjuguées, sont les génératrices d'un même s\sleine de 
la ipnidriijuc S. 

4. Ktinlier la congrucncc des conjuguées d'une droile donnée A par rapport aux (piadriques du réseau. 

I 

l{ipl>-:l d<' formules.— Soient deux droites délinies jiar les coordonnées de IMi'icker, a, b, c, />, q, r, «', . . . , r", 
l'I la qundriijiie 

Ar» + A';/' + A";' + 2Hyi + SlJ'jr (- iW'.ry + HCc + 2('.';/ -4- 2C'i -(- 1) = 0; 

posons ç. = A*' -4- . . . -+- '2H"ri/, ^ = Cx + C'y ■+■ f/i. 

'4| l*rolil<!in(! |iro|iosé en l89Jau Concours gént-ral. 



I 



QUADRIQUES PASSANT FAR DEUX DROITES FIXES 179 

Les conditions nécessaires et suffisantes pour que les deux droites soient conjuguées par rapport à la 

quadrique sont 

[ A}}' + k'iip' — B";^2' + qp') + C(c(/' + qn') — C'fpc' -+- cp') + Dec' — 0, 

' 3?a"— i'?y + f^'!'(«. b, c) = 0, 

) 9'?;. — PVb-+c'4'{«, ft. <-•)= 0, 

( a'o;, + b'^'i, -f- c'o; = 0. 
La condition qui exprime la rencontre des deux droites est 

ap' -+- pa' + bq' -+- qb' + cr' + rc' = 0. 
Enfin, on a les identités ap -h 65 + or = a'p' + b'q' H- cr' = 0. 

Ceci posé, prenons pour axe des : la droite A ; envoyons la droite B à l'infini dans un plan normal 
à A par une transformation homograpliique, et prenons pour plan des xi/ un plan passant par B. 

Soient a, b, r, p, q, r les coordonnées de ^{cl■:ptO, puisque A ne coupe ni A ni B). L'équation 
générale des quadiiques Q qui contiennent A, B est 

(1 ) Bi/3 -f- B'zx -I- Cx -H C'y = 0, 

où B, B', G, C sont quatre paramètres indépendants. 

Les quatre conditions qui déterminent la conjuguée a' de a sont 

qc'B' — pc'B + ca'G -h rb'C = 0, 

\ q'cB' — p'cB -hc'aC -i-c'bC' = 0, 

^' '. {q<:'^cq')C - (pc' -^ .-/jOC = 0, 

( (uc' + c«')B' -h {bc' -+- cb')B = 0. 

L'élimination de B, B', C, C à l'aide d'un déterminant donne 

cc\ap' -i-pa' H- bq' -+- qb' — cr' — rc') (cr' — rc') = 0. 
Cette équation se décompose en trois autres. 

I. t' = 0. Elle exprime que a' rencontre B. Or deux droites qui se rencontrent ont pour con- 
juguées par rapport à une véritable quadrique deux droites qui se rencontrent aussi. Mais les 
conjuguées de A' et de B par rapport aux quadriques Q sont A et la droite B elle-même. Ces deux 
droites ne se rencontrent pas. Donc les quadriques correspondantes ne sauraient être des quadriques 
proprement dites. On trouve en effet que leur équation devient 

(p'x-hq'>j){Bz-i-C') = 0, 

équation de l'ensemble de deux plans. 

II. ap'-i-pa'-i^bq'-+-qb—cr'~rc' — 0. Cette équation exprime la rencontre de a' avec la 
droite A,, de coordonnées a, b, — c, p, q, — c, qui est la symétrique de A par rapporta 0:. Les 
quatre conditions (K) peuvent se transformer dans les suivantes : 

C = Mpc' -+- cp'), B = — ii{ac' -+- ca'j, G = Hqc' h- cq'). B' = ;ji(éc' -+■ cb'), 

c'[{/i'p + b'q)c -+- (ap -f- bq)c']^ -t- c[(a'p -+- b'q)c' + (a'p' -t- b'q')c]'K = 0, 
c[(ap' -+- bq')c' -+- (a'p' -t- b'q')c]ij. + c'[{ap' h- bq')c + (ap -+- bq)c']\ = 0. 
ou, après suppression du facteur ce' ^c 0, 

( 1') (ap' -+- bq' — fr> -v- (ap' + bq' — c'r)l = 

(2') (a'p -h b'q — c'r)iL -h (a'p 4- b'q — cr')l = 0. 

Ajoutant membre à membre, il vient 

(ap' ■+- pa' 4- bq' -+- qb' — «■' — rc')('>^ -t- H^) = <^'. 
équation qui est une identité si l'équation H est satisfaite. Remplaçons dans (2') le coefficieut de X 
par —{ap'-hbq' — c'y). Elle devient 

(a'p ■+- b'q — c'r )iJ.— (ap' -h bq' — c'r)l = 0, 



ISO QUADRIQUES PASSANT l'AK DEUX DROITES FIXES 



ou [c(a'p ■+- bq) ■+■ r\ap + bq)]ii — [c{ap' -+- bq') ■+- r'(ap -h bq)]}. = 0, 

ou encore [p(ac' ■+■ ca') -+- q{bc' ■+■ vl>')]ii. = \[a{pc' -f- cp') -+■ b{qc' -+- cq')], 

ou enfin 

(2; pB-7ll-4-rtC + 6C' = 0. 

Si, dans les équations (K), on remplace C par l'expression déduite de (2), il vient, en supposant 

B'= 1, 

{!•) (q — pB){bc' -h cb') -t c{ha' — ab')C = 0, 

(^') (9 — /jB){pc' + cp') = [aipc" -+- cp') + b{qc' -h cq')]C, 
j (3") iqc' H- cq') = {pc -f- cp')B, 

(4") {ac' -f- ca') -f [hr -+■ cl)')B = 0, 

On reconnaît, en tenant compte de l'équalion écrite au début d>' 11, ((ue les équations (T) et (2'; 
sont équivalentes, ainsi que (3") et (4"). 

Nous n'avons donc à considérer que (2") et (3"). Or ces nqualions sont homo|,'ènes en pc' -+- cp' et 
qc' ■+■ cq'. 

Deux cas se présentent : 

1° (pc' + cp')(qc' + cq") ^ 0. Alors (2') et (S') ne peuvent être compatibles que si 
(3) />BC + /)|{ -i- rtC - 7 = 0, 

hc —H cb' 
équation que l'on obtient par élimination du rapport — ; ;-• Mais, de cette équation (3) com- 
binée avec (2), on déduit pour équation de Q 

(: -t- C)(x + By) = 0, 
équation de l'ensemble de deux plans. 

2" ;)c' -H c/)' = 0, 9c' H- c(/ ' = 0. Alors la condition du début de II donne a'p -\- b'q = rc'. Les 
équations (2') et (3') deviennent des identités et les équations (1") et (4") s'écrivent, en y remplaçant 
p', 9', d par les valeurs déduites des dernières conditions. 

[p(9 — y)B) + crC\[ab' — ba') = 0, 

(q — pMiab' — ba:) = 0. 

Si l'on a iib' — ba' i^i), il tant qUi- 7— /y|i = 0, C = 0, et, de la condition (2), on déduit 
C = 0. L'équation de Q se réduit à ;/: = 0, équation de deux plans. 

«' b' c' p' 0' '■' ,,..,■. 

Si iib' — lui' — {), on a — = — = =■£— = -!- = , p| la droite A vient se con- 

a b — c p q — )• 

fondre avec ii. Ainsi donc, 

Si a' rencontre A| sans se confondre avec coite droite, la qiiadrique correspondante se décompose 
en deux plans passant respectivement par A el II. 

La droite i est la conjuguée de A par rap|)ort à une double inlinité de quadriques Q dont les 
coeflicienls satisfont à la condition (2). 

III. rc' — rr" = 0. — Celle équation esl celle d'un complexe linéaire. Soient x, »/, :, \, V, / 
deux |ioinl.H rin a' ; on a c' = 7. — z, r' = j/X — .rY, d'où f(yX — .tY) — »(Z — :) — 0. 

Celle équation, où l'on considère x, y, z comme lixcs, X, Y, Z comme les coordonnées courantes, 
est celle d'un i)hin (|ui contient toutes les droites du complexe issues de x, y, ; (plan focal de x, »/, ;). 

Prenons j»our axi- des .r la |torpendiculaiie commune à A et i cl puni :ixc des 7 la iiomialc im 



QUADRIQUES PASSANT PAR DEUX DROITES FIXES \8l 




plan xOz. Soient et o l'angle et la plus courte distance de A, \. Les équa- 
tions et les coordonnées de \ deviennent 

^ ^ = S, p = 0, r/ = osine, /• = — osine, 

' î/ = ='S''r a — 0, />=sinO, c = ces 0, 

d'où — = — '5 leO. 

c 

Si donc S' et 0' sont la plus courte dislance et l'angle de A, à', on 



aura 



8' tg 0' = tg 0. 



I 



Le moment relatif de A et A' est donc constant. A est Taxe central du complexe. La droite A et la 
droite a' font partie du complexe. 

A et B en sont deux droites conjuguées, c'est-à-dire que toute droite du complexe qui rencontre 

l'une d'elles rencontre l'autre. En effet, si î = 0, il faut que = ~, et inversement. 

Nous pouvons remarquer que les équations (1'), (2') donnent 

X -I- |ji = 0, 
d'où C = lipcf -+- c,/), B = l{ac' 4- €0% C = lOjc' + cq'), B' = — l{hc' -+- c//) . 

L'équation de Q devient 

(ac' -+- ca')yz — {bc' -+- cb')zx -+■ {pc' -+- cp')x + [qd -\- cq')y = 0. 

En résumé, les droites A' engendrent le comple.xe rs' — cr' — 0. 

Chacune des droites de ce complexe détermine, et cela d'une seule façon, une quadrique Q de la 
famille. Il y a exception pour la droite A,, à laquelle correspond une double infinité de ces quadriques, 
et pour celles qui coupent A, auxquelles ne correspondent que des quadriques impropres. 

II 

Supposons que les paramètres B, B', C, C vérifient une équation linéaire et homogène, que nous 

écrirons sous la forme 

(2) poB - 9„B' -t- a fi -h ««C ^ 0. 

Soient a, b, c, p, q, r les coordonnées d'une génératrice. Moyennant les équations 

(G) p = bz — ly, q = ex — az, 

nous exprimerons que cette droite est entièrement située sur la quadrique par les conditions 

oB' -t- 6B = 0, C^ - C'p, qB' — pB -i- aC -t- bC = 0. 

On peut encore obtenir ces conditions au moyen des éf|uations (K), en exprimant que la droite se 
confond avec sa conjuguée. On peut donc poser 

B' = iJ.b, n ^ — ixn, . C = Ip, C = '>'q, 

d'où, en substituant dans la dernière, 

(X -+- |x)(«p -+■ bq) = 0. 

Or la condition 0^ + 6^=0 n'est pas à considérer, car elle s'écrit cr = et elle exprime que 
{G) rencontre A ou B, ce qu'on ne suppose pas. Reste donc 

X -h |x = 0, B' = — X4, B = hi, C = Xp, C = Iq. 

L'équation de condition devient ainsi 

«Po -^ CoP -t- bq„ -i-qb^ = . 
Elle exprime que la génératrice G fait partie d'un certain complexe linéaire. 



182 QUADRIQUES PASSANT PAU DEUX UllOITES FIXES 

Ce complexe est daillours le plus général possible dans les rondilions de la question. En effet 
l'équation générale d'un complexe linéaire est 

"«» Pc- • • ! ''o étant quelconques. 

Or ce complexe doit pouvoir contenir A. <li>nt les coordonnées sont n = 0, A = 0, 7=0, 
p = 0, r = : donc >•„ = 0. De même, il doit pouvoir contenir n, d'où Cj = 0. 

Invei sèment, si les généralrices (fO appartiennent à ce complexe, les coefficients de la qiiadrique 
satisferont à l'équation (2). 

Avant d'aller plus loin, nous allons profiter de cette condition pour simplifierla forme de l'équation 
générale (1). Transportons l'origine en un point quelconque de A et dans le nouveau plan des .ry pre- 
nons pour axes des x et des y deux droites arbitraires distinctes passant par l'origine. Autrement dit, 
changeons .r en Xi-t-X'y, »/ en (xr -H .<</, ~ eu :4-/i (X/ — [jiV^éO). 

L'équation (1) prend la forme 

B,;/: -I- Kzx -4- C,.r h- C',y = 0, 

et le délail du calcul transforme la condition yt) en 

[(p, - A6„)X -)- (9, -+- /w„)ix]B, - [(p„ - hb,)V -H [q, ^- /(a„).ulB; + {a,^ - h,l')C, -+- (M - "ok)C; = 0. 

Nous allons profiter de l'indétermination laissée sur X, X', ja, u\ h pour annuler le plus de coeffi- 
cients possible de cette relation. 

Hemarquons qu'on ne peut pas annuler à la fois les coefiicienls de C, et de C',, car il en résulte- 
rait X,a' — (jiX' = 0, el les nouveaux axes des .r et des y coïncideraient. 

Annulons le coefiicient de (',. Posons à cet effet X'=5a„, \t.'=tb„. Si l'on pose «„>„=— (rtoPo+^o9o)» 
le coefficient de B' devient tc^r^ et on ne peut plus l'annuler. 

Annulons alors celui de B,, en posant X = (Jf^^-i- /(«„), jji =— 0(p„ —///)„) ; le coefficient de G', 
devient — f^Co''»' ♦'' notre relation se réduit à OC — eB', = 0. 

Posons — = ? et B' = 1, ce qui est toujours possible ; l'équation prend la forme 

K = Bys + :.r -l-Ca: -+- Sy ■= 0. 

Nons avons éliminé implicitement le cas où c„r„ = 0. .le dis que dans ce cas les quadriques ont 
une génératrice commune en deliors de AB. En effet, la condition pour que passe par un jioint 
<'x« (-Toi ^0. ï») es' Bv„:„ -+- Wz^.i\, ■+- C.r„ -4- C'i/„ = 0. 

Si l'on identifie cette condition avec (i), il vient 

''oPo-I-/Mo= 0. 
D'ailleurs, dans ce cas, les quadri(pies contiennent une génératrice fixe qui passe par le point 

I ar„ = nj, ;/„ — 6„, z„ = ^^ = — — J el rencontre A, B. Prenons celle génératrice pour axe des y ; 

nous obtenons la condition C — 0, el l'écpiation (i) prend la forme 

|{y: : :.r t- C.r = (l, 
équation de la forme 1", où î = 0. 

En résumé, l'équation la plus générale el la plus simple à laquelle on puisse ramenerl'équation (1) 
est l'équation F. 

Quant au complexe des généralrices, son i^tpialion se réduit à 

7 -f èlt = 0. 

Si ? v^ tl, le romplexe est un complexe proprement tlit, r'esl-;\-dire que ses généralrices ne ren- 
conlrenl pas une drojic fixe 

Si 8 = 11, il reste 7=0; les généralrices rencontrent l'axe des y, lequel est génératrice com- 
mune k toutes le» (piadriques, ce qui était évident. 



QUADRIQUES PASSANT PAR DEUX DROITES FIXES 



183 



I 



2° L'équation aux : des points de rencontre de la droite a, b, c, p, </, /• et de la quadrique f est 

(a -f- B6):= H- (7 — pB -h aC 4- lh)z -t- Cç — 3/j = 0, 

et, si la droite fait partie du complexe Si -1- «7 = 0, l'équation devient 

(f/ + Bé)ï^ + (aC — pB): — o(;j h- U) = 0, 
ou identiquement, 



1 / Tp 

\ n 



p-hCb 



Bft 



p + Cfe 
rt-f-B6 



= 0, 



équation dont les coefficients sont fonctions linéaires du seul paramètre 



p+Ch 



Donc les racines 
a -- B6 

")+'jp — 0. Les points doubles 



(/; + o(6z — cij) = 0, 



(K) 



sont liées involutivement, la relation d'involution étant az'z" ■+ 
sont déterminés par ;' = z", c'est-à-dire 

az- -\- Hqz -+- 8/; = 0, ou z(az + q) 

ou, puisque Zù-\- q = 0, z(az -\-q) — oci/ = ; 

mais az -}- q = ex, d'où 

(S) zx — ly = 0. 

3° Les équations qui donnent la conjuguée A' d'une droite i sont 

' qc' — pc'B -+- ca'C -h ch'o = 0, 

l q'c - p'cB -+- c'aC -h c'bZ = 0, 

[qd -h cq')Ç, = Z{pc' -H cp'), 

[bc -i- cô')B -+- (ac' + ca') = 0. 

Les conditions pour que ces équations déterminent A' indépendamment de B et C sont 

qc' -+- cb'i = 0, p = 0, a' = 0, qc' -+- cq' = 0, 

q'c -)- c'éî = 0, p' = 0, a = 0, ic' -t- c// = ; 

d'où « = 0, p = 0, q—b?j = 0; rt' = 0, p' = 0, 7' — 6'o = ; — = -ï- = — 

Il q — C. 

Sous cette dernière forme, il est visible que A' et A étant assujetties aux trois mêmes conditions 
décrivent la même surface, et les coordonnées de a' sont a, b, — c, p, 7, — ;•, c'est-à-dire que A' 
est symélriquede A par rapport à O3. 

Les équations de a, p ^ /). _ ^y^ ^ _ ^.j. _ ^^^ 

deviennent cy~bz=0, car — 63 = 0. 

L'éliminationde — donne pour lieu 
c 

zx — 8(/ = U, 
c'est-à-dire la surface S. 

4° a, b, c, p, q, r restant fixes, cherchons les équations qui relient les coefficients de a'. 
Si l'on porte dans les deux premières des équation-; (K) les valeurs de B, C tirées des deux der- 
nières, il vient 

,„n [ {a'p -h b'q — c'r)(qc' ■+■ cq') -+■ è(a'p -+- b'q — cr'){bc' -t cb') = 0, 

^ (np' -+- bq' — cr')[qc' -+- cq') -4- ^ap' -t- bq' — c'r)[bd + cb') = 0. 

Z»' cas : qc' -4- cq' = 0, bc' -^cb' = 0. — Ces deux conditions entraînent, comme on a vu (l), ou 
bien que les quadriques se décomposent, ou bien, d'après même les équations (K), que ad + ca' = 0, 
pd -t- cp' = 0, c'est-à-dire 

t _ l> _ — c p q ^ 



ISi orA|iltini:K> PASSANT PAU UV.VK DROITES KIXES 



la droite A' se confond avec la symétrique i, de a par rapport à 0:, et alors les deux premières équa- 
tions (K) se réduisent à 

(2) pB — q -hnC-^bà = 0. 

Supposons d'abord que cette condition soil une identité 

(1=0, p = 0, bà — q = 0\ 

la droite a est une génératrice de S. Nous avons vu en effet que sa conjuguée Ai élail lixe. 

Si la condition n'est pas une identité, elle réduit à un seul le nombre des paramétres de l'équa- 
tion F : la conjuguée do a est toujours confondue avec A,. Lesquadriques correspondantes perdent de 
leur généralité ; leur équation ne contient plus ((u'un paramètre. Elles ont donc en commun les droites 
A, B et deux autres droites ; un calcul facile montre que celles-ci s'appuient sur A, B dans les deux 

plans parallèles à xOy déterminés par 

az- -t- (9 — Oo): + p8 = 0. 

2« c'is : (qc' h- cq'){bc' -+■ cl/) ^Q. — Ajoutons membre à membre les équations (K') ; il vient 

(ap' -+ pa' -+- bq' n- qb' — cr' — rc')[(qc' ■+■ cq') -+- ù{bc' -+■ cb')] = 0. 

Si le premier facteur est nul, comme nous avons déjà vu, ou bien a' rencontre a,, auquel cas les quadri- 
ques se décomposent, ou bien A' se confond avec A|, auquel cas les coefficients satisfont à l'équa- 
tion (2), cas qui vient d'être étudié. 

Si le premier facteur n'est pas nul, il faut que 

r = qc'+Cil'-h^bc' -h ci) = 0, 
et alors l'une quelconque des équations (K') donne 

r, = Cl' — rc' = 0. 

Ces deux équations, qui sont celles de deux complexes linéaires, définissimt la congruence dont 
a' fait partie. 

D'après un théorème général, a' doit rencontrer deuxdroites fixes. Nous allons le vérifier. 

Si A„, B„, C„, P,„ Q„, R„ sont les coordonnées d'une droite, c'est-à-dire si 

rf = A.P„-HB,Qo-l-CA = 0, 
l'équation A,p -+- P„a ■+■ B^q -+■ Qob ■+■ C„r 4- R„r = 

exprimera que la droite a, h. . . ., r rencontre la première. Dès lors, formons une combinaison linéaire 
des équations de nos deux cimplexes, r — Xr, ;= 0. Cette équation est vérifiée quel que soit X. Elle 
s'écrit 

[(cq' -4- 8e6') -1- [(Xr -^-q + Sby — Xcc'j = ; 
écrivons que les coeflicients satisfont à l'équation rf = ; il vient 

rX>-t-(7 -)-î/;)X — oc = 0, 
équation du .second degré, dont les racines sont X', X'. Les équations r — X'r, =0. l— XT, =0 
peuvent remplacer les équations r = r, = 0, et expriment chacune que a' rencontre une droite fixe. 
Les coeflicients de celle de ces droites qui correspond A la racine X sont 

A = 0, B = c, C = — Xr, P = 0, Q = «c, R = Xr -+- 9 *- èb. 
Ces coeflicients sont liés par trois équations indépendantes de ceux de a, 

A = P ^= — SB = 0, 
On en déduit que nos deux droites fixes, s'appuyanl sur AR, sont jrénératriccs de la qnadriquc S. 

( nncluxiitnt. — Les droites de la congruence sont toutes des droites A'. Les driiites A' engendrent 
la congruence. A chacune d'«dlis correspond une quadritiue I" proprement dite bien déterminée. Il y a 
exception pour la droite a, à laquelle correspond un faisceau de quadriques, et pour celles qui coupent 
A,, auxquelles ne correspondent que des quadriques impropres. 



QUADRIQUES PASSANT PAR DEUX DROITES FIXES 



185 




Remarques sur le rapport de la quadrique S avec les quadriques K. — Le plan polaire d'un point fixe 
(iCo, i/„, 3o) par rapport aux quadriques F a pour équation 

[:X H- xZ + o( Y + yi] + (Y; + Zi/;B -|- iX + .x)C = 0. 

Ce plan passe généralement par le point fixe ( — a-, — >j, oj, conjugué harmonique du point donné par 
rapport aux deux points où la droite issue du point donné et coupant A et B rencontre ces deux droites. Cher- 
chons le lieu des points dont les plans polaires passent par une mémo droite. Les équations de celle droite seront 
évidemment \ z + Zy =: \ -{- x — 0, et il faudra qu'elle soit contenue dans le plan jX -t-aZ + î(Y' + ^) = 0), 
d'oii la condition 

X — zy = : 
le lieu cherché est donc la quadrique S. 

La droite correspondante a alors pour équation 
(G) \-j-x — 0, oY -+■ l.x = 0. 

et l'élimination de .v entre ces deux équations donne 

oY— ZX = 0; 
donc cette droite est une génératrice de S, du système A. 

Ce résultat pouvail être prévu. Soient en effet, sur la génératrice G' d'une des surfaces F, p et p' les points 
doubles de l'involution tracée sur G par les quadriques F, et soit p, le symétrique 
de p par rapport à U;. Le plan polaire de p par rapport aux quadriques F passe en 
p, symétrique de p, comme on a vu, et il doit passer aussi en p'. Donc il contient la 
droite jj,p'. Le plan pG a pour équation 

oY + j-Z — ;X — Sy=0. 
Si nous assujettissons le point p à rester dans un plan 
(7t) Aa;+By + C: + D = 0, 

l'équalion du plan pG se met sous la l'orme 

o{BY + D) + a-(BZ + Ao) -h Z(Co — BX) = 0, 
el ce plan vient passer par un point lixe déterminé par 
BY + D = BZ + AS = BX - C5 = 0, 
point dont les coordonnées vérifient l'éciualion du plan (tî). 

.\insi donc, soit p un point dont les plans polaires concourent sur une droite G; p est un point de S et 
G une génératrice de S. Coupons par un plan quelconque passant par p, et rencontrant G en p'. Si le point p 
se déplace dans ce plan tout en restant sur la quadrique S, il décrira, ainsi que p', une conique C, section de 
S par Tt, et le plan pG passera par un point lixe u» du plan -. C'est-à-dire que la droite pp' passera par un 
point fixe ai. 

D'ailleurs, si on appelé xo, yo, -o les coordonnées du point eu, on reconnaît que l'équation de (n) s'écrit 

— ;o X -f- oY -hxoï — oyo = 0. 
Ce plan est précisément le plan focal du point w dans le complexe 

ob + qz=0, 
ce qui pouvail se prévoir, puisqu'on sait i|iie les droites de ce complexe sont divisées harmoniquement par 
l'une quelconque des quadriiiues F et par la quadrique S. 

.Mais il y a plus : le plan i: qui coupe S suivant la conique C coupe F suivant une conique U ; les 
coniques C et V ont en comnjun les deux points a, b où (ir) coupe X et B, el toute droite issue de u» est 

divisée harmoniquement par V, et C. Or, l'enveloppe des droites divisées 
harnionuiuement par deux coniques est en général une conique. Dans le cas 
particulier, celle conique se décoinposedonc en deux points, dont l'un, w, est 
lixe : d'après une discussion également connue, ces deux points lo, w' sont 
les p(')les d'une des cordes communes ab par rapport aux deux coniques. 

Si donc nous projetons la ligure sur un plan quelconque de façon que 
a, b deviennent les points cycliques, nous voyons que C deviendra un 
cercle, que to sera le centre de ce cercle, et que les coniques L' se projette- 
ront suivant les cercles orlhogonaux au premier. C'est cette propriété (|ue 
nous voulions établir. 

D'ailleurs les coniques L' forment le réseau le plus général de coniques 
à deux paramètres qui ont deux points fixes. L'élude de ces réseaux a été faite dans la lievue. (Notes de M. Gil- 
bert, août et septembre 19C0.) 




ISf. 



f.EoMETHii: ANM.vnorK 



Démonstration géométrique de fexistnice du complexe rc — cr = 0. — Nous revenons an paragraphe (I) et 
nous cherchons les droites Y conjuguées de A par rapport aux quadriques 0. que Ion peut mener par un 

point m. 

Dire que A' passe eu >ii impose une certaine condition aux quadriques Q. 
Soient Q,„ les quadriques qui y satisfont. 

Il existe une droite issue de »i et coupant A, H. Soient a, b les points de 
rencontre, et m' leconjugné harnioni>iui' de m par rapport à a. b. 

Le plan polaire de m par rapport à lune quelconque des quadriques Q„ 
devant contenir i par hypothèse, et passant dailleurs par m', est fixe. 

Soient a', V les traces sur ce plan m'A de A, B et >, nn point de .\ ; »>). 
coupe a'm' en 0. Le conjugué >.' de A par rapport à m et doit se trouver 
sur Qm. Or ).' décrit une droite, qui n'est autre que ab. Donc toutes les qua- 
driques Q,„ vont contenir la droite àb et de même la droite ab'. 

Soit p le point où a'b' coupe A. Le plan polaire du point p par r.ippori à 
Q„, contient le point fixe ;/ conjugué de p par rapport à ab'. De plus, les 
droites afc, a'b' sont conjuguées par rapport à Qm- Donc le plan polaire de /> 
passe par nh. Donc entiti il est fixe. Dés lors, les droites du complexe (pii 
passent par m doixeiit ^'y trouver. Autrement dit, le complexe est linéaire. 
™ Le raisonnement montre que ab en fait partie. Donc toutes les droites <pii 

rencontrent A et H en font partie, A et B sont deux droites conjuguées dans 
le complexe. La droite A elle-même en fait partie, car elle est à elle-même sa conjuguée par rapport à la qua- 
driqiie qui passe par A. B, A. 

Le raisonnement ci-dessus suppose le plan m'A bien déterminé. Or si le point m' tombe sur A, il n'eu 
est plus ainsi. Le point m est alors sur une certaine droite A (qui se transforme 
dans la symétrique do A par rapport h A, quand on rejette B à l'infini dans un plan 
normal ."i A). Si la conjuguée A' de A qui passe en m ne se confond pas avec A. le 
jilan pidaire d'un point (luelconque m'i de A devra contenir celle conjuguée et un 
certain point m. de A,. Il se confondra donc avec le plan A'A,. Tous les points de A 
auraient alors même plan polaire, ce qui est absurde, à moins que les quadriques 
correspondantes ne se dccomi)osenl. 

Si au contraire A' se confond avec A, il y a indétermination, et il existe une 
double infinité de quadriques n par rapport auxquelles A admet A. pour conjuguée. 





r.KOMKTRIi: ANM.YTIOl'E 



958. — On donne les druT stirfncrs 

(l, Ax" -+- B;/" -f- Ci" = L, 

(2) A(,r — p)" 4- B( y - 7 )" -(- C{z — »•)» = M , 

où A, \\,('. s'iiil il'S nombrrs réels, \, il }{ des iiombirs positifs, ii un inlirr positif, p, <], r 1rs coor- 
données d'un point donné. On joint un point \a, h, c) de la surface {{) ii un point de la surface (i). fuis, 
considérant la surface (ï) comme invariablement liée à la droite ainsi obtenue, on imaf/ine que cette droite, 
de lomiueur ronstunte, se déplace parallèlement à elle-même de manière i/ue son origine décrive la sur- 
face (1). 7roi/cei- l'enveloppe de la surface (2). 

.Verne problème en lemplarnnl les éipiations (1) et (i) par 

(1, Aa' + B;/" -t- Hz = 0, 

(i) A(T — p)"-<-B(v— 7)"-<- K(î — r) = 0. 

Il est évident que pour passer de la position initiale à une position quelconque de la ligure mobile 
il sullil d'effectuer une translation. 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 187 



Cela posé, soient A le point iixe donné (", //, c) sur la surface (1), \'(a' , b\ c ) ce qu'il devient après 
une translation dont les composantes seront désignées par a,, ^,, yi, M un point quelconque de la figure 
mobile et M' ce qu'il devient après la translation ; soient encore x, y, z et x', y', z les coordonnées 
de ces deux points. Nous aurons 

.!■' = ï, 4- .1-, if = p, + y, :' = Yi + :, 

et a' = a, + a, b' = pi -I- h, c' = -/i + c ; 

nous devons d'abord exprimer que le point (a , b\ c') est sur la surface (l), puis remplacer, dans (2), 
x,y,z, par x' — a„ ij' — ?„ z' — yi> ou, en supprimant l'accent, par x — ï,, ?/ — |î,, z — ■;,, 
pour avoir la nouvelle équation de la surface (â). Nous trouvons ainsi 

A(,, 4- r/;" + B(!i, + 6)" -K C(y, + c)" = L, 
A(j— /J — ï,)" + B(y - ^_!î,)»4-C(: — )■ — Y,)" = M; 
nous prendrons alors pour paramètres variables a, -+- o = x, ^, 4- i(/ — j^, y, h- c = y, fl nous dési- 
gnerons x-rci — ;-, y-\-b — q, z-\-c — /• parX.Y, Z: nous obtiendrons les équations plus sim- 
]iles 

Aa" -r Bfi" + Cy" = L, 

A(X — -x)" 4- B(Y— â/'+ C(Z - y'/' = M. 

11 reste à trouver l'enveloppe d'une famille de surfaces à deux paramètres arbitraires. Dans le cas 
actuel, il faut joindre aux deux équations précédentes celles qu'on obtient en égalant les rapports des 
dérivées de mêmes rangs des deux premiers membres. Ceci donne 

,"-1 3"-' .,'1-1 



(X — 7.)"-' ,Y — )3)''-i (Z — y)" ' ■ 

égalons ces rapports à un nombre variable i^"-', et désignons par \j. une des déterminations delà racine 
(n — l)*" de ce nombre, par (o, w', u>" trois racines [n — \Y* de l'unité ; nous aurons 

Ces équations nous donneront a, fi, y en fonction de ,u, nousremplacerons dans les deux premières 
et nous éliminerons fi entre les deux équations ainsi obtenues. 

I,e calcul est très facile dans le cas où >o = 10' = w" : posons alors i^w =: )., nous aurons 

X— -.< = —, Y_r. ^_Ê_, z^.. = l, 

/X „ XY XZ 

puis, 3t = , p = 



1-l-X • 1-t-X ' IH-X' 

en portant X—», Y — p, Z — ■; dans la seconde équation puis comparant le résultat obtenu à la 

"/TT 
première équation, nous obtenons MX" = L, d'où X = w — ; il n'y a plus qu'à remplacer », p, y par 

les valeurs écrites plus haut pour avoir les diverses enveloppes qui correspondent à ce cas, puisque X 
est une constante, lilles ont pour équation commune 

AX" :-BY"-t-CZ" = ^(^-^'>y' _ jj/^ _, a-. 
X" 

Ce calcul nous fournit n enveloppes parliiuliéres qui correspondent aux » déterminations de X ; 
parmi elles, une ou deux ont des équations réelles, suivant la parité de n. 
Dans le ras où n = 2, le problème est entièrement résolu. 



188 GÉOMÉTRIK DESCRIPTIVE 



(iKOMKTHiK in:s(:RiPTivn: 



944 — .1 ulour d'un axe vertical z tourne iii disque circulaire de 9'" de diamètre et dont In position 
initiale AOB est définie ainsi: son contre est dans le plan de front de l'arr z à 6"" à droite de cet axe; 
son plan, perpendiculaire au plan de front, est incliné à 45" sur z, ri de façon à couper z en un point C 
situé au-dessous du point 0. 

Du solide annulaire eng'ndré par le disque on enléoe la partie intérieure à rhijpfrboloide de révolution 
qui a pour génératrice le diamètre de front AB du disque, el pour are la verticale du point le plus eu 
avant du disque. 

Le solide restant repose sur un sol horizontal par son parallèle inférieur. 

Le représenter par ses dent projections, aven les ombres qu'il détermine sur lui-même et sur le sol, 
quand on l'éclairé par des ratjons parallèles dont la direction et le sens sont ceux de la flèche OC après une 
rotation de 45° dann le sens des aiguilles d'une montre autour de z. On planera les projections de z sur 
l'axe de la feuille parallèle aux grands côtés, sa projection horizontale à IB"™ au-dessus du bord inférieur ; 
la projection verticale du point à 34"" au-dessus du même bord. 

On indiquera en traits pleins rouges les constructions nécessaires pour déterminer les points remar- 
quables de l'épure. On ne tracera que les parties vues des courbes d'ombres. 

(Ecole Polytechnique, concours de 1900.) 

Représentation du solide annulaire. — La porpnndiculairo élevée en au plan du disquo donné 
rencontre l'axe de révolution en un point Q qui est é(iuidislanl de tous les points de la circonférence de 
ce disque; dans la rotation, tous ces points app;irtieiidront donc à la surface de la sphère de centre û 
et qui passe par l'un deux. Le solide considéré est alors limité d'une part par la portion de surface 
sphérique de centre Q comprise entre les parallèles décrits par A et B, et d'autre part par la surface 
conique de centre C, d'axe Cz et dont CBA csl une génératrice, surface qu'enveloppe le plan dudisijue 
dans sa rotation. Ce solide est ordinairement nommé anneau sphérique ; sa représentation est immé- 
diate. Son contour apparent vertical se compose dos arcs de cercle a'b', g'h' et des portions de droites 
àb' et g'h'. Les droites a'g' et b'h', projections vortirales des parallèles hori/.ontaux, limitfut colle 
projection verticale. Horizontalement ce solide esl limité par les deux paralIcMes de diamètres ng el bh. 

Intertection du solide annulaire el de l'hgperboloi'le. — L'hyperboloiJi; a pour axe la veilioalo 
{d, d') ; {ab, a'b') est une génératrice de front de cette surface. On obtient son intersection avec le solide 
annulaire im rhorchant successivement ses intersections avec la surface sphérique et avec la surface 
conique qui limitent ce solide. 

Pour l'intersection de l'hyperboloïdc et de l,t sphère on emploie des plans horizontaux auxiliaires ; 
nous avons fait la construction i)our le pian ilu cercle de gorge de l'hyperboloïde, ce qui nous donne 
deux points projetés horizontalement en e et c,. On a direclemenl les points a,b, a,,b, sur les jjaTal- 
lèles limites dans la sphère ; nous avons construit la tangente {at, a't') au point (n,a') en délcrniinanl 
les traces oo el //. sur le plan du cercle de gorge des plans tangents en ce point aux deux surfaces. Pour 
avoir le point (/", /"') sur le contour apparent vertical di> la si)lière on coupe par lo plan de froni do (lo. tu') 
qui esl lingent à l'hyperboloïdc et contient, ouiro la génératrice {ab, a'b';, une sorondc génératrice 
(oii>, oV), d'où f el par suite f el /;. La projection horizontale de l'intersection admet pour axe de 
symétrie rf-.i. 

L'inlersoclion de l'hyperboloïdc et du cono se compose de AU, qui est génératrice commune, el de 
la symétrique de AB par rapport au plan vertical di- symôlrie cd. (^ette dernière touciic au point (k, k) 
l'hyperbole équilalère, méridienne principale do riiyperholoïdc. 



r.in l-XAMENS ORAUX DE i900 (KCOLK NORMALE SL'PÉRIEURK) 

Celle hyperbole loiirlic d'ailleurs au point H. I l'inlcisoclion de l'hyperboloïdc et de la sphère. 
On en déduit les deux projections du solidi' annulaire entaillé. 

Oiii'nr pro/ir.' du snliitr. - Les rayons lumineux sont parallèles à la droite ('-■<.u, c'o\). 

La partie intérieure du solide est complètement éclairée. Pour avoir la séparatrice sur la surface 
extérieure on prend le cylindre circonscrit, dont les génératrices sont parallèles aux rayons lumineux. 
Un changement de plan vertical x,y, donne immédiatement la courbe de contact dont le plan est de 
bout dans ce système. On obtient {m, m) point de la séparatrice sur le parallèle supérieur en prenant 
i.itu' = :'«.)', puis 1011 = z'i\ d'où m', et par suite m. 

On construira par points cette séparatrice dont la projection verticale est une ellipse dont nous 
n'avons cimservé que les arcs utiles mt' et ifr' qui limitent les deux portions d'ombre propre. 

Ombre porlér sur le s(il. - Cette ombre est limitée par l'arc de cercle >i>i,, trace horizontale du cylindre 
qui a pour directrice le parallèle supérieur du solide et dont le.s génératrices sont parallèles aux rayons 
lumineux, et d'autre part par des arcs de l'ellipse, trace horizontale du cylindre do révolution qui a pour 
directrice la séparatrice obtenue plus haut sur la sphère. Nous n'en avons conservé que les arcs np et 
n,p, extérieurs à la projection horizontale du solide. 

Sur le sol on a alors comme contour d'ombre /3h«,;),. .NC. 



QUESTIONS POSEES .MX K.\AMr:.\S Oll.MX 



ÉCOLE NttRMALL SUPKIUEURE (1900) 



313. — Un considère les ileu\ quiiilritiucs 

:'1'-+-:U-+-R = 0. ;'!• + ïQ' + If = 0. 

K<|ii.iUon de la projection de leur inlerseclion sur le plan des xy. Uaris quel c.is est-elle unicursale? 

31'«. — Ktudier la série dont le terme crn^Tiil est L'. = • 

'^ (o-t-n(' 

815. — On ronsidire deux division-i liomoprapliiques dans l'espace. l.i'U de la droite joignant deux points correspon- 
dants. Uans quel cas a-t-on un parabolonlc ? 

316. — On donne (|ualre points A, II, C. U dans un |iI;mi. Lieu dis points d'où l'on voit les deux segments AB, CI) sous 
des angles égaux. C'est une cubique circulaire. L'étudier géoinélrltiiiçmenl. 

317. — Équation générale des (luadricjues homofocales d'un ellipsoïde. Combien passe! il >W telles quadnques par un 
point ? Combien y en a-l-il tangentes a un plan ? I.ieu des points par où il en passe deux confondues. Enveloppe. C'est une 
développablc. Section par un plan tangent. Aréle de reliroiisscment. 

31M. — Racines cubi<|ucs d'un nombre imaginaire. 

310. — On considère l'équation du troisième degré 

x' - pj- » '/ = ;» > ; 

p devenant très grand, les trois racines de celte équation sont réelles, l'une ifelle» devenant très petite. Valeurs approchées 
de» racines dans ce cns. (>n«truirc la courbe jc'-ux ^ u — "■ Examiner les intersections de cette courbe avec la droite 
V= P 

:J20. — (X)urbes diamétrales des culiii|ucs planes, l'^is oii ce sont des droite». 

321 . - Kans un tétraèdre, le» quatre hauteur» et les qu lire perpendii ulalrc» aux faces menées par l.ur- orlho, . iiti c* 
sont »ur un même hyperlioloide. Que peut-on dire de cet li\perlioloide ? 

322. — Rarini'S primitives des équations binôme». Déniiintrer c|uc ^{mp) = <^(IH)?(/)). 

323 - On conslilère lé.piation (i/ - >J)(I l- (') t "(' '- ''/' t- c<-t- d = où .r, y sont les coordonnées d un pointdu 
plan iHsrutcrI équation en I suivant la position de ce point. Lieu de» pointas donnant une racine double. C'est un hypo - 
cjcloidi' a trois ri'liiousseinents. Ses propriété». 



QUESTIONS PROPOSÉES 191 



324. — Détermination des axes d'nne ([uadriqiic. Méthode géoniùtiique. 

325. — Étude de la quartique (x- + 2y-)- — a'xy = 0. Elle est unicursale. Propriétés des courbes unicursales. 

326. — Démontrer au moyen des faisceaux homograpliiques qu'il passe une conique par cinq points d'un plan. 

327. — On considère la courbe 

.,■ = (' y= P z = l. 

Intersection de cette courbe avec un plan, une sphère. Condition pour que quatre points d'intersection soient sur un 
cercle. Démont]-er que les quatre antres points d'intersection sont alors sur un autre cercle, lïqualion du plan de ce cercle. 

328. — On considère la somme 

11 1 , 

1+ — +—- + ... H L». 

2 3 n 

Démontrer que cette somme a une limite quand n ausmente indéûniment Dans quel cas l'expression 

1 1 1 
— j ■ — — + ...+ a-t-cUe une limite quand n et p augmentent tous deux indéliniment ■? 

a a + \ Il + j) 

320. — Complexe des normales ii des ([uadriques liomofocales. Complexe des droites perpendiculaires à leurs coii.ju- 
guées. C'est le même. Cône et courbe du complexe. 

330. — Expression du momentd'une force par rapport à un axe quelconque. Droites de moment nul. 

331. — Plans cycliques. Etude géométrique. 

332. — On considère sur la courbe 

1 1 1 

X = I M — — — • 3 = . 

l — a t — b t —c 

quatre points formant un tétraèdre orthogonal. Relations entre les pai'amètres de ces points. Etude de ces tétraèdres. Lieu 
du cercle passant par les trois points d'intersection de la courbe avec un plan se déplaçant parallèlement à lui-même. 

333. — Théorème de Descaries. 

334. — Discuter l'équation en t 

t'x -+• t-y + <3 - 1 = 0, 
suivant la position du point (x, y, z). Lieu du point {x, y, :] quand il y a une racine double. Cest une développable. Son 
arête de rebroussement. Généralités sur les arêtes de rebroussement. 



QUESTIONS PROPOSEES 



1020. — Démontrer que les quadriques (J conjuguées par l'apport ii deux couples de droites données 
(l), D') et (l)i, D'i), ont en général quatre droites communes. 

Qu'arrive-t-il si les quatre droites données sont quatre génératrices d'un inènie .système d'une quadrique "? 

L. BlCKART. 

1021. — Trouvei- le lieu des points de concours des tangentes communes h tieux cercles, quand l'un 
d'eux reste fixe cl que l'autre varie en passant par deux points fixes, lîtudier les diverses formes de la courbe 
ainsi obtenue. 

Vas.n'ieb. 

* 1022. — On dit qu'un pentagone gauche est conjugué à une quadrique lorsque la droile qui joint deux 
qnelconcpies de ses sommets passe par le pôle du plan défini par les (rois autres. 

1° Prouvei' l'existence de ces pentagones. 

2° \ combien de conditions assujellit-on une (piadrique en se donnant un penlagone conjugué'? 

3° Les dix sommets de deux pentagones conjugués aune même quadrique sont sur une quadrique. 

4" Les neuf sommets d'un pentagone gauche et d'un tétraçilre conjugués à une môme quadrique sont >ur 
une même biquarlrafiiiue gauche. 

E. Dupiinco. 

*1023. - On dit (ju'un hexagone gaïu'he est conjugué à une quadrique lorscpie tout plan ib linj pai' li-ois 
de ses sommets est conjugué du plan défini par les trois autres. 

1» Prouver l'exislence de ces hexagones. ^ 

i" Nombre de conditions imposées à ime quadricpie par la donnée d'un hexagone gauche. 

3° Les dix sommets d un hexagone gauche et d'un tétraèdre conjiigu<'s à une iiua(lrii|ue sont sur une même 
quadrique. 

(') Les questions marquées d'un astérisque sont publiées pour procurer des sujets de recherches ii nos lecteurs ; mais 
elles ne recevront pas de solution dans la lli'vue, A cause de l'encombrement inévitable qui résulle déjà des autres questions 
proposées et des sujets d'examens. 



19-2 



(iÉUMKTUIb: ANALVinjUl!; 



1° Il existe lieux sphères conjuguées à un liexai;oiie gaui-lie. Leurs eeiilres appartiennent à tous les hyper- 
boloïdeséquilatéres ciroonserits il l'hexagone. K. ULivmr.y. 

1024 — l'n tube en l' à branches verlirales, dont le coefficient de dilatation linéaire est "/, 

contient deux liquides de poids spécifiques dilTérents d et d' et de coeriieienls de dilatation m et 

m'. L'appareil étant à ô", on trace sur le lulie un repère à chacun des niveaux A,lt,C On porte 

ensuite le tout à t° ; chercher ;i (luelle eoudiliou l'un ou l'autre des trois niveaux reste en regard 

Mb du repère correspondant. On pourra iiéirliger les (juanlités du second ordre par rapport aux 

\::^^ eoeflieieiits (h> dilatation. 



DEUXIÈME PARTIE 



(ÎKOMKTRIK ANALVTIOUK 



970. — 0)1 diKttii; une conique et deux puinls \ cl H de son plan. On joinl un point M variable de la 
cunii/ue aux points A et I!. La perpendiculaire élevée en A à AM rencuntre l!.\I en V. Le lieu de V est 
en ifènéral une quartique. 

l" Voir pour quelles positions des points A ei U te lieu peut se n'-duire à un degré moindre. 

2° Construire la courbe lorsque les points A «7 I! sont les foyers de lu conique. 

3" Lorsqw les points A e/ B sont les deux sommeis d'un imhne nxe, le lieu de P devient une liijne droite. 

4° Construire le lieu de V lorsque la conique est une ellipse et que A <•/ B sont l'un un sommet du 
i/rand axe, et l'autre un sommet du petit axe. 

Nous allons chercher combien il y a de points du lieu sur une droite quelconque Ax passant par le 

point A. Pour cela, nous remarquons que la perpendiculaire menée 
par A à Ar rencontre la conique en deu.x points M et M'; les 
droites UM et liW rencontrent A.i- aux points P et P' qui appar- 
tiennent au lieu géométrique considéré. Donc sur toute droite passant 
par le point .\ il y a deux puinls du lieu. 

Voyons maintenant si le point A appartient au lieu. Pour (}uo le 
point P vienne co'i'ncider avec le point A, il faut que la droite MM' 
se confonde avec AB; les points M et M' sont alors en ;ji et ji', et 
les deu.x points P et P' viennent so réunir au point .\. Il en résulte 
que le point A est un point double du lieu. De plus, quand M.M se rapproche indéfiniment de jjifi', la 
droite PAP* a pour limite la droite \y perpendiculaire à AH; par suite, les tangentes au point double A 
sont confondues avec la droite Ay. 

On conclut de là que le lieu est une quartique admettant le point A pour point double. 

On peut encore le démontrer en déterniiuaiit les points du lieu qui 
se trouvent sur une droite quelconque Ut i)assant par le point H. tlclle 
droite rencontre la coniipie en deux points M et M', les perpendiculaires 
aux droites AM et AM menées par le point A rencontrent Ut aux 
jioints P et P' >\nï sont des points du lieu; donc sur toute droite pas- 
sant par B il y a drux points du lieu. Je dis maintenant que B est un 
point double du lieu. Lu efi'el, pour (|ue le point P vienne coïncider 
avec le point B, il faut que AP coïncide avec AD, et pour cela que le 
point M fo'i'nride avec l'un des points C ou D où la perpendiculaire Ay 
il AB rencontre li conique. On voit ainsi que le point B est un point 
double, et que les tangentes en ce point sont les droites \iC et BD. 





GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 193 



Cherchons maintenant si le lieu a des points à l'inûni. Pour que le point P s'éloigne à l'inûni, il faut 
que les droites AP et BP soient parallèles ou que AM et BM soient perpendiculaires. Le point M corres- 
pondant est donc sur le cercle de diamètre AB. Ce cercle rencontre la conique en quatre points M,, M,, 
Ma, M4, ce qui montre que le lieu admet quatre directions asymptotiques BMi, BMj, B.M3 et BAJ*, qui 
peuvent être réelles ou imaginaires. 

On peut contrôler analytiquement ces divers résultats. Prenons le point A pour origine, AB pour 
axe des x et une perpendiculaire à AB pour axe des y. Désignons par a l'abscisse du point B et par 

\x- -+- 'lUrij -+- C<f -h -mv -^ 2Ev + F = 
l'équation de la conique. 

Soient x', y' les coordonnées d'un point M de la conique ; la droite B.M a pour équation 
y{x' — a) — y'{x — a) =0, la perpendiculaire menée en A à AM est représentée par xx'-hyy' — 0. 
Ces deux équations résolues par rapport à x' et y' nous donnent 

, _ ay- ,_ — "xy^ 

x^ -i-y^ — "•^ X' -+- y- — ax 

et en écrivant que ce point est sur la conique, nous avons l'équation du lieu 

(1) a^y-'{\y^ — Wxy -h Cx'') -h<2.uy{Dy — Ex){x^ -i- if- — ax) ^¥{r^ -{- y' — axy- = 0. 

1. Pour que le degré du lieu s'ahaisse, il est nécessaire que l'un des points A, B ou tous les deux 
soient situés sur la conique. 

a. Supposons d'abord que le point A soit sur la conique. En raisonnant comme plus haut, on recon- 
naît que sur une droite quelconque Ax passant par A, il existe un seul point P du lieu. Pour que ce 
point coïncide avec le point A, il faut que le point M soit ou bien au point A, ou bien au point p. Le 

point A est encore un point double, mais les tangentes en ce point 
sont la normale au point A à la conique et la droite Ay perpendicu- 
laire à AB. Le lieu est donc une cubique. On verra aisément que le point B 
est un point simple du lieu et que la tangente en ce point est la droite BG. 
En se reportant à l'équation (1) et en y faisant F — 0, le premier 
membre de l'équation est divisible par y, et en supprimuit ce facteur, 
dont l'existence s'explique aisément, il reste l'équation d'une cubique. 

Si, de plus, la droite AB est normale en A à la conique, cette droite 
fait partie de la cubique, car elle la rencontre en quatre points (trois 
points confondus au point A et un au point B) ; le véritable lieu est alors 
une conique ainsi qu'on le vérifie analytiquement. 

b. Supposons que le point B soit sur la conique. Le lieu est encore une cubique ; le point A est un 
point simple, la tangente en ce point étant la droite Ay perpendiculaire à AB ; le point B est un point 
double, les tangentes en ce point passant par les points de rencontre de la conique et de Ay. 

c. Si les points A et B sont tous les deux sur la conique, on voit aisément que les droites AP et BP 
sont les rayons homologues de deux faisceaux homographiques. Le lieu est alors une conique passant par 
les points A et B, la tangente en A est la normale en A à la conique donnée, et la tangente en B passe 
par le point où Ay rencontre la conique. 

Dans le cas particulier où la droite AB est normale à la conique en A, la droite AB se correspond 
à elle-même dans les deux faisceaux, le lieu est une droite. 

2. Nous allons supposer maintenant que la conique est une ellipse et que les points \ et B sont 
les foyers de cette ellipse. D'après ce qui prrxède, le lieu est une (piarliquc admet- 
tant les points A et B comme points doubles, les tangentes au point A étant con- 
fondues suivant la dioite CD, et les tangentes au point B étant les droites BG et BD. 

La courbe est d'ailleurs symétrique par rapport à AB, et on peut la construire 
géométriquement point par point en suivant le mouvement du point M sur l'ellipse. 





194 



GÉOMIÎTRIR ANALYTIQUE 



1" Si l'on a /»> c, le cercle de diamèlro AB ne rencontre pas l'ellipse, la quartique na pas de 
points à l'inlini [fig. 1). 

2° Si Ion a /'<f, le cercio de diamètre AH rencontre Tellipso en quatre points réels ; la courbe 
admet quaire directions asymptotiqiies réelles et quatre asymptotes (fig. 2). 





Vif. 1 



Kig 2 



3° Si /; = c, le cercle de diamètre AB est lanjrenl :i l'ellipse aux sommets du petit axe, la courbe 
admet deux directions asymptoliques doubles et des branches paraboliques dans ces directions (fig. 3). 

On peut d'ailleurs faire une étude plus détaillée de cette courbe en déterminant son équation. 

Prenons comme axes de coordonnées les axes de l'ellipse ; un point M de cette courbe a pour coor- 
données '/cosï.. Asino. Les équations des droites BM et AP sont alors 

(2) y '' sin <? 

T — r 
On en déduit 



n cos o • 



n cos o — c 



coso 



c(r2 



y'-'-') 



n(x* -t- y* — e') 



sm 3 = 



Il sin o 
— 2c»/(.T -+■ c) 



et en faisant la somme des carrés, on obtient ré(]n;ili(in du lieu 

<n»c*i/»(j- -h c)» H- b'r\x' — ;/' — c»)' — a*b\x' -+- r/ — c»)' = 0. 

Léquulion de l'ensemble des directions asymptoliques peut se mettre sous la forme 

A'(a;» -+- g^)' — -Jr'x';/' = 0, 
on f6»(x' ^- y') -H ic*xg][l.'(x^ ■+■ v') — ■ic'xy] = 0. 

On voit qu'elles ne sont réelles que si l'on a r li. et. dans ce cas, on peut calculerics équations des 
asymptotes. 

Si on résout les équations (2) par rapport ii .r et g. on a 



— '"[(n' -J- A'jcos' ç — "' 



V = 



— 2/(f sin <i(ii cos » -t- c) 



r» ros» ^ — (r* — ft«) ' c' COS» » - (r' - A') 

Kn faisant v.irier » de A r, et en disrulaiil les variations correspondantes de x et de ;/, on 
obtiendra aisr'-tnent les formes di- courbes construites plu.^ haut. 



PHYSIQUE ET CHIMIE 



49S 




3. Lorsque les points A et B sont les deux sommets d'un 
même axe, la droite AB étant normale à la conique ;iu point A, 
le lien du point P est une droite, d'après ce qu'on a vu précé- 
demment (1 , c.) L'équation de celte droite est c^x+a{a--hh^) =0, 
dans le cas où l'ellipse est reportée à ses axes et oîi les points 
A et B sont les sommets du grand axe. 

4. Si le point A est sommet du grand axe, et le point B 
sommet du petit axe, le lieu est une conique passant par A et 
B, tangente en A à l'axe OA et tangente en B à la droite BG. 
(AC est perpendiculaire à AB.) 

On a aisément l'équation do cette conique de la manière 
suivante. 

Soit y — b = lx l'équation d'une droite passant par 
le point B, elle rencontre l'ellipse en un point M, qui 



Fis. 3 



a pour coordonnées — 



2am 



et 



_6(fl2XS — 6^; 



Le coefficient ansulaire de AM est alors -4-^; —< et par suite, l'équation de AP est 

y a(al -h b) 

— '■ En éliminanl 1 entre les équations de BM et de AP on a l'équation du lieu 



b{al—b) 



ah{x'' -{- y-) -h [n^ — b^)xy — 'ia^x — ay{a"- -i- h^-) -h a'b = 0. 



P. TRIBIER. 



PHYSIQUE ET CHIMIE 



960. — La surface sphériquc AB néparf deux milicu.r (Cindicos absolus ji, ri n^ pour une radiation 
déterminée ; en son sommet S et en son centre (), 07i élève sur I o.ve principal des perpendiculaires sur les- 
quelles on prend 

SN, = ON', = n, et SN, = ON'o = », ; 

démontrer que len droites NoN', *>/ N'oN, déterminent en l'j ''/ I', les foyers principaux correspondant à celle 

radiation. 

{Ecole centrale, concours de 1900, 1" session.) 

On sait que, si l'on pose SO = r, les distances focales /, et /', sont données par les formules 



^ 



-'■, 



f^ = 



I 



/i, — /i, n, — «1 

Traçons la droite N,N',. La similitude des triangles NiSF, et N'^N'iN, donne 

SF, _ SN, 

N',N, ~ N',N', ' 

ou bien, si l'on remarque qw- N',N, = OS = — r, 

Cl- "' f 

SI' , = r = /, . 

«I— "a 

De même la similitude des triangles NjSF2 et NjNiN', montrerait que SF, est égal à f.. 



196 



PIlYSIQUIi ET CHIMIE 




Autre méthode. — 11 est évident que la position des 
points Fi et F» déterminés par la construction donnée est 
indépendante de l'échelle adoptée pour représenter les 
quantités m et j(j. Supposons celle échelle assez petite 
pour (|ue le point Ni puisse être confondu avec un point de 
la surface réfringente, et soit un rayon incident dirigé sui- 
vant F,Ni ; il faut démontrer que le rayon réfracté est N,N',, 
c'est à dire que. l'angle d'incidence étant ONiN'», l'angle de réfraction est UNi.N'i. Or ces angles sont 
assez petits pour qu'on puisse 1» les confondre avec leurs sinus, 2° les mesurer respectivement par les 
longueurs ON', et ON', Ils satisfont donc à la relation 

sin i, _ Hj 
sin )2 ni 
ce qui démontre la proposition énoncée. 

Solutions exactes de MM. ('.. Boijn et J.-I>. Dokact. 



961. — ()n attaque à chaud par l'acide sulfurique en excès, un mélange de 15 yrammes de sel marin 
[chlorure de sodium) avec 10 grammes de peroxgde de manganèse impur naturel, coatetiant 25 ° o de carbo- 
nate de calcium. Le produit gazeux obtenu est recueilli par déplacement de l'air dons un flacon de verre. 

On demande : 

i" De calculer le volume de ce mélange gazeux et de dire sa composition ; 

2° D'indiquer les expériences èi faire pour éruluer le volume de charun des gaz du mélange ; 

3° De dire ce qui arriverait si on agitait le mélange gazeux primitif avec une solution étendue d'iodure 
de potassium en excès. Calculer le poids du précipité firme ; 

4" Même question dans le cas où on ferait l'expérience avec une solution d'azotate d'argent ammoniacal. 

Pour simplifier on supposera les gaz secs et mesurés dans les conditions normales. 

(Cliaquc rnndidat reçoit un t^ible.iu <les poids atomiques. En particulier, Nii = 'J3, Mn = 55, Ca = iO.) 

{Ecote Centrale, concoure dr 1900, 1" session.) 

Désignons par x le nombre de molécules de peroxyde de manganèse qui entrent en réaction avec 
le sel marin et l'acide sulfurique. .Nous aurons d'aburd 

jr(2 NaCl -^ MnO^ -+■ a SO*H« ^ 2 SO'NaH -+- SO*Mn -+- 2 H^O + Cl'). 
Or 2NaCl=H7 et MnO- = 87 ; le .sel marin donné est donc évidemment en excès et l'on a 
en outre 

»/(NaCl-+-SO'll- = SO'NaH -+- IICl). 
Enfin le carbonate qui accompagne le sel marin donne 

:(CO'Ca + SOMM = SO'Ca -+- H'O -+- CO»). 
Les coefTicients x,g et z sont déterminés par les conditions 

(2j: + i/)NaCI = 13, xMnO' = 7,:j, :CO'Ca = 2,5, 

d'où l'on lire, après avoir remplacé les poids moli'inlaires par leurs valeurs, 

x = 0,0802, v ^ 0,0840, : = 0,0250. 

1" Volume du mélange 

(x-+-?/-+-:)22'i',.'J2 = 4"',3B7. 
Composition du mélange 

.rCP-(- ;/IICl-+-:CO'. 
r'ost-à-dirc. chlore, 1"',!)24; 

acide chlorhydrique, 1 ,S7.">; 
gaz carboni(|uc, ,558 



EXAMENS ORAUX DE 1900 (ECOLE CENTRALE) 197 

2° Pour analyser le mélange, on pourra absorber le chlore par le mercure, puis l'aciiie chlorhydrique 
par le borax et enfin le gaz carbonique par la potasse, ou bien encore : absorber le mélange par de la 
potasse étendue et déterminer le titre chlorométrique de la liqueur obtenue, ce qui donne le chlore 
libre, puis, dans le produit de cette première opération, doser le chore total par l'azotate d'argent, ce qui 
permet de calculer l'acide chlorhydrique primitif; on aura enfin le gaz carbonique par différence. 

3° La réaction fournie par l'iodure de potassium sera 

a;(Cl--+-2KI :=2KCl4-I-), 
et le poids du précipité sera 

il- = 0,0862X254 = 21^'-,89o. 

4" L'action sur l'azotate d'argent ammoniacal est diiricile à prévoir et dépendra des proportions de 
ce dernier. Le premier ellet du chlore sera de détruire l'ammoniaque en produisant de l'azote libre et 
celui de l'acide chlorhydrique sera de neutraliser une autre partie de cette ammoniaque. Le chlorure 
d'ammonium ainsi foriné ne pourrait décomposer à son tour l'azotate d'argent que s'il ne subsistait plus 
une quantité d'ammoniaque suffisante pour dissoudre le chlorure d'argent résultant de cette nouvelle 
réaction. S'il y avait un très grand excès de sel ammoniacal, ou ne verrait donc rien qu'un dégagement 
d'azote. 

♦ 

QUESTIONS POSÉES AUX EXAMENS ORAUX 



ÉCOLE CENTRALE (1900, Suile) 



Géométrie (.M. Lkvi). 

1699. — Mener une droite de longueur / parallèle h ujie direction donnée et s'appuyant sur deux cercles donnés. 
t700. — Lieu des centres des cercles coupant orlliogonalement deux cercles donnés. Construire un cercle coupant 

orthogonalement trois cercles donnés. 

1701. — Lieu des centres des cercles (|ui rencontrent deux ceicles donnés en des points diamétralement opposés. 

1702. — Construire la longueur x, sactiant que l'on a 

-î- = il, J^ = JL. x= l/a- -\- 6^c% X = 'Ja'-hb'c' + d\ 

a c- a- c ' 

1703. — Produit de deux côtés d'un triangle. 

1704. — Diviser une droite en moyenne el extrême raison. 

1705. — .Mener par un point un cercle tangcMit à <leux droites. 

1700. — Construire un cercle passant par un point donné el tangent h un cercle et aune droite donnés. 

17t)7. — On considère un polygone régulier de 2n côtés inscrit dans une circonférence de rayon R. Lieu des points 
dont la somme des carrés des distances aux sommets du polygone est constante. 

-1708. — On lionne un plan P et deux droites A et B. Mener entre les deux droites et parallèlement au plan P une 
droite de longueur donnée. 

1700. — Une droite se déplace parallèlement à un plan P en s'appuyant sur deux droites fixes A, B. Lieu de son 
milliMi. 

1710. —Lieu du milieu d'une droite de longueur constante s'appuyant sur deux droites rectangulaires de l'espace non 
situées dans un même plan. 

1711. — On considère un trièdre SABC ; on le coupe par un plan P; lieu du point de rencontre des médianes du 
triangle ainsi obtenu (juand le plan 1' se déplace i)arallèli'tnent à lui-même. 

1712. — Dans un trièdre, au plus grand angle est 0|iposée la plus grande face. 

1713. — Délinition des trièdrcs supplénientaires. Propriétés. 

1714. —Dans un Irièdre, les plans menés par clia(|iie arête et la bissectrice de la face opposée se coupent suivant 
une même droite. Les plans menés par cha(|ne arête perpendiculairement il la face opposée se coupent suivant une même 
droite. Les droites menées dans cliaquc tare pc'rpcndiculaiicment ii l'arête opposée sont dans un même plan. 

1715. — Dans un létraèilrc, les <lroiles qui .j<iigneiit les milieux des cêjtés opposés sont concourantes. 

1716. — Condition pour que deux hauteurs d'un tétraèdre soient dans un même plan. Condition pour que les quatre 
hauteurs soient concourantes. 



198 EXAMENS OllAUX DE 1900 (ECOLE CENTRALE) 



1717. — Lieu des points de l'espace dont la somme di'S carrés des distances à deui points Oxes est constante. Même 
pniblfiiie pour la différence des carrés des distances. 

1718. _ Lieu des centres des sphères tangentes A deux droites données situées dans un même plan. 
171!». — Sphère passant par trois points et tangente ii nn plan. 

172(1. — Montrer qu'un cùne à ba>e circulaire admet une autre ilircction de sections circulaires. 

1721. — On doiuie une ellipse, le gnnul axe A.V et les laiigmlcs en A et A'. On mène une tangente mobile TT". 
Démontrer que cette tangente est vue des foyers sous un angle droit. Que vaut le produit AT x AT ? 

1722 _ Construire une ellipse connaissant son graml axe en gramleur et position et un point. 

I 72:J Construire une ellipse connaissant trois points cl un foyer : — trois tangentes et un foyer : — un foyer, deux 

tangentes et le point de contait de l'une d'elles : — un loyer, \uic tangente et l'un des sommets du petit axe. — Peut-on 
construire une ellipse connais*int les deux directrices et un point .' 

172^4. — Inlei-section d'une droite et dune hyperbole délinie par ses foyers et son axe transverse. 

1725. — Construire une hyperbole connaissant ses foyers et la direction d'une asymptote ; — un foyer, une asymptote 
et la longueur de l'axe transverse. 

172G. — Lieu des points également distants d'une droite et d'une circonférence. 

1727. — Sons-tangente et sous-normale d.ins la parabole. 

1728. —Lieu du sommet d'un angle dmit circonscrit ;i une parabole. 

172!t. —Construire une parabole coiuiaissant unfo\er et deux points ; — un foyer et deux tangentes ; — une tan- 
gente, le point de contact et la ilirectrice ; - la directrice lI .leux tangentes; — deux tangentes et leurs points de contact; 

— trois tangentes parmi lesquelles la tangente au sommet ; - quatre tangentes. 

I7;{0. — Lieu des foyers des paraboles ayant même directrice et passant par un point donné. 

17;{1 . Lieu des foyers des paraboles ayant même dirertrii'e et tangentes à une droite donnée. 

17:52 Construire la tangente en un iioint d'ime coniipu' dont on connaît un foyer et la directrice correspondante. 

17:t:{ — Construire une conique connaissant un foyer, un point, une tangente et son point de contact. 

17:{'«. — Théorème de bandelin dans le cas du cylindre de révolution. 

17:{.-i — On donne un cùne de révolution et une sphère inscrite. Knveloppe des plans tangents à la sphère qui coupent 
le CMiii- suivant une parabole. — Lieu du foyer de ces paraboles. On coupe le cône par des plans parallèles à un plan langent. 
Lieu des foyers des i>araboles de section . 

Géométrie descriptive (.M. Lévi). 

1736. — On donne un plan par sa ligne de plus grande pente; lui mener une perpendiculaire par le point Wn. 
I7:i7. —Angle de deux plans dont on connaît l'intersection et les traces sur le plan horizontal. 

1738 — Un donne une droite A.V dans le plan horizontal, une autre droite BB' dans le plan vertical. — Trouver leur 
perpendiculaire commune et leur plus courte distance. 

1739. — On donne un plan par trois points. — Le faire tourner autour d'un axe vertical, de fa(;on h le rendre perpen- 
diculaire à un plan donné par ses traces. 

1740. — Etant données deux droites quelconques invariablement liées, peut-on les amener par une rotation à être de 
Iront ? 

l"/» i . — L'ne droite (oa, o'a'\ rencontrant la ligne de terre au point (o, o') est la bissectrice de l'angle des traces d'u n 
plan, bélerminer ce plan. 

1742 — .Mener par un point (u, <d') un plan faisant des angles donnés a,? avec deux plans donnés, l'un vertical, 
l'autre de bout. 

1743. — On donne clans le premier bissecteur un cercle île rayon R cl de centre (o, o'), contour apparent d'un cône 
ayant ce cercle pour directrice et pour sommet un point donné S. 

1744. — On donne un plan par ses traces et dans ce plan un cercle dont on a le rabattement ; ce cercle est la base d'un 
cylindre dont les génératrices sont parallèles à une direction cli)nnée. — Contours apparents de ce cylindre. 

1745. — On donne trois droites concourantes par leurs projections ; ce sont les génératrices d'un cône de révolution. 

— Contours apparents de ce ci'me. 

1746. - On consirlère un tétrai'dre régulier siibc, dont la hase alic rst dans le plan horizontal ; on considère le cône 
ayant pour sommet le point h et pour ilirectrice le cercle circonscrit au triangle tac. Section de ce cône par le plan bis- 
secteur du dièdre \C. 

1747 . — On considère un cône dont la b-tse est dans le plan horizontal ; on le coupe par un plan PaQ' dans lequel on 
prend une droite 'D, D'). Chercher le point de la section plane pour lequel la tangente est parallèle il (D, D'). 

174H. — On donne un tétraèdre et un cône ayant pour sommet un sommet du tétriièdre et pour base le cercle cir- 
conscrit au triancle de la face opposée. Intersection du tétraèdre et du cône. 

1749. On considire un tétraèdre régulier snhc, dont la hase est dans le plan horizontal. Contour apparent horizontal du 
cylindre ajnnt pour base le cercle circonscrit à la face asc ri pininlirecliicc la génératrice sh. — Intersection de ce cylindre 
a»ec une ilroiti- I» située dans le plan ash. — Intersection aM-i- \v plan blsscteunlii dièdre nb. 

175W. — l'oint d'Inflexion du développement de la seclmn d'un cylindre par le bissecteur du premier dièdre 

I7.M — On consili're une hyperbole dans le plan horizontal et une droite aft : c'est la trace d'un plan qui contient 
deux droites ou, oh iu: coupant en un point de cote donnée — ua. ot, sont les directions des génératrices de deux cylindres 
qui ont polir iliierirn e commune l'hyperbole donnée. - Intersection des deux cylindres. — Peut-on déterminer le plan de la 
seconde courbe commune ? 

1752. — Déterminer dan» le plan PjQ' un cercle de layon donné qui soit tangent aux deux plans de projec'Jon. 
Ce cercle est la base de deux cônes dont les sommets sont sur .ry. On demande l'intersection des deux cônes. 

1753. — On donne un cercle pur son plan l'xU' et son rabattement sur le plan horizontal. On prend sur une horizon- 



EXAMENS ORAUX DE 1900 (ËCOLE CENTRALE) 190 

taie de l'espace deux [joints ia,a'), {b, b'j. Ce sont les soiimiets dedeiu r^'ines ((ui oui pour directiice comiuune le cercle ilotiné. 
Intersection de ces deux oignes. 

1754. — On considère un cône dont la base est dans un plan de bout et le sommet sur xiy ; un cylindre dont la base 
est dans un plan vertical et dont les génératrices sont hoiizontales. Intersection de ces surfaces. 

1755. — On considère un tétraèdre légulier dont la base abc est dans le plan horizontal; un premier cylindre a pour 
base le cercle circonscrit à la l'ace sbi: et pour génératrice xa ; un second cylindre a pour base le cercle circonscrit au triangle 
sab et pour génératrice se. Intersection des deux cylindres. 

1756. — On donne un cône de sommet (s, s') ayant pour base un cercle du plan horizontal. Quelle sera la nouvelle base de 
ce cône transporté parallèlement à lui-même de fai;on que son sommet vienne en un point {7, z) ? Intersection de ces deux cônes. 

1757. — Centre et rayon de la sphère inscrite dans un tétraèdre. 

1758. — Plans tangents aune sphère par une droite donnée. 

1759. — Plans tangents communs à un cône et a une sphère. 

1760. — On donne trois points dans le plan horizontal et un plan P ; déterminci' la sphère passant par ces trois points 
et tangente au plan P. 

1761 . — Sphère passant par trois points dans le plan vertical et tangente au bissecteur du premier dièdre. 

1762. — On considère deux plans donnés par leurs lignes de pins grande pente et deux points. Faire passer par ces 
deux points une sphère tangente aux deux plans. 

1763. — On considère deux plans, l'un vertical, l'autre de bout ; dét(^rminer un cylindre de révolution tangent à ces 
deux plans : l" sachant qu'il passe en outre par un point donné ; 2° connaissant le rayon II de ce cylindre. 

1764. — Mener une droite parallèle à une direction donnée et ii des distances «, b de deux points A et B. 

1765. — Mener par un point une droite rencontrant une droite donnée et passant à une distance donnée d'un point 
donné. 

1766. — Mener par un point .V une droite située a une distance dormée d'un point donné et à une autre distance 
donnée d'une droite donnée. 

1767. — Mener par un point une droite à une distance donnée d'une droite donnée et faisant un angle a avec une 
droite donnée. 

1768. — Mener par un point une droite à une distance donnée d'une droite donnée et faisant un angle donné avec un 
plan donné. 

1769. — On donne deux droites .-V et B ; mener une droite située ii une distance n de A, à une distance b de lî et 
parallèle à une droite donnée J. 

1770. — Mener une droite s'appuyant sur deux droites .V et B et faisant avec les plans de projection des angles 
donnés i et ]3. 

1771. — Résoudre un ti'ièdre connaissant deux faces et le dièdre opposé à l'une d'elles. 

1772. — Résoudre un trièdre connaissant les trois dièdres. 

1773. — On considère un cercle délini par trois points (a, a'), [h, b'], {1:, 1:'} ; ou fait tourner ce cercle autour de xy. 
Méridienne de la surface de révolution ainsi obtenue. 

1774. — Etant donnée la projection horizontale d'une courbe située dans un plan ([uelconque et une droite de front 
trouver un point de la surface engendrée par cette courbe en tournant autour de la droite. Plan tangent en ce point. 

1775. — On donne un ellipsoïde de révolution à axe de bout; lui mener un plan tangent par une droite. 

1776. — On donne un ellipsoïde de révolution autour d'un axe de front ; lui m Micr un plan tangent par une verticale 
donnée. 

1777. — Intersection d'une droite et d'un ellipsoïde de révolution : 1" à axe vertical ; i" à axe de front. 

1778. — On donne en géométrie cotée un ellipsoïde ii avi; hoi-izontal (de cote S|. Interseclion de cette surface avec une 
droite. 

1779. — On donne une courbe dans un plan déterminé par sa ligne déplus grande pente; on la fait tourner autour 
d'une horizontale, intersection de la surface ainsi engendrée avec un plan donné également par sa ligne de plus grande pente. 

1 78 J. — On considère une sphère : dans le plan de front du centre, on prend une droite si, s'a', comme axe de révo- 
lution d'un cône (s, s'), dont on donne le demi-angle au sommet a. Intersection de ce cône avec la sphère. 

1781 . — On considère une sphère et un cône ayant pour sommet un point di^ la ligne de terre et pour directrice la 
section de la sphère par un plan de bout. Intersection des deux surfaces. 

1782. — On considère un tore à axe vertical : on le coupe par un plaji de bout; on obtient ainsi la directrice d'un 
cône dont le sommet est le pied de l'axe du tore sur le plan horizontal. I) ■terminer l'intersection des deux surfaces. 

1783. — On donne un cône de révolution délini par son axe et son angle au sommet Peut-r)n lui mener une normale 
[larallèlu à une direction donnée (A, A) ? 

178-1i. — On donne un cône de révolution dont l'axe est xy et la génératrice {sa, s'a'). Mener une normale à ce cône 
par un point (w, u'). 

1785. — On considère un hypcrboloïde déQni par son cercle de gorge et sa trace sur le plan horizontal. Déterminer les 
génératrices dont la projection verticale est parallèle à une direction donnée. Déterminer le point de cette génératrice où le 
plan tangent fait l'angle a avec le plan horizontal. 

1786. — On considère l'hyperboloide engendré par la ligne de terre en tournant autour d'une horizontale. Contour 
apparent vertical de la surface. 



200 QUESTIONS l'HOPOSÉES 



1787. — On donne un hyperboloîde engendré par une droite (G. G) en tournant autour de ry. Lui mener des plans 
langi'utj paralli-k'S à une droite donnée (A, A') le point dp contact étant sur un parallèle donné. 

17S8. _0n donne une droite quelcoM(|ne lournant autour d'un axe vertical; construire une génératrice quelconque 
de la surface engendrée, puis menant par celte génératrice un plan <|uclconquc. trouver le point où ce plan est tingent h 
la surface. 

1789 — On considère un hyperboloîde défini par deux cercles concentriques ; l"un de cote est la trace sur le plan 
horizontal, lautre de cote 8 est le cercle de gorge ; construire une génératrice, plus le point de contiicl d'un plan tangent 
mené par cette génératrice. Ce point peut-il être à l'intlni .' 

1790. — On donne un hyperholonle à axe vertical. Section par le plan bissecteur du premier dièdre. 

i79I. — Déterminer la courbe de contact d'un cùne de sommet S circonscrit à un hyperboloîde à axe vertical. 

1792. Peut-on mener à un hyperboloîde de ré\olutlon un plan le coupant suivant une parabole: 1" par un point 

donné : — 2° par une droite donnée '? 

1793. — t>n considère un hyperboloîde de révolution, l'culon lui mener un plan asymptote à une distance donnée 
d'un point donné'? 

1794. — .Mener s un hyperboloîde de révolution à axe quelconque un plan asymptote qui fasse un angle x avec un 
plan donné. 

1795. — Chercher si l'on peut mener à deux hyperboloîdes de révolution des plans asymptotes parallèles. 

179(j. _ On considère une droite de front autour dr laquelle tourne une droite (G, C.') ; par un point de l'axe, on mène 
une verticale (Z, Z) ; intersection de cette droite avec l'Iiyperboloïde engendré par (G, G'|. 

1797. — l'n hvperboloïde a pour axe la droite de fiont (F, F') et est engendré par vme droite (D, D'). Intersection par 
une droite dont la [irojeclion verticale est aussi D'. Mener par celle droite un plan langent h l'hyperboloïde. 

1798. — Intersection d'un hyperboloîde h axe vertical avec une droite ne rencontrant pas l'axe. 

1799. — Intersection d'un cône ayant pour base une courbe donnée dans le plan horizontal et d'un hyperboloîde à 
axe de bout. 

1800. — Intersection de deux hyperboloîdes qui ont une génératrice commune. Branches infinies. 

1801. — Intersection de deux hyperboloîdes engendrés par une même droite en tournant autour de deux axes paral- 
lèles, verticaux par exemple. 

1802. — On donne deux droites dans un plan de front : ce sont les axes de deux hyberboloïdes engendrés par une troi- 
sième droite quelconque. Intersection des deux surfaces. 



QUESTIONS PROPOSEES 



1025. — Pour con.slruirc une parabole tangciili' (>ii A ol H à deux droites données, OA et OU, on mène 
par A il 11 les parallèles AA' et bU' ii la médiane du triangle UAI5 issue de 0; puis, on l'ail tourner une 
droite autour de 0, qui rencontre AA' en (J, "•*' en 1' ; on joint AP et HU ; le point de rencontre .M de ecs 
deux droites décril la paraliide. Ite plus, la tangente en M est paralhMeii PU. 

boniiiT une dciiioiislralion geoiMeIriiiiu' et étendre cette eonslruelion eonvenablenienl modiliée au cas 
d'une conique tangente ii deux droites données (lA cl Oit en A cl H cl passant en un troisième l'oint donné C. 

J. liniiii). 

1026. — On ronsidcrc trois axes rectangulaires et un plan vaiialde P qui eonpe ces axes aux points A, 
Il et il, de telle sorte qu'en désignant par a, b cl c les longueurs des eOtes du triangle Alit;, ou ail 
3c' = a' -»- b*, el on demande les lieux du centre île gravité, du centre du cercle circonscrit, des centres, des 
cercles inscrit et exinsrrits au triangle AHt:. 

BvL.UU.N. 



Le lihiaclmr-Géranl : II. VUIBEHT. 



KAH-LS-bUU, Mr. CullTa-JAC4iUK1. 



11" Année. 



N" 9. 



Juin 1901. 



REVUE DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES 



PREMIÈRE PARTIE 



SUR LE TIIKOREME DE PONCELET 
par >l. Mathieu \Areill. 



On sait qnp si doux coniques sont telles qu'il existe un polygone de n côtés inscrit dans l'une 
et circonsciil ;i l'autie, il existe une infinité de pareils polygones, un sommet d'nn de ces polygones 
étant un point quelconque de la conique circonscrite. Nous allons présenter, sur les cas très simples et 
bien connus du triangle et du quadrilatère, quelques considérations d'une nature tout à fait élémen- 
taire. 

Élude du triangle. — Considérons un triangle inscrit à une conique G et circonscrit à une 
conique C. 

Soit A un point commun aux deux coniques; menons en A la tangente à la conique C; cette droite 

coupe la conique C en un point B, qui est le point de contact d'une 
tangente BD commune aux deux coniques, car il existe un triangle 
aplati, formé de la droite AB prise doux fois et de la droite BD, qui est 
inscrit dans la conique G et circonscrit à la conique C'. 

Réciproquement, si deux coniques G et C présentent la propriété 
indiquée, il existe une infinité de triangles inscrits dans la première 
et circonscrits à la seconde. 

Le système de ces deux coniques est représenté, comme le montre 
un calcul très simple, par les éiiuations 

a^ - f = 0, 
A^-' -(- «(Bp + C-f) = 0, 

a, p. Y, désignant les premiers membres des équations de trois droites, A, B, C, désignant des cons- 
tantes. 

En donnant diverses valeurs aux fonctions linéaires a, p, y, et aux constantes A, U, C, on obtient 
tous les systèmes de coniques répondant à la question ; on en conclut, en particulier, que si l'on consi- 
dère les deux coniques ayant pour équations 

y^ — ^px = 0, 
ri/ — )«'■' = 0, 

il existe une infinité de triangles inscrits dans rune f/uelrmii/iir de ces deux coniques, et circonscrits à 
l'autre. 

L'équation en ). des deux coniques générales est 

),(B 4- X)> - AC" = 0. ou l' ■+- 2BX'-' -+- B=X — AC= = 0. 




(C) 
(C) 



202 



SUIl I,E THÉORl-MK DE PONCELET 



Comparons celle cqiialion à l'ûiiualion géni^rale 

AÀ^ _(- 0X2 -H fi'X -4-y = 0: 
nous en concluons «luc 

0- 0' 
= —, ou '(2 — 4iO' = 0, 

condition bien connue. 

Appliquons celle formulo au cas de deux cenles ayanl pour équalions 
(C) (X— S)» -V. ./» — ?> = 0, 

(C) xM-»/»-K' = 0. 

L'équation en ) est 

ly - À-(î^ — -2:J — W) -- /Y2R- + o'^ - î=) -+- R-^ = ; 
d'oii la relation 

(Jî _ 2o2 — R>)2 - .4d'(2R2 -t- ?* — 8'') = 0, 
ou ô= = R= ± 2R,D. 

C'est la relation entre la distance des centres et les rayons du cercle circonscrit à un triangle et du 
cercle inscrit ou ex-inscrit, le signe — convenant au premier cas. 

On peut, par d'autres procédés, sans parler dus mélliodes de la géomélrii' l'ItMiinnlaiie, arriver 
simplement à ces formul( >. 

Soit, en eflet, A l'un des deux points cycliques, communs aux diMix circonférences G et C; la 
tangente en A à C coupe C en un point B qui est le point de contact de G avec une des tangentes 
communes aux deux circonférences ; or les équalions d'une tangente rommune erlrrieurr sont 

{.r — o) cos ï -t- 1/ sin a — p = 0, 
xcos ot + t/ sin » — R = ; 

R —0 
d'où cosot = — y^- 

Les coordonnées x,. i/, du point H satisIVnit ;iux relations 

X, = Rcosa, »/i = Rsina, »/| = (\x, — o) (j désignant l'imaginaire v^— l), 

d'oii l'on déduit 

(Rcosa -î)»-hR'sin»a = 0, ou R^ -+- Ô2 _ 2Î1I cos a = 0, 

d'où î' = U' - -Ml?. 

Opérant de môme pour une tangente commune intérieure, on truuve o^ = R^-H2Rp. 
Il est remarquable que les deux cas du cercle inscrit et du cercle exinscril, s'obtiennent ainsi 
séparément. 
On i)eiit encore obtenir, par des considérations de géométrie réelle, la seconde formule. 

Soient p, R, 0, les rayons el la distance des centres; désignons 

lil) [)ar / l'i DRU par i; nous aurons 

p = /tg», 

RA = / = 2R sin 2a = 2R -j—-^, 

/'-4-p' 

?' = (R-p)'-+-/S 

don î'^ = (R - p)» -h -IRp — p> z= R^ + 2Rp. 

1'" Rkmakode. — En appelant i» l'angle sous lequel se cou- 
pent les circonférences, on a 5' = R' -h p' + 2Rp cosid, 
d'où p = 2R(1 — cos (u). 

On en conclut que si dans un triangle les cercles circonscrit el exinscril sont égaux, ils se coupent 




SUR LE THEOREME DE PONCELET 



203 



sous un angle de 60°; si le rayon du cercle exinscrit est double de celui du cercle circonscrit, ces cer- 
cles sont orthogonaux, etc. 

2" Rkmaroue. — En prenant 

a - x{t^ — l)—'2l;i + p{t'-hi), P = a'(<'-^-l)— 2/';/ +?(«'- -+-1), -( = 4 l _ <n + j/(<-h(') — ?(< +«'). 
l'équation ï3 — -(■- = représente le cercle 

x'^ -^rf — f = U. 
Dés lors, en disposant des quantités A, B, G, dans l'équation 

de manière qu'elle représente un cercle^ on retrouve, à l'aide d'un calcul qui constitue un exercice 
intéressant, la relation entre R, s. et 0. 

Etude du quadrilatère. — Soient deux coniques G et G' telles qu'il existe un quadrilatère inscrit 
dans G et circonscrit à G'. Si en un point A commun aux deux coniques, on mène la tangente 
à G', elle coupe laconique G en un point M par lequel passe la tangente à G' en un autre point B 
commun aux deux coniques, et le quadrilatère aplati AMB.VIA répond à la question, et réciproquement. 

Dès lors, le système des deux coni(|ues répondant à la question a pour 

équation 

(C) .?_•;» =0, 

(G) Aap -H Br; + Cy? = 0, 

A, B, C, étant des constantes. 
L'équation en À est 

X(Â+À)' + BC(A-4-X) = 0; 
l'une des racines, a', est égale à — .\, et la somme des deux autres 
est aussi égale à — A ; 

on a donc )." -+- À'" = À'. 

D'autre part, l'équation développée est 

i).|-H 0).2 + e'À -(-Y = 0, 



A 




et l'on a 



2)/; 



donc 







2i 



est racine, d'où résulte la relation 



et _ 'lAOO' ^- Sa'a-^ = 0. 
Considérons en particulier les deux cercles qui ont pour équations 
(C) (x - 5)= + y"- - ?-■ = U, 

(G) «' -t- >f- — fi' = 0- 

1" méthode. — L'équation en X est 

(X -H iWf H- À(p2 + R» — a-; + R-j = 0, 
ou bien X»?» -t- X»(2p' -t- R» — o^) -h Xf ■+■ 2R'^ — S') + R' = 0. 

Appliquons à celte équation la condition générale ; nous trouvons 

(3p2 -+- R= — (>-Y — 4?'{2p= ^- R- - 82)(p-^ -)- 2R'- - î') -h 8R^o' = 0, 
formule qui se décompose en 

V — R^ = 0, et (R* - S')- — 2p-(R- -h 0') = 0. 

La première relation montre que si une circonférence passe par le centre d'une autre il e.\iste des 



20'i SUR LE TIIEkKKMI' DE PONCKLET 

quadrilatères inscrits dans la première et circonscrits à la seconde ; ce résultat n'est, d'ailleurs, qu'un 
cas particulier du théorème établi pour deux coni)|nes ; la seconde relation correspond à des circonférences 
qui ne se coupent pas: on voit, en ellet, que est supérieur ;i R-*-?, ou inférieur à 't— ?. "n peut 
cherrher les valeurs entii-res de p, K, s satisfaisant à la relation 

'^ Rî-4-8» 

Une analyse facile conduit aux formules suivantes : 

: = Aaba^ — b-), R = [a* — ^ah — h-)iii^ + ir-). S = [a- ■+■ tait — h-)(a' -t- 6»), 

a et II étant deux entiers quelconques premiers enln" <mix : on peut d'ailleurs permuter 3 et K. Kn faisant 
par exemple 6 = 1, a — % on trouve les deux solutions 

? = 24, I ? = 24, 



' H = 5, et N S = 5, 

( = 35, ( R = 35. 



La première correspond à deux cercles extérieurs l'un à l'autro el la seconde à deux cercles intérieurs 
l'un à l'autre. 

2' méthode. — Un peut trouver très simplcnionl les conditions ((ui conviennent à deux cercles de la 
manière suivante : l'équation en X des deux coniques donne, entre les trois racines, la relation 
À'-t-X"= ).'. Or, l'équation en X des deux cercles admet une racine égale à — 1 et les deux autres 
racines sont données par l'équation 

>ra^ -t- l[f -+- K- - 0- + R2 = U. 

1* Si la racine X' est égale à — 1, on aura 

r -+- X'" = — 1 , ou — H- 1 , 

P 

d'où R = 0, ce qui est la première solution. 
2" Si c'est X" qui est égale n — 1, on aura 

X'" — !=>/, ou (X'" — X')2 = l, 

cest-a-dire ^ r- = i, 



/ p'H-R--o' y 



,2 



ou f R2 — 8»)» — 2?=(R» -h ô«) = 0, 

ce qui est la seconde solution. 

3« méthode. — On peut, enfin, arriver direcli'iiirntà tous ces résultais par la considération des points 
cycliques. En effet, le quadrilatère aplati AMU est Iminé par les tangentes au cercle C aux deux points A 
et U communs aux deux cercles; il peularriverquo ces points A et B soient les deux points cycliques, auquel 
cas M est le centre du cercle G', et comme il est sur le cercle C, on retrouve la première solution. Même con- 
clusion si les points A et U sont les deux pointsaulres()aeltispointscyliciues communs aux deux rerclcs; 
car, s'ils sont réels, il y a un quadrilatère aplati réel ANIlî. elil en résulli' que le cercle G passe parle centre 
de C' ; et, s'ils sont imaginaires et associés, il snflira d" raisoruior sur les points cycliques qui alors sont 
aussi associés ; dans ce cas, il n'y a pas de quailrilalèii's réels. 11 en est tout aulrem<'nt, si, les quatcc 
points de rencontre étant imaginaires, on associe un point cyclique A à un point B non cycli(]ue; 
appelons .r,, 7, les coordonnées du point iniaginairi' 15 lommun aux deux cercles et non cyclique ; les 
tangentf'S en A et B ont pour équaticjns 

1/ — j.r = — iô, v'/i ■+- •''(^1 — ^) — ^J'i "•" P' — *'• 

Exprimons que leur [)oinl commun est sur le cercle G ; nous aurons la relation 

[— iô{x, — «) -H i(5x, -I- ?» — 8«)]» -t- (?T, -+- ?* — P 4- i8y,)' = R»(x, — 8 -t- ty,)», 



aUll LE THÉORÈME DE PONCELET 



205 



ou 

en posant 

On a d'ailleurs 



Z =: Xi — 
?' + R^ 



R-;2 = 0, 



92 



K.li 



= A;-R^ 




Après simplification, on retrouve la relation qui con\ienl à la seconde solution : 

Théorème. — Si, autour d'un point fixe, on fait tourner dciiv droites formant une involulion, ks droites 
qui joignent les points où ces deux droites rencontrent une conique fixe sont les côtés d'un i/un.drilalcre qui 
se déplace en restant inscrit et circonscrit à deux coniques fixes. 

En effet, soit P le point lixe et soient AB et CD les deux droites qui for- 
ment involulion ; on voit immédiatement que d'un point A pris sur la coni- 
que fixe on ne peut mener à l'enveloppe des droites telles que AC que deux 
tangentes, qui sont AC et AD. Les tangentes à la conique en A, B, C, D se 
coupent en quatre points M, M', M", M'", sommets d'un quadrilatère qui se 
déplace en même temps que ACBD, et qui est, lui aussi, inscrit et circonscrit 
à deux coniques lixes ; les droites doubles de l'involulion des droites AB, CD, 
sont deux sécantes communes à ces deux coniques, comme le mijnlre un 
raisonnement géométrique très simple. 

Théorème réciproque. — Lorsqu'un quadriliitère se déplace en restant ins' 
crit et circonscrit à deux coniques, les droites qui joignent les points de contact 
des côtés opposés passent par un point fixe et forment une involulion, dont les 
droites doubles sont deux sécantes communes aux deux coniques. 
La démonstration est facile. 

Considérons par exemple deux circonférences intérieures l'une à l'autre ; si un quadrilatère MM'M'M'" 
se déplace en restant inscrit et circonscrit à ces deux circonférences, les droites AB et CD qui joignent 
les points de contact des côtés avec la circonférence intérieure passent par un point fixe P, et y forment 
une involution dont les droites doubles sont les isotropes partant de P ; donc les droites AB et CD sont 
rectangulaires; ce théorème est le réciproque d'un théorème bien connu de géométrie élémentaire. On 
peut remarquer que le point P est un des points limites du système des deux circonférences. 
Même résultat si les circonférences sont extérieures l'une à l'autre. 

Mais, si les circonférences se coupent, P est à l'infini, et la corde commune forme avec la droite de 
l'infini le système des droites doubles de l'involution; en d'autres termes, les droites AB et CD sont 
parallèles à la corde commune aux deux circonférences, et équidistantes de cette corde : on peut donc 

énoncer le théorème suivant : 

Théorème. — Lorsqu'une circonférence 0' passe par te centre 
d'une autre circonférence et la rencontre en II et S, deux droites 
parallèles à US et équidistantes de RS coupent la circonférence 
en quatre points A, B, C, D, qui sont les points de contact de la cir- 
conférence avec les côtés d'un qimdrilatère inscrit dans lu circon- 
férence 0' et circonscrit à la circonférence 0. 

En particulier, si au point 11 où 00' coupe la circonférence 0, 

■ nous menons la tangente M.M' à cette circonférence, le quadrilatère 

aura pour sommets les points M et M' pris chacun deux fois, et 

ces points seront les points de contact des tangentes communes 

aux deux circonférences. 

Remiirqiie yënérale. — Lorsqu'un polygone est inscrit dans une circonférence 0' et circonscrit à 




906 GKOMKTUll': ANALYTIQUE 



une circonférence 0, les points de conlacl des cotés sont les sonitnels duu poly^'one inscrit dans la 
circonférence et circonscrit ii une ellipse dont un des foyers est en 0. 

Pour le triangle on a lenoncé suivant : 

On peut circonscrire à une oUip-ie des triangles inscrits dans le cercle directeur relatif à un foyer; 
dans tous ces triangles la somme des carrés des cotés est constante. 

Four le quadrilatère, on a l'énoncé suivant : 

On peut circonscrire à une ellipse des (luadrilalères inscrits dans une circonlérence ayant 
pour centre un foyer F et pour rayon ^in- -t- te- (avec les notations ordinaires^; pour tous ces 
(juadrilalères, la somme des carres des cotés est constante. 

Ou peut, en général, énoncer le théorème suivant : 

Théorème. — Lorsqu'un polygone convexe V se déplace en restant inscril dans une circonférence et 
circonscrit à une autre circonférrnce : 

\° Le rapport entre l<i surface du poli/ijonc 1' el cette dupohj'jone Q (jui a pour sommets les points de 
contact des côtés du premier demeure constant; 

2° La somme des carrés des côtés du polijgone O reste constante ; 

3° Lo somme des distances d'un point fixe du jiUtn aux côtés du jwtyijone F reste constante; la valeur 
de la constante varie acre la position du point fixe. 

k" Le centre des moyennes dislances des sommets du p'jlyyonr F décrit une circonférence, celui des 

sommets du polygone Q est fixe. 

La démonstration des diverses parties de le théorème e.<l très facile pour les cas du tnaugle el du 
(juadrilalère ; elle l'est beaucoup moins pour le cas général. 



GKUMKTIU!-: A.N.M.VTIUL'E 



947.— On considère une quadrique (J et un point 0. 

1" 7'rouier lelieu C des cordes KO delà quadriguc ij (/ui p i^siui'.rn 0,cl lellaque - -j^ = ^S '•' étant 

un nombre donné. 

2" IHscuter l'énuat'ion du cône C, trouver son intersection avec la quadrique Q, et interpréter géométri- 
quement hi résultats tmuvés. 

3° Lieu des centres des sections de la quiidrninf (J par les plans tangents au cône C. 

4" On suppose que le nombre h varie et an deminde : 1° le lieu des axes du cône G; 2" /»? lien de ses 
liqni's foralrs ; 3" ienerluppc de ses plansdr section circulnire qui passrni par un point donnr. Que deviennent 
les résultats si la quadrique (J est de révolution '.' 

1. — Prenons pour axes de coordonnées trois axes rectangulaires quelconques passant pai le point 
0, el soit 

(Q) (?(x, y, :) ■+■ SCr -+- 20';/ + 2C": -t- D = 

l'équation de la quadrique Q; cp(j, ;/,i) désifrne l'ensciinble des termes du second degré. 
Une droite quelconque passant par le point () a pour équations 

•^ = «p. .V = P?. = = tp. 

el les p des points A el D où elle rencontre la quadrique sont racines de l'équation 
I ' ?'<?(«, îf', y) -h *?(t:x -i- C'p -H C'y) -+- L) = . 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 207 



Ces valpiirs de p sont proportionnelles aux segments OA et ÔB. Pour que la droite considérée appar- 
tienne au lieu cherché, il faut que le rapport des racines de l'équation (1) soilégal à k. 
Soient pi et p^ ces racines; nous avons 

2(Cct + C'P -I- C'y) d 

' '^ ?(«, !i, r) ' ' " ?(«, ?, •!) 

Remplaçons p, par ko,, ces égalités deviennent 

„ ,> 2(Ca -h C'^ + C'y) , D 

et, en éliminant p,, nous obtenons 

4A- 

■ '"' ^' '^ ~ D(i + ky - ^^" "^ ^'^ ^ ^''"' " "■ 

Il en résulte que l'équation du lieu des droites OAB est 

o(a;, 7, :) -+- /i(Gx -h Cj/ -f- C'j)^ = 0, 
ou 1 on pose /( — 



D(l + kf- 

Ce lieu est un cône (C) du second ordre ayant pour sommet le point 0; il est bitangent au cône 
des directions asymplotiques de la quadrique (Q), qui a pour sommet le point U [o(x,y, z) — 0], le 
long des génératrices sections de ce cône par le plan P qui a pour équation Cx -+- C'y -^ C"z — 0. Ce 
plan est parallèle au plan polaire du point par rapport à la quadrique Q. 

2. Pour avoir l'intersection du cône C et de la quadrique (J, retranchons les équations de ces 
deux surfaces ; nous obtenons l'équation 

yi] h(Cx -t- C'?/ H- Cs)^ — 2(Ca; + Cy -h C":) — D = 

qui représente deux plans parallèles au plan P. 

11 en résulte que le cône C coupe la quadrique Q suivant deux coniques situées dans des plans 
parallèles. Ces plans sont toujours réels, car en résolvant l'équation (2) par rapport à Cx -\- C'y -h C's, 
on trouve, en tenant compte de la valeur de h, 

Cx+C, + C.= --5ilf^, et Ca. + Cy + C".=.-Hi±i^ 

Ce résultat pouvait se prévoir. En effet, l'intersection de la quadrique Q et du cône C est formée par 
le lieu des points A et B. Comme on a ÔÂ = k. OÏÏ, quand le point B décrit la quadrique Q, le point 
A décrit la quadrique Q' homothétique de Q dans le rapport /.-. Par conséquent, le lieu de B est une 
conique intersection de U et de Q'. 

Or Q' a pour équation 

ç(./', 7, :)-f-2/.-(Cx-HC'y-i-C':j -t- D/c» = 0; 

par suite, le plan de la conique intersection de Q et Q' est représenté par 

2(A - IXCx-l- Gy + C"z) -+- D{k' — 1) = 0, 

ou Cx -t- C'y + C's -+- 5ii±^ =. 0. 

De même, le lieu de A est l'intersection de Q avec la quadrique U' homothétique de (J dans le 

1 

rapport —— ; le plan de cette conique a pour équation 

Cx -h C 1/ H- C": H — — = 0. 

3. Prenons pour axes des parallèles aux directions principales de Q, de sorte que &{x, y, z) a 



208 GEOMETRIE ANALYTIQUE 



la forme Ax' -h Ai/- + A':-, et l'équalion du cimc C est 

Aa-2 -+- A't/2 -^ A':» -h /i(Cx + C'y + C':)« = 0. 

Cherchons la condition pour qu'un plan ui - vy -+- tcz = soit langent k ce cône. Il faut élimi- 
ner j-, y, : entre les équations 

Aj + /iCP _ A'y + hC'P A":+AC"P 



H r -H vij -I- k;; = 0, 

oii P désigne la quantité Cx -h C'y -i- C:'. 

Désignons par ? les rapports (3i ; nous en tirons 



OH — /iCP pv — hC'P pw — /iC'P 

y = - 



\ ' •' A' 

nous portons ces valeurs dans les relations 

ux -+- l'y -I- irz — et Cx -+- C'y -+- C"z = P, 

nous obtenons 

/C« Cv C'ii 






P 

cl nous éliminons le rapport — — entre ces équations, ce qui nous donne 

1/' t- , "-• , /Cu Ce C"ir\- „ 

en posant n, = — ,-; -^ t^;— 

Considérons alors un plan tangent au cùne (C) 

(5) nx 4- l'y -h wz = 0, 

«, r, H' vériliant la relation Ci). Le centre de laconique section de ce plan cl de la quadrique Q est à 
l'intersection du plan el de son diamètre conjugué par rapport à Q ; ce diamètre a pour équation 

Aj-4-C A'v + C A":-f-C" 
6) = -^ = 

Nous aurons le lieu demandé en éliminant u, v, w entre les équations (i), (5) el (fi), luette élimina- 
lion est fort simple ; il nous sullit de remplacer dans (4) et (5) h, v, w respectivement par les quanlilés 
proportionnelles Aj -h C, A'y + G', A": -f-C, ce qui nous donne 

x(Ax -(- C) -H y(A'y -+- C'j -h ïCA'î -+- C) = 0, 



(Ax-hC)' (A'v-t-C)' (A'î-t- 
A "^ ' A' "^ A 



-C')» . rC.\x-4-C) C'(A'i/-+-C') C''(A":-(-C')l-' 
__^/„|^___ + .^_ + _ J =0, 



ou, en po.'^anl ? = Ax' -+- A'y' ■+■ A"î», 1' = Gx -t- C'y -4- C"z, E = -f- -t- -^^ -+- -^r 

A A A 

V -+- P = 0, 
o-4-2P-t-EH-A,(P-+-E)' = 0. 
Retranchons la première équation de la seconde, celle-ci devient 

P-»-E-+-/i,a' Kf ^ 0, 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



209 



ou 



ou encore, en remplaçant ^i par sa valeur 



E)!l-l-/i,(P- 
— h 



0, 



1 



/(Eh 

(P-+-E)(— /(P+1) = U. 
II en résulte que le lieu est défini par les deux équations 

(7) ç -K P = 0, 

(8) (P-t-E)(/iP— 1) = 0. 

La première représente une quadrique Q, homotliétique de Q, celle quadrique est le lieu des 
milieux des cordes de Q qui passent par le point 0; l'équation (8) représente deux plans parallèles au 
plan P. 

Le lieu demandé se compose donc de deux coniques situées dans des plans parallèles. 

Ce résultat peut s'expliquer aisément. En elTet, les points A et B décrivent des coniques homo- 
thétiques appartenant à la quadrique Q et situées dans des plans parallèles. Les tangentes T' et T" en 
A et B à ces coniques sont parallèles ; leur plan est le plan tangent au cône le long de la génératrice 
OAB. Or ce plan coupe la quadrique Q suivant une conique tangente en A et B aux tangentes T' et T"; 
par suite AB est un diamètre de cette conique, le milieu I de AB est le centre de cette conique. Le 
lieu du point I est alors l'intersection de la quadrique Qi et du plan P, équidistant des plans des 
coniques lieux de A et de B. On voit facilement que le plan Pi a pour équation hP — i = 0. 

ilais ceci suppose que les points A et B sont à distance finie. 

Considérons maintenant les génératrices du cùne (C) qui rencontrent la quadrique (Q) en deux 
points à l'infini. Pour avoir ces génératrices, nous menons par le point G des plans tangents n, et n,, 
au cône asymptote de (Q), et par le point nous menons des parallèles D, et Dj aux génératrices de 
contact Gi et Gi des plans ni et n,. Les droites Di et D, sont les génératrices de (C) renconirant (Q) 
en deux points à l'infini. Or le plan langent à (C) le long de Di est précisément le plan ih, le diamètre 
conjugué de ce plan par rapport à (Qj est la droite Gi ; tous les points de celle droite sont des points 
du lieu. 

Par conséquent les droites Gi et G, font partie du lieu. On vérifiera aisémeal que le plan 
P + E = est langent à la quadrique Qi et la coupe suivant les droites Cu et Go. 

4. /Ji'ii drs axcx du cône C. — Ces axes sont définis par les équalions 

Aa--i-/iCP X'ij-hhCP A": -h liC'P 



X y 

Eliminons h entre ces équations. Pour cela, désignons par 

Aa; -+■ hCP -t- px = 0, 



et en éliminant hP et p, nous avons 



ces trois rapports; nous avons 



A';/4-/(C'P-(-?.7 = 


:0, 


A";-'-AC"P4-?; = 0, 


A./- C X 




A';/ G' y 


= 


A"z C" : 





ou C(A' — A")yîH- C'(A"— A):a;+C\A-A>y = 0. 

Celle équation représente un cône du deuxième degré ayant pour sommet l'origine. 

Si la surface est de révolution deux des nombres A, A', A" sont égaux, et le lieu se réduit à deux 
plans. 

Lii'u des liijnes focahx du cùiic C. — Soit {x, ;/, :) un foyer du cône (C), nous écrirons que les plans 
tangents menés de ce point au cône (C) sont tangents au cône isotrope de sommet 0, et pour cela, que 



210 



r.ÉOMKTRIE ANALYTIQUE 



«» v' «•» , / Cm C'v Cw y „, , , ,, 

A A' A' 'Va A' A" / 



est divisible par «x + uy -h ivz, ce qui donnp lidiMitilé 
r/.» / Cm Cl) C'w 



A A A \ A A A / 



y ■+■ v'z){ut' -J- l'i/' -t- wz'). 



ou 



1 C' 

-_ -+- A, — S = a;x', 

A A- 

C'C 
2/1, ^r^= .'/:'-^îJ/'- 



1 C'2 



ce 

ih, — — - = art/' -<- yi-'. 



Tirons x', i/', ^ des trois prernièn^s égitlilés et portons les valeurs obtenues dans les trois suivantes; 
nous avons 






f:iiminons S et h, entre ces i-qualions; nou*; obtenons 






\ A" ■' A' ' 

/ c c \^ 



0. 



Cette équation représente un cône du sixième degré. 

Supposons que la quadrique Q soit de révolution, par exemple A' = A". Remplaçons dans le 
déterminant précédent A" par A', puis ajoutons aux éléments de la première colonne les éléments de 

la seconde multipliés respectivpment par — — ; l'équation devient 

r." C 
■y 



A' 



v'-^=^ {-J. 

\ A A' / Va A' / 



= 0. 



Divisons les éléments de la première colonne par -^ puis rolranclions-les de ceux île la 



seconde ; il vient 



!/• 



/C" C V 

Va A' ' 
/ c c \» 



-0, 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 211 



ou, en développant, 

Mettons j/- h- s^ en facteur clans les deux derniers ternips ; le coefficient de y^+s^ est une 

différence de deux carrés qu'on peut remplacer par un produit, ce qui fait apparaître le facteur 

C" C 

—j y r7 s ; on reconnaît ensuite la présence du facteur xi/z et l'équalion s'écrit 

A A 

Le véritable lieu est le ci'me du deuxième degré qui a pour équation 

C C C" 

— (y-' -i- z^)— -jj-x]i '— xz = 0. 

Enveloppe des plunx dt- section cirnilairr du conc (C) gui paxseiU par un point donini. — L'enveloppe des 
plans de section circulaire qui passent par un point A est un cône parallèle au cône enveloppe des i>ians 
de section circulaire qui passent par l'origine. Nous allons chercher cette dernière enveloppe. 

Soit ux -i- vy -\- irz =0 un plan de section circulaire passant par l'origine ; nous devons écrire 
que 

Aa-^ + \Y -H A"z2 4- li(Cx -+- C'y + C":)- - S(,r^ H- y'- -+■ s») 

est divisible par u.r+ vy -h wz, c'est-à-dire que l'on a 

Aj.'= -+- AY -(- A"s2 -H hiCx -+- Cl/ + C"z)2 — S'y -+- i/^ + s'-') = (ux -+- ry -+- wz){u'x -f- v'y -f- w'z), 

ou A -f- AC- — S = uu'. A' -h liC' — S = vv\ A" -+- kG''^ — S = irw\ 

2/(G'C" = uir' 4- wu', 2/iC"C = ivu' -+- uw', 2/(CG' =^ uv' -h vu'. 

Tirons w', r', w' des trois premières égalités et portons les valeurs obtenues dans le^ trois dernières, 
nous obtenons trois équations du premier degré par rapport à h et S, et en éliminant ces variables, 
nous avons l'équation tangentielle de l'enveloppe 



A";;'- -H A'w- 


w- -+- î«2 


(C'v - Cn-y 


Aiv^ -h A"u2 


w'^ -+- u" 


[Cw — c'uy 


A'«* -4- A«2 


n- -+- «2 


(au — cvy 



cette équation représente un ciine de sixième classe. 

Si la surface estde révolution, par exemple A' = A", on verra par un calcul analogue au précé- 
dent que l'équation de l'enveloppe peut s'écrire 

uvw(Cir — C'vYiCiv' -+- w'-) — C'Hy — G'uw] = 0. 

L'enveloppe est dans ce cas un cône de seconde classe. 

On aurait pu déduire l'enveloppe des plans cycliques du lion des focales, en se raiipiilaiit que les 
focales d'un cône sont perpendiculaires aux plans cycliques du cône supplémentaire. 



il» (.F.OMKTRIE ANALYïlQrE 



967. — 0;) donne un ellipsoide et un pninl P; ii un point M de l'espnre, on fait correspondre le point 
de rencontre M' de la droite PM et du jddu ptdairi dr M. 

1" Lorsque M' est assujetti t'i rester dans un plan Iv), le point M reste sur unr iiuadriijue (Q). Mon- 
trer qu'on peut remplacer le point P et te jilan (K) respectivement par un point F et un plan (K') sans 
changer la quadrique (Q). /Hscutrr lu nature des qundriques (Q) suirunt la position du plan (K) dans 
l'espace. 

2" Trouver, lorsque le plan (K) tourne autour d'un point U, /«■ lieu des rentres des quadriques (Q). 
Ce lieu est une quadrique qui passe par un point fi ce cl une ellipse fixe, lorsque le point R se déplace d'une 
manière quelconque dans l'espace Indiquer la nature de cette ipiodriqur d'après la position du point R. 

.(••^ v' :* 

1» Soient — -i- -Tt -*" "T — * = ^' 

a- fr c" 

l'équalioii de l'ellipsoïde donné (E), jr,, ?/,,:,, .r, ;/. :, j-',i/',:' les coordonnées dos poinU I', M, M'. 
On a les relations 



rt' ii^ (■' 



r—Xt V — î/i 



x — Xi ?/ — !/! î — -1 

En égalant les rapports à À et portant dan< la première équation de condition, on trouve 



L a* A^ c- J 



Soit alors ux -h ry -i- wz -t- c = l'équalion du plan (K). 

On a ux' -i-vij' -h wz' -^-r = 0, ou, en remplaçant j', ... jvir X|-+-X(ar — x,), ... et À par sa valeur, 

{ux, -^ vy, + «•:, -+- r)l^— -^ ^ h- _ _ 1 j - (».r + t;y -^ ,rz + r) [—^ + -i^ + _ - 1 j = 0. 

C'est ré(|uation de la quadrique (Q). 

Si l'on écrit l'équation du plan polaire de P, n'x -+■ v'ij -+- w'z -+- r' = 0, la quadrique (Q) prend la 
forme symétrique 

/x' »/' -* \ 

(«'uu' -I- A'ry' -4- c-«vr'— )v')l — j- -t--^ -h — — 1 1 — (ux-^vy-hiuz -H r) (u'x H- «'»/ H- w'z ■+■ r') = 0. 

On voit qu'on peut miniilacfr le point I' par le pôle V du plan K). el le plan (Ki par le plan 
polaire (K') de P, sans changer la surface (Q). 

I.a quadrique fO) passe par les points 1', I' et les ellipses (e), {e'} d'intersection de l'ellipsoïde par 
les plans polaires de P, I''. 

Pour discuter aisément la quadrique (n), nous supposerons l'ellipsoïde rapporté ;i trois diamètres 
conjugués dont l'un, Ox, passe par le point P (.r — rf, y = (K : = 0). 

(•n a alors pourléquation de (Q) 

(„rf + r;(J + |i + il _ i )- (^Iji _ 1 )(„x -*- «y -4- »/•: + .•) = 0. 

La décomposition en carrés donne 

— X' -h L(Y« -^ Z») + Mdu -+- /•)'.\I = (>, 
oii l'on a 

I, = d'(l,h'* + .■•«■') — -i/i«(f/i/ -t- »)r. M = (o' — rf")(6«t,'' -^- chr*) h- (a'u -+- dr)'. 



GÉOMÉTRIK ANALYTIQUE 



513 



X = L-p — [(l{li'-v' -+- c'ir-^) -+- %du + ,-)yn.hi — dr% 



Y = ^[du -h r) - 



/<y 



{dx — a^), 



Z = 2(c/m 4- /•)- — -^((/.f — a^). 



u, i-, //■, r élaiit los coordonnées tangentielles courantes, l'équalion L = représente un 
ellipsoïde (E') homothétiqiie ;i l'ellipsoïde donné, et qui a son centre au milieu de OP. On voit, d'après 
son équation, que les extrémités du diamètre dirigé suivant OP sont les points et P. L'ellipsoïde (E') 
contient évidemment l'ellipse (e). 

L'équation M = peut se mettre sous la forme 

{d' — a.^){ahi''- -h bH'' 4- i-'^w^ — /■-) — a'idu -+- r)' = 0. 

Elle représente une quadrique circonscrite à l'ellipsoïde donné le long de l'ellipse (e). Mais comme 
le discriminant du premier membre est nul, cette quadrique se réduit à une conique : c'est donc 
l'ellipse (';). Cette courbe est imaginaire si P est extérieur à l'ellipsoïde. Dans ce cas, M est positif 
quelle que soit la position du plan (K). 

La discussion demandée est contenue dans le tableau suivant : 



Flan (K) 


Quadrique (Q) 


1" Ne passe pas par P 

[ Ne coupe pas (e) M > 
Coupe (E') L > ] Est tangent à [e] M = 

' Coupe (e) M < 

1 Ne coupe pas (e) M > 
Est tangent à (E') L = j Est tangent à (e) M = 

( [c.-à d. tangent au cône (C)] 

Ne coupe pas (E') L < 0. — Ne coupe pas (e) M > 


Hyperboloïde à deux nappes 

Cône réel 
Hyperboloïde à une nappe 

Paraboloïde elliptique 
Cylindre elliptique 

Ellipsoïde réel 


2" Passe par P 


Deux plans réels 



Pour abréger, on a employé l'expression couper pour indiquer que l'intersection (ellipse ou points) 
était réelle. 

2° Pour plus de commodité dans les calculs, nous conserverons les mêmes axes de coordonnées. 
Les équations du centre sont 

, . ^ ^ / f'-t' . \ (^ , • ,» 

2(urf -t- r) — - — » ( -— t ) ■ [m- 4- yv -*- '"' -+-'")= ^^ 

(t- \ II* I (i- 

Soient a„, »/„, 3„ les coordonnées du point f{. Pour avoir li," IIimj cberclii', il faut éliminer h, i\ w, r 
entre les équations précédentes et uX(,-\- vy^-\- wz„ -+- r = 0. 



S'14 r.ÊOMKTHIK ANALYTIQUE 



Il est plus simple de prendre pour inconnues 



" =1, 



= 1^. 



ml -h r U(f-hr vit -h r 

On lire imniédiatemonl p et v de donx des équations, et en portant dans les deux autres, on a 
dx 






l/élimination de )| — : 1) donne 



équation d'une surface du deuxième ordre. 

Cette surface passe, quels que soient x,,, t/o. :»• par le point x = —, y =Q. : = 0, conjugué 
par rapport à (E) du point 1' .-ur li» diamètre UP, et par la conique 

dx 



■id 



(|r-^i^)-(^'-'^)(-^-0 = «' '■idx-a^- 



Pnr une combinaison des deux équations, «m aperçoit facilement que cette conique est située sur 

l'ellipsoïde 

(Ix—df Au' \-J 

(E') -î^ j-^ -t- -4- + — - _ 1 z= 0, 

^ ' a' II- c* 

liomolliétique k (E) dans le rapport — . cl qui a son centre au milieu de OP. Le plan 2(/.r — n- — d' = (1 

est d'ailleurs le plan polaire du point P |iar raiipnrt à rot ellipsoïde (E'). Pour disculer la surface 
lieu des centres, nous ferons comme précédemment la décomposition en carrés : 

- X» + L'(Y' -4- Z') ■+- ^^°-/^' m' = 0. 



où l'on a 



I ' = -^0(^0 ~ d) 



^^-i;, M' = [(2,»» -,/>„-n'rf]» + 4fl'(r7' -(/«)(-§- --|-). 

X = 2L'rf.r - («' + rf») ^1 ^- -j; ) - ^^-^ [(2fl' -H rf»)i„ + a»rf], 

Y = 2rf(.r, -rf) ^ — (2rfar— n'— rf») -^'", Z = 2rf(x„ — rf) -- — (2rfx - n* — <f') -^ • 
» I» e r 

Si l'on regarde .r,, t/„. :„ comme coordonnées courantes, ré({ualion L' = est cpIIc i|i' l'cllip- 
so'ïde (E') déjà vu. M' = représente un cône 1 réel si rf>a). Comme on peut écrire son é<|ualion 

4«'(n» - rf')L' -4- d\dx„ — n')« = 0, 

a' 
on voit que c'est le cône (C), circonscrit à 1 ellipsoïde (E') le long de la section par le plan x = —j-i 

c'est-à-dire le lonj: de l'rllipse (*•). Si rf' = 2n', au lieu d'un cône on a un <'vlin(lre. 
^'ous appellerons plan ill le plan langent .i tV,') au point P, r — d = i). 



TRIGONOMÉTRIE 



215 



La discussion, identique à celle déjà faite, est indiquée ci-après : 



Point R 


Quadrique 




1° N'est pas dans le plan (H) 








( Est intérieur à (C) 


M'>0 


Hyperboloïde à deux nappes 


Est extérieur à 


(E') L'>0 j Estsur (G) 


M' = 


Cône réel 




( Est extérieur à (C) 


M<0 


Hyperboloïde à une nappe 




( Est intérieur à (C) 


M'>0 


Paraboloïde elliptique 


Est sur (E') 


L' = n j Est sur (G) 


M'z=0 


Cylindre elliptique 




' [c.-à.-d. sur l'ellipse 


(e)] 




Est intérieur à 


(E') L'>0 — Est intérieur à (C) 


M'>0 


Ellipsoïde réel 


2» Est dans le plan (H) 


Deux plans réels. 



VASNlEli. 



TRIGONOMETRIE 



977. — Deux points \ et B, séparés par une colline, sont à une mi'mf coli' de AH"\'ifi^. 

D'un point G, silué au sommet df ci'tte colline et ayunt pour cote ■\iV,i"\Hii, on mesure les anijles 

a = 01" 32', P = 7B"2S', 

que font les directions CA et .CB avec la verlicah' CD, ainsi que l'anqle des deux plans verticaux ACD_pf 

BCD ; ce dernier angle est de 117° 16'. Evaluer la distance AB. 

{Ecole des Potits ri ('.U'iiisuéei, raiirs spéciaux, 1900.) 

Soit /t = CD = 163"",842 — 48°',263 = 115™,579. 

C On a DA = A tg». DR = /? tir ?, 

et tout revient à calculer le côté AB du triangle UAB, dans lequel on connaît 
les côtés D\, DB et l'angle compris D = 117" 10'. 



I 




AB est donné par la lolalion 



AB 



AD 



AB = 



sin I) sinB 
ADsin D /itffasin D 



, d'où l'on tire 



A ^ sinB 

Pour calculer l'angle B, on doit se servir de la formule 



tg 



A — B 



DB - DA U 

DB -4- DA '^^ ^~2" 



sin B 

lg[l-htga 



COtg- 



Or, 

par suite, 

On trouve ainsi 



lg(J-tg« 



sm p — a) . „ , sm «-(-p) . 

COSaCOSp ^ COSaCOSp 

A — B sin(P-a) . D 

lï = ' 00 g ■ 

" 2 sin (^-.- al ^ 2 

A-B 



'? 



= 13» 12' 43, 47. 



D'autre part 



d'oii 



On en déduit 



2 2 

B = ISoQ'ie^oS. 
AB = fi08-.l21. 



216 



CONCOURS DE 1901 



Calcul uuniérique. 



CALCULS AUXIUAIHES 



B = 76-28' 
P_a= 14" 5(1' 



p^ ï = 138° sin 138° = sin 42" 



_ = 58» 38' 
2 



logsin(fl — a) =1,41 11039 
log sin ^p-l- a) =1,8255109 



D 

~1" 



loglg— =0,2l49ol9 



Calcul de log k 

H3 57 0628451 A = 376 

0,9 . . 338,4 

log 113,579 = -2,0(128789 

Calcul de log sin B 

i8»9'10" . . . 1,4935304 a = 642 
6" 38î),2 
0',5 32,1 
0",03 U9 

log sin B = ï,4935723 

log Ig a = 0,2658384 
log sin I) =1.9488450 



Calcul de 



CALCULS DKFIMTIKS 

A-B 



logsin(p — a)= l,'ilH059 
cologsin(?-Ha) = 0,174'i891 

cologlg-^ = 1,7850481 



loglg-^^-7r-^ = 1,3706431 



13" 12' 40' 
3",47 



102 A = 946 



329 



A — B 


2 
A + B 



= 13x12' 43 ".47 

= 31 "22' 
B = 18" 9' 16,53 



Calcul de AH 

log// = 2,0628780 
log tg a = 0,2658384 

log'inD =1,9488430 
cologsinB = 0,5064277 



2,7839900 
(".0812 893 

0,1 r 

AB = 608,121 



A = 71 



Solulioo!) exacte» : Canti.n, collfgc Chaplal; H. SAiMnn, agcnl-vuyer à Dini'pe. 



coNcoi'us iii: l'.Mii 



CO.NCOl BS C.KNKBAIX DK MATIlKMATKdKS SI'KCIALKS 



Malliémntiqucs fHaris et I)»'parlemenlSL 

1027. — Liant ildiincs un i'lli|>>oi(li- E et une sphi-re S (-(iiici'ntriiitic .'i i(>l clliiisoidc, on prend li' pl;in 
polaire P d'un [>olnt queleompic M par riipporl ii l'ellipsoïde E, puis le pôle yj du pl:in 1' p;ir rapport à la sphère S. 

.Soit la <lr<iile ipii joint le p(»int M au point p. 

i* (Jn denianrie le lieu ('. quedoitdécrire le point M pour <|nc lesdroiles II passent piii un uniiu' point ilouné. 

Tron\er l'équation du eone déeril par les droites h. 

2° Trouver li' lieu que doit derrire M pour que les droites II soient situées dans un plan doniK' n, et 
l'enveloppe des droites II dans ce plan. 

3' Trouver la surface engendrée par li's droites h iju^ind le point M décrit une droite donnée quelcoiuine. 



QUESTIONS PROPOSÉES 2i: 



4° On assujettit lus droites D ii rencontrer une droite donnée A et à ]-ester pai'allules ii un pian donné n ; 

trouver le degré de la surface S engendrée par ces droites D. 

Chercher les conditions dans lesquelles la surface S se décompose. 

{SO mai. de S li . i/3 à 4 h. 1/2.) 

Physique (Paris). 

I. — Lunette aslronoini(iue. 

II. — 1028. — Sur une bulle de. savon ayant la forme d'une sphère de rayon li, on fait tomber un faisceau 
de lumière convergente (fournie par exemple par une lentille recevant de la lumière parallèle et recouverte 
d'un diaphragme qui ne laisserait passer la lumière que par l'intervalle annulaire compris entre deux cii'con- 
férences concentriques de rayons presque égaux) formant une nappe conique circulaire ilont l'axe coïn<-ide avec 
un diamètre de la sphère. La nappe conique de sommet M est transformée par la réilexion en une nappe 
conique de sommet M'. 

On demande de suivre les variations de position des sommets M et M'. 

Comme application, on supposera que la bulle est restée ailliérenle et suspendue au tube qui a servi à la 
gonfler, que ce tube est vertical, que l'axe du faisceau conique coïncide avec le diamètre vertical de la bulle et 
que la lumière est dirigée de bas en haut. On demande dans ce cas comment variera la posilion du sommet M', 
la bulle se dégonflant, si on suppose que le sommet M coïncide avec l'extrémité supérieure du diamètre vertical 
et que l'angle au sommet du cône, 2^, soit égal k 90o ; en particulier, calculer le déplacement de M' dans le 
cas où la bulle ayant atteint un rayon de 10'=™, la pression intérieure viendrait à varier d'une quantité égale à 
O""™,! de merciM'e. On supposera la tension superticielle égale a 7^ dynes par centimètre et la densité du mer- 

cui-c égale à 13,56. 

{S2 mai, de 8 h. il 2 à 2 h. 1/2.) 
C/iimir (Paris). 

I. — Étude des combinaisons formées seulement d'azote et d'oxygène; préparation et propriétés. 

II. — 1029. — l'n mélange d'hydrogène protocarboni', d'Iiydr'ogène Incarboné, d'acide carbonicpie et 
d'hydrogène siliclé occupe 20 centimètres cubes. Api'ès avoir été traité par la potasse, le volume est réduit à 
18". On ajoute alors à ces 18" un volume de 50" d'oxygène et on fait détoner le mélange dans un eudioniètre ; 
après cette détonation, le volume est de 36" ; traités par la potasse , ces 36°° se réduisent à 22" qui sont entiè- 
rement absorbés ensuite par un bâton de phosphore. 

Tous ces volumes ont été mesurés à la même température et à la même pression et corrigés de la tension 
de la vapeur d'eau qu'ils contiennent après l'action de la solution de potasse et après la combustion eudiomé- 
trique. 

On demande : 1° les formules des diverses réactions qui ont eu lieu ; 2" le volume de chacun des gaz du 

mélange. 

(21 mai, de S h. 1/2 à 2 k. 1/2.) 

. 4 

QUESTIONS PROPOSÉES 



1030. — Deux paraboles de sommets fixes et de paramètres constants varii'iit de façon que leurs 

quatre points communs soient sur un même cerc-le. Trouver le lieu du centre de ce cercle. 

M. 0. 

1031. — On considère la splière .-- -f ,'/- -h ^^ — a- r= et le paraboloïde xi/ — a: = 0. Trouver la 
condition pour i(ue les di-oiles conjuguées de la droite 

(D) x — az—p — 0, Il — ^z —q = 

• par rapporta ces deux surfaces se rencontrent. 

1° Trouver le lieu de ces droites qiii passent [)ar un point .V donin' ; le lii'u des points A pour lesquels ce 
cône se décompose en deux plans rectangulaires. 

2° Trouver l'enveloppe des droites de cette espèce situées dans un plan . Celte enveloppe est une hyperbole. 
Trouver l'enveloppe des plans pour lesquels c'est une hyperbole ér|uilatèrc. 

*1032. Du donne un cercle et deux diamètres rectangulaires fixes. La tangente eu un point M (luel- 



218 



GÉUMETKIE ANALYIIUUE 



conque du lerclo remontre li's ilriix diamètres en diu\ points P cl U et l'on considère la parabole tangente à 
ces diamètres aux points P et ij. Troiner, pour cette parabole: 

!• Le lieu du fo.ver : 

i* l.e lieu du sommet ; 

3° Le lieu du pied de la directrice sur l'axe ; 

4» L'enveloppe de l'axe; 

S" L'enveloppe de la tangente au sommet. 

E.-N. BviusiïN. 

•1033. — Soient M et M' les extrémités variables de deux diamètres conjugués d'une ellipse dont les 

foyers sont F et l". Trouver les courbes lieux des points d'intersection des côtés du quadrangle MFF.M' et 

construire ces courbes. 

E.->'. Barisien. 

1034. — Me l'air liede et buuiide, dont la température est t et dans lequel la vapeur d'eau a une tension /, 
est dirigé lentement, sous la pression atmosphérique, au travers d'im serpentin disposé de façon que l'eau qui 
s'y condense puisse s'y accumuler. Ce .serpentin est plai r dans un ealorinu-tre soustrait à tout échange de chaleur 
avec le milieu ambiant et contenant de l'alcool dont la température initiale est intérieure à zéro de degrés. Un 
supposera que la température ■:. à laquelle la tension maxinia de la vapeur d'eau est égale à f, est supérieure 
il et inférieure à t. Que se passe- t-il dans le serpentin, et comment varie la température du calorimètre'? 



DEUXIEME PARTIE 



GÉOMÉTUIE ANALYTIQUE 



975. \ ,.( U suni deux puiiits fixes par li-sijucls uu ini;ne deux droites variables et paralléUs, .\.M et 

BN. /rouver h; lipu des foyers des coniqurs tangentes n AH et admettant AM et BN comme lanyentes aiu 
sommets situés sur un de leurs axes. 

Je prends comme axes la droite AH et la peipendiculaire au milieu. Si on désigne par <i l'abscisse 

du point A et par m le coeflicienl an^'ulaire des droites AM et BN, 
les équations de ces droites sont 

;/ — mx - 1 ma — 0, y — mx — ma = 0. 

Soit .r -(- ?;i7-H ) = l'équation d'une droite quelconque 
MiN perpendiculaire aux droites AM et HN : l'équation générale 
des coniques tangentes eu M et N aux droites A.M et BN est 
{y — vix -t- ma){y — mx - ma) -t [/.(x -+■ my -t- X)' = 0, . 

ou 

(;/ — mx)^ — m'a' h- ii(x -t- mi/ h- X)» = 0. 

Toutes ces coniques ont évidemmeni pour sommets les points M et N ; il nous reste à écrire 
qu'elles sont tangentes à la droite AB. et pour cela qu'en faisant y — dans ré(|uatiou précédente 
on obtient une équation du second degré en x qui a une racine double. On trouve ainsi 

;ji'À« — (m»-t-|ji)(|iX« — m'a') = 0; 




on eo lire (i = 



A> - o* 



de sorte que l'équation générale des coniques considérées est 
(>,* _ a«)((j/ — mx)* — m'a'l ■+■ m'a\x -t- mj/ -+• X)» = t), 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



219 



ce qu'on peut écrire 



{■' 



.ly 



[1/ — )/ir)- 



À'-^ — a' 



-1=0. 



Nous avons ainsi en évidence les équations des axes, et il est aisé de faire apparaître les longueurs 
de ces axes. Prenons en effet pour axes de coordonnées les droites MN et OC. Les formules de transfor- 
mation sont 

»/ — mx X -h my -f- 1 



X = 



Y = 



v/1 + in'^ /l -1- m^ 

attendu que X et Y représentent respectivement les distances d'im point du plan aux droites OC et MN. 
Il en résulte que l'équation de la conique par rapport aux nouveaux axes est 

X» Y2 



r 



X-2 



1 =0. 



1 



Les carrés des demi-longueurs d'axes sont alors 
par les équations 

X2 = 



1 -t- vi' 



et -r 



•7?t» 



et les foyers sont délinis 



X^ 



ou 



1 -+- m^ 
Y = 0, 
Remplaçons X et Y par leurs valeurs en fonction de x et ;/, nous obtenons 



\ \2 — 

1 H- »*■' 1 + 

( x = o. 



0) 



\ (y 



m-a- — '/:■ -+- a-, \ (a; -H mi/ -h X)'^ = X^ — ai — ahn-, 

] et (2) 

( a; + ?/!(/ + A = 0, ( y — iii.c ^= V. 

Pour avoir le lieu des foyers, il faut éliminer m et X entre les équations (l) d'une part, et aussi 
entre les équations (-2). Comme nous avons deux paramètres indépendants à éliminer entre deux équa- 
tions, il semble que ce soit impossible et qu'il n'y ait pas de lieu. 

y 

Il en est ainsi pour le système (2), car si on tire m de la seconde équation, m = —, et qu on 

porte dans la première, on obtient une équation du premier degré en X. Par suite, on peut déterminer 
X et m de façon que les équations (2) soient vérifiées par les coordonnées d'un point quelconque 
du plan. 

Considérons maintenant le système (1) ; la deuxième équation nous donne X = — (x -+■ vuj) ; por- 
tons cette valeur dans la première, nous pouvons diviser par 1 -t- '"^ et nous obtenons l'équation 

X- -H </■- — a^ = 0, 
qui est l'équation du lieu, et qui représente le cercle de diamètre AB. 

On remarquera que ce cercle est le lieu des foyers situés sur l'axe MN. 

Solution géométrique. — Si l'axe focal de la conique est dirigé suivant 
OC, les foyers peuvent occuper une position quelconque sur celte droite, et 
comme sa direction est arbitraire, un point quelconque du plan peut être 
foyer. 

Supposons inainlenanl que MN soit l'axe focal; soit V un foyer el I le point 
de contact de la conique avec la droite AU. La droite FA est bissectrice de 
l'angle IF.M, FB est de même bissectrice de l'angle IFN. Il en résulte que 
l'angle AFB est droit ; par suite, le lieu du point F est le cercle de diamètre AU. 
bolulioas géoiuéiriques par M.M. Ca.ns, FAUVKn.MEn, TniBicn, Vasniek. 




iH) 



CÉOMIiTIUL ANALYT1UL1-: 



976. — Calculer lit sur/ace du parallélotjrammc Jclcrmiiir par les f/uaiiT droites ax -i- by = ±c et 
a'x -h b'y = ± c'. 

lin appelant /( la distance des deux droites cu-^-by = ±c, h' celle des deux droites a'.r-t-i'i/ = ihc", 
el l'angle des droites ax -^ by = 0, a'x+b'y = 0, les longueurs des côtés du parallélogramme 



sont 



sinO 
2c' 



el — : l'aire (lu parallélogramme est donc — : — r 



Or, on a h — —j== 



\'a' 



"F 



m' — m ab' — ba' 

h' ^-r====~ el tgO = . , , > ou Ifa^" = „„, , ,.,., ■ Par conséquent 



I -(- mm' 
sinO 



aa' -+- bb' 



cos'i 



1 



ab' — ba' au' -t- bb' </ a* -i- b^ ^IP^b'^ 
Il en résulte immédiatement que l'aire demandée est 

4 ce' 



ab' — ba' 



Les calculs que nuus avons faits supposent les axes do coordonnées rectanirulaires. Si on ne suppose 
pas qu"il en soil ainsi, il vaut mieux procéder de la façon suivante. Calculer les coordonnées de deux 
sommets consécutifs du parallélogramme, former l'aire du triangle ayant pour sommets l'origine et ces 
deux points et multiplier celle aire par 4. Or deux sommets consécutifs du parallélogramme sont les 
points de rencontre des droites a'.r-\-b'y = ± c' avec la droite r/j -+- bij — c; les coordonnées de 
ces deux points sont donc 



cb' — bc' 



ac' — ca' 



ab' — ba' ab'—ba' 

L'aire demandée a pour valeur 

sinO 
* 2{ab'—ba'Y- 



et 



cb' + bc' 
ab' — ba' 



ab' — ha' 




cb — bc' 
rb' + bc' 






1 


ac' — ca' 


ah' — ha 


ac' — ca' 


ab — ba 



en désignant maintenant par " l'angle des axes. Tous calculs faits, on trouve pour valeur de l'aire 

4cc' 



sinO 



ab' - ba' 



J. M.^RCIIAL. 



boDoes solulioos : MM. G. Fjuvkrmiii; H. Dinvant, élèM; au Ivcée de Maocj ; Ca.ns, li Vorsaillcs ; It. .Mankn, petit séminaire de 
Massais ; LenorxK, à Troyc» ; li.-N. Bahisie.n. 



989. — l'ar un point fixe A de l'axe d'uni- parabole, on mène un rayon variable AM i]ui rencontre la 
parabole en M ; on prend In projection II de ce point sur l'axe et te symétrii/ue Ai du point A par rapport 
a 11. 

trouver In lieux de la projection d»' A sur M.\,, de lu projection de \, sur M.\ cl de l'orlkoccnlre du 
triangle M A A,. 

Construire, ces courbes f/uand le point A est au foyer. 



Nous prendrons puur axe des x l'axe de la parabole, et jiour axe des y la perpendiculaire passant 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



2^1 



par le point A. L'équation de la parabole est alors 

y' — ip(x H- a) = 0, 

en désignant par — « l'abscisse du sommet. 

Soit m le coefficient angulaire de AM et » l'abscisse du point A ; ré(}uation de AM est ij — mx = 0, 

celle de A|M est y = — m(x — a), car les deux droites AM et AiM sont également inclinées sur l'axe des 

7. mx , . 

X. Le point de rencontre de ces deux droites a pour coordonnées — et —^- Ecrivons que ce point 

est sur la parabole; nous obtenons 

(1) m-a^ — 4pa— Syja — 0, 

relation qui lie les paramètres m et x. 

Cela posé la projection du point A sur MA] est déterminée par les équations 



= — rii(x — a), 



m 



nous aurons le lieu de ce point en éliminant »i et a entre ces équations et l'équation (1). Nous avons 

immédiatement m = — . ï= ^ — , et en portant ces valeurs dans la relation (1) nous obtenons 

!J ■'■■ 

l'équation du lien 

x(x-^ -+- y2)2 — ipif^{x- -+- 1/) — Spaxy^ — 0. 

Cette équation représente une courbe du cinquième degré. 

Si le point A est au foyer de la parabole, a est égal à — et l'équation du lieu devient 

x(x^ +y-y — ipy^{x' H- y») — Ai^-xy- = 0. 

Passons en coordonnées polaires ; l'équatioa s'écrit 

p' cos tu — ipp sin- <j» — ip' cos w sin* u) = 0, 

ou, en résolvant par rapport à p, 



I 




2p sin- oj ± ip sin "j 

' "~ COSO) 



Or si on considère les deux équations p 



2/j sin- 10 -I- 2p sin m 



COStiJ 



et p = 



2;>sin^.o -'îpsiau^ ^^ ^^.^ ^^^ j,^^^ ^^ ^^^^.^ ^^ j,^^^^^ 



COSO) 



en changeant u en m-w et ? en — ? ; il en résulte que ces deux 
équations représentent la même courbe. Il nous suffira de discuter 
l'une d'elles, par exemple 



P = 



2/J sin <•) (sinu) -t- 1) 



cos 10 



Fig. 1. 



En changeant eu en ^—">, ? change désigne; donc la courbe 
est symétrique par rapport à Ox. Nous ferons varier <« de — ^ a 

-h — , et nous prendrons la symétrique de la portion de courbe 

12 



obtenue par rapport a taxe polaire (fig. !)• 



m 



(JÉOMÉTRIE ANALYTIUUE 



Pour <•> = — -"' 1 se présente sous la forme indélerminée — ; maison peut remarquer que 



l-rsm«» _ 1-4-sino. _ / t ^ sin .0 „, r,.,. ,.^;t„„.. ..>^t n..i,.r.„- ^ ^ — JL . Quand u, varie 
cosu> »/|— sin'o) V I— SHK.. • 2 

k partir de —^ ? demeure négatif et pifiid la valeur /.it.) puur .u = 0. linsuile. quand 10 

varie de à -^^ f est positif ol varie do à ■ x . 

La limite de s cos f> pour <■> = -5- est égale à ip, on en conclut que l'asymptote rencontre Ox 

au point B d'abscisse 4/). 

Le pied de la perpendiculaire abaissée do A, <iir MA est déterminé par les équations 

1 

;i = mi, y = — — l-i- - »)■ 

Nuus aurons le lieu de ce point en éliminant m et i entre ces équations et l'équation (1), ce qui 

donne sans difficulté 

yi(x'-^-y-)' - Apx'{x'--¥- '/') - Hpax' = 0. 

Remplaçons a par -^ et passons en roordonnées polaires ; nous obtenons 

p- sin- w — 4/»: «"os' '■) — 4p' cos' o = 0, 
et en résolvant par rapport à p, 



'ip ces' <•) ± 2/i cos- c.) 

sin'-'i 



On verra comme plus haut qu'il suffit de prendre l'un des signes. Considérons, par exemple, 
l'équation 



ip cos ^ <») (cos 'U -h 1 ) 

sin- (■» 





ou, en divisant haut et bas par 1 — cos w, 
ip cos' to 



1 — cos 10 



Kig. t 



l-lK- 3 



En changeant «u en — '•', ? ne 
change pas, donc la courbe est symétrique 
par rapport à O.r ; nous ferons varier 
u> de à •ît, et nous achèverons par 
symétrie. 

Quand "1 croit de à j, p varie de 
-+- « à U, et quand >o croit de — à r. 



p reste positif et varie de il />. On voit aisément que p sin >.) croit indédnimenl quand ■.. tend vers 
zéro, par suite les branches infinies sont paraboliques (/ï.7. 2). 

Enlin les hauteurs du triangle AMA, issues des sonmiels M et A oui respectivement p.iur équations 

— • .Nous en tirons »i = — • i = 9x, et en portant ces valeurs dans la relation (1), 



^ = -3-' !/ 



y 



PHYSIQUE ET CHIMIE 



223 



nous obtenons l'équation 

r' — 2y).(i/- — ^pay^ — 0, 

qui représenle le lieu lie l'orlhocentre du triangle AMAi. 

En remplaçant a par -^. l'équation devient 

x'' — 5p.ri/- — p^y^ = 0. 

Elle représente une courbe du quatrième ordre symétrique par rapport à Oc, admettant pour 
asymptote la droite 2x-)-/j=0, cl des branches paraboliques dans la direction Oy. L'origine est un 
point double, et les tangentes en ce point sont confondues suivant Or. 

On construit aisément cette courbe en résolvant son équation par rapport à y {fiy. 3). 



lionnes solutious par .MM. J. Maficfial; I'oiit.\i.iei\ et li.sBu.xr.oii.v;, il Alger. 



SOULS, à Condom. 



PHYSIQIK ET CHIMIE 




982. — Déiiionirrr f/ue le iiiijon iiuidritl SIi et teraijon énterçient IjR sont 

équidisliints du point M d'intersection des normales aux points d'incidence et 

il'émrrycnce. 

{Ecole centrale, concours de 1900, dmriéme session.) 

Soient /, r, r', i' les angles d'incidence et de réfraction successifs. 
La distance du point M au rayon incident SIi est 



d = Ml, siii /, 



celle de M à I.R est de même 
Or dans le triangle MIJî, on a 



d' = MIjSin ('. 



MI, 



MI., 



sin /■ sm /• 

Remplaçons MI, et Ml, en foncti<in de d et d', il vient 



On sait en outre que 



donc 



d 


si II i sin r' 


d' 


sin r sin /' 




sin i sin ( 




sin ;■ ~ sin r' ' 




d = ,/'. 



P. TIIONET. 

Bonnes solutions do MM. .l.-li. tluKALr ; <', F.\ovKnNiEii ; J. Maiiciiai., à Paris ; 1'. PéiIobirb ; I'. Saistin ; I'. TiiiiiiFii. 



S2i QUESTIONS PROPOSEES 



983. — Cniculer lu rlnilrur dr furmnlion ilr l'aci'lylrnr en pnrtatil desfUmonts. 
La chnlrur dr formation de ianliydridr caihn,iùju>- es/ 9i falon>:s 3. 
La chaleur de formation de l'eau est 69 caluri's. 
Lachaleur de con>lnislion de l'actylène est 31?) ralories 7. 

[Ecole centrale, concours de tOOO, deuxième session. \ 

Désignons par x la chaleur de formation de l'acétylène; on a 

C'-i-U' = C=H«-Hx. 
D'autre part, les équations de combustion de ce gaz et de ses éléments sont 

C^H^ -1- — 0» = II'O -4- aCO-' + 315,7, 

2 

C« + 20' = 2C0--)- «88,6, 

2 
Or quand un système de corps ^C» -i- H» -t- 1 0=^ subit des transformations qui l'amènent d'un 

état initial déterminé à un état tinal déterminé, la quantité de chaleur mise en jeu est indépendante des 
états intermédiaires. On a donc 

.1+315,7 = 188.6+60, d'où x=— 58,1. 

Par conséquent l'acétylène, en parlant du carbone diamant, a absorbé 58 calories,! au moment de 
sa formation. p g^,j^TIN. 

Bonne solution de M. T. Le»ovnk, « Troyes. 



QUESTIONS PKUPOSKES 



1035. — Ei|nalion [îénérali- des hyperboles éiiiiilalères taiii^enlcs en O à Ox et ayaiil leurs ccnliis sur la 

droite X TZ a. 

Par chaque point 1' ilii plan, il en piis.se deux. Iléi^ioiis du plan où doit se tr.)u\er le point I' pour .pielles 
.soient réelles. Knveloppe des axes de ces hyperboles. 

1036. — Un eonsid.re dans un plan deux systèmes d'axes xOy, x'O'y . Trou\.i- un poiut (pii ait niènies 
coordonnées dans le.s deux systèmes. Discussion. 

1037. — Deux cercle- diuil W- renlro -ont li\i-, A et H. \aiiinl y\\ restant taup-uls exIérieureuiiMil 
Trouver le lieu des points de contact des InuKcntes eu unies extérieures et l'enveloppe de ces lan^ïentes. 

E.-.N. Hahimk.n 



I 



Le Rédacleur-Géraut : II. VUIHHIIT. 



«AR.LI liUr., mr. COHTm-JACVlURT. 



11' Année. 



N" 10. 



Juillet 1901. 



REVUE DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES 



PREMIÈRE PARTIE 



SUR LES POINTS D'INFLEXION DANS LE DÉVELOPPEMENT DE LA SECTION PLANE 

D'UN CONE OU D'UN CYLINDRE 

par M. Spinnler, [irofesseur au lycée Hochi'. 




Une méthode analogue à celle qui suit a déjà été donnée dans cette Revue. Cependant nous la présentons 
d'une façon un pou différente et nous l'appliquons au cas du cylindre en la modifiant légèrement. 

Cas du cône. — Rapportons le cône à trois axes rectangulaires : Os perpendiculaire au plan sécant 

passant par le sommet S, Ox et Oy rectangulaires pas- 
sant par dans le plan sécant. Soit M un point de 
coordonnées .r, y appartenant à la section C et li la 
hauteur OS. 

Rapportons maintenant le développement Ci à deux 
axes rectangulaires quelconques passant par S, trans- 
formé du point S et soient X, Y les coordonnée;- de 
Ml transformé de M. 

Nous admettrons que la longueur des arcs se conserve 
dans le développement et qu'en regardant x et y, coor- 
données d'un point d'une courbe, comme fonctions d'un 
paramètre l, la dérivée de la longueur de l'arc par rap- 
port à /, est x,'^-\-y,'' ou simplement x'--\-y'K 

Nous aurons les deux relations : 

(1) X^ -+- Y2 = x^-\-y^-{- /i^ 

(2) X" -H Y'2 = x'2 ■+- y'^ 

qui expriment : la première que SM = S, M,, la seconde que les dérivées des arcs correspondants de 
la section C et de la transformée Ci sont égales. 

Dérivons (1) deux fois de suite ; on a successivement : 

(3) XX' + YY' = XX' -+- yij, 

(4) XX" -H YY" = a;x" -h yy' ; 
pour la seconde, on tient compte de (2). 

En dérivant (2), on a, d'autre part, 

(5) X'X" -t- Y'Y" = x'x" + y'y" ; 
tirant X" et Y" de (4) et (5), on conclut que 

X'Y " — Y'X" ^ - (X'' H- Y")(xx" + yy") 4- (XX' -H YY')(a:V' + y'y") 
X'= - X'^XY'— YX') 



Yi« = 



*2r, 



(•OINTS D-IM'LEXION DANS LES liEVELUPFEMENTS DK SECTIONS FLANES 



Mais k cause de (2) et (3), le numérateur se transforme et on trouve linalement 

{•!•!/' — V-r')(*'v" — y'x") 



y;. = 



qui peut sécrire 
(6) 



Yï. = 



X'J(XY' — YX') 

x..x;'(X); 






Nous pouvons toujours supposer les axes Ox, Oy et S|X, SiY choisis de telle sorte que pour les 
points M et M, les tangentes ne soient pas parallèles à Ot/ et S,Y, c'est à-dire x'^X'^^O, sans quoi 
l'on ne pourrait plus définir les concavités par rapport à Oy et à SiY. Nous remarquerons de plus que 
le développement de la surface latérale du cône s'effectuant sur le plan XY toujours dans le même 

sens, — :- variera toujours dans le même sens dans les intervalles où il est continu, par exemple il 

croîtra toujours. Par suite (-n-) sera toujours de même signe, positif par exemple. 

De sorte que Yî» ne pourra changer de signe pour le point M, que parce quel -^ ) ou yî^ changeront 
de signe. Puis nous considérerons plusieurs cas : 

I. — Le pied M de la génératrice n est pas en 0. — Ce cas se subdivise en trois autres : 

1" (— ) s'annule m changeant de signe, mais y^-^ytO. — Alors M n'est pas un point d'inflexion, 

et — passant par un maximum ou minimum, la tangente en M passe par et 

le plan tangent SO.M e*' perpendiculaire au plan sécant. 

Yjî s'annule en changeant de signe ; donc le développement présentera un 
point d'inflexion an point Mi. 

2° y',* s'annule avec changement de signe, mais (-^) 9^0. — M est un point 

dinflexion de la section, pour lequel le plan tangent n'est pas perpendiculaire 
au plan sécant. Il y aura encore changement de signe pour Vis, donc inflexion 
en .M,. 

3° j/,"! '"' ( ) s'annulent en même temjjs. — La tangente passe à l'origine et 

le plan tangent est perpendiculaire au plan sécant. 

|C 
4 






Mais un seul des deux facteurs i/'ii ou ( - | change de 



signe : car sil n'y a pas inflexion, — passe par un ma)(imum 

X 

_ ou un minimum, donc «/"i conserve un signe constant tan- 
dis que ( — ) change de signe : s'il y a inflexion en M, — 

ne passe ni par un maximum ni par un minimum cl c'est l'inverse du premier cas. 
Donc Yi* s'annule avec changement de signe et il y aura inflexion en M|. 

CoNXLUSios. — Si la gént'ratrice SM n'est pas pcrpindiniknn- au plan si'canl, pour qu'il y ail inflexion 
en Ml audiveloppement, il faut et il suffit, ou liicn i/ue le plan tangent soil perpendiculaire au plan si'cnnt. 
ou bien gue M toit un point d'inflexion de la section. 



POINTS DINFLEXION DANS LES DÉVELOPPEMENTS DE SECTIONS PLANES ^221 



II.— La génératrice SM est perpendiculaire au plan sécant. — Ce cas se subdivise en 
deux : 

1" l je point M confondu avec G n'est pas un point d inflexion. — ^— varie 




dans le même sens dans le voisinage de l'origine ; donc 



(i). 



conserve un 



signe constant ainsi que x- et yl^; donc Yx^ conserve un signe constant; pas 
d'inflexion pour le développement au point Mi ; 

2" Le point M confondu avec est un point d'inflexion. — — passe par un maximum ou un mini- 




mum 



\ 



y 



change de signe, mais il en est de même de j/l'^ ; donc Yi'i ne 



change pas de signe et il n'y aura pas d'inflexion en Mi. 

CoscLisiONS GÉNÉRALES. — Poiir quun point M de la section plane donne 
une inflexion dans le développement, il faut et il suffit, ou bien que ce point M 
soit lui-même un point d'inflexion, ou bien que te plan tangent en M soit per- 
pendiculaire au plan sécant, mais dans les deux cas la génératrice SM n'étant pas perpendiculaire au plan 
sécant. 



> 



Cas du cylindre.— On se contente généralementde regarder ce cas comme limite décelai ducône, 

sans prouver, ce qui n'est rien moins que démon- 
tré, qu'on a le droit de le faire. Voici une méthode 
directe : 

Prenons pour plan des j,;/ un plan de section" 
droite, y étant la longueur de l'arc de cette section 
droite ; pour plan des a',: un plan perpendicu- 
laire au plan sécant et au plan de section droite; 
supposons la section plane G rapportée aux a.xes 
.rO'/ et son développement Ct rapporté aux axes 
(oY parallèle aux génératrices et luX développe- 
ment de la section droite, w étant le développe- 
ment de l'origine des arcs y, par exemple. 




T m., 



Yi 



X" = y" 



Les arcs se conservant, on aura 

(7) X = Y, d'où X' 

avec y'^ — ■'^'i' "t~î/ "> mais x\ = x cos a; donc 

(8; y'^ = x'^ cos''' a -1- (/'-. 

De même, Y = Z = a; sin », d'où Y' = a;' sin a, 

(9) Y " = x" sin a. 

On en déduit 

( 10) X'Y" - Y'X" = (y'x" — x'f) sin «. 

Égalons les dérivées des deux membres de (8), on a yy' ~ ""^'^ ""^^^ " "*"!/','/• 

Tirant y» portant dans (\0), réduisant au même dénominateur et remplaçant y" par sa valeur 
tirée de (8), nous obtiendrons 

(11) x'r-vx' = -^Wz4Ïlli£_«, 



qui peut s'écrire encore facilement sous la forme 



(12) 



Y'', = - 



x',hj',y';^ sin x 



A, Y( 



2Î8 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



Comme pour le cône, on remarquera que y, conserve un signe constant si l'on développe toujours 
la surface latérale du cylindre dans le même sons, et que a-,', x; ne s'annulent pas, sans quoi on ne 
pourrait plus définir la concavité par rapport à 0'/. 

Le cas particulier où XJ serait nul correspniuirait au cas, que nous laissons de cùlé, où la section 
serait tangente à la génératrice, le plan sécant serait parallèle à ces génératrices et donnerait des droites. 
Enfin le cas où la génératrice serait perpendiculaire au plan sécant devra être écarté également, parce 
que la section piano serait une section droite et se développerait suivant une ligne droite. Nous sommes 
ramenés à une discussion semblable à celle du cône : 

1° yî :;t 0, mais ]ilî s'annule avec chatigeviCDl de signe. — La section C a un point d'infle.xion on 
M, le développement en aura aussi un en M| car Yx-j s'annulera avec changement de signe. Remarquons 
que y', étant gt 0, la tangente en M n'est pas parallèle à O.r et le plan tangent n'est pas perpendi- 
culaire au plan sécant ; 

2° y', s'annule avec changement de signe, mais yîi ^é 0. — M est un point ordinaire pour lequel le 
plan tangent est perpendiculaire au plan sécant ; i] y aura inflexion on Mi ; 

3° y', et j/^'j s'annulfut siiniillancmenl. — On voit comme pour le cône qu'un seul des deux facteurs 

s'annule avec changement de signe, puisqu'il y a maxi- 
mum ou non pour i/ suivant qu'il n'y a pas ou qu'il y a 
^ y M _^ X inlloxion. 

y^ ' "X ^- — Donc il y aura inflexion en .M, pour le développement. 

Conclusion. — Pour qu'un point M de la section plane 
d'un cylindre donne une inflc.rinn dans le développement, 
il faut et il suffit, ou bien que le point M soit lui-même un 
point d'inflexion de la section, ou bien que le plan tangent 



y 


M ^ 


yx 











X 



en M suit perpendiculaire au plan sécant . 

Remarque I. — On a laisso de côté dans loiil ce qui précède les cas où la section plane présenterait des 
singularités telles que point double, point de rcbroussoment, etc. 

Rexaboue II. — Nous ne nous sommes occupés que de la recherche des point-^i dinfiexion dans le dévelop- 
pement, sans comparer la concavité do la section et de son dcvelopponieni aux points correspondants. Nous 
laisserons aux lecteurs le soin de l'aire eux-niomos celle comparaison rendue très facile au moyen des rorniules 
(6) pour le cône et (12) pour le cylindre. 

♦ 

GÉOMI'THIK .\XALYTIQUE 



937. — /-.'tant donnés trois cercles de l'espace situés dans trois plans différents P, P,, I',, on demande : 

1* S'il existe des cercles C tels que par chacun d'eux et chacun des cercles donnés, il passe une sphère ; 
et dans quel cas il y a une infinité de tels cercles. 

2° Trouver alors le lieu des axes, l'enveloppe des jilans et le lieu des centres de ces cercles. 

3° Trouver le lieu de ces cercles. C'est une surface, -, qui porte deux systèmes de cercles, dont les plans 
passent tous par un même point et tels que chacun de ces cercles coupe en deux points tous ceux de l'autre 
système. 

h'tudier les divers modes de dégénérescence du trièdre PPiPs. 

I. — J.es trois plans P, I',, l'j funncnl un véritiil/le iricdre. 

1. Prenons pour origine le sommet de co Irièdre. 

Les trois cercles donnés C, C,, C. sont définis par Irois couples d'équations de lu forme 



GEOMETRIE ANALYTIQUE 229 



I S = x2-f-!/2-4-;'4-aa.--t-fi!/-4-Y:-H/( = 0, ^ ^ S, = 0, ( S, = 0, 

I P = ux-i- vy + luz = 0, '' ( F, = 0, M P, = 0, 

et, puisque les trois plans forment un Irièdre, 

U V w 

0. 



u 


« 


W 


Ml 


''l 


It'l 


M, 


Vi 


Uh 



Trois sphères a, ui, aj passant respectivement par C, C,, C. ont pour équations ; 

c = S-H>.P = 0, (7, = S, -1- X,P, = 0, (7j = S, -+- ).,Pj = ; 

pour exprimer que ces trois sphères contiennent un même cercle, écrivons qu'elles ont même plan radical, 
c'est-à-dire que les deux plans 

î — J, = 0, (J — 7, =0, 

se confondent. Nous obtenons ainsi les équations 

a — 2, -H ).i« — )>,i(| P — (i| + ).t' — Xiy, ■( — -(i + lw — y-iWi _ ll—lii 



(1) 



a — oLi + ku — liU-, ^ — ^2-t-^y — ^î^'a "C — Ys + Xw — I2W2 h — h. 

Ces trois équations équivalent à un système de trois équations linéaires en X, X,, Xo, dont le déter- 
minant est égal à 

Donc, en général, le problème admet une solution et une seule. 
Pour qu'il en admette une inlinité, il faut d'abord que A' = 0, d'où 

(h-h,)[h-li,){h,-h)=0. 

Je dis que cette condition entraine la nullité des trois facteurs du premier membre. En ellet, si l'un 
d'eux est nul, (hx — A2) par exemple, c'est que le plan radical a, — a, = 0, passe à l'origine. Donc 
le plan a — tr, = doit y passer aussi, puisque c'est le même ; donc 

h = hi = h.^. 

Cette condition étant réalisée, les trois équations (1) se réduisent à une seulement, et il y aura indé- 
termination. Donc la condition demandée, nécessaire et suflisante, est que le sommet du Irièdre donné 
ait la même puissance par rapport aux trois cercles donnés. 

Avant d'aller plus loin, montrons ([u'on peut arriver sans calculs à cette condition. Soient a, ^i, ij 
trois sphères passant respectivement par los trois cercles C, Ci, Ci, et a', a\, t., trois autres sphères 
analogues. Nous supposons que les trois premières ont même plan radical ~ et les trois autres même 
plan radical -'. 

Los quatre sphères 1,, 32, 5',, •i'^ admettent six plans radicaux, qui doivent passer par un même point. 
Or quatre de ces plans sont P,, Pj, it, 7:'. Donc les pians ir, •^' se coupent suivant une droite qui ren- 
contre l'intersection des plans P,, P... Celte droite rencontre de même l'intersection des plans P,, P. 
Donc elle passe en 0. 

Le point étant ainsi dans le plan -, sa puissance est la même par rapport aux trois sphères 
j, Ti, ■:>. Donc elle est la même par rapport aux trois cercles donnés. 

2. Si deux cercles sont sur une même sphère, leurs axes se rencontrent. Donc l'axe mobile A' du 
■cercle mobile C' rencontre les trois axes A, A,, k, des cercles donnés. Donc il engendre Ihyperboloïde 
H délini par A, A,, k,. 

Le plan P' du cercle C passe en 0, et est perpendiculaire à A', c'est-à-dire perpendiculaire aune 
génératrice du cône asymptote de II. Donc les plans P' forment un cône r de sommet 0, supplémen- 
taire du cùne asymptotique de II. 

Quant au lieu des centres, c'est le lieu des projections du point sur les axes A'. 



230 



r.fiOMÉTItlH ANAI.YTKJUE 



3. Entre les deux premiôres des équations (^^. éliminons /.. 11 suflit ])our cela de ramener, dans 
chaque rapport, ) au m^me cocflicienl. puis de retrancher terme à terme. 11 vient ainsi l'équation 

f A, = a— I,, A. = I — ij, 

A,f — B,i/ — >i("ir — i;,w) (A,k' — C,t4) — >,(u,m' — «>,«) ) „ 



A.y — B.H — Xjf i/ju — fju) (Ajif — Cjw) — lilusw — «'ju) 



qui, mise sous l'orme entière, devient 



X, 



u 


V 


w 




A, 


B. 


c, 


>.- 


Mo 


t)j 


ir. 





= a— I,, 

B. = ?-?., 

C, = Y — Ti, 



= 0, 



B, = ? - p,. 



u t) 


II' 


A, B, 


c, 


A: Ih 


c, 



(C) 



avec 



X,)., = 1. 



l'i t'i »', 
A, B, G, 

relation honiographique entre >, et \, qu'on peut mettre sous la forme 

(X, — 0,)(),, — Oj) = 0. 
Le lieu s'obtiendra en éliminant X, et X, entre celte équation et celles des sphères j, cl j. 

S, + ).,?,=. 0, S,+X2Pj = 0, 

d'où (S, + e,p,)(S, + o,F,) = 6P.P,. 

Nous pouvons toujours substituer à la sphère Si la sphère S, -t-0,P, qui contient le cercle C,. 
Donc l'équation du lieu est de. la forme 

(I) S,S, - P,P» = ; 

le cercle mobile étant alors défini par 

S,+X,P, =0, 

S, + XjP, =0, 

Nous avons gardé les mêmes notations pour ne pas compliquer les écritures. 

La surface ï ainsi obtenue est du qu.itrii'me degré. Son équation montre immédiatement que le 
plan Pi la coupe suivant deux cercles dont l'un est C|. Donc elle passe par les trois cercles donnés. 

De plus, le plan P' du cercle C a pour équation 

S, + X,P, = S,-i-X,P,, 
ou P' = P.X' -+- (S, - Ss)X — Pj = (X = X,). 

Soit T. = Si —Sj = le plan radical de Si,Ss. P' enveloppe la surface 

r = 7:»-f-iP,P, = 
qui est un cône du second degré puisque les trois plans -, P,, Pj passent en O, comme nous l'avons 
déjà trouvé. 

Ouelle est la nature de rinlersection du plan I" avec la surface 11 Entre les équations de P et de 

1, éliminons S^. Il vient l'équation 

(XS, - P,,)(S, -+- XP,) = 0, 

qui représente deux sphères. Donc le plan P' roupe la surface suivant deux cercles, dont les équations 

s'obtiennent aisément, et sont 

S, -^ XP, = 0, ( XS, — P, = 0, 

XS,4- P, = 0; ( S, — aP, = 0; 

le premier est un des cercles de la question. Le second appartient h un système dilTérenl dont font 
partie les trois proposés. 

Soil une sphère quelconque passant par le cercle C, 

(S, -+-Xp,)-i-H'(XS,-+-P,) = 0; 
l'élimtDation de Si entre cette équation est celle de S donne 

(Sl-+-XP,; S,H-ilP,) = 0, 



c 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 23l 



(jni représenle deux, sphères. Dune notre sphère coupe ï suivant doux cercles, dont les équations 

s'obtiennent aisément et sont 

, S, -T- XP, ^0, j S, -t- [xPa = 0, 

I >S, -h P, = ; I P, H- [jlS, = ; 

le premier est un des cercles de la question, le second est un cercle ^luelconque de la série G. Donc le 
cercle C coupe tous ceux du système C. 

D'ailleurs les plans P, P' de nos cercles passent tous en 0. La propriété énoncée de la surface ^il est 
ainsi établie, et nous voyons de plus que cette surface est anallagmatique par rapport au point 0, puis- 
que ce point a même puissance par rapport à tous nos cercles. 

Les deux cercles C, C du plan P' se coupent en deux points ?», m' alignés sur le point et réci- 
proques l'un de l'autre. En chacun de ces points le plan tangent à S contient les deux tangentes à C et 
C, donc ce plan tangent est justement P'. Donc le cône r est doublement circonscrit à la surface. 11 
est intéressant de trouver la courbe de contact, lieu des points m, m'. Elle s'obtient par l'élimination de 

X entre les équations C et C De 

S, + )P, = 0, S, — ).P, = 0, 

on déduit S, -h S, = 0. 

Donc notre lieu est l'intersection du cône r et d'une sphère. 

En résumé, la surface présente la plus grande analogie avec l'hyperbolo'ide H. 

Les génératrices de H sont les axes des deux systèmes de cercles, de ^, et de même qu'une géné- 
ratrice d'un système de H coupe toutes celles de l'autre, un cercle d'un système de 2 détermine une 
sphère avec tous ceux de l'autre système. 

Cas particuliers : les trois cercles se coupi'iil en 0. — Une inversion autour de les transforme en 
trois droites qui définissent un hyperboloïde H'. La surface S est alors la transformée par inversion 
de II' : les deux systèmes de cercles sont les transformées des deux systèmes de génératrices. Le point 
est un point conique de S : le cône des plans tangents étant le cône circonscrit à H' de sommet 0. 
Les plans de nos cercles enveloppent ce même cône. 

II. — Les plans P, P,, \\_ fonncnl an prisme . 

Remarquons d'abord que ce cas n'est qu'un cas parliculicM- du précédent, et en second lieu que l'un 
peut se ramener à l'autre : en effet, nos trois cercles du premier cas sont orthogonaux à une môme sphère 
de sommet 0. Prenons pour pôle d'inversion un point quelconque de cette sphère : elle se transformera 
en un plan, auquel les trois cercles transformés seront orthogonaux. Autrement dit, les plans de ces 
trois cercles seront perpendiculaires à un mémo plan, contenant les centres des trois cercles. 

Mais traitons directement la question : Prenons pour axe dos : une droite parallèle aux arêtes du 
prisme. Soient 

les équations des trois cercles donnés. Un a 

a=S-i-ÀP, î, = S,+X,P„ (7, = S, -1- X,P, ; 

l'idenlilication des plans a — s, = 0, i — a. = conduit à trois équations analogues aux é(iuations 
(1) et on trouve aisément que la condition d'existence d'une infinité de cercles C est 

"i' = Ti — V.'i 
c'est-à-dire que le plan des centres des trois cercles est normal aux arêtes du prisme. 
Prenons ce pian pour plan des xy, c'est-à-dire y = "i = "a — ^• 
L'équation qui lie X,, X-, est toujours une équation homographique, contenant un terme en XiX^, de 



a3i (JÉOMÉTKIK ANALVngUE 



A' = ( t'.x — u, v)X2 ± "''•' ' • X -f- («sî/ — «'»i') = i 



sorte, en lin de compte, que les équations d'un cercle mobile sont 

(C) ) (>|A2 = Ij 

ï = s.s, — p.p., = 0. 

Soit :t = (a, — a2)j- -H (Pi — ^■2)1/ + /i, — /l j = S, — Sj = U 

le plan radical des sphères S„ S». Léquation du plan F du cercle C est 

S,_S2-4-).,Pi— X,P, = (/(,- /i2 -H...) -^^.l". -'sl^ = U- 
11 est parallèle à l'axe des :, et il enveloppe la surface 

r =: -- r 4P,P, = u, 

qui est un cylindre, puisque tous les plans x, Pi, P2 sont parallèles à l'axe des :. 
Ce plan P' coupe la surface suivant deux cercles C, C comme dans le cas I. 
Prenons pour origine le point de rencontre des axes Ai, A^ : on pourra supposer alors 

a, = «2 = ^, = fij = 0, 
pour simplilier les équations : on trouve alors aisément que les axes des cercles C, C ont pour équation 
dans le plan : = 0, 

A' = (t',x-u,v)X2±-^2 

ce sont donc les tangentes parallèles à une même conique 

. / U,Vt — v.u.. \' 
H = 4(»,x — w,y)(UiX — u,y) ■+■ I \ = U; 

la conique 11 remplace ici l'hyperboloïde du premier cas. 

Le lieu du centre de nos cercles est, dans le plan ; = 0, le lieu des points de rencontre de la 
tangente A' à la conique H et de la tangente perpendiculaire à A' 

Pi>.''-H{A|-//2)X — P, = 0, 
il la conique 1' ; ce lieu est une lourbe du quatrième degré, dont l'équation est de la forme 

(.1-2 _^ y!)2 = A-''(ar cos a -t- 1/ sin 3.){x cos^ h- y sin p). 
C'est la Irauslormée par inversion de l'hyperbole 

(x cos a + 1/ sin n){x cos {1 + ;/ sin p) = A", 
par rapport à son ceiilre. 

111. — /.es jiliiiis I', I',, l'j sf coupeiil suivnnl une mniif droite S 'i dislaiici' finie. 

Prenons cette droite pour axe des z. Nous no recommencerons pas tous les calculs précédents. On 
trouve qu'il faut qu'il existe sur i un jioint dï-gale puissance par rapport aux trois cercles. Prenons 
ce point pour origine. On a 

S, = .i«-+-!/>-»-:»-+ i,jr-h p,î/-+-ïi;-+-/» = 0, S, = .r' -(- i/' -H :" -+- ijx -+- p,«/-4-Y,2 H- A, 

P, = u,x ■+■ 0,1/ = 0, Pj = urc ■+■ v,y ; 

les équations du cercle mobile peuvent se mettre sous la forme 

S. -h).,I', = 0, 
S, -4 X,P, = 0, 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 233 



X,, Xj étant liés par une relation homographique qui ne contient plus dn terme en ),)2 et qu'on peut 

ramener à 

),, = X, ; 

la surface i a pour équation S1P2 — P1S2 = ; 

elle n'est plus que du troisième ordre. 

Les axes des deux systèmes de cercles sont les deux systèmes degénératiices du paraboloïdc dolini 
par les trois axes des cercles donnés : ces trois axes sont en elïet parallèles à un môme plan normal ;i \. 

Les plans des cercles C passent tous par la droite A. Les plans des cercles G' passent parla droite 
a' menée par perpendiculairement au second plan directeur de notre paraboloïde. 

La surface contient deux droites A, a'. Tout plan passant parl'une de ces droites la coupe suivant un 
cercle et suivant cette droite. Le plan aa' la coupe suivant a, a' et une droite à l'inlini. 

Enfin les deux systèmes de cercles sont représentés par les équations 

( S, -H XP, =0, ( s, -t- hS, = 0, 

(C) (C) 

^ ^ ( s, + xp, = 0, ' M p, + ixp, = 0. 

Cas particulipr : Ips Iroh cercles se coupoiU en . — La surface est alors la transformée par inversion 
autour du point d'un paraboloïde. 

IV. — Les plans P, Pi, P^ sont parallèles. 

On trouve que la condition d'existence de nos cercles est que le plan de leurs centres soit perpen- 
diculaire aux plans P, Pi, P,. 

Prenons ce plan des centres pour plan des xy, les cercles C, Ci, C, étant données par les équa- 
tions 

t» -^ y2 _,_ î2 _f- ax -t- /( = 0, ( a;-+ )/--f-:2-+-aia;-i-/(, = 0, t a;- -t- y- + :- + ot,.r-t- A, = 0, 

y = p, ' y = Pn I ?/ = P'-- 

Nous nous bornerons à énoncer les résultats, les calculs étant fort simples. 
L'équation de la surface s est 

(a^ - a)(,y - /j,)[(p, - p)5, + [h, - h)(il - p.)] = (a, - a)(y - p,)\{p, -p)?,, -^ {II, - k)(y-p,)] 

Les plans des cercles C sont tous parallèles au plan P. Leurs centres sont sur l'iiyperbole équila- 
tère qui contient les centres des trois cercles donnés et dont une asymptote est perpendiculaire au plan 1'. 

Les plans des cercles C sont tous normaux au plan P ot passent par une droite fixe. 

Leurs axes passent par un jjoint fixe. Leurs centres décrivent une circonférence. 

Remarquons de plus que ce cas IV n'est qu'un cas particulier du cas III auquel on peut le ramener 
par une inversion. 

Prenons en effet pour pôle d'inversion un des points d'intersection de la sphère orlhojronale aux 
trois cercles avec la droite commune aux Irois plans. Nous obtenons trois cercles orlhojçonuux à un 
même plan, dans trois plans passant par une même droite perpendiculaire à ce plan, figure un peu plus 
générale que celle du cas IV, et qui est justement celle que forment les cercles C déco cas. 

liemarque. — Onpeutencore imaginer d'autres cas particuliers, relatifs aux cas où les axes des trois 
cercles donnés ont un point commun, sont dans un même plan, etc. Nous ne les examinerons pas. 

L. RICKART. 

Bonne solution géonnîtrique : M. M. Frkciiet. Le manque de place seul nou;f ohli(;c it no pas pulilier eolli! snliilion. 



»3'i 



PHYSIQUE 



PIIYSIÛIK 



TiiKonir: dk la ijalance 

[.ar M G. Fontené, professseur :iu Colli'ne Rolliii. 




I. Définiiion tlu cenir,' de i/raviir fictif. — Soient w l'axe (le rolalion du lléau, A el B Ips points 
de suspension des plateaux, G le centre de gravilé du lléau, t: son poids, p et p' les poids des 

plateaux. Les charges des plateaux étant P et P -+- S, lorsque l'équi- 
libre est atteint, les résultantes p-hP et /y-t-(P-+-î) passent en A 
et B ; rien nest donc changé si l'on suppose les masses dos plateaux 
transportées en ces points, ainsi que les masses mises sur les plateaux. 
Je considérerai le point Gi, centre de masse du système formé par le 
lléau et par des masses égales à celles des plateaux placées respective- 
ment en A el B. Tout se passe comme si en ce point G, étai( appliquée la 
force iti = --(- ;j-i-f)', les forces P et P-4-0 étant de plus appli- 
quées en A et B. 

II. Justesse. — Appelons position normale du lléau celle qu'il prend quand les plateaux sont vides et 
pour laquelle nous supposons l'aiguille au zéro. Le point Gi est alors dans le plan vertical passant par 
l'axe de suspension. 

Nous dirons qu'înic balance est justi- si le flénu cottsrrvc su posilioti normale pour deux masses égales 
viises dans les plateaux. Les poids de ces wasses, appliquées respectivement en A et B, ne devant pas 
modifier la position du lléau, une lidlnnceest juste si le plan wQ, passe au milieu M de AB. Une seule 
expérience suffit pour en décider. 

III. Sensibilité d'une balance juste. — Supposons la condition de justesse remplie. Supposons aussi, 
pour simplifier l'exposition, les points A, B et Gi situés dans un plan perpendiculaire à l'axe de 
suspension en comme dans la ligure 1 . 

Appliquons en A un poids P, en B un poids 1*4- S. Le fléau s'incline d'un angle .r. Les forces 
qui agissent sont, si l'on veut, "iV en M, 2 en B, -, en G,. 

1° Pour que l'inlluence de P soil nulle et que la dévialion dépende uniquement de la surcharge Z, 
M doit coïncider avec 0. Les trois points A, 0. B daivent être en ligne droite, et la condition de justesse 
devient OA = OB. 

2° Pour que la grandeur de la dévialion reste la tuimc quel que soil celui des deux points A et B où 
est appliquée la surcharge, il faut que la droite AOB soit perpendiculaire à la droite OG,. Cette droite 
AOB est alors horizontale dans la position normale, et, comme la surcharge est supposée assez petite 
pour donner une faible déviation, celte condition favorise la dévialion on augmenlanl le moment de la 

surcharge ; nous reviendrons sur ce 
point. 

Supposons ces conditions remplies. 
La position normale et la position in- 
clinée sont alors représentées par les 
ligures 2 el :i. Appelons / la longueur 
(•A = OB. (/, la distance OG ; il vient 
immédiatement 

/ , 

Ki|. î. Fig. .1. Gr Ti, esl le centre drs forces pn- 



UO ! 

— ^~n~ 
1 1 ' 



;C 




PHYSIQUE 



235 



rallèles pour la force t. appliquée en G et les forces p et p' appliquées en A et B. Si donc nous appelons 
/( la distance (iH du point G à la droite AB, le théorème des moments nous permet de remplacer -n:,r/, 
par -/( ; nous avons ainsi 



isx = 



T.h 



formule qu'il est aisé d'établir en considérant directement les forces ir^ p et p' dans la posilion nor- 
male, puis ces mêmes forces et la force S dans la posilion inclinée (on simplifie le calcul en considérant 

la force p -\- p' appliquée en I). Il y a donc intérêt à réduire A et -^ • 

1" On fait varier /( au moyen del'éeroii et Ton arrive dans la pratique à réduire celte d'istance à quel- 
ques centièmes de millimètre. 



2° Relativement à 



/ 



si, pour fixer les idées, nous supposons le fléau prismatique, en appelant a 



l'aire de sa section droite, /.• son poids spécifique, cette quantité devient 






ou tx /• ; il faut 



donc réduire autant que possible cj et /.•, qui sont deux facteurs i/it/ejoewrfanf«. Un fléau court aura, d'autre 
part, plus de rigidité, et permettra de maintenir, même pour de fortes charges, les points A, 0, B en 
ligne droite. Les constructeurs font maintenant d'excellentes balances à fléau très court, en métal creux 
et léger. 

IV. Stabiiùr. — Dès que l'on suppose les trois points A,0, B en ligne droite, la stabilité exige 
que le point G, soit au-dessous du point dans la position normale, c'est-à-dire que le centre de gra- 
vité G du fléau soit au-dessous de la ligne AOB. 

V. liK.MARQLK. — Au poinl (Ic vuc pratique, on peut dire qu'une balance est juste, an degré de sensibilité 
qu'elle comporte, si le défaut de justesse est masqué par le dél'.iut de sensibilité. Dans les balances de précision,- 
on arrive à une trrs grande sensibilité, ot un très petit défaut de justesse se manifeste ininiédiatement. Par 
exemple, si dans la cage qui renferme la lialance, la lemp(''ralure est très légèrement dirtÏTente pour les deux 
bras du fléau, on voit l'aiguille quitter le zéro. Je laisse au lecteur le soin de calculer la limite intérieure de la 
différence de température qui peut se révéler ainsi pour une lialance donnée; il convient d'ajouter, d'ailleurs, 
que les coiii-ants de convection qui se produiront dans l'atmosphère de la cage contribueront à détruire l'équi- 
libre. 

VI. Addition. — Pour bien mouti'cr i[U(> l'Iiypothèse de la perpendicularité de la droite AOB sur la droite 
0G| est favorable à la sensibilité, cousiilércuis (/iV/. 4 et ;>) le cas où langle t«OK a une valcm- quelconque fi, la 
surcharge étant supposée agir on li. I.a ilévialicui oc est donnéi' |iar la formule 

jj il sin (^ — x) = t:i(/i sin a:, 

Q !____ 1 d'oii l'on déduit, après avoir 

divisé par î/, 

, ttk/, 

cota; = cola -)- -Ti— — TT' 
■^ ol sm [J 

si l'on désigne toujours par h la 
dislance (ill du centre de gra- 
vité (lu Iléau à la ligne AUl!, 
on a 

Ttirf, sin û = T.h, -,d, = —. — 7- 
et l'on oblient 




Fit;. 




sm i , 



cot X = col ^ 



T.ll 



S/sin-li ' 



résultat que l'on pourrait ilablir directement. 

.Supposons alors qu'au moyen d'un curseur lié au fléau et mobile parallHemcnl à la ligne .\0H, on fasse 
varier l'angle 'p sans modifier la distance h, en déplaçant (1 : cela fera varier l'angle a-, c'est ii-dire l'écarl entre 
la posilion que l'aiguille occupe quand la surchai'ge existe, et la position qu'elle occuperait si les plateaux étaient 
vides, cette dernière position pouvant être supposée connue pour chaque posilion du curseur. Or, en posunl 



23fi 



CONCOURS DE 1901 



rot P = ;, on a 



roi X = ; -(- — TT- (I -j- -•*; = -TTT— i' ■ 






el II' maximum de dc-viation, mi le minimum de rot x, correspond à 



on cot ^ = 



V 



•iTzh 



... tjç({4_l") = 



la formule de la déviation, nii l'on remplace —;:-■ l'''i' — — tj.' ^. donne 



col X 



_ cosp 



I 



2 cos' ^ — < _ 



ou 



siii ^ 2sin^ros,a 2 sin ^ cos ^ 

X = 2(;i — !•") ; 



■îr.h 



■Ot 2^, 



/a position du curseur qui produit le maximum de déviation, pour une surcharge déterminée, est donc crlle pour 

laquelle cette surcharge donne à la ligne AOB une position symétrique /mr rapport à l'horizon du point 0, de 

celle qu'elle aurait si les plateaux étaient vides. 

^l **/ 

Or, dans la prulii|ui-, — j- est très pclil;cn désignant par ; l'angle doni laiiiesiire triiionomi'lriqueesl -^'• 

on a donc très sensiblement pour le maximum de déviation 



^ = l--4. 



X — t\ 



on pi'ut remarquer que 'p est obtus, comme on devait le prévoir. En prenant, comme on le l'ait par raison de 
symétrie, fl = 1'*', on s'approche beaucoup des conditions qui donnent le maximum de déviation, el comme 
une fonction varie lenlenient dans le voisinaj;e d'un niaxinuim, la déviation obtenue dilTére extrêmement peu 
de la déviation maximum : la formule du paragraphe III (Idimecn effet, pour de petites déviations, x = i. 



CONCOURS l>K litOl Siiltr] 



KCOLE PÔLYTKCHNiurE 



1038 



Maihémaliques, 

Soient Or, Oij deux axes de coordonnées rectangulaires : soient n et a' \ci abscisses de deux 
points A et A' de l'axe (b-, et b l'ordonnée d'un point It de l'axe 0;/. On consi- 
dère toutes les hyperboles équilatères (lli) circonscrites au triangle AA'H. 

I. — Calculer les Coordonnées .<-i, ;/i du quatrième [loint M de rencontre de 
la circonférence circonscrite au triangle AA'15 .ivec l'hyperbole (Hi). Montrer 
qu'en désignant par >. un paramètre variable, ces coordonnées peuvent être mises 
A * sous la forme 

A + 10, , 

y, = Ï.Xt -f- /(, 




X, = 



I + ).« ' 



el donner les valeurs des constantes A et 11. 



II. — Vérifier par le calcul que le diamètre de l'hyperbole qui est mené par le point M passe par un point 
lixn, ipiel que soit ).. 

Le démontrer géométriquement. 

m. — Trouver le lieu géométrique des points de contact des tangentes menées aux hyperboles (llx* paral- 
IMement à une direction donnée, et examiner en parliculiiT les ca^ on cette direction e.^l celle des axes de coor- 
donnée». 



N. B. — L<>s candidats connerreront toutes les notations indiquées. 



(l'.O miK. lie 7 h II / / h.l 



CONCOURS DE 1901 



2;n 



Physique et Chimie. 

l'hysique: I. — Détermination de l'état hygrométrique de l'air à l'aide de l'hygromètre chimique. 
II. — Raies de Frauenhofer : indiquer en quoi elles consistent, et comment on peut les voir. 

Chimie : Préparation de l'acide azotique anhydre. — Préparation de l'acide azotique dans les arts. — Puri- 
lication de l'acide azotique du commerce. 

Epure. [30 mai, de 7 h. à il h.) 

1039. — I^TEHSECTioN d'u.\ CÔNE ET d'uin iiyperboloide DE RÉVOLUTION. — Le cône a pour base un cercle de 
front ((', c') situé dans la partie supérieure du plan vertical, langent au plan horizon- 
tal, et qui a 8 centimètres de diamètre. Son sommet (s, s'} est en avant du cercle, ii 
une distance égal»; au diamètre, et sur la ligne do bout menée par le point S' le plus à 
droite du cercle. 

Celte ligne de bout sert de génératrice 
à l'hyperholoïde : l'axe de révolution est 
la droite du plan horizontal qui est con- 
fondue avec la ligne es' de l'épure. 

Le point c' sera placé à 15 centimètres à gauche du bord droit 
de la feuille, et à IS centimètres au-dessous du trait le plus bas de 
l'en-lête. 

On demande de représenter en traits noirs la projection hori- 
zontale du solide commun au cône et à l'hyperboloïde. 

On indiquera en traits rouges les constructions nécessaires 
pour déterminer un point quelconque de l'intersection et la tan- 
gente en ce point, ainsi que les points remarquables. 

(31 mai. de 7 li. à 1 1 II.) 
Lavis. 



Exécuter à teintes fondues le lavis d'un tore ii méridien circu- 
laire traversé par un cylindre. L'axe du double solide est vertical 
et le cylindre a pour directrices le parallèle supérieur et le parallèle 
inférieur du tore. 




1 

(La figure ci-contre est une réduf lion au -7- du dessin, prêt à 




être lavé, distribué aux candidats. 



C'ilnil liiiiiinomâlrique. 



(."il mni, de S h. à 4 h.) 



Résolution trigonomélrique de l'équation 



I44a;3 _ 9r.8,09a;-t- 847,2 = 0. 



{.31 mni, de 4 II. « 5 //.) 



KCOLE NOH.MALH SUPKRIEURK 



Afiilhémnliquo!. 

1040. — On considère l'hyperboluide (H) représenté en coordonnées rectangulaires par l'équation 

x^ y^ jï 

et les deux systèmes de génératrices reclilignes délinis par les équations 

ah \ c 1 



I < 



\ a h u \ '• / I a v \ c / 

\ chaque système (le valeurs attriliiiées aux paru mètres « et r roriespimd un point de l'hyperboloide (11), 
inter>eclii)n des génératrices (I) et (II); réri(iio(|ueineiit, a chai|ue point de riiy|)erboloide correspond un système 
de valeurs pour u et v. 



238 QUESTIONS PIIOPOSEES 



Former la relation qui doit exister entre les par;imèlres u cl v pour que le point de l'hyperbolouie qui 
correspond au sysièiiic île valeurs u, r) appailiennc à l'un des conoïdes (C) représenlés par l'équalion 

iabcxij 

' ~~ { I + ni]6-x' -(- (1 — »i)a'y' ' 
où m désigne un paramètre variable. De quoi se compose fintersection complMp de l'un de ces conoides et de 
riiyperboloide quand m' — 1 est diiréri'Mt de zéro et quand m- — 1 est nul ? 

Déterminer les points où la courbe iQ), coraiiiune à (H) et à l'un des conoides, coupe les génératrices du 
système (II) ; eiprinier les coordonnées des points de cette courbe en fonction du paramètre r. 

Kn combien de points la courbe (Q) rencontre-t-elle chaque génératrice du système (I)'? Déterminer le lieu 
décrit par le contre des moyennes distances des points situés sur une de ces génératrices, lorsque celle-ci se 
déplace sur l'hyperboloide. 

Démontrer qu'il existe un conoïde (C) pour lequel le plan tangent à l'iiyperboloide en chaque point de la 
courbe (y est perpendiculaire au plan déterminé par la génératrice du syslènie (II) qui passe en ce point et par 
la génératrice parallèle de (iT. 

Distinguer, suivant la valeur du paramètre m, ceux des conoïdes (C) pour lesquels les points d'intersection 
d'une génératrice du système (I) et de la courbe (Q) sont tons réels, ceux pour lesquels un seul point d'inter- 
section est toujours réel, ceux enfin pour lesquels le iionihre des points réels varie avec la génératrice. 

(iO;Hi;i, (k 8 li. a ^ h.) 

Physique. 

I. — 1041. — Un imagine un œil fictif constitué par une masse d'eau (n = -r-) limitée à sa partie pos- 
térieure par la rétine, et à sa partie antérieure par une surface sphérique de 5 millimètres de rayon, au centre de 
laquelle est placé un écran percé d'une ouverture circulaire de I millimètre de rayon concentrique à la sphère. 
L'axe de cette ouverture est l'axe de l'œil, et l'on considère tous les rayons lumineux utilisés comme très voisins 
de cet axe. 

On demande tout d'aliord : t» où sont les foyers principaux de ce système optique ; 2- quelle doit être la [)ro- 
fondeur de l'œil pour que l'image d'un objet situé à 40 mètres vienne se peindre sur la rétine; 3° l'tL'il regardant 
ainsi à 40 mètres, quelle est la limite de petitesse des détails qu'il peut distinguer, si l'on admet que cette limite 
est atteinte quand l'image rétinienne n'a plus que 4 microns. 

On suppose ensuite que l'œil demeure invariablement accommodé de manière à voir nettement une glace 
transparente placée k 40 mètres et sur laqLielle se trouve une graduation en centimètres. On admet que l'obser- 
vateur rapporte l'origine des impressions qu'il reçoit à des objets lictifs qu'il croit situés dans le plan de la glace 
transparente. On demande ce que l'observateur croit voir sur la glace dans les expériences suivantes ; et quelles 
sont, en centimètres, les dimensions de ces objels fictifs. 

Première expéricncr. — On place un point lumineux à 20 mètres de l'teil. 

Deuxième expérience. — On place ce point lumineux à 15 centimètres de la surface antérieure de l'œil. 

Troisième expérience. — On place à 20 mètres de l'n'il un carton percé d'un trou de 2 millimètres de rayon à 

travers lequel on reçoit la lumière provenant d'un astre dont le diamètre apparent est le -r— r- de l'angle au 

centre qui intercepte sur la circonférence un arc de longueur égale au rayon. 

(Jwilrii'me rxpériencf. — On place ce carton à lii centimètres. 

Cinguièmr expérience. — On place ce carton contre Td-il. 

O/i pourra nr pns dépasser lit précision qur compurlr la prtilease des drlaih <ji<e l'o'il ilout il s'in/il peut 
distinguer. 

(il juin, lie S h. Il 2 h.) 

II. — Fusion de la glace. 

♦ 

QUESTIONS PHOPOSÉES 



1042. - iiii lionne un triangle OAIt, rectangle en O, et on joint un poini i|uele<inqMedn )>landcre triangle, 
r, aux deux piiint.s .\ et II, puis on abaisse du point il les perpriiilienlaiii s UN, n||' sur les dioites l'A il 111. 
Soieni II l't M' les pieds de ces deux porpendicnlnire^ 



ÉCOLE DES MINES DE SAlNT-ÉTIENNE 2,19 

1° On demande de t'ornicr l'équation de la droite HH' en l'onction des données et des coordonnées du point 
P et de trouver le lieu du point P quand cette droite IIH' tourne autour d'un point lixe {oTo, i/o). Cotte courix! 
enj^endre, quand le point P varie, un réseau qui a cinq points lixes, dont deux ii l'inlini. 

2" Montrer qu'à une droite donnée HH' correspondent quatre points P. Établir celle propriété par le 
calcul et par des considérations géométriques ; lornier ensuite l'équation générale des coniques qui passent par 
ces quatre points. 

3° Déterminer la droite pour laquelle toutes ces coniques sont des liypcrlioles équilatéros Trouver l'enve- 
loppe des droites pour lesquelles les deux paralioles du l'aisceaM sont confondues. Ces paraboles particulières 
forment deux séries; former leurs équations générales, trouver le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées 

du point U sur les axes de ces paraboles et construire ce lieu. 

E. II. 

1043. — On donne deux coniques (C) et C) ayant mêmes directions asymptotiques. 

Aa;2 -f- 2Bx;/ -I- Cf = 0. 
Par un point lixe A de (C), on mène une sécante y = mx, qui coupe (C) en 

MP p 
P et (C) en Q. Pai le point M qui partage PQ dans le rapport -— - = — on 

mène une droite A dont le coefficient angulaire m' est lié à celui de la sécante par 
la relation 

A 4- (B +X))n + (B — X)m' -1- Cmm' z= 0. 

1° Trouver l'enveloppe de A quand la sécante tourne autour de A. 

2° Trouver le lieu des centres de cette enveloppe: a) quand on fait varier 

— ; b} quand on fait varier ).. Ces lieux passent par un point lixe de C. 

3° Trouver les points d'où l'on peut mener à l'enveloppe des tangentes parallèles aux directions asympto- 
tiques communes à (C) et à (C). 

La position de l'un de ces points est indépendante de la conique (C). Trouver le lieu de ce point: a) quand 

— varie; b) quand ), varie. 
<i 

La position des trois autres points ne dépend que du centre de (C). Trouver le lieu de ces trois points quand, 

— et A restant constants, le centre de (C) décrit une courbe donnée P(x,ij) — o. 

P. V.^LOT, à Périgueux. 




DEUXIEME PARTIE 



ÉCOLE DES MLXES DE SAINT-ÉTIENNE (Conroiiis do 1900). 



Mathématiques. 

1007. — On consiJcre la fonction expoiientielli' y = «■ ~, la Irllre e désiyiiiiiil la base des loga- 
rithmes népériens. 

1" h'tudicr la loi de formation des dérivées successives de >/ par rapport à r et démontrer qu'en général 

la dérivée d'ordre n, -.-^' est de la forme ( — l)"Qn x~^"e ' . (J„ étant un polynonte de degré n — \ 

en x\ trouver la relation (}) qui existe entre Qn, 0„-i <>< Q'-i-i (Q'„-i désignant la dérivée de 0„_, }tar 
rapport à x). 

2" h'tahlir une formule de récurrence entre trois polynômes Q sucressifs. Q„^j, U..- 1- U/i ; on dési- 
gnera cette formule par le n" (l\). 



Î40 ECOLE DES MINES DE SAINT-ÊTlENNE 

3° Démontrer qup le polynôme Q„ n'est autre que la fonction primitive du polynôme précédent Q„_,, 
multipliée par une ronslanle numérique ; formule (111). 

•4° Etablir la relation identique qui exisli' entre le polijnome Q„ et ses ili'ux premières dérivées 
0», Q%; formule {m. 

0° Démontrer par l'application du théorème de Italie aux formules {\) et(\\\) ou aux formules (\\\) et i\S) : 
a) que l'un quelconque des polijnnmes Q„ a ses racines réelles et inéqales : h) que les racines d'un polynôme 
Ub-i séparent celles du polynôme suivant Q„. 

6* On représente le développement du polynôme (J„ par la formule 

On = A„,x"-'-+-A„,ar"-'-|- . +\„^x"->'-\ h A„^,x-hA„„. 

On demande de trouver l'expression générale du coefficient A„ et de démontrer que l'on a identiquement 

le symiiole K"r' désiynant le nombre des combinaisons complètes de p lettres n — p à n — p. 
1° Loi de formation des dérivées successives de la fonction y = e ' . — Ou a 



d^ 
dx 



■- = —x~'-:x:e ' x[ t) "^ -'' ''" = (i+2x)x-'^- 



d^j 
dx' 



'^. := (l-t-2i)x-'xeW -)—x~%kx-hGx^)e^ = — (1 -t- 6x-i-6x')ar-V' 

r" \ X- / 

D'une façon générale, admellons que l'on ail 



-^=(-l)"-Q„-.a-('-'V: 

U„_, étant un polynôme de degré " — 2 en r; on en déduit 

d' 
d. 

ou, en réduisant 



^ = (— l)"-'rQ„_,x-»<"-'v ^ X (— -^) - 2(h — l)0„_,.r-("-'»« ' -+- Q'„_,r-«"'-"''~ j, 
^ = (- I)"ril-l-(2n-2).rî0„ . -x'0',._.]a- '"'■^. 



ce qu'un peut encore écrire 

-^ = (_i)"0„.r-»»«', 

(J, étant un polynôme de degré m — 1 en x, savoir 

(I) 0„ = [1 -+- (i" - 2).rj0„ , - ,r'0'„_,. 

t" ftelalion entre Q„_j. 0,_ , et 0„. — Nous chercherons d'abord une relation entre trois dérivées 
successives de la fonction y. Pour cela remarquons que l'on a 

y + x^-J!- = 0. 
d.r 

Prenons la dérivée (w — 1)' du premii^r membre (formule de Leibnilz) ; il vien l 
t/x"-' L dx„ dx" ' dx" ' I 



ÉCOLE DES MINES DE SAINT-ETIENNE '241 

c'est-à-dire 

a;2 ^ + 1 1+ (2« -2)x] ^ + (n - 1)(« - 2) Ç-^ = 0. 

Remplaçant les dérivées par leurs expressions en fonction des polynômes Q, on obtient la relation 
demandée 

(II) Q,. - [1 4- (2« - 2)x]0„_, + (n - l)(n - 2)j,--^Q„_, = 0. 

3" Montrer que Q„ est à une constante près la fonction -primilive du polynôme précédent Q„_,. — 

Comparant les formules (I) et (II), on trouve 

Q'«-, = (« — !)(« -2)Q„-2. 
On aurait de même 

(III) u;. = »('! — ! )Q„-,. 

4° Relation identique entre (J„, 0',, et Q^,. — Reportons-nous à la formule (I). On a, d'après (111), 

par suite, Q„ - [ I + (2n - 2)a] X . ^ ^. Q;. + x= , * ., Q'„ = 0, 

n(n — 1) n{n — 1) 

ou, en chassant le dénominateur n(n — 1), 

(IV) n{n _ 1)0„ - [l + (2n - 2).<;JQ;, H- aj-^0« = 0, 
relation identique, d'où nous déduirons plus loin les coefficients du polynôme Q„. 

5° Séparation des racines du polynôme Q„. — On constate que les polynômes 02= 1-h2.t, 
03 = 1-1- 6a: H- 6.1', ... ont leurs racines réelles et distinctes. Admettons qu'il en soil ainsi pour le 
polynôme Q„_i et désignons par a, p, -,',.•■ >> les (n — 2) racines réelles et distinctes de ce 
polynôme ; ce sont aussi les racines de Q'„. 

Substituons dans le polynôme n„ les nombres de la suite 

— 00 , a, <fi, 1, . . . , >•, -1- X . 

On vérifie facilement que le terme du plus haut degré dans Q„ a un coeflicient positif; ce coeflicient 
n'est autre que « !. Donc 0„( — 00) a le signe de (—1)""' et Q„(+cc) a le signe -f-. 
Etudions maintenant les signes de Qn(«), On(f*)i Qn{'i), ■ ■ ■ OnC^)- En vertu de la relation (I), on a 

Q,.(a) = _ a20n-.(^)- 
Tout revient donc a. chercher les signes de Q;,_,(»), Qn-,(P), ...,0n-(^)- Or on sait que a; tra- 

Q'_, 

versant la racine ,i- = a du polynôme Q„^,, le rapport -^ — passe du négatif au positif; d'autre 

part, a- = a étant racine simple, Q,,^, change de signe et passe du signe de (—1)"-* au signe 
de (— 1)""' ; donc Q„_,(») a le signe de (—1)""' et 0„(a) le signe contraire, c'est-à-dire le signe 
de (—1)"-*. 

On montrerait de même que 0„(Ei) a le signe de {—l)"-'\ Q„{y) le signe do (—1)""', ..., 
Q^().) le signe de (—i )"-'-( «-2) ou (—1)'. En sorte que les signes des résultats de substitution des 
nombres de la suite 

— », a, • ^, f, . . ., Y, -t-oo 

sont respectivement 

(-1)-', i-l)"-', {-l)"-\ (-1)"-', -i' +»• 

Le polynôme U„ a donc ses n — 1 racines réelles et distinctes et séparées par les racines de la 



2V-2 ECOLK DES MINi:S DE SAINT- ETIENNE 

dérivée (}'„ ou. co (]ui revient au même, par les racines tlu polynôme n„ |. On arriverait aux mêmes 
résultats en partant des formules (111) et (IV). 

6* Calcul des coefficients de Q,,. — Posons 

0„ = A„,J-" -' -H A„,x-« H- . . . + A,.^.r"-'' -+-... -t- A,.„ ,.t -i- A„,„ 

d'où Un = l" - l)A„,a;"-- H- (" — 2)A„,.r"-' -+-...-+-(«_ p)A„^a"-'-' + . . . -h A„„_„ 

g; = („_!)(,.- 2)A„,x"-'-t-(n-2)(«-3)A„,.r"-'+ . . . +{»-p){n -;,_ |)A„^,r-'-'+ . . . h-2 1A„„ ,. 

En remplaçant On, On, On par leurs expressions dans la relation (IV), on obtient une identité. On 
constate que le coefficient de r" ' s'annule do lui-même; écrivaiil que les coellicienls des autres 
termes sont nuls, il vient 

»(,. - 1)A„^, - (2n - 2)(». — />)A„,, - in -p -H i)A„^,_, -h (»i -^)(>. —p— l)A„^, := 0, 

OU, toutes réductions faites, 

or, on sait que A„, — »'. ; on en déduit 

« — 1 11 — 1 II ! 

_» — iii'. " — 2 _ (»-l)(;i — 2) n! 
"^ ~ r~ 27 ' 2 3 ~ r^ 3^' 

_ iH— 1)(h — 2) »i! .1-3 _ (>i — l)()i — 2)(n — 3) »_!_ 
A"4 - f2 "3T~3X ~ 1.2 3 ■ Ti' 

(n— l)(n — 2) ... Oi — p + l) n ! . 



et en général, A„ = 



1 .2. . i/) — 1) 



(„-1)(n- 2) ... (,,-;,+ !) ,_, ,_, 

on remarque que .) ^ 3 _p_i = K-,+, = ^t- ' 

n ! 
d'où l'expression du coeflicient A„ : A„ = K" '' — r- 

'■ ''pi p. L. 

Uonae soIuUod de M. J. Maiicual. 



Épure. 



1008. — /ntersectinn de deuc cônes obliques â bases ciirulaln-s ci-dessous définis. 

Soient llll hi trace sur le plan vertical de projection il'un phtn horizontal II '7 FK la trace sur 
/'■ plan hiirizontal d'un plan de front V . 

I.e pronier cône a son sommet (s, s) dans le plan F (/ 0"'.20 au-dessus du plan II ou se trouve son cercle 
de base C d)' 0'",07 deraijon. Le centre de C est n O^fil en avant dr F cl à O^-l'i à ijauihe du plan de 
profil P qui contient le point [s, s'). 

Ia deuxii^me cône a pour sommet (5, a'), pninl ipd est sur l'inlerscctiun de H rt de V. a [)'",16 en avant 
du plan F où se trouva son cercle de hase y', dont l<- rayon est O^jOli. Le centre de 7' est li O^.OG au-dessus 
du plan II et à O'»,10 à fjauche de V. 

On demande de représenter : 

\" en projection verticale, le solide commun iiu.c deu.v cônes ; 

2" «VI projection horizon'ate, la portion du premier cône qui est extérieure au second et limitée en outre, 
inférieurement par le plan II, et supérieurement jinr le plan de section circulaire aniiparalléle qui passe par 
le point (s, 9'). 



I 



^ 




k 



2W ECOLE DES MINKS DE SAINT-ÉIIKNNE 

/-€s parties conservées seront passées à l'em-rr dv Chinr en faisant la distinction des parties vues et 
cachées . 

On reproduira en outre à t'encre (traits continus de couleur ou tniils noirs discontinus) la construction 
d'un point courant de l'intersection avec la tangente, ainsi que celle d'un point et d'une tangente remar- 
quables de chaque espèce {points sur les contours apparents, points où iinterscriion est tangente n une 
génératrice de l'un des cônes). 

Les courbes seront lrac<'es ii la main sans faire usage de pistolets. 

On prendra pour ligne llll le petit fi.ve de la feuille et on placera le point à O^.Ol à gauche du 
grand axe, 

hélerminalion (Vvn iwint courant et de la tangente en ce point. — .Nous emploierons, pour avoir des points 
de l'iiilerseclion des deux cônes, des plans auxiliaires passant par les somniels S et ï des deux surfaces. Les 
traces horizontales de ces plans passeront par <i et leurs traces sur le plan de front K concourront en S en 
.sorte que les projections verticales de ces frontales passeront par .s'. l'renons un de ces plans auxiliaires défini 
par sa trace horizontale (ti-.tV) et par sa frontale {sr,s'r'). Il coupe le eone de sommet S sui\aiil deux géné- 
ratrices projetées horizontalement eu as et 3s ; il coupe le cône de sommet 2: suivant les deux t;énéralrices 
{iii.'sg') et (3.(7,,î(/'i) qui rencontrent les précédentes en quatre points projetés horizontalement en h,b),m,mi. 
Faisant tourner ur autour de a, on aura autant de points que l'on voudra de l'intersection des deux surfaces. 

Iiélerminons la tangente en l'un (m, »i') de ces points ; les traces horizontales des plans tangents aux deux 
cônes le long des génératrices t;/ et si qui donnent m se rcnconlrcul au point t, d'oii la tangente (mt, m'(') 
au point (m, m') à la courbe. 

Points remarquables. — Ce sont les points sur les g(''néralrices de contour apparent des deux surfaces et 
ceux situés dans les plans limites. .Nous avons construit en & et 6i les points sur la génératrice de contour 
apparent horizontal sa du cône de sommet S. 'in aurait d'une manière analogue ceux sur les autres 
génératrices de contour apparent. 

Les plans limites sont I71'. v'i') et {y, s'j'); comme ils correspondent chacun à un des ci'ines il \ a arrarliement, 
c'est-à-dire une seule eourhe d'intersection. Nous avons construit un point (</,</') sur la génératrice limite 
{sc,s'e') et sur la génératrice (■7l,i'V). La tangente en ce point est (sc,j'e';. 

Enfin nous avons déterminé la ligne /.(i des points doubles en projection horizontale ; c'est la projection 
horizontale de l'intersection des plans diamétraux conjugués des cordes \erticales. 

Section anliparallèle à la base dans te cône S. — Prenant comme plan vertical auxiliaire le plan vertical 
so, nous avons en ^'u et «"o les génératrices situées dans ce plan; le plan de section anti|iaralléle mené par 
(î, j'jest de bout dans ce nouveau système et sa trace verticale sl"k" est antiparallèle it «r par rapport à l'angle 
uj"c. La proji'clion horizontale de cette section circulaire est l'ellipse de petit axe kl, décentre (o milieu île 
ht et dont le grand axe a pour longueur k"t" ; nous avons obtenu en ic et ici les points où cette ellipse touche 
les projections horizontales des génératrices de contour apparent horizontal du cùnc S en prenant le point 
d'intersection \o" de s"a" et de k"l". 

Reiiréseniation du corps. — Lu projection horizontale nous avons représenté h" cône S solide, subsistant seul, 
en ayant enlevé la portion contenue dans le cône 1, en limitant ce corps au plan horizontal 11 et au plan de 
section antiparallèle. 

En projection verticale on a le solide comuniii aux deux cônes. La visibilité est immédiate. 

N. C. 



Physique. 



1005. - On donne un récipient cglindrique fermé AA' pesttnt, vide, 350'"' et dont les dimensions 
à 0" sont : base : 100'""i ; hauteur : H)'"'. 

L'épaisseur des parois est supposée négligeable. 

Ce récipient fini le dam un liquide L dont la ilensile a {)" est ^,(A. On a introduit dans ce récipient, 
après g avoir fait le vide, un poids x de mercuee cl un poids g d'eau. 1 hoisis de telle .sorte qu'a la 



ÉCOLE DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE 



245 



tempéralurp de 100° : 1" le système affleure exnclement mi niueau A', ^° toute l'eau soit exactement réduite 
en vapeur saturée. 

On demande : 

1" De calculer les quantités x ri ij ; 

2° De calculer la hauteur z. comptée à partir du fond A, dont s'enfoncera le système pour une 
température quelconque t comprise entre 0° et 100° ; 

3° D'évaluer la force qu'il faudrait appliquer, à la température de 100°, à un piston très mince supposé 
mis à ta place du fond A pour le maintenir. On admettra que la pression est uniforme dans tout l'espace 
occupé par la vapeur. 

Données numériques : Densités : du mercuri' à 0", 13,6 : de la vapeur d'eau, 5/8. 

Poids du titre d'air a 0° et TeO"'"", ^g^3. 

Pression atmosphérique, 780°"°. 

Coefficient de dilatation : linéaire de l'enveloppe, Q,(i{i^^\. ; cubique du mercure, 0,0001S ; cubique du 



liquide L, 



1 



6000 



des yaz, 0,0036. 



On prendra comme unités le centimrlr'' et /<■ yrammi 
K 



1° Le coefficient de dilatation cubique de l'enveloppe étant le triple du coeffi- 
cient de dilatation linéaire, le volume du récipient à 100° est, en centimètres cubes, 
2000 (1 -+- 0,003). Le volume du mercure à la mi^nio température est 

^ ■H-0,01S). 



13,6 
11 reste donc, pour le volume de la vapeur d'eau, la différence 



2000(1 -h 0,003) 



13,6 



(i -+■ 0,01«i. 



Avec ce volume, et en remarquant que la tension de la vapeur d'eau saturée ;i 100» est de 760"", 
on peut exprimer le poids y par une lormule connue, ce qui donne une première équation : 



(1) 



y = 1^2000(1 ^0,003)- ^-1^(1+ 0,018)]-^.0,0013^. 



D'autre part, le poids du cylindre est, en grammes, 3oO -t- a- -f- y. Le poids du liquide déplacé à 

1 

100» est 2000(1 -+- 0,003)0,61 - 



1 



100 
6000 



La condition d'équilibre fournit alors la deuxième équation 
(2) 350 -h .1 -I- ?/ = 2000(1 -H 0,003)0,61 



1 



100 

6 0U0 



En chassant les dénominateurs de (1) et effectuant les calculs, on trouve 

0,0033085.T-+- 73,984,1/ = 88,6652, 
et (2) peut s'écrire .r -f- y = 853,6. 

On tire de là v = 8ôif',Ai et y = 1«',1«. 

2° Le poids total, d'après ce qui précède, est égal à 

350- 852,44 H- 1,16 = 1203,6. 
Ecrivons qu'il est égal à la poussée, en tenant compte di; la dilatation superficielle de la surface 

1 



de base 



1203,6 = 100(1+0,00002/:. 0,61 



1 



t 
6ÔÔQ 



ii6 ÉCOLE DES MINKS DE SAINT-ETIENNE 

On tire de là, en négligeant les quantités du second ordre on /, 

: = 19,731!! -+- 0,000147/1. 

Comme vérilication, si, dans cette formule, un fait / = 100, on trouve pour ; la hauteur totale 
du cylindre, c'est-à-dire 20x1,001. 
3° La surface du piston à 100° est 

100 (1 -(- (t,002) = 100,2. 

La force qui lui est appliquée à l'intérieur, si on néglige, conformément à l'énoncé, le poids de la 
vapeur d'eau, se compose du poids du mercure et de la force due à la pression de la vapeur, soit 

( -^ 100,2 X 76 X 13,6 = 10i419ï%16. 

La force qui lui est appliquée à l'extérieur est duc à la pression atmosphérique augmentée de la 
pression du liquide ambiant, soit 

0,01 



),2r78xl 



100,2 78xl.{,6-^ 20x1.001 x 



lIKI 
1 



lU7't9.)",7fi. 



6000 J 

Si on suppose le poids du piston négligeable, il faudra, pour le maintenir en équilibre, une force 
dirigée de haut en bas et égale à la différence des deux forces précédentes, soit 

3076e%60. 
Dans ces nouvelles conditions, il faudrait, pour maintenir tout le système en t'qiiilibro, ,i|)pliquer 
en mt-me temps au cylindre une force égale et opposée. On retrouve en eflét le même nombre, au poids 
de la vapeur près, en analysant les forces appliquées à la base supérieure du cylindre, savoir : 

Différence des pressions extérieure et intérieure ; (78 — 76)13,6 X 100,2 = 2723,44 : 

Poids du cylindre 350 

Total 3075.44 

Poids de la vapeur d'eau 1,16 

3076.60 



Chimie. 



1006. — /fiiiis iinr solution d'iodiirfi di- pol'issium, on fait arriver le gaz provitanl de l'action de 
l'acide rhloi hydrique en excès sur 0iî',43o de biox]idc de manganèse, puis ou verse 250" d'eau de brome. 

On décolore ensuite la liqueur exactement i) l'aide d'une solution d'hyposulfilede soude contenant 15", 8 
df ce sel anhydre pur lilv. 

Sachant qu'il a fallu employer pour cela iOO" de la solution d'hypusulfite. o» demande la teneur de 
l'eau df brome. 

Poids atomiques : Cl = 3.=5,5, Br = 80, I 127. .\a = 23, Mn = 55. 

Si on désigne par .r la fraction de molécule de bioxyde de manganèse qui entre en jeu, la première 
réaction est représentée par l'équation 

x(4llCI -f- MnO= - MnCI' -+-2H'0 + Cl»), 
et Ion a Hlx = 0,435, d'où r = 0,00N. 

Dans les réactions suivanteD, il faut supposer liodure de potassium en excès, sans quoi le problème 
ne serait pas déterminé. Elles sont alors représentées par les équations 

X12K1 -f- VA' -2KC1 -+ P), 

i/(2KI -^ Ilr' = 2KBr -t- I»), 

IX -4- ./)(2S'0'Na' H 1' = îNal -+- S'O'Na'), 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



247 



D'après la quantité d'hyposulQte employée, on a 

[x -f- !/)2 X 138 = 200 X 0,0158, d'où x-^,/=. 0,01 , et 

Le poids du brome entrant enjeu est i/Br- = O^^S, ce qui correspond à 

3«'',2 par litre d'eau de brome. 



O.OOS 



GEOMETRIE ANALYTIQUE 



988. — Lieu du rentre C d'un cercle qui louche un cercle donné el coupe orthogonalemenl un second 

cercle également donni' 0'. ,„ , , 

[Ecole des Ponts et Cliaussées, Cours i>réparatoirn, iOOO.) 

Soient R et R' les rayons des cercles et 0', ? celui du cercle C ; désignons par /• la longueur CO 
el par 9 l'angle COO'. 

Les cercles C el 0' étant orthogonaux, on a la relation 

f H- R'2 =: CÔ'', 

OU, comme a = r — R, 

()•— Rj2 + R'-2 = CÔ'\ 
D'autre part, dans le triangle COO', 

CÔ'' = )■"- -+- a-" — 2rt>- L-ùs 0. 

iJe sorte que l'équation polaire du lieu du point C est 

/• — R)2 -f- R'^ = r2 -H «2 _ 2ar cos 0, 

11) r =: 

' 2(R — flCOsOj 

Le lieu est donc une conique ayant l'un de ses foyers en et dont l'axe focal est 00'. Suivant que 

l'on a a < R, a > R ou a = R, c'est-à-dire suivant que les cercles 
et 0' sont tels que le centre de 0' est à l'intérieur du cercle 0, à l'ex- 
térieur du cercle ou bien sur le cercle 0, la conique (1) est une ellipse, 
une hyperbole ou une parabole. 

Si les deux cercles et 0' sont orthogonaux, R- -i- R" = a-, el 
l'équation (1) devient )• = 0, ou R — acosO = 0. 

Si donc P et Q sont les points de rencontre des cercles orthogonaux 
et 0', le lieu du centre des cercles C se compose des deux droites OP 
et OQ. 

On voit que les carrés des longueurs des demi-axes A et B de la conique (1) sont 



ou 




(2) 



A^ = 



R2(R2 -t- R'» — a\^ 



B» = 



(R'^-1-R'» — a>)= 



4(R2 — a»)" " 4(R» — a») 

Il en résulte que la conique (1) ne peut devenir un cercle que si a = 0, c'est-îi-diro si les cercles 
et sont concentriques. Le lieu du centre du cercle C est alors le cercle 

^ II' H- R'- 
'~ 2R ■ 
La conique {\) sera une hyperbole équilatère si A- = — H', c'est-à-dire si n = Rv/2". 

E.-N. BARISIEN. 
BoDnes solutions ilo .M,M. I'. PiiaoïiiKB, à Carcassonno; T. Leuovxk, ii Trojes. 



ii8 



QUESTIONS PROPOSÉES 



Solution géométrique. — Kn Iransforajanl la (ijçurc par inversion, le pôle étant en O et le module 

étant le carré du rayon du cercle 0', on voit immédiatement que les cordes C touchent l'inverse U| du cercle 0. 

Le lieu du centre C est donc une conique avant pour fo>crs les points et (»i. 

VASNIER. 

Autre solution gi'onuHriqne de M. T. Llmoïne. 



PHYSIQUE 



996. — Démontrer que si l'on fait tourner un système de deux miroirs plans angulaires autour de leur 
intersection, les imag^'s d'ordre pair, c'est-à-dire produites par ini nomhri' pair de n'/lexions, restent im- 
mobiles. 

Je prends pour plan de figure le plan perpendiculaire à linterseclion des deux miroirs OA el OB 

et passant par le point lumineux P. Les images de P dans ces deux 
miroirs sont toutes sur une circonférence décrite de comme centre 
avec DP pour rayon. Je détermine leur position sur cette circonfé- 
rence par la longueur de l'arc compris entre chacune de ces images et 
Ip point P. 

Limage de P dans OA est Q , qui donnera l'image paire Q,. Les 
angles PQ,Qj et AOB sont égaux ; donc si désigne l'arc compris 
entre les deux miroirs, on aura PQ» = 20 ; on voit de même que 
PQ = 40 et, en général, la distance de l'image Qj„ sera 2»i9. 

De même, si on considère les images obtenues par une première 

réflexion sur OB, on aura une série d'images paires dont les distances 

à P seront PR2 = 20, PlU = 40, . . . , PR,„ = 2nO. 

Donc les images paires sont situées aux points dinlerscction du cercle et des perpendiculaires à OP 

menées à partir de P et de telle sorte que les arcs interceptés par deux perpendiculaires consécutives 

soient égaux à 20. Ces points sont fixes quand les deux miroirs tournent autour de leur angle restant 

constant 

J. MARCIIAL. 




QUESTIONS PROPOSEES 



1044. — On donne un cenle 0, une tangente XI) à ce cercle en un point U el l'on considère les para- 
boles bitangentcs au cercle el dont le sommet A est sur la droite .\D. Soit ItC la corde des contacts de la 
parabole et du cercle. On demande : 

i' Le lieu de l'intersection de BC avec l'axe de la parabole : 

2* Le lieu du p^le de HC ; 

R' 
3° Les lieux du foyer F et de son inverse par rapport ii (i, la puissance d'mversion étant -7-. 

H. ConoiER. 

1045. - Itans un Iriangle AIIC, la base BC reste lixe el le centre I du cenle inscrit jouit de cette pro- 
priété qiii- lA* = IB.IC Construire les courbes lieux des points I el A. 

Ë.-N. Bahisie.n, 

• 

Le Hédacliur-Oérant : II. VUIBERT. 



«AR-UI-btc, inr. COHTI-JACUUKT 



11» Année. N» 11. Août 1901. 



REVUE DE MATIlÉMATiaUES SPÉCIALES 



PREMIERE PARTIE 



SUR LA RELATION ENTRK LES COEFFICIENTS DE L'EQUATION EN X 

DE DEUX CONIQUES, 
L'UNE INSCRITE ET L'AUTRE CIRCONSCRITE A l^N MÊME TRIANGLE 

par M. Ernest Duporcq, Ingénieur des ïi'irgra plies. 



L'objet de cette courte note est d'indiquer un moyen d'établir 1res simplement la relation entre les 
coefficients de l'équation en X de deux coniques C et C, telles qu'il existe des triangles inscrits à la 
première et circonscrits à la seconde. 

On sait, en efîet, qu'il existe une conique r conjuguée à la fois à deux de ces triangles (puisqu'ils 
sont inscrits à une même conique), et il est bien évident, que C et C sont polaires réciproques par rap- 
port à r, qui est donc nécessairement conjuguée au triangle conjugué commun à C età C. 

Prenant ce triangle pour triangle de référence, on peut toujours écrire les équations de r et de G- 
sous la forme 

(r) a:--t-î/- + 3- = 0, 

(C) ax- -^ hf + c-J =0, (I) 

et l'équation de C, polaire réciproque de C par rapport à r sera 

r- v'^ -J- 

(C) h^+--=0. (2) 

^ ' a II c 

11 suffit d'exprimer maintenant que C est harmoniqueraent inscrite à V, c'est-à-dire que 

(3j a ~\- + c = 0. 

Ainsi C et C peuvent toujours se mettre sous les formes (I) et (2), avec la condition (3). 

Or le discriminant de G — >C' se réduit à 

X \ / . X \ / X 



'-^)["-i){'-',y 



11 s'annule pour les valeurs a-, b^ et c\ ce qui prouve que les racines de l'équation en X sont les 
carrés de trois quantités dont la somme est nulle. Si on les désigne par a, [i et y, on on déduit aisément 

la relation 

./J -+- p.! -+- Y^ — 2^f — 2p — 2ap = 0, 

ou . (o. -t- p -t- y)= - MS^( + T« -^ «P) = 0' 

d'où, en écrivant l'équation en /. 

A — wX -h tt'X'- — A'X^ r= 0, 
on dinliiil la relation 



srio 



Srix Li:S CONIQUES INSCRITES DANS UN TRIANT.I^E 



SIM i.Ks (-.(iMui i:s i.\s(;i!iTi:s dans in ti!I\N(;i,I': 

|.,ii M. Oppermann, à Mm-soilli'. 




Lu somme des carrés des demi ares d'une conique insn-ite ihins un triangle esl i-jnle à lit puissance de 

son centre par rapport ou cercle conjugué de ce triangle. 

Soient ABC le triangle donné et son cercle conjugué; les tangentes issiiesde A au cercle ont 

leurs points de contact sur BC. leurs milieux sont donc sur la parallèle ii HC menée par les milieux de 

AH ot do AG ; celle droite EF est par suite l'axe radical du 
cercle et du cercle point A. 

Menons IIP perpendiculaire i\ l'un des côtés du triangle, 
HC, par exemple, et soit P le pied de celle perpendiculaire. 
Nous allons montrer que l'axe radical du cercle el du cercle 
point P est la droite qui joint les milieux des diagonales du qua- 
drilatère ACPII, les points K el I. En effet le point K estun point 
d'é;,'ale puissance par rapport au cercle et au cercle point A, 
puisqu'il est sur EF ; il a même puissance aussi par rapport au 
cercle point P, puisque KA = KP. De même, le point I 
a môme puissance par rapport au cercle et aux deux cercles 
points II et P, car il est sur l'axe radical de et de II el l'on a 

Il> = III. 

Supposons alors que HP soit une tangente à la conique 
inscrite dans le triangle ABC ; le centre de cette conique, S, est sur la droite IK. C'est donc un point 
d'égale puissance par rapport aux cercles et P ; or celte dernière esl SI' > c'est le carré du rayon du 
cercle orthoptique de la conique inscrite, c'est-;\-diro a^-hh^. 

Comme conséquence de ce théorème, nous voyons que le lieu des centres des coniques inscrites dans 
un triangle et lellfs que la somme des carrés de leurs ares soit constante esl un cercle concentrique au cercle 
conjugue 0. 

Nous retrouvons ainsi un théorème connu. 

De la théorie des faisceaux linéaires des cercles, résultent immédiatement les consétjuences suivantes : 

/,c lieu gromélrique des points tels que le rappml de hnirs puissances pir rapport à un rercle fixe et à 
un cercle point fixe aussi soit constant est un cercle du faisceau déterminé par la deux cercla donnét. 

Le point fixe étant l'un des points limites du faisceau a même polaire par rapport aux deux autres 
cercles, et même axe radical avec chacun d'eux. 

fStaiit donnés deux rrrcles quihoni/ues, l'un d'eux est le lira di's /lo////* tels q}ie le rapport </'■ Irurs puis- 
sances par rapport au second el à I un nu l'autre de deux cereh's points fixes sait ranstanl. 

Ces deux points sont les points limites du faisceau déterminé par le< deux cercles donnés. 

De là résultent immédiatement les théorèmes suivants : 

Lorsqu'une conique est inscrite dans un triangle et que la somme des carrés de ses axes reste proportion- 
nelle au carré de la distance de son centre à un point fixe, Ir lieu de ce centre est un rercle qui fait partie du 
faisceau déterminé par le cercle point et par le C''rcle conjugué au triingle. 

Lorsque II- centre il'une rimique inscrite dans un triangle décrit un cercle, lu som'ne dei carrés des ates 
dr celle riin}que reste proportionnelle au rnrré de In ilislunre de ce pniol à i/ii p>int /Iri" et il y a deux points 
qui jouissent de celte propriété. 



céomêtuil: axalytique 251 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



968. — .1 uit<; iiuadriijur à d'itlre (Q), on circonscril une scric de qundiiques (/') injnnl une direction 
asijmptolique donnée A, cl telles que le plan de la conique de contact passe pur un point donné M. 

1» Les surfaces (/') passent par un jioint fixe, et leurs centres décrivent un paraboloide, ou un cylindre, 
ou un système de deux plans. 

2° Le pôle d'un plan (II) par rapport aux surfaces {fj décrit une quadrique, qui contient une conique 
(c) fixe, quel que soit le plan. Le plan (n) étant fixe et la direction A variable, la quadrique varie en restant 
circonscrite à une autre. 

5" Le plan polaire d'un point P, par rapport aux surfaces (f) reste tanqent à une conique, qui est 
tangente ù une droite fiue en un point fixe, quel que soit P,. ^ur (juclle surface doit se trouver P, pour que 
cette conique soit une parabole ? 

A° Le lieu des points de contact des plans tunijenls aux surfaces (/') parallèles à un plan donné est une 
surface du quatrième ordre qui contient la conique (c) et une droite double (S). Le lieu des centres des coni- 
ques sections de la surface par les plans passant par (o) est en générât une cubique gauche. Dans quel cas ce 
lieu est-il vne conique ? 

5° Le cône asymptote d'une surf ice (f) coupe la quadrique (Q) suivant de.ux coniques dont les plans sont 
équidislanlsdeM. L'enveloppe de ces plans est une surface de quatrième clasie qui contient une droite double [à'). 
Tout plan passant par (3') touche la surface en deux points. Les cônes circonscrits à la surface et qui 
ont pour sommets les points de (o') sont du second ordre. Trouver l'enveloppe des plans diamétraux d'une 
direction donnée dans ces cônes. 

Soient U = Ax- -i- 13»/- + C:- — 1 =0 

l'équalion de la quadrique (Q) et .ro, y,,, Zo les coordonnées du point M . 

L'équation générale des surfaces (f) est 

f=kQ^P' =U, 
avec P = ux -+- vy -+- luz + /• = u(x — x,,) -h v{y — y^) -\- w(z — z^). 

X 11 z 

Si -T- = -^ = — est la direction donnée A, on doit avoir 
/ m n 

(1) /i(A/--f-Bîu--t-Gu-)-h(i//-^ym + «'»)- =0. 

1» Le point de rencontre de la parallèle à A menée par M avec la quadrique {f) s'obtient en portant 
dans l'équation de cette surface les valeurs 

x = x^-¥- Ip, 1/ = I/o -h înp, : = ;„ + no. 

En tenant compte de la relation (1), on trouve ainsi 

— 2p(A/x-„H-Dmi/„ + C»:„)-f- Aa-J + Bi/j+Ci;— i = 0. 
La valeur de p étant indépendante de u, v, w, le point estlixe. 
Lieu des centres. — Les coordonnées du centre de (/'} vérifient les équations 

-J-f. = h\x -i- Pu = 0, 4-/"'" = '''^y -^ ^'' = ^' '^^'' ^ ''^' "^ ''"' ^ ^' 

ce qui conduit à poser 

. u _ v w _ 

Ax 15'/ C: 

avec (2) /( -4- P? = 0. 

Si l'on porte les expressions de n, v, w dans les équations (1) et (2), on a 
/lïAP H- ?\l\lxy = 0, h-\- p'SAa-(.r — x„) = 0; 



2o2 GÉOMKTKIE ANALYTIQUE 



rélimiiialion de A el de p- donne le lien clierché 

ÏA/»SAa-(x — .!„) - (SA/x)« = 0. 
Celte équation peut s'écrire 

(ÏA/^ , Q - r-Mxy-] - IM- . T, = 0. 
T„ = \x„x -+- \iijo'J ■+- C:,: —1=0 
étant l'équation du plan polaire de M. 

L'équation obtenue en égalant à hi quanlilé entre crochets représente le cylindre (C.) circonscrit 
à (0) dont les génératrices sont parallèles à -i. Le lien des centres est en général un paraboloïde passant 
par la conique [c) d'intersection du cylindre (C) avec le plan polaire de M, et par le centre de (Q). 
Pour que celte quadrique soit un cylindre, les génératrices étant alors parallèles à a, il faut que la 

droite — = — = — soit sur la surface, ce qui exige que 
/ m II 

AXj/ -H Bi/„m -+-C:„n = 0, 

c'est-à-dire que la direction A soit conjuguée de la direction OM. Ucciproqucmenl, si cela a lieu, la 

quadrique est un cylindre, car les équations du centre 

22A/- . Ax - SSA/.c . M — SA/- . A.r„ = 0, etc. , 

représentent trois plans passant par une même droite. En effet, en multipliant par /, m, » el ajoutant, 

on a un résultat identiquement nul, pourvu (|ue l.\.rj = 0. 

Lorsque M est le centre de (Q), le lieu se réduit aux deux plans 

SARimx - /i/)5 = 0. 

2» Soit fl = *'iX ■+■ l'ii/ 4- u'iZ + »', = 

le plan donné. 

Les coordonnées x, ;/, : du pôle du plan satisfont aux relations 

/(Ax-t-Pu _ hBy-hVv _ hCz -4- Pir _ —h-hPr _ 
u, ~~ Vi it't n 

avec (i) wo -^ !•.'/« + "':.. + »• = 0. 

Portons dans (l)les valeurs de Pu, Po, Pw, Pr tirées des rapports précédents; nou< tnnivon'^ 
p(u,x„ -h i',!/o -f- ir,z„ -ht;) — h{\x„x -t- Bj/,,?/ + C:,: — 1 ) = 0, 
ou ?"o — ATo = 0. 

Nous avons d'autre part P = u (.r — x») ■+■ v{y - y„l -f- to{z — :„), 
d'où P' = y:{x — Xo){pu,-h.\x)= p(ll-no) — /i(Q-T„)= ?ll— /iU. 

Enlin l'équation /ii:A/- -+- (Su/)» = peut s'écrire 

P'AÏA/' -i (oSm./ — //SA/x)' = 0. 
En remplaçant P- par pli — /iQ, et dans l'équation homogène en h el p ainsi obtenue, /;, p res- 
pectivement |iar ll„, T„, on a l'équation du lieu : 

(I; SA/'ll„fToll-ll„0)-i-(v«,/.T„-ii„.vA/,r^» = 0, 

surface du second ordre. 

Loisqnc le plan (II; varie dune manière quelconque, cette surface passe par une coni'iuc li\c (in 
peut en l'UVl écrire ré(|uation 

- IIJ^ÏA/'Q - (ÏA/x)'] -1- To[(ï:u,/)'T, - 2ï« /ll„SA/x -+- l'A/'ll,,"] = 0. 
cl sous celle forme, on voit qu'elle conlieril la conique (c) du cylindre (C) considérée plus haut. 

La première équalion montre égalementque la surface est circonscrite à la quadrique T„ll — \\„Q =: 0. 
homothétique de fO) passant par le point M el la conique d'intersection de (Q) el du idan (II). Celle 
quadrique ne dé[)end |)as du la direction •^. 



GÉOMÉTRIE ÂNAL\ TIQUE 253 



3" Soit II ^ Ji» -+■ i/ii' + Si"' — '=0, 

l'équation tangentielle du point \'i{x^, i/,, :i) donné. 

On a, en désignant par ut, r , wi, ri les coordonnées du plan polaire de Pi, 
/tA.n -r- Pu _ /(B.vi + I'u _ ItCz^^Vir _ —h^Pr _ 

«1 V, ll'i il '' 

et le calcul consiste, comme au p ^ragraphe précédent, dans l'élimination des quantités u, v, w, r, h, p. 
11 suffit donc, dans le résultat déjà trouvé, de remplacer .r, 7, : par Xi, 1/,, : , coordonnées de Pj, et u,, 
i\, ir,, )\ par les coordonnées tangentielles courantes m, v, w, r, pour avoir l'équation tangentielle de 
l'enveloppe des plans polaires : 

ÏA/: P{T„,P, - PQi) 4- (Sh/.To, - PSA/a-,)'^ = 0, 
où P ^ a'„i( + i/jU H- z„w + )■ = est l'équation tangentielle de M . 

P ^ Jf,U -h l/,V -r- ZtW -f-;=0 — — — P, 

etoù T(,, = Ax^x, -!•■ Bi/oi/, -i- €:„:, — 1, Q, = Ax; -t- B(/i + C:? — 1 sont des constantes. 

L'équation étant de la forme PP'-i-P"^ = est décomposablo on une somme algébrique de trois 
carrés, non tous affectés du même signe, et représente par suite une conique réelle. 

P = 0, P' = 0, P" = étant les équations do points M, M', M", cette conique est tangente en 
M, M' aux droites MM", M'M". Or la droite MM"(P = 0, 1»/ = 0) n'est autre que la parallèle à A 
menée parle point M. Celte tangente est (ixe, ainsi que le point de contact M. 

La coui(iue est une parabole lorsque le coeflicieut de /- est nul : 

[SA/:Q. - (SA/x,)'] — SACT„, = 0, 
c'est-à-dire lorsque le poi H P, est situé sur la quadrique, lieu des centres des surfaces (/";. 

4° Soit «jx + Viy -i- ii\z -+- 1\ = 0, un des plans tangents parallèles au plan donné. 

Les coordonnées x, y, s des points de contact de ce plan, avec une surface (/") qui lui est tangente, 

vérifient les relations 

hXx-hPu _ hB;i-i-Ptv _ hCz + Pic _ —h-^Pr 

Ui y, u\ i\ 

«,.(• -(- ('l'y -H u\z -+- r, = 0, 

de sorte que le lieu des points de contact est l'intersection de ce iilan avec le lieu des pôles du plan par 

rapport aux surfaces (f), ce qui d'ailleurs était évident. 

C"estdonc une conique dont il nous faut trouver lu lieu lorsque le plan se déplace parallèlement à 

lui-même. 11 faut, pour cela, éliminer r, entre UiX + i^y 4- «•,: -{- /i = 0, et l'équalion (1) du deuxième 

paragraphe,cequirevientàfairedanscetleéquation II = et li„ = Mi(x — x„)-+-t'i(i/ — j/„) + ((',(3 —.-•„). 

On a ainsi 

SA/;n;0 — (!'«,/. T„ — ll^sA/j)- = 0, 

surface du quatrième ordre circonscrite à la quadrique (Q) le long d'une courbe gauche, et ayant comme 
droite double (0), l'intersection du plan polaire de M avec le plan mené par ce point parallèlement au 
plan dimné : T„ = 0, ll^ = 0. 

(In voit que la surface contient également la coniqui; [c) 

ÏA/-'.Q — (VA/x)^ = 0, T„=0. 
Soit maintenant 

(1) • T„ = XII„, 

un plan passant par (0). Ce plan coupe la surface suivant une conique située sur la quadrique 

i;A/:0 — {''■^'UJ - ^~Mxr = 0. 
Or si l'on pose 

(2) i;A/.r— /.i;u,/ = ïA/:R, 



25t r.l":OMKTHIK analytiouk 



les dqualions du (liamèlrc du plan (1) dans la qnailriqno s'écriv<»nl 

,,_/R v — '"H :— nR 



^o + ^X y. + '-n- --0 + ^-c 



= H- 



En lirani de ces rapports les valeurs de x, »/. :. ol les porlmt dans les équations (I) et (2^ on a 

(i:A/r„4-).ï:H,/)R + (SATj-+-2).i:./,a-„4-).2ï: -^ ),a-(l -t- XSu.arJ = 0, 

(ï;A/x„-4-).5:»,/);x— ).Sw,/ = 0. 
De ces équations, on peut tirer R et in en fonction de >., et on a ainsi pour .r, </, : des expres- 
sions de la forme 

F,(X) ¥,{)■) VA) 

■^~ (SA/i-„-(->.ï«,/f' •' ~ (ïA/x„ -4- ).v.,,/;» ' ' (SA/x.-hÀSu./)-^' 

où F,i).), Fj(),), F3().) sont des polynômes du troisième degré on À. Le lieu des centres des coniques est 
donc bien une cubique gauche. 

Lorsque SA/j, = 0, cest-à-dire que la direction i est conjuguée de la direction OM, h^ = 1, et 
les expressions de x, y, z deviennent 



V 



y 



A/x„+).ïu,/ '' iMr. + lluJ ÏA/x„H-/.i:i/,/ 



où f,{y), /"«(X), /■,(X) sont des polynômes du deuxième degré en /. Le liou des cenlres est alors une 
conique. 

Il en est encore ainsi lorsque dans la première des équations donnant R et p, le coefTicicnt de R 
divise celui de jji, ce qui se produit lorsque 

ïAx5(Su,/)»-2SA/x„.i:./,/.S,/,r. + (SA/x„)-^_2jX ^ ^• 
Le plan donné «,, r,, n', est alors parallèle à un des plans tangents d'un cône du deuxième ordre. 

3" Le cône asymptote de la surface (/") est de la forme /■-h/r = 0. la constante k étant déler- 
rainée par la condition que le discriminant de f-^-k soit nul, d'où k — , 

OÙ H = /i'ABC/'/i -<- ^ Y ~~ *")' ■^ ^ IrMidh -•- ^ ^V 

Le cone coupe (Q) suivant les deux plans. 

(mx -hvij + u'z 4- )•)» + A- = 0. 

Si l'on écrit l'un de ces plans sous la forme 

i('x -+- v'tj 4- )/•': + r' — 0. 
nn a «' — M, v' = V, w' = n\ r' = r zh J — k, et comme >• = — (uxo ■+■ vy,, -+- ivza), on on 
déduit 

(u'Xo -+- c'./o -t "■ :„ -i- ''7+ /.■ = 0, 
ce (|ui montre que les deux plans sont (■•(|uidistants du point M. 

Il (S"/)» 
I'i.-:iiil ii'r, \ i''y^-\- w'zo-i-r i', ct rcmiilarant /. jjar li par ^. ■ iixieni 

M, apr<'!*;i\..ji traiisporl"''r<)rif,'iiieen M, on cnnsiilire u', v', w', i-" comme les coordtmnéos rouranles 
•lu jilan, liqualion ci dessus reiirésenlc une .snrl;ic(; de (|ualrifme classe, qui est l'enveloppe cliercliée. 
La nouvelle origine est rentre de In flurface. 

Tons les plans 1m7 = 0, r" = 0, c'est ii-rlirc passant par la parallèle (ô') ;\ A menée p.ir M, 
!.i)iil pinns langenls doubles, lien re-nlle (pie 'ô ; i si droile double de |;i surface. 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



255 



Si l'on suppose que 0x,0i/,0z sont trois diamètres conjugués de (Q), dont l'un. Oc, est parallèle 
à la direction a donnée, ' = 1, »' = 0, /; = 0, l'équation de la surface rapportée aux axes issus 
de M est 



V{u. y, w, r) ^ --— II- 



M- \ ,.' V- w- . 



où l'on a n — ux„ -H vij^ -+- «':„. 

Soil un des plans tangents doubles ivj +"'o= == ^• 

La conique de conlaet de ce plan a pour équation tangentielle 

(»F„„ 4- yr,.„ + (t'F,..„ + rF,.J- = 0. 
Or les dérivées secondes de F, pour vo — 0, u = 0, sont toutes nulles à l'exception de 






-c' 



et la conique «'l'^û'^ + '''Fl'ï = 

se réduit à deux points de l'axe des x, c'est-à-dire de (o'j. 

Le plan est donc tangent à la surface en deux points symétriques par rapport à M. 

Soit enOn un point de la droite (3'), x — l, ,'/ = 0, : = 0. Les équations du cùne, ayant ce 
point pour sommet et circonscrit à la surface, sont 

Il est bien du second ordre. 

X IJ z 

Le plan diamétral d'une direction fixe — = —-=:-— dans ce cône est déterminé par les équations 






ou 



lu + ;• = U, 



et 



A B \A ^B G VA 



ou encore 



Il / y^w ZoV 
"G b" 



Egalant les rapports extrêmes, on a d'abord 



— [fXo - aîo) — -c" (P*'» "" ""J"^ ^ ^• 



ce qui montre que le plan diamétral reste parallèle à une certaine droite du plan x = 0. 
On a en outre 

}^ + A('''' -'"' 
A ^ A li C 

Le plan a donc pour enveloppe un cvlindrc de troisième classe. 

VASNIEIl. 






= 0. 



972. — Tniuccr le lirti dru sdiiniifils <(fs lélrardrcs rircotiscrils à une tjundrique donnécet tris f/iic cliuntui 
des hauteurs soit la 7ionii/ilc nu point ilf rimtnrt dr lu fnce correspondante. 

Nous dirons qu'un tel tétraèdre est orlliogonalement circonscrit à la surface donnée. 



25fi GÉOMfiTlUE ANALYTIQUE 



Considt'ioiis, alors, pour fixor les idées, un i-llipsoïde rapporté à ses (rois plans ])rincipanx 

(K) 4 + 7^-4-1=0. 

a' 0- c- 

Imaginons un lélraèdre orlliogonalement circonscrit, cl soient Ai, A.., Aj, A, les points de conlacl 

des faces: désignons par .c,, y,, ;, ; ... a-., i/t, :», les coordonnées de ces points. Le sommet A', 

situé sur la normali* en .\, a pour courdonnées 

n- -4- '/. , //- + l , r°- + À 



(I) a-: = .i-i—T-' V' = î/i 



Nous allons exprinior (|ue la normale en A_. rencontre l'intersection des deux faces tangentes en A, 
et Aa à rcllipsoïde donné. Un point quelconque de celte normale a pour coordonnées 

_ fl> ■+- î //-' - • c' -H 

x-x,—-^, u = 'j2 ^, ' ' - = ■-* c» ' ■ 

Substituons ces valeurs dans les équations des plans tangents en A, cl Aj ; nous obtenons les 
équations 

H^H-s /'-'-t-P c* 4- 5 

(2) •^•••r. -;jr^ -i- y.!/. -^ H- :,:, -fil - 1 =: 0, 

n- -1-5 A' + r- H- 

(3) a-,T3-^+y,y3-^ + ^.:.^r^ -1 = 0. 

Ces deux équations doivent donner la nirnio valeur pour p. .Si on remarque que A., est dans le plan 
polaire de A', par rapport à ïi. on a 

«-'-+-X /;i-t-X C2-I-X 
(*) a-.T, — ^ 4- ,^,y,___ _4- J,:, __ 1 := 0. 

Kn comparant les équations (2) et (4), on voit que o = À. lin raisonnant ainsi pour les autres 
sommets on voit que le tétraèdre AiAjAjA» inscrit dans E est conjugué par rapport ;i la quadrique 

(Q) x'-^j--*-./»— j^^-h:=— ^j^ 1=0. 

La considération des invariants simultanés des deux (juadriques montre que pour qu'un tel tétraèdre 
existe on doit avoir 

o» II' ,» 

/ est donc une eonstanto <|iii peut prendre l'une des trois valeurs définies par cette équation ; ces valeurs 
sont d'ailleurs réelliw il on sait (|u'elles sont séparées par les quantités 

-X, -a\ -b\ -c'. 

Si maintenant des équations fl) on tire les valeurs de a-,, t/i, :i pour les porter dans l'équation de 
on obtient le lien des sommets du lélraèdre circonscrit 

,,. n'x* A-'V 1^:' 

'f> H ^ 1=0 

(a»-+-X)« (6«-+-X)' ^c»-i-X)> 

Ce lien 8P compose donc de Iroig quadri<jucs obtenues en donnant à X les trois valeurs qui sont 
racines de ré(|ualion (5). A chaque racine X coiicsponrl une famille de tétraèdres ortbnpon.ilement cir- 
conscrits 'a K cl tous les tétraèdres de celte famille sont conjugués par rapport à la quadrique 

, , x* t/' z' 

')■, \- — '1 .1 1=11 

polaire recipmquc de (j par rapport à K. 

Le» quadriqiies <J' et i: sont bomofocales. 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 237 



Parmi les tétraèdres que nous venons de considérer il y a lieu de distinguer les tétraèdres 
orthocentriques dont les hauteurs sont concourantes. Proposons-nous de déterminer le lieu du centre 
des hauteurs H. Soient .i„, ?/„, :„ les coordonnées de ce point. Les points A,, A,, A,, A., sont les pieds 
de quatre des normales issues de H. Soient a, j3, 7; a, p', y', les coordonnées de deux autres pieds des 

normales M cl M'. On a 

(a- -H p) , n^ -hp' 

^0 = « r^ = ^ r^- 

a- a- 



^') \ .Vo — 1" — rr^ — — F — " 



Les deux paramètres p et 0' sont manifestement différents. Supposons que le tétraèdre considéré 
appartienne à la famille qui correspond à la racine l do réqu:itinn (5). Nous allons montrer que p et p' 
.>;ont précisément les deux autres racines de celte équation. 

Les trois points Ao, Xj, A. sont dans le plan polaire du point A'i par rapport à E ; les trois autres 
pieds des normales sont dans un plan qu'on détermine facilement au moyen des formules de Joacliirnstal 
et dont le pôle a [tour coordonnées 

_ a- _ ''" . _ *=" 

En remplaçant .l'i, y'„ z\ par leurs valeurs tirées de (1), l'équation de ce plan s'écrit alors 

a-x h- Il c-z 



.ri, i/i, :i s'expriment d'ailleurs par des relations de la l'orme 



H' 1 = ; 



j/i - -■ - 



a- 4- \i- b- -t- \j. c^ -+- |jt 

et l'équation précédente devient 

; !^ + -^ .., , , H — 't- -)- 1 = 0. 

.1-0 ((- + / ?/„ *- + X 3„ c^ -t- X 

Ce plan contient le point A, ; on le vérilic immédiatement en vertu de l'équation '3'. II doit contenir 
aussi les deux autres pieds des normales M et M' et par suite, on a 

^ > (n- -t- X)(a2 -h p) (0- -+- r){b' -HP) (c- + X)(c--^ + p) "^ ' ' 

^' fa^ + X)(a-^-Hp') (// + X)(i!,2 + p') ■^•(c3-,-X)(c* + p') "*" 

l'renons l'équation (8) ; elle s'écrit 
I a- b- c^ "1 (('-' //-' c' 

l {a' + X)(a' H- p) "^ (6» -f- X)(6'^ -t- p) "^ (c'- -t- X)(c2 -f- p) J ^'^"''^ "^ «^TfTx "*" 6^ + x" '*' c"- -i- X "^ ^'• 

on, en tenant compte de l'équation (5) et en remarquant que ;a est différent de 0, 

a- b' c' _ 

^ '■' (a» -t- p)(a'^ -H X) "^ (/>^ -+- ?)(/y2 H- X) "^ (c'^ -1- ?)(c» h- A) ~ • 

p vérilie la même équation ; cette équation peut du reste s'écrire 
a" //- c- / n» /y^ 

a- -+- p 0- 



c- / n' b- c' \ _ 

7 "^ c^ H- p ~ \ oM^ X "^ Ô'+X "^ c- t- X j ~ "' 



258 r.r:oMr;Tiiii; analviujuk 



c'esl-à-diro, d'après rétjiialioii (5), 

a' 6- 



1 =0. 



n- -\- p b- -)- c' -+■ 

Donc p cl p' sonl deux constantes et si des i'((uations (7) on tiro », fi, y ut a', p', 7' pour les porter 

successiveineiil dans l'équation do K, on voit que le point II dticril une biiiuadraliquc gauche dûGnie par 

les éipiations 

a-.t'- Irir c'z- 

aV bhf- ch* _ 

^**^ (a' -+-?')* "^ (//M-?')» "^ (c»^l-p? ~ ~ ^" 

Quant au lieu des sommets, c'est la courbe d'intersection de l'ellipsoïde (G) avec la surface normopo- 
laire de E. 

Les résultats précédents s'appliiinont immédiatement au cas où la surface donnée serait un iiyper- 
boloïde. On peut en déduire également la solution du problème pour les paraboloïdes. Déplaçons les axes 
parallèlement à eux-mêmes en prenant comme nouvelle origine le sommet situé sur Ox du côté des x 
négatifs. L'équation de la surface donnée devient 

x' !/'■ 3- 2.r _ 

h- c- 

Si on fait croître indéfiniment n,b,c do telle façon que — et — aient pour limiles p et o, 

a a 

on obtient le paraboloïde P : 

(I') — + — -2x = U. 

/) q 

Voyons ce que deviennent les équations (5), (6), (10) et (11). On constate sans peineque les racines de 

1 1 

l'cqualion (5) deviennent infinies, l'une de l'ordre de — - et les deux autres de l'ordre de - • Pour la 

promière, on a 

lim — ; — 1 , on lim — - = — 2. 

1-4 

On peut écrire l'équation (3j sous la forme 



^ 1 '■' ' "^ 

Il a a a X " n' 

= 0. 



A' l c- l a >. 

_H — -+-- '4- — 

Il n II n ri* 

Si l'on fait londrc — r vers — 2, — devient inlini et les deux premières fractions ont pour limites 
rcspeclives /< cl 7, Donc 

M2) lim-^(tJ-..A) = (/, + ,), • 

résultat que nous allons utiliser. 

Si on ('(rcctue lerhangcmenl d axes, l'iipiaiion ((î) devient 

(13) "••^' , ^'v' ■ '^''' 'i'^'^ Hiii'-.--n _.. 

(«•h- )■)' (6' + ).)' (c« + X)« {i.i'Th^ ~ (a' + X)« - '• 



ou 



^"4)"(^-^)'(;4v-(.H-ir-»(.H.A)- 



x' /;' r- / ) 

, -♦- Tl, r-T- -t- T-^ r-7-: — : ^— ^ - - -. ^^— . = 0. 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 259 



Si a, b, c croissent indélinimont et si —7 tend vers — 2, cette éiiuation ilevienl, d'après (12), 

a- 

ix 4- ;j H- f/ = 0. 

C'est l'équation du plan de Monge; on pouvait prévoir a priori que ce plan fait partie du lieu cherché. 
Les tétraèdres correspondants possèdent un angle trièdre trirectangle dont le sommet est dans le plan de 
Monge ; la face opposée est le plan de l'inOni. 

Considérons maintenant les deux autres racines telles que — reste fini. Soit lim— = À' ; on voit 
immédiatement que >.' est racine de l'équation 

(14) —l^ + ^L—-^2 = Q. 

Si on écrit l'équation (13) sous la forme 



A- . c- „ » / 2À l' 



aa"^ '( ' " 



/ 2A A- 

«M — ^ — 



'-Y i^^^y (^+A)^ 7«4-iy («-.^ 

al \ a II / \ u a / \ a y \ n 



0, 



on voit qu'à la limite cette équation devient 

X' peut prendre deux valeurs fournies par l'équation (14). 

Le lieu des sommets des tétraèdres orlhogonalcment circonscrits se compose alors du plan de Monge 
et de deux paraboloïdes de même espèce que le paraboloïde donné. 

Si on considère spécialement les tétraèdres orlhocentriqucs, il en existe trois familles, l'une com- 
prend des tétraèdres ayant une face à l'infini ; le sommet opposé décrit l'intersection du plan de Monge 
avec la surface normopolaire. 

Quant au point de rencontre des hauteurs, il décrit une courbe du quatrième ordre, qui est l'inter- 
section des deux paraboloïdes représentés par l'équation (15), oii l'on remplace successivement V par 
les deux racines de l'équation (l'i). Cette courbe est également le lieu des points d'où on peut mener à la 
surface donnée trois normales formant un trièdre trirectangle. 

Les deux autres familles comprennent de véritables tétraèdres orthocentriques : les sommets 
décrivent deux courbes situées sur la surface normopolaire et les centres des hauteurs décrivent deux 
coniques qui sont les sections des deux paraboloïdes (15) parle plan de Monge du paraboloïde donné. 
D'ailleurs quand un tétraèdre ortlioccntrique est circonscrit à un paraboloïde, le centre des hauteurs 
est situé dans le plan de Monge ; il suffit, pour s'en convaincre, d'écrire qu'il existe un tétraèdre circon- 
scrit à la surface donnée et conjugué par rapport à une sphère ayant pour centre l'orthocentre du 
tétraèdre. 

La méthode précédente s'applique également aux coniques. Si on cherche le lieu des sommets des 
triangles orthogonalement circonscrits à une conique à centre, on trouve deux coniques et non pas 
■quatre comme l'indique M. Kœhlor dans ses Exercices de ijénmétvie anuli/tique (page G4) : lorsqu'un tel 
triangle reste inscrit dans l'une de ces coniques son orthocentre décrit l'autre. 

i'our la parabole on trouve comme lieu la directrice et une parabole lieu des points d'où l'on ju'ut 
mener à la première deux normales rectangulaires. 

Ajoutons enfin qu'on ubtienl des résultats analogues si on cherche le lieu des arêtes d'un trièdre 
orthogonalement circonscrit à un cùnc du second degré, c'est-à-dire tel que le plan passant i)ar une 
an'le quelconque et par la génératrice de contact de la face opposée soit normal au cône. 



ir,\) CONCOlHS i»i-: l'.ioi 



Il suffit d'écrire l'équalion d'une quadriquc à cenlro 

el de faire tendre h vers zéro : nous ninsisleroiis pas sur le calcul qui nodrc aucune difficulté. 

On trouve comme lieu des arêtes deux cônes du second degré. 

ROUYliil. 



CONCOUHS nh: i'.mii s„i/r.) 



AGREGATION DliS SCIKNCES MATHÉMATIQUES 



Mallténutdi/itcs rlémeiitaiirs {'). 

Etant (lonné.s un. cercle li\r n. une (Iroilc lixc h, liingcnte à ce cercle, ot une flroilr A, parallèle à U. 
située du même eolé de I) que le l'crcle (• el ne couiiaiil pas ce cercle, on mène diin poliil A de A les deux 
tanj,'enlcs au cercle 0, qui coupent la droite D en H et (". 

Le point A décrivant la droite s, on demande : 

1° De trouver le lieu géométrique du point .M de rencontre de la bissectrice intérieure de l'aiiiile .\ du 
triangle \UC avec le cercle circonscrit à ce triangle; 

2° De trouver Tenveloppe du cercle cii-conscrit an triangle ABC; 

3° I»c trouver l'enveloppe du cercle passant par les milieux des côtés du triangle AliC ; 

4° De calculer les longueurs des trois côtés du lii.iiigle AUC connaissant la sonuiie ( des longueurs des 
deux médianes issues des sommets B el C. 

N. B. — On désignera par r le rayon du cercle <• et par h la dislance des deux droites parallèles D el :k. 

il" juillet, de 7 h. à ? /i). 
Mathémalitfues spécinlea. 

1046. — On considère un .système de trois axes rectangulaires ox, oy, oi. 

i" Trouver l'équalion générale des paraboloïdes P en admettant le plan xoy pour plan de symétrie, lan- 
i;ents au plan yo: au i)oinl o. et ayant pour trace sur le pl.in ;ea; une ellipse de grandeur invariable dont le 
grand axe est dirigé suivant ox. 

2° Trouver les équations des focales F et «l» île 1 un de ces |)aralK)loïdes P. 

:t° Trouver l'enveloppe de la focale F, qui est située dans le plan xoy, lorsque le paraholouic V \arie 

i' Dans la même hypothèse, Iromrr l'enveloppe de l'axe ol le Hou du soniiiiet de la locale '!■. (":(iiislruiie 
celle enveloppe el ce lien. 

!••> Calculer le paramètre de la focale 'I' eu foncli lu coel'llcienl angulaire de son axe ((|ui i-sl silui' ilans 

le plan xof/', el étudier la variation de ce paramètre (piand ce coenicl<-ul angulaire varie. 

0° En se servant des résultats qui précèdent, donner une idée de la l'orme de la surface engendrée par la 
focale «l", quanil le paraixdoïde I' varie. — En particulier. iuili(]uer (|uelle est la .section de cette surface par le 
plan tox. 

y. II. — On désignera par a el b (a > fr) les dcnii-axes de l'ellipse donnée dans le plan :ox. 

{S juillet, (te 7 II. Il S II.).. 
Ccmposilion sur l'analyse et ses n/iptications gifoniéiriqurs. 

'•n considère la courbe gauche définie, en coordonnées rectangulaires, par l'inlerseclion des deux surfaces 

œ" -4- y> + :' «x = 0. 
j' = nr' -h 3.t;, 
nu a esl une con-lanle. 

1' Eu appelant * l'arc de celle courbe, compté ii parlii- de l'origine jus(|u'eii un point .M {x. </, a), exprimer 
dt 

(la 

de première f»,-c'cc. 



— en fonction de a cl déterminer a de façon que .« soit donné en l'(Uiclion de x par uru' intégrale ellipti(|ue 



O De* MluUonii fiudtécsdc 1a ipicsUon de Mntbimnliqui-» ^•lémcnbilrcs sont publiées d.-ins Is Journal de Mallièmatiiiuei 
ftémtntatret. 



CONCOURS DE 1901 261 



Dans tout ce qui suit, la constante o est supposée ainsi détorniinro. 

2" Exprimer les coordonnées a;,//, ; d'un point M de la cnurlie en l'onclion de ••;, en employant sueccssi- 
vement les notations de Jacobi et celles deWeierstrass. 

Quel est, dans un parallélntrramme des péi-iodes, le nombre des valeurs de s rorrespondanl à un point donne 
de la courbe ? ■ 

3° Former la relation qui lie les valeurs de s coi'rcspondanl ii ipialre points M,, M^, M;,, M., delà conrln' 
situés dans un même plan. En déduii'o les points de la conrbr oii li' |)lan osculaleur est stationnaire et discuter 
la réalité de ces points. 

i" Calculer, en fonction de s, les coordonnéi>s du centre de gravité' de l'arc s supposé homogène. 

( / juillet, de 7 h . à ? A . i 
Mi-caniijue rationnelle. 

On considère une plaque solide rectangulaire, homogène, infiniment mince, dont le centre (centre de 
gravité) est fixe et qui s'appuie sur une sphère fixe infiniment petite S, sur la([uelle elle peut glisser sans frot- 
tement ; la distance OS = / de cette sphère au centre est suppost'e telle (|ue la circonférence décrite, dans 
le plan de la plaque, de comme centre avec l comme rayon, soit tout entière dans l'intérieur de la plaque. 

1° Trouver le mouvement de la plaque, en supposant les conditions initiales trlLs qu'au lommencement 
du mouvement la plaque glisse sur la sphère S. 

2" Calculer la réaction de la sphère S sur la plaque et voir si, ii un certain instant, la pla(|ue peut iiuittei' 
la sphère. 

Soit Oa;,. Oi/i, O;;,, trois axes tixes menés par Ir point 0, Oii'i étant dirigé suivant ( IS ; soient île même Ox-, 
(\y, Oj les axes de symétrie de la plaque, Ox étant parallèle aux plus grands côtés du rectangle, Oy aux plus 
petits côtés et 0: normal à la plaque, la sphère S étant placée, par rapport à la plaque, du côté des :; négatifs. 

(In désignera par .\, B, C les moments d'inertie de la plaque pris respectivement par rapport à i)x,Oij, Os, 
par l'angle -lOô et par o l'angle xiOa;. 

fin désignera également par Oo, Oo, O'o, o'o les valeurs initiales données de 0. f et de leurs dt'i-i\ées 'i', -y 

par rapport au temps, en supposant ?o compris entre — '— cl +-5-'- o" examinera successivement l'hy- 
pothèse dans laquelle le produit O'oo',, est nul, puis celle dans laquelle ce produit n'est pas nul ; dans chacun 
des ditférents cas particuliers correspondant à ces hypothèses, on indii[uera comment on a du choisir les 
données initiales poui' que le mou\ement considéré se produise. 



(5 juillet, de 7 h. u 2 h. 



BOURSES DE LICENCE PRÈS LES FACULTÉS DES SCIENCES 



Mathématiques . 
1047. — lin ennsidci'e les coniques (C) detiuies par l'équation 

(m- -'r\)x^— m-if' -h 2mxy + 'uni/ — m- — l =0, 
oii »! est un paramètre; montrer que toutes ces coniques ont deux points communs, P, ij. 

Considérant les deux coniipies (C) qui correspondent aux valeurs a, b du paramètre m, on demande de 
former l'équation de la droite qui joint les |)oints d'intersection de ces deux coniques, autres (jue I' et ij. Mon- 
trer que cette droite passe par un point fixe lorsque o, b varient. 

Par un point SU ilu plan, de coordonnées a;,,, i/,,, passent en gi'iu'ral deux i-oniques (C) ; l.i région du plan 
oii doit se trouver le point .Mu pour que ces deux coniques soient réelles est limiti'e par une courbe (S|, que l'on 
construira. 

Les deux coniques (|ui passent par le point M„ ont en coiiimiiii, oiili-e les points P, (j, un autre point .M, 
dont on calculera les coordonnées xi, ;/,, en fonction de x^, i/„. 
■ (Juel est le lii n décrit par l'un des points .M,„ .M, ipiand l'aulre décrit la i-ourbc (S)? 

(35 juin, lie s A. (i midi.) 
Sciences physiques 

l'/n/siljlic. 

I. — Principe des hygromètres à condensation. 

II. - 1048. — Le tirage d'une lunette de Galilée est tel, que la distance entre l'objectif et l'oculaire diver- 
gent est de I2c"i. Dans ces conditions, la lunette donne une Image réelle, située à 30" derrière l'oculaire, d'un 



262 gUESTIO.NS l'UOP(JSÉES 



ohji'l [ilaci' rii axiiMl do lolgcflif ;i une ilislanci' liiiic. IVmr (jii'un oitjel placé ii l'iiiliiii ddiiiie uni' imago réelle 
slluée à la iiu'iiu' distance (Soi) (lo l'oculaire, il faut rai'procher celui-ci de l'ohjeclif de U'». Enfin pour que 
l'image de l'objet à l'inlini se forme à l'inlini, il faut de nouveau rapprocher l'oculaire de l'objectif de OfSC. 

On demande quel est. dans ce dernier cas, le grossissement de la lunette quand on s'en sert à la manicre 
ordinaire. 

Vil iin te. 

I. — Propriites chimiques de l'oxyde de carbone. 

II. — 1049 — On recueille le mélange gazeux cblenu en faisant passer de la \apeiir il'eau Miidu lii.irhini 
chaulTé au rouge. L'analyse eudiométriquc d'un vidume V de ce mélange montre que le volume d'oxygène 



suffisant pour la combustion complète est égal à ^ V el i]iie le volume gazeux qui re.--te dans ces conditions, 

3 
après le passage de l'étincelle, est égal à — V. 

On demande la composition de ce mélange gazeux. 

(S 5 juin, de S h. (1 midi.) 



ÉCUI.K .NftRM.XLE SUPERIEURE 



Kpitre. 

I.NTERSECIION HE DEl'N (ÔNES 

1050. — l.i' premier cône a pour sommet le point {s, s) {x z= 0, y = 2, z = 12,. Sa directrice dans 
le plan ; = 6 est une circonférence ayant pour centre le point (a; = o, y = tO) et pour rayon S. 

Le deuxième cône a pour sommet le point («i.i'i) (»" = 0, j/ = 6, -=10). Sa base dans le plan hori- 
zontal ; = 6 est une ellipse ayant pour centre le point n et pour sommet? : l» {a, a') (x = 8, y= 10); 
■2' h, 6') (x = 0, (/ = b). 

Un indiquera à l'encre la construction d'un iininl (|uelconi|nc de la courbe, la tangente, et les points 
remarquables. 

Ueprésenter le solide commun, les deux cônes étant illimités et les plans de projection transparents. 

Kniin on calculera en degrés l'aiigle de la tangente à la projection verticale de la courbe au point a avec 

le plan horizontal. 

{S:i juillft, lie S h. a iiiiiii.) 

♦ 

MLKSTlU.NS l'KUl'USÉES 



1051 . '- On considère deux droites de l'espace qui ne sont pas (l.in> le ineiiie pliui, h el I) . el la perpen- 
diculaire '-ommune à ces deux droites, .M!; un prolonge AI! d'une huigiieiir WC = .Ml, et sur ItC comme 
diamètre on décrit une sphère S. 

!• Cela posé, on envisage une droite mobile, A. (|iii s'appuie sur U <l l>' el (jui est tangente à la sphère, 
et on demande le lieu du point de contact de cette diuile a\ec la sphère. MoiilriT que ce lieu est une biiiuadra- 
ti<|ue gauche ayant un point double. 

2" Trouver le lieu engendré par la droite A et le lieu du milieu de la portion de cette droite comprise entre 
I) et I)'. 

30 Construire ce dernier lieu, qu.ind les deux droites et I)' sont rectangulaires. 

.N. II. — On repri'sentera ,\ll par 2a et par m la tangente de la uioilié do l'angle forme par les dr<ules 

l> et ]>■. 

K. II. 

1052. ■ - On considère les coniques insrrilcs h un triangle équil. lierai el passant par son rcnlic île gravité. 
Lieu du point do concours des droites joignant les somuu'ts du triangle aux point.s de contact des cotés 
opposé». 

K. Drrniic.o. 

• 1053. — Etant doniH' un triangle T on en di'duit doux autres '1" el T" on joigiiaul les loilieiis des côtés 
de i, et eu menant |iar les soiiimots do T les parallèles aux côU'-s opposes. Les paraboles inscrites n T' et les 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 263 



paraboles circonscrites à T" son!, deux ,i deux coaxialcs, et leurs axes sont les tangentes au sommet des para- 
boles inscrites à T. 

E. DuponcQ. 
* 1054. — Les tangentes à une ellipse aux extrémités des diamètres conjugués égaux sont normales à 
i'hypei'ljoie équilatére homorocalc. 

E. nuponcQ. 



DEUXIEME PARTIE 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



971. — Oi> considère lin cercle (C) décentre et une droite (U), puis un cercle variable (F) ayant 
son centre sur la droite (D) et orthogonal au cercle (C). 

1° Trouver l'enveloppe des cordes du cercle (r) qui sont vues de O'sous un angle droit. Montrer que ce 
lieu est une conique (S) qui a un foyer au point 0. 

2° Trouver le lieu du second foyer réel de (S) quand (r) varie. 

3" Trouver les axes de la conique (S), l'enveloppe de l'axe non focal et le lieu des sommets situés sur 
l'axe focal. Construire ce lieu. 

A" Trouver le lieu des points de rencontre de deux cnniques (S) dont les are.v focaux sont rectangu- 
laires . 

3° La conique (S) et le cercle (r) ont en commun deux- tangentes variables. Trouver le lieu du point 
de concours de ces tangentes. 

Prenons pour origine le point 0, pour axe des x une perpendiculaire à la droite (D) et pour a.\e 
des y une parallèle à la droite (D). Désignons par R le rayon du cercle donné et par a l'abscisse de 
la droite (D) ; alors l'équation du cercle (r) sera 

x- -h y- — lax — 2À;/ + |ji = 0, 

|jt étant déterminé par la condition que ce cercle soit orthogonal au cercle donné, ce qui donne 
1^ = \\\ 

1° Cela posé, soit «c -t- ui/-|-"' = une des cordes de (r) qui sont vues de l'origine sous un 
angle droit ; l'oqualion des rayons qui joignent ses extrémités à l'origine des coordonnées s'obtient en 
éliminant la variable d'homogénéité entre les deux équations du cercle et de la corde, et nous trouvons 
ainsi 

w'(a;- -t- y'^) -+- "Iw {ux -+- vy) [ax -t- ly) h- \i-[ux -\- vy) - = ; 

il n'y a plus qu'à écrire que ces dcu.x droites sont rectangulaires, c'est-à-dire que A -+- C est nui ; ce 
calcul donne 

1w' -+- ttv {au -+- Xu) + R2(m2 -t- y») = 0. 

Cette équation est la condition de contact de la corde avec son enveloppe ; c'est ce ([u'on nonune 
habituellement l'équalion tarigoiiticllo de celte enveluiJiic; elle fait voir de snile que par chaiiue point 
du plan passent deux cordes de res[ièee indiquée et, par suite, que l'enveloppe est de seconde classe. 
Nous aurons l'équation ordinaire en cherchant le liiu des point-; pour lesquels ces deux droites sont 
confondues. 

Ov si nous l'xpriiiioas que la droite ux + vy + tv - passe au point (x. y), nous avons, pour 



264 (îF.OMRTKIK ANALYTIOUK 



délerniiiier u, i-, w, les deux équations 

ttx -f- vy -+-«■ = cl :;«•■ in^au -+- Xy") -4- \i\u' -)- tvi = ; 

en oliniinanl w entre elles, nous obtenons une équation homogène et du second degré en v et y el 
il sullil d'exprimer qu'elle a une racine double. Ce calcul fournit l'équation 

2R»(x' H- 7») -h ia'tjcy — >.».r> — n'ij' — 2R-(flia- -H /y) -+- H' = 0, 
ou 

(i") (2R» — n' — }.'i{x' -+■ ./-) -+- {a.i- -r À;/ — K»)'- = 0. 

Telle est l'équation ponctuelle de l'enveloppe; elle représente visiblement une conique qui a un 
foyer au point el pour directrice correspondante la droite ax + )»/ — R» = ; si 211- < «-, c'est 
loujour> une hyperbole : si iW^a-, la conique peut être du genre ellipse, mais alors c'est une 
ellipse imaginaire : quand elle existe vraiment, c'est donc toujours une hyperbole. 

2" Pour trouver le lieu du second foyer, il sullit de chercher le lieu du centre el de prendre l'homo- 
Ihélique par rapport au point dans le rapport 2. Les équations du centre sont 

(2R» — a- — X») j + n [ax -h nj — R^) = 0, 
( 2R! _ a' — >,«) y H- ■/ ( a.c -t- > .y — R= = : 

elles donnent de suite 4-=—> puis / = — ; eu portant celle valeur dans l'une des deux équations 
in X 

précédentes, nous obtenons pour lieu du centre la droite .r = -^- '>e ''t'i du second foyer est donc 

la droite fU) elle-même, x = a. Le second foyer coïncide avec le centre du cercle (r) (n, X); le 

a >. 

centre a pour coordonnées -3- et -j • 

X il 

;j L axe focal a pour équation — — h'^ \as.q non local est perpendiculaire ;i celui-ci cl passe au 

/ u À \ 
poml (—1 —1; il a donc pour équation 

a(j — — j-f-), /y — _|=o, uii :2ax + 2/.i/ — ((- — >- = 0. 

îSon en\eloppe s''djlienl en exprimant que celle iquation regardée comme élanl du second degré 
en / a une r.îcine double, ce qui donne la ligne 

ii) i/'-|-2fu- — a- = 0. 

C'est une parabole ayant l'origine pour foyer et pour directrice la droite (iJj. 

Quant au lieu des sommets situés sur l'autre axe, il s'obtient en éliininanl > entre l'équalion ^1^ 

X II 

et I équation — = -i-; ce calcul est facile et conduit a l'équation 
ni. 

(3 2 .; — n\(x' -¥ ;/'^ - R'.r = «, 

qui représente une cubique circulaire, symétrique par rapporl à ((j. ayant pour asymptote hi droite 

s = II, passant il l'origine et tangente en ce point 1 <>i/. l'.nir achever d'étudier la forme de celle 

courbe, écrivons 7' : 

2x* - 2./.r-t- M» 

V = * «7 ' 

Z((i — .r 

nous voyons de suite que celle forme dépend de la nature des racines de I étiualion 

tt' — iax II» = 0. 

•Si n' ■ iW, ,r> i:i(iii(- «dni ii'cllcs el liiulfS deux ciini[ii'is('s entre (I cl n. li'ur detui-sonime 

't 
l'-taiil 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



265 



Si n- = 2R-, les deux racines sont confondues ;ivec \p noinhie — ■ 

Si a' ■< 2R^, les racines sont imaginaires. 

Dans le premier cas, soient x, et x, les deux racines du trinôme ; y'^ est positif de à .c, et de 
■fj il a, il est négatif dans tout autre intervalle. La courbe se compose d'un ovale fermé qui correspond 
au premier intervalle et d'une branche infinie conchoïdale qui correspond an second. 

Dans le second cas. la courbe présente un point double au milieu de OA. Il est facile de vérifier 
(lu'en ce point les tangentes sont rectangulaires; par conséquent, dans ce cas, la courbe est une stro- 
phoïde. 



J^^ 



PL 




Dans le troisième cas. l'ovale disparait, il ne reste que la branche infinie de forme conchoïdale 
(voir les trois figures). 

X 
i' Le coefficient angulaire de l'axe focal de la conique (S) est — ; par conséqueni, pour que les 

a 

axes des deux coniques (Si et (S') soient rectangulaires, il faut que l'on ait la relation )./' = — a'. 

Or si l'on exprime que la conique (S) passe au point {x, y], l'équation (1) donne les deux valeurs À 
et À' qui correspondent aux deux coniques (S) et (S') ; on aura donc In lieu demandé en exprimant ()up 
le produit des racines est égal à — «-, ce qui donne 

a'.i' = (2K-^ — u'){x' -+- 1/^) -h [ax — ll^)^ 
ou 

(4) (2R2- r,a)(x2-f-,/'^) — 2r(U-r - R' = 0. 

Ce lieu est un cerch; qui a son centre sur OA. 

;j° Pour traiter la dernière partie, je mieux est de se servir des coordonnées tangentielles, l'est- 
à-dire de chercher les coordonnées des tangentes communes à la conique (S) et au cercle (r). Ces 
nombres vérifient les deux équations 

R*(«- -h «») -4- 2î«(rtH -t- >.y -+- w) = 0, 
(a* -H >.2— R'^) (u- -- v') - (au -+- ',.0 -+- ic)' = 0. 



•iGG 



OÉOMÉTRIK ANALYTIQUE 



En éliminant «* -(- u' cuire elles, on a une oi|uatlon qui se décompose en deux (•(lualions du 
premier degré, nu -f- '/v -+-«■ = el 2w(n* -f- '/.'' — 11') -f- l\'(nu ■+- Àw + w) — 0. 

La première représente le centre du cercle (r) ; c'est en elîel le point de coneours de deux tangentes 
communes isotropes. 

La seconde représente le point de concours des deux autres tangentes ci.mnuiiies ; c'est le [lolnt 
demandé, ses coordonnées cartésiennes sont 

nR- XR» 

V = 



2„! -t- 2À' - R* 



2a- -h -S/.' — R» ' 



ces formules donnent immédiatement À = — , et, en portant cette valeur dans l'une d'elles, nous 

trouvons l'équation du lieu cherclié 

(5) 2a-(x» 4- tf) — Wx^ — all'.r = 0. 

C'est une conique qui passe à l'origine el qui admet Ox pour axe de symétrie. 
Si 2a' > R', cette conique est une ellipse. Si 2rt- < II', c'est une hyperbole ; et eulin, si 
2a* = R', c'est une parabole. 

Les lecteurs de la première partie pourront reprendre cet exercice, en se servant constamment des 
coordonnées tangentielles ; ils pourront aussi sans peine trouver une solution géométrique des pre- 
mières parties de l'énoncé. 

lionne solnlion de M. E.-N. Harisien. 



Remarques géométriques. — Voici quelques remarques intéressantes dues à M. Cans, de Versailles. 

Cuii>iikiuii> un ccnlc (l'y cl, pour facilitci' rex[i(i.sé tîi'ométriquc, sij|)posoiis que l'origine U soit intérieure 

il ce cercle, ce qui d'ailleurs n'est pas réalisé quand on 
suppose H' positif, c'est-à-dire le cercle donné réel, el 
soil A le centre du cercle (!'). Si nous menons par le point 
O deux cordes rectangulaires OM et (t.N, rencontrant le 
cercle en .M, 1', N el U, les quatre droites M.\, .My, l'N et 
Pu --oiit des cordes satisfaisant aux conditions impo- 
sci".. (ir menons le diamètre M.\ ([ui coupe le cercle en H, 
l'anj^'le .Ml'lt esl droit, PU esl parallèle à oy el, par suite 




irc M' = ar.' nlt ; 



donc 



ÏNMP = gMA. 



Par conséquent les deux droites MN el MQ sont tangentes 
— — à une m("'me conique ayant pour foyers It el A. 

I.e même raisonnemenl s'applique aux angles en N el 
en U; donc les langentes à celle conique, issues de .N el 
de n, autres ipic celles signalées, sont M' el (}V. Il y a 
donc une conique inscrite dans le quadrilatère MM'o cl 
ayant pour foyers les points O el .\. 

Il reste il dèmonlrer que celle conique esl indépendante 

des directions des deux droites n.M el <>.\' : à cel t'Iïel, 

nliaissons de A une perpendiculaire Ail sur l'une des lan:.,'enles .My, el joignons le point II au point n 

el au |min( O', milieu de<»A. La longueur d'il esl la longueur du demi-axe focal de In conique ; d'autre part, 

c'eM la médiane du triangle IKI.V. et, comme le point II est le milieu de MU el que l'angle $ÎÔ(j esl droit, nous 

_ _ ,f^' 

avons oU= Mil" QU. Appliquantalors le théorèmedelamédiane.nonslrouvons 2(>'lt' =: AU* -t- (»n' — 2 . -^— i 



ou 2<t|«" = Air+MI»' — 2. 



d^' 

— T— ; or Ail -(- .Mil' esl égal .-lu carré du rayon du cercle (ri; donc n'H esl 

flie el le fait annoncé est étaMi 

An surplus, si nous appelons 2a, 2?, 2t les longueur» des deux axes et la dislance focale, nous avon^ de 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



26' 




sniic, h l'niclo des notations oniployées antérieurement, 

4v2 = a2 + l\ 4a2 = a^- + V — 2\V- et 4S2 = _ oR^. 

Tels sont les éléments de la conique (S). I.a dernière égalité montre bien 
que cette conique est toujours une hyperbole, quand R^ est positif. 

Pour traiter la dernière partie, M. (]lans remarque que si MT désigne une 
tangente commune au cercle (r) et à la conique correspondante, (S), le 
point de contact T avec le cercle est un point du cercle principal de la coni- 
que. I.a corde des contacts relative aux denx tangentes communes, TT', 
est Taxe radical du cercle (r)- et du cercle ayant pour centre 0' et pour 
rayon ï. 

Le point M est le pôle de cette droite par rapport au cercle (fiel l'on est 
ramené il trouver le lieu de ce pôle, problème l'acile et que nous ne déve- 
lopperons pas. 

Solution géométrique. — 1° Si l'on transforme par polaires réciproques, en prenant pour cercle de 
base le cercle ^C), le problème revient à chercher le lieu des sommets des angles droits circonscrits à la 

coniqne transformée du cercle (r). Ce lieu est un cercle, 
dont la polaire réciproque est bien une conique (S) qui a 
MM foyer en 0. 

2» Soit to le centre d'un cerle (r). F>es droites OMM', 
ONN', inclinées à 45° sur Otu nous donnent les tangentes 
aux sommets MN, M'.\" de la conique (S). En menant le 
rayon du cercle (F) perpendiculaire à MM', on voit immé- 
diatement ([ue le milieu 1 de SS' coïncide avec le milieu 
de 0(0. 

Le second foyer réel de (.S) est donc le point u, dont' 
le lieu est la droite (D). 

3» L'axe focal de (S) est la droite 0(u. Le lieu de I 
étant la parallèle à (D) équidistante de et de (D), l'en- 
veloppe de l'axe non focal est la parabole qui a pour foyer 
et pour directrice la droite (D). 

L'équation polaire du lieu des sommets S, S' s'obtient 
très facilement. On a en effet 




OS H- OS' = Ou = 



cos ' 



0S.US'=:4 OM.OM' = — 



de sorte que l'équation en r, 



;i laquelle satisfont OS, OS', est 

2 



■r + - 



:0, 



cos 
cubique circulaire passant en et ayant pour asymptote la dioite (D). 

40 D étant le pied de la directrice relative au foyer d'une coniinu> (S), on a 

_?_ - _L _L _1_ — 2« 
^ OS' 



CD ~ OS ^ OS' ~^ ll^cosO 
Ce qui montre que la directrice passe par le pôle .V de la druile (D) par lapport au 



ou OU =: — cosO, 
a 

cercle (C). 

D'autre part, ;i la simple inspection de la ligure, on voit que si (S) est réelle, c'est forcément 

boJe. Kn désigtuint alors par a', — h', les carrés de ses demi-axes, on a 



hyper- 



62 = OS . OS' = -^ 



l't 






c^ = a' + b- = 



ili^cos^n 



4 cos" ' 



l'oMi' la (•oiii(|iii' Si rlont l'axe focal est perpendiculaire à celui de la prérédenle, on a 

a' 2M2sin-0 



/•'î 






iCH 



M.dl-.BKE 



.1.. sorlr q,,.- _+--,_ ^2(^1 — j 

Si l'on projctli' alors un (les points de renconli-c I' îles deux coniques en n, tj' -ur les (lireelriee> relatives 

.««1, iixienl l'(J = — l'it. Py'=-^r<i. (l'oii 
c c 



l'ii 
l'A 



PA'' = l»0" 4- l'ij' = J ( I - - -^^ l'O- 



•taiil ciiiislaiil, le lieu île V est un eercic. 



5" Soient K. /. les projeelions des to>ei-s tJ, <» de (S) sur une laniienle commune à S) et à (Tl, et T son 
point de rencontre avec (•<«. point dont on elierche le lien. 

lin ,1 ÏÏK . ïï^. ^ —. el i*y. = p, 

p riant le ra>on du «erele i|"i- Il en résulte que 

ni' ÔK U"- lt« 



I ),„ ( iK — ..,/ M- -H i; ■ ■>(),.;- _ ii= " 

lli'inplaeant <IT par c. Hi'j par , on ohlii'nt ri'quation polaire du lieu du point de rencontre des 

a cos 'I 



puisque It- -+- i' = < >(u 

lleinp 
tangentes 

conique passant au point 0. 



•J'i-— ll-'eos=0 



VA^MKH 



ALGI-BUli: 



987. — Oaiis un Irianijle ABC Ksireint l'i avoir les angles tt la base Bel C aigus, on dtmne tu baie 
bC = II, la hauteur Ail = /( iisne du sanuml A ri la s, muni' AB-t-AC = / des deux autres côlrs. 

l'iilculer ces deux ci'ilrs AU = x ri AC ~ ij. 

Itiscuter ri déduire de ht discussion le ma.riiiunii ri Ir ininiiinit» ilr I en Mi/iinisanl (pion fasse varier 
rettr lotujueur en laissant a ri h invariables. 

Indiquer les formes du Irianf/le qui correspondent au maximum et au minimum dr l , 

I hernie des l'onls et CViui/smcs, l'ours in'rpariiloiri-s, l'.lOO.) 

Le soiniiifl A ilu triangle esl a riiilersecliou d'une demi-ellipse d'axe local / ayant pour foyers B 

ol C, avec une parallèle à BC menée à la dislance donnée li. I>es anjrles 

U el C du triangle devant être aigus, il faut que la projection 11 du soiii- 

iiiel A tombe entre U el C, ce (|ui exige que h soit compris enUe l'or- 

/' — ((» i 

donnée locale — — — et la longueur du ilemi-i>elil axe — \U^ — a. 

I.a condiliuii de |Missibilité du problème esl donc 




/-•-«(« 



■il 



ou en déduit 
et 



/ - ihi 



// ^ »//» — n» : 



d'où l •■ Il H- ^/fl> 1 Iti 



t'-a'^Afi\ d'où l"^ s'^TW. 

Si cetlv double condition esl remplie, le problème est possible el admet deux solutions (|ui n'en 



ALGÈBRE 269 



font qu'une en réalité. Pour 1= ^a' + W (minimum), les deux points A et A' sont confondus et on a 
un triangle isocèle ; pour / = A + ^ja- -\- h^ (maximum), le point H vient en B ou C et on a un 
triangle rectangle. 

Nous allons retrouver ces résultats évidents géométriquement par la discussion algébrique du 
problème. 

Soient x et ij les côtés inconnus ; nous avons pour les calculer les équations 
X -hy — I, X' -+- y- — 2x;/ cos A = a-, xy sin A = ah. 

La seconde équation peut s'écrire 

a- = {x-}- yY — 2x1/(1 + cos A) = /- — 4x-i/ cos- — > 

d'où 4x1/ cos'-— - = l- — «-; 

la troisième donne de même 

■ A A , 

2xy sm y cos 2- = ah ; 

, . , . A 2rtA 

on en déduit tg— =-^j--^, 

et par suite cos^ ~^ — ~ 



2 A m — a'-Y- -h iaVi' 

^ 2 

G ou enlui XII = -—^ , 

•^ A{P — a^) 

X et y sont donc les racines de l'équation du second degré 

Pour que ces racines soient acceptables, il faut d'abord qu'elles soient réelles et positives et de plus 

qu'elles vérifient la double inégalité 

l-'p — î/l <a <x + y. 

11 faut en outre que les angles B et G correspondants soient aigus. Or, on a 

a' -+- ri' — X- 

x- — a--\-y'- — 2ni/cosC, d'où cos G = ± 

•' •' 2a;/ 

«2 ^ .J.1 _ yi 

ri- = «2 _(_ j,> — 2aaj cos B, d'où cos B = r '— ; 

2ax 
il faut que les valeurs de ces cosinus soient positives, ce qui exige 

\3;^ — y^\ < a-, 
ou, en remarquant que x^ — y- = (x -f- y)[x — y) = l [x — y), 

a- 

l^-yl< — • 

La condition de réalité des racines est 

( f'-a')'-+-4a^/r ^ ,^ 

Gctte condition remplie, il faut ([ue les doux racines soient i>ositives, ce qui exige / > a (condition 
évidente a /Jî-io/i). Il reste à exprimer que |x — i/| est inférieure à la fois a a et a — ( -7- •< "1 1' 

suffit d'exprimer que 1 x — '/ I < " ] ce qui donne 



d'exprimer que | x — ;/ | < " ) ce qui dor 






«7U ALCKIUŒ 



Kinaloment, on est ramené à discuter la double inégalité 

{(' — «')' -h 'la'h^ a' 

^/ ITZ^. ^17' 

/ élanl supposé supérieur à n. La première partie de l'inégalilé peut sécrire, toutes réductions faites, 

l'^ a= H- 4/j>, d'où / ^ ^i + 4/ii 

condition nui eiitraine / > a. 

La seconde iiarlie donne de même 

{/' - a'Y ^ ihH\ 
d'où, puisqu'on a I ^ a, 

f - il- ^ thl, 
l^-ihl-a' ç;0. 
Ce qui exige que / soit inrérieur à la racine positive du trinôme l' — ihl — a', c'csl-à-dire, 

' ^ A H- /A* -h a*. 

On vériGe sans peine que /n^^ \h- est toujours plus petit que h -h .jh- -h or- La condition de 
possibilité du problème est donc 

v'(i- -\- ih'- ^ / ^ /(+ v//7m^. 

1° Cas du minimum : l = Ja* + \h-. La quantité sous le radical est nulle et on a un triangle iso- 
cèle dont les cotés sont 

x = y = ~ v/a'-i-4A-. 

a* 

2» Cns du maximum: l = h -{- ^h} -\- a' . La dillérence x--i/ est égale à ± -y- ; il en 

réêulle que cosC ou cos B est égal ii et que le triangle est rectangle. D'ailleurs les cotés sont 
donnés par l'éiiuation 

U* — (A H- /F+T^)U -H hylh^ -+- a» = 0, 
d'où on lire 

X = h, 1/ = //j> -I- (I- (triangle rectangle en B) 

ou 

X — yZ/j" -+- a', y = Il (triangle rectangle en C). 

Hemakque. — On aurait pu prendre pour inconnue j: = OH ; l'équation du problème aurait été 

* \/(f-")'-»-v\:-')"-»'= 

>/^ I \ d'où l'on tire 



l'\l'-a' — ih'-] 



B O H C ^ - ï(pZr^) 

On ferait la discussion en écrivant que cette valeur est positive et inférieure à, y- ix réel et infé- 

a\ 
rieur en valeur absolue À — 1 . 1'. L. 

Itoanea »oluli.«s : MM. ||. Sacdikii, k f>ie|il>c, rt P. Tiiuset. 



CONCOURS DE 1901 271 



CONCOURS DE 1901 {Suiir). 



ÉCOLE CENTRALE (Première session). 



G^oviPtrie annlyliqve 

1055. — On donne deux axes reclangiilairc? Ox, Oy : 

1° Démontrer que Ips coniques du faiscoau A représenté par l'équation 

(m- — 1)^'' — 2'nari/ — 2/5!/ — 2mp.r — p'' ■= 0, 
OÙ m est viiriible, ont un foyer conimiin, une asymptote commune et que la directrice correspondante au 
foyer commun passe par un point fixe. 

2" Déterminer les points par lesquels passent deux hyperboles éqiiilaléres du fai.seeau et ceux par lesquels 
n'en passe qu'une ; puis, prenant un point (a,p) sur le lieu de ces derniers, exprimer eu l'onction de a et p les 
coordonnées des centres des deux coniques qui passent par le point (a.ji). 

3» Trouver le lieu des foyers réels des coni(|ues A et celui des pieds des directrices correspondantes sur 
l'axe focal (le lieu se compose de deux courbes distinctes). Donner une construction géométrique de la tangente 
en un point quelconque. 

4» Trouver le lieu des symétriques des foyers réels par rapport aux asymptotes des coniques A (le lieu 
se compose de deux courbes distinctes) et celui de leurs sommets réels. On construira géométriquement la 
tangente au point f.^; = o, y = — p) de ce dernier. 

(3 juillet, de 7 h. à 11 h.) 
Pln/siqiip rt Chimie. 

I. — .\ppareil du général Morin. — Comment vérifie-t-on sur les courbes : i" La loi des espaces • 2» [,a 
loi des vitesses. 

II. — 1056. — Deux prismes d'angles A et B, d'indices n, et >u, dont les arêtes sont parallèles et opposée.<r 

se touchent par une face ; 

Ecrire les équations qui règlent la marche, à travers ce système, d'un r.iyon de 
/a\ / lumière homogène situé dans un plan perpendiculaire aux arêtes; 

A quoi se réduisent ces é([iiations si les angles A et li sont très petits, ainsi que l'an- 
, gle d'incidence ; écrire, dans ce cas, la condition à laquelle doivent satisfaire les ani^les 

A et B pour que le système se comporte comme une lame à faces parallèles. 

111. — 1057. — Soit une chambre close ayant 80 mètres cubes de capacité renfer- 
mant de l'air formé de 20voi,8 d'oxygène et 79voi,2 d'azote, mesuré à 0° et îôC"" de pression. Elle est éclairée 
par deiu becs de gaz hrùlani chacun 102 litres de gaz de houille à l'heure, et, une personne l'habite pendant 
3 heures. 

1° (Juelle sera, après ces cinq heures, la composition de l'air contiué .' 

2" l'our rendre à cet air sa composition initiale, quel poids de bioxyde de baryum pur et sec faudra-t-il 
décomposer? 

.■!° Avec la baryte résultant de cette opération, on absorbera le gaz carhonique et la vapeur d'eau. Quel 
poids de baryte faudra-t-il employer pour chacune de ces opérations ? 

i" On se débarrassera de l'excès d'azote avec un appareil ;i eiincelles analogue h celui de Cavendish dans 
leipud on aura placé unccertaineciuanti té de baryte en dissolution. Ouid le sera l'augmentation de poids dece produit? 
I.e g.i/. lie I ille contient les corps principaux suivants uiesui'es en volume : 

Méthane (ou formène, ouprolocarhure d hydrogène). nO 

Hydrogène 35 

Oxyde de carbone 8 

Azote :( 

Autres produits dont ou ne tiendra pas compte ... i 

On rapp(dle qu'en moyenne un hommi' consoirunc par heure 25 litres d'oxygène et exhale 20 litres d'anhy- 
dride carliouiipu' et liD grammes de vapeur d'eau. 

Pour simplider, ou supposera que la lempéralure et la pressicm n'ont pas varié. 
Chaque candidat reçoit un tableau des poids atomiques. 

{:i juillet, lie l' h. l'2 â 5 h. tl3.) 




n, > «^ 



i72 



OUKSTIONS PROPOSfiKS 



/:'/)t/ce. 

1058. — (In demando de di-lorniiniT p.ir ses doux projpriions la l'oiirlu- d'ind'rsi'ctinn iriiin' s|ilii''rc avec 
un cùnc do n'-volulion, les dcu\ surfaces ctanl d(Winics de la nianicrc suivante : 

1" Le cùne de révolulion a pour base le cercle (C, C) du plan horizontal et pour sommet le point {s, s'} de 

cote donnée. 

2" La sphère de rayon r = 50°"", a pour centre le point {o,o') milieu de 
la génératrice donnée («n, sV) du cùne (voir la li^'ure.) 

Dans la mise au net de cette première partie de l'épure qui se fera à l'encre, 
on supposera les deux corps opaques, et on représentera par un trait poin- 
tillé les lignes cachées soit en projeclion horizontale soit en projection ver- 
ticale. 

Cela fait, un dcicrminora en projecliorT horizontale seulement les ombres 
propres el portées suit dv^ deux corps entre eux soi! des deux corps sur le plan 
horizontal, en les supposant éclairés par des rayons lumineux parallèles ii la 
direction donnée (A, A'). 

Les courbes d'oniln es propres et celles d'onihres portées se traceront au crayon 
noir. Le trait sera eoiilitiu pour les courbes qui soni cachées. Eiilin les portions 
des surfaces qui soiil dans roinlire devront èlre recon\erles de hachures faites 
à l'encre bleue. 

Titre extérieur : oéumétiue oescbiptive. 
Titre intérieur : cône et spiù:nE. 

Cadre de 21"° sur 45'^°'. Ligue de terre xy parallèle aux petits côtés du 
cadre à 200°'°' du côté supérieur. 

{■I juillet, de 7 h. à 10 h) 

TrUjonomélrie. 

Calcul 

1. — 1059. — Calculer les arcs positifs, inférieurs;! 360° qui vérifient la forniiile 




ou 



a = 0,0878143, 



2a; 

cos^ — 

5 

I = 23''42'53',5, 



i/atg 



sin ji cot' Y 
i^= I3M3'45",7, 



Y= J25»26'38",5. 



Problème 

11. — 1060. — 1° Calculer les angles lt,C d'un triangle AllC connaissant l'angle \ ainsi que le rayon W 
du cercle circonscrit et le rayon )• du cercle inscrit. 

2" Condition de grandeur entre les données A,U, r pour que le problème soil possible. 

3° Mêsolution graphique du triangle AllC; discussion do la conslruclion. 

4° Dans le cas particulier où le triangle AltC est isocèle (AU = AC), calculiT, en fonction do II el do r, 
la dislince du centre du cercle inscrit au centre du cercle circonscrit. 

Déduire du résultat la conslruclion d'un triangle isocèle connaissant les rayons des cercles inscril cl cir- 
conscrit. 

(/ lUlUfl, de 2 II. ta ù 3 II. il 2.) 



QUESTIONS PltOl'OSÉIiS 



1061. — On considère les triangles inscrits dans une ellipse, el tels (|uo leur cenire de gravilé soit au 
centre de l'ellipse. Itcmontrer que les normales aux li'ois .soinmels de ce liianglc sont concourantes, et trouver 
le lieu de leur point de concours. 



1062 



Lieu des foyers des coniques normah". aux quatre côtés d'un rectangle. 



Le llédacleur-Géronl : II. VUIIJKUI , 



•Ali-ll l.rr, lar. C<i«Tt-)*r.((l«T. 



11° Année. 



N" 12 



Septembre 1901. 



REVUE DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES 



PREMIERE PARTIE 



NOTE SUR L'EPURE 
DONNÉE AU CONCOURS DADMISSION A L'ÉCOLE POLYTECUNIOUE EN liJOl 




/c 



[Le but de la présente note est d'indiquer rapidement les principales méthodes que l'on pouvait employer 
pour résoudre cette épure et de montrer brièvement les défauts et les avantages de ces méthodes, leur discus- 
sion complète étant beaucoup trop volumineuse. La marche que nous allons suivre n'est autre que celle que 
doit suivre la personne k qui l'on donne l'épure à faire.] 

Intersection d'un cô.ne et d'un hyperboloïde de révolution. — Le cône a pour base un cercle de front [c, d) 
situé dans la partie supérieure du plan vertical, tangent au plan horizontal, et qui a 8 centimètres de diamètre. Son 
sommet {s, s) est en avant du cercle, à une distance égale au diamètre, et sur la ligne 
de bout menée par le point s' le plus à droite du cercle. 

Cette ligne debout sert de génératrice à t'hijperboloide: Vaxe de révolution est la 
droite du plan horizontal qui est confondue avec la ligne es' de l'épure. 

Le point c sera placé à l^ centimètres à gauche du bord droit de la feuille, et à' 
l") centimètres au-dessous du trait le plus bas de Ven-tête. 
/ On demande de représenter en traits noirs la projection horizontale du solide com- 

mun au cône et à C hyperboloïde. 

On indiquera en traits rcuges les constructions nécessaires pour déterminer un point quelconque de Vintersee- 
tion et la tangente en ce point, ainsi que les points remarquables . 

Remarques générales. — Les deux surfaces sont du second degré ; elles ont une génératrice commune ; 
l'intersection su composera donc de cette droite et d'ime cubique. Cette cubique passe par le sommet du cône, 
la tangente en ce point est la deuxième génératrice du cône contenue dans le plan langent à riiyperboloïile. 
Elle n'a pas de point double réel, sinon les surfaces seraient bitangentes et se couperaient suivant deux (tourbes 
planes, dont lune se composerait de la génératrice commune et d'une autre droite. Celle droite serait la deu- 
xième génératrice de l'hyperboloïde qui passe par le sommet du cône ; il y aura donc lieu de vérifier de suite 
si cette génératrice n'appartient pas au cône soit en faisant la construction de la tangente au sommet, soit par 
tout autre moyen. Le premier est préférabh; puisqu'on sera toujours obligé de faire cette construction. Pour la 
clarté de l'exposition nous ne |)arleroiis que plus lard des mélliodes à employer pour celle détermination. On 
doit d'ailleurs su servir pour cela d'une méthode semblable ;i celle employée pour le jioint courant, à moins 
que dans le cas particulier on n'ait une fat;on beaucoup plus simple d'opérer. 

La cubique n'a pas non plus de point double en projection horizontale, car les plinis diamétraux des sur- 
faces, conjugués de la verticale, sont deux plans horizontaux ditt'i renls. 

Entin quoiipie la projection verticale ne fût pas exigée, on pouvait rcmarqui'r que la courbe étant projetée 
sur ce plan parallèlement li son asymptote, sa projection est une conique et que celte conique esl une ellipse. 

Choix d'une méthode en généraL — Ces remarques étant faites, on procédera .'i la recherche de la 
méthode ii employer. Cette discussion se fait en crayonnant rapidement sur un bout de papier les (;onstructions 
qu'enlraine chaque méthode examinée, l'ne bonne méthode doit èlre grapliiquement précise, les constructions 
doivent bien s'encliainer tant pour la construction du point (|uc pour celle de la langcnlc en ce point, exiger le 
minimum de constructions pour que l'épure ne présente pas l'aspei:! d'une toile d'araignée ; ces conditions ren- 
dent l'épure très nelle et très lisible. (L'épure ipu' nous donnons ici ne remplit pas complètement ces coiulitions 
la nécessité d'expliquer quelques points ne nous ayant pas permis d'employer la inétiiode la plus simple et nous 



271 ÈPUllt: DU CONCOURS D'ADMISSION A LliCOLK l'OLYTECIIMQLh: (lî)Ol) 



ayant oMifjé de siiroharucr le dessin), r.c lironillon caiiM' une Ic-^'i're perle de U-inps qui est largement rattrapée 
parla rapiditi- avec laquelle on exécute l'épure et évite dans le dessin soigné de eelle-ei toule fausse ronstnie- 
lion. Il faut soigneusement éviter de partir tout de suite en guerre sur son épure, sinon on arrive à un l'ouillis 
où l'on ne reeonnait plus rien soi-même et on salil énormément sa feuille 

On lire encore un autre avantage de cette dixussion. A eOté d'une méthode précise mais un peu lente, on 
en trouve souvent une très rapide mais moins précise. On détermine par la deuxième très rapidement et en 
dessinant très légèrement la forme générale de la courbe. Un voit sur cette courbe les points ([uil est impor- 
tant de connaître, celui qui se présentera le n)ieux pour être gardé comme point courant dans la mise à 
l'encre. On évite ainsi d'être obligé de recommencer la construction si les lignes ne se présentent pas d'une 
façon lisible. 

Méthodes particulières au problème présent. -- Les deux méthodes gincrales en présence sont : 

1" Prendre une generalrief iiiulr(iii<iiir du ii'im (lu de lliypcrboloïde et cherelier son intersection avec 
l'autre surface sans tenir compte des conditions parli<iiliéres du prolileme. licite scdution est à rejeter ; les 
solutions générales, très bonnes lorsqu'tm a afl'aire ;i une droite isolée quelconque, sont assez compliquées, et 
ne s'enchainent pas, ce qui complique l'épure ; 

2o Couper par des surfaces auxiliaires. Ces surfaces auxiliaires doivent être simples; ce seront donc des 
plans, des sphères; des cônes ou des cylindres. I'2lles doivent donner des sections simples dans les surfaces, de 
préférence des cirronférenees et des droites, seules précises graphiquement. Les surfaces n'étant pas de révolu- 
lion, les sphères ne nous donneront rien. L'emploi des cylindres et des cônes conduit à des constructions 
compliquées; il faut, en effet, rechercher celles de ces surfaces qui coupent à la fois le crtne et l'hyperbo- 
loïde suivant des courbes planes. Il reste les plans. 

Parmi les plans, nous remarquons de suite ceux qui jiassent par la génératrice commune ; ils C(uipent 
chacune des deux surfaces suivant celte généraliiee et suivant une antre droite. Parmi les autres plans nous 
en avons bien qui coupent l'une des surfaces suivant un cercle, mais ils coupent l'autre suivant des paraboles, 
même en évitant, comme nous l'indiquons, la construction de toutes les paraboles il faut toujours se servir 
d'une d'entre elles et cela est peu précis au point de vue graphique. Ces méthodes sont d'ailleurs compliquées, 
et par suite à rejeter. Ouant à celle des plans dont les sections sont projetées suivant des cercles il fallait un 
peu chercher pour la trouver. 

D'ailleurs, dans le cas présent, cette discussion générale était inutile; on devait songer de suite aux plans 
passant par la génératrice commune, solution classi(iue du problèuu'. Il n'y avait cpie leur utilisation qui était 
il discuter. 

MÉTHODE DES PLANS SÉCANTS PASSANT PAR LA GÉNÉRATRICE COMMUNE 

Recherche du point courant. — Chacun de ces plans coupe les deux surfaces suivant la génératrice communo 
cl suivant uni' autre droite : le point où ces deux dernières droites se cou|ient esl un point de l'intersei-tion. 
Les plans sécants étant de bout, ces génératrices de^ deux surfaces ont même projection verticale. On pourra 
donc suivre deux méthodes : 

(/l) se donner une génératrice de l'hyperboloïde et chercher la génératrice du cône qui a même projection 
verticale ; 

(li) se donner une génératrice tlu cône et chercher celle de l'hyperboloïde qui a même projection verticale. 

La détermination des projections d'une génératrice ilu cône étant facile, nous ne nous en occuperons pas ; 
les deux méthodes reviennent alors à 

(A) déterminer les deux projections d'une génératrice de l'hyperboloïde ; 

(fl) déterminer la projei-lion borizimtale d'une geni'ratrice de l'hyperboloïde connaissant sa projection 
verticale. 

{A\ 1° On a tout de suite la projection horiïonlale d'une génératrice de l'hyperboloïde en menant imc tan- 
gente h son contour apparent: on aura la projection verticale en remarquant que sa trace horizontale est son 
point de contact avec le contour apparent. On devra bien se garder de mener la tangenti* au sentiment, ce qui 
manqur'rail eomplètement de précision. Elle est d'ailleurs délerminee de façon peu précise, même en 
employant les moyens rapides de construction au iiioxeu des asymploles. 

2" On prend un plan vertical auxiliaire paralb'le ii celui ilu cercle de gorge, on se donne la projection de 
la génératrice sur ce pliin, tangente ii c4! cercle, et im détermine sa projection horizonlalc en rappelant le point 
de conlnrt «ur la trace liori/.unlale du cercle de gorge, et en construisant le point où elle coupe la génératrice 



ÉPURE DU CONCOURS D'ADMISSION A L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE (1901) 275 

commune, car elle doit être d'un système diH'érenl de celui de celle-ci, que nous nommerons premier système, 
ou bien en cherchant le point où elle rencontre un parallèle. 

On aura la projection sur le plan vertical en faisant le changement de plan soit pour un de ces points (sur 
l'épure on l'a fait pour le point du cercle de gorge), soit pour la trace horizontale, qui servira d'ailleurs pour 
la délerminution du ronlour apparent et même pour la construclion de la tangente. 

{B) [" Elant donnée la projection verlicale, on a de suite la trace liorizonlale de la générati'icc cherchée 
qui se trouve sur l'hyperbole de contour apparent. En menant par ce point la tangente à l'hyperbole, on a la 
projection horizontale cherchée. 

2" Servons-nous d'un plan auxiliaire parallèle au plan du cercle de gorge. On cherche la trace sur le plan 
du cercle de gorge du plan sécant; on remarquera pour cela que cette trace passe par le point fixe où la géné- 
ratrice commune coupe le plan du cercle de gorge. On aura un autre point, soit à l'intersection de la trace 
horizontale du plan de gorge et de celle du plan auxiliaire, soit en faisant le changement de plan pour le point 
où la trace du plan sécant rencontre l'intersection du plan vertical el du plan de gorge, soit en coupant par un 
plan de profil (la projection horizontale du point de la trace contenu dans ce plan est à l'intersection des traces 
du plan de profil et du plan de gorge, et sa cote est celle du point où se coupent les traces du plan de profil et 
du plan sécant). La trace déterminée ainsi coupe le cercle de gorge en un point qui est le point de contact de 
la génératrice cherchée avec ce cercle. On détermine sa projection horizontale comme précédemment. Cette 
méthode est un peu plus longue ([ue (1, 2"). 

3" On évite de tracer cette projection horizontale en projetant sur le plan auxiliaire lagénéralrice du cône; 
on a alors la projection sur le plan du cercle de gorge du point d'intersection cherché et on le rappelle sur la 
génératrice du cône. Cette méthode est d'ordre analogue. Avoir bien soin de faire le changement de plan direc- 
tement et de ne pas se servir de la projection (ellipse) de la directrice du cône pour avoir celle de la génératrice 
du cône. 

4° On détermine comme précédemment la trace du plan sécant sur un parallèle de l'iiyperboloïde ; par le 
point où cette trace coupe cette circonférence, on mène une tangente au cercle de gorge. On projette ensuite 
horizontalement. Il y a alors à faire attention à mener la génératrice du système convenable, d'où légère infé- 
riorité de méthode. 

'.)" On emploie deux parallèles, on détermine la trace du plan auxiliaire direcleineiil pour un de ces pai-al- 
lèles et pour l'autre en menant par le point fixe correspondant une parallèle à la première. Ces deux droites 
coupent les circonférences correspondantes en un point que l'on rappelle sur les traces horizontales des paral- 
lèles ; on a ainsi deux points de la projection horizontale de la générati'ice cherchée. 

6° On remarquera que les projections verticales des génératrices du premier système passent par le point s'i, 
symétrique de s' par rapport à la ligne de terre, que la droite ws'c' représente les deux projections confondues 
d'une génératrice du deuxième système, et pai- suite, que les deux projections d'une génératrice du premier 
système se coupent sur cette droite. On a d'aillcur.s une génératrice Ci de ce premier système projetée suivant 
s'c' et sa symétrique par rapport à la ligne de terre. La remarque précédente permet de construire les projections 
verticales des deux génératrices Ca, G3 du premier système dont les projections liorizontales sont les tangenli's 
parfaitement déterminées aux sommets », vi de l'hyperbole de contour apparent. Ln rappelant sur les projections 
horizontales de deux des trois génératrices Çi,(;2, (Jj les points où leurs projections verticales sont coupées 
par la trace verticale du plan sécant, on aura la projection de la génératrice cherchée. On prend ceux de ces 
deux points qui sont dans les limites de l'épure. C'est pourquoi on détermine C. et Gj et non une seule de 
ces droites. 

7" Si on considère la génératrice iss', s') de l'hyperboloïde, smi point central est projeté liorizonlalemcnl 
en «', son plan central est le plan horizontal s't', et le paramètre de (lislribution es! le rayon c'/, du cercle de 
gorge. 

Le plan sécant s'd' est un plan tangent ii Ihyperboloide en un point de s,s', et l'angle qu'il fait a\ecle plan 
central est rf's'c'. La parallèle à la trace s'd' du plan auxiliaire menée par s'c' coupe donc s,s' au point de 
contact de ce plan, c'est-à-dire au point oii la génératrice cherchée rencontre ss'. Pour avoir un deuxième |ioint 
de la génératrice, on remarquera (pie l'on a la projection verticale de sa trace horizontale, et (|ue la distance de 
la projection horizontale de ce point k l'asymptote de l'Iiyperbolc de contour apparent est la moitié de celle du 
premier point trouvé à cette droite. Cette méthode est très rapide et très élégante ; toutes les constructions 
sont dans les limites de l'épure. 

8" On remarque que les sections de l'hyperboloide par des plans verticaux dont la trace est inclinée à — 

sur la ligne de terre (direction |jt7) se projettent verticalement suivant des circonférences On tracera deux de 
ces circonférences qui passent toutes par 4' et en rappelant les (loinls où la trace verticale du plan auxiliaire 




I — 



T 



wf- .iF, 



/ \ />-'^ >^/ A ■■■' / > 






\ 



.-' / 



F "^ 



^: 



ÉPURE DU CONCOURS D'ADMISSION A L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE (1901) 277 

les coupe sur la trace horizontale des plans correspondants, on aura la génératrice cherchée. Toutes les cons- 
tructions tiennent encore dans l'épure. 

Tangente. — Le plan tangent au cône est déterminé par la tangente ;i la directrice qui est la trace verti- 
cale de ce plan, projetée horizontalement suivant la ligne de terre, et par la génératrice du cône. On peut donc 
délcrniiner sa trace sur un plan quelconque. Le plan tangent à l'hyperboloïde sera déterminé lorsqu'on aura 
construit la génératrice du premier système passant parle point considéré. 11 faut s'abstenir de déterminer 
cette génératrice en menant par m une tangente à l'hyperbole de contour apparent, mais bien en déter- 
miner un autre point. 

Remarquons que dans les méthodes précédentes ou bien (I) nous avons déterminé la projection de la 
génératrice de l'hyperboloïde sur le plan du cercle dégorge (A, 2°; B, 2°; B, 3»; B, 4°), ou bien (II) nous avons 
simplement déterminé sa projection horizontale. 

(I) Dans le premier cas, pour que la méthode soit enchaînée à celle employée pour le point courant, on se 
sert de ce plan auxiliaire de projection. A cet ett'et rappelons m en Mi, sur la projection sur ce plan delà 
génératrice déterminée et menons par Mi la seconde tangente au cercle de gorge, on aura ainsi la projection sur 
ce plan de la génératrice du premier système passant par m. Il est inutile de chercher les proje('tions de cette 
droite pour déterminer ses traces sur un plan quelconque. 11 suffit de remarquer que la corde de contact BiEi 
est la trace sur le plan du cercle de gorge du plan tangent à rhypcrboioïde, cette droite étant projetée lioriz(Hi- 
talement sur la trace horizontale vs' du plan du cercle de gorge, d'où : 

1° On cherche la trace de cette droite sur un plan quelconque (sur l'épure on l'a fait poui' le plan vertical 
en remarquant que ce point est celui où elle rencontre la droite lo/"', IJF, d'intersection du plan du cercle de 
gorge et du plan vertical), et on la joint ii la trace sur ce plan de la génératrice du deuxième système. 11 y a 
avantage à employer un plan de front, car si ce plan est le plan vertical on a déj ï la trace du plan langent au 
cône, s'il est quelconque on mène par la trace de la génératrice du cône une parallèle à la tangente à la circonfé- 
rence, d'où économie de conslrnrtions. 

2° On cherche la trace du plan tangent au cône sur le plan du cercle de gorge ou sur un plan parallèle, la 
trace du plan tangent à l'hyperboloïde est toute trouvée ou facile à construire. 

On emploiera l'une ou l'autre de ces méthodes suivant qu'elle s'appliquera mieux. 

(II) La génératrice de l'hyperboloïde est seule donnée. On commence par déterminer sa projection verti- 
cale en rappelant m en m' sur la projection verticale et joignant m' au point s'< symétrique de s' par rapport 
à la ligne de terre, on détermine sa projection horizontale par la mélhodc que l'on a employée pour le point 
courant. 

En particulier, pour {B, 6"), on joint m au point où la projection verticale rencontre la droite s'c'. 

Pour {B, '") on remarquera que tout ce que nous avons dit pour s, s' et les génératrices du deuxième sys- 
tème s'applique aux génératrices du premier système combinées avec la symétrique iss', s\) de la génératrice 
commune par rapport au plan horizontal. En menant par c' une parallèle à la projection verticale on aura le 
point où la génératrice commune coupe cette génératrice de bout de l'hyperlioloïde. 

(III) Par les normales. On mène le parallèle du point m. La normale au point oïi ce parallèle coupe la 
génératrice s, s' est projetée suivant la perpendiculaire à s, s' au point où la trace du parallèle rencontre celte 
droite. Cette normale coupe l'axe de Ihyperboloïde en un certain pointqui, joint au point »)i, donne la normale 
en m. On peut alors soit déterminer le plan tangent à l'hyperboloïde qui est perpendiculaire il cette droite, soit 
chercher la normale au cône. Les projections de cette normale sont les jierpcndiculaires abaissées de (m, m') 
sur la tangente au cercle c', et sur la trace du plan tangent au cône sur un plan horizontal, par exemple celui 
passant par le sommet du cône. On détermine la trace du plan de ces normales sur un plan horizontal et par 
m, on mène' une i)erpendiculaire à cette trace. Cette méthode, trop longue, n'était pas a employer. 

(IV) On pouvait aussi construire le cône tangent à l'hyperboloïde le long du parallèle de >». Le plan lan- 
gent est déterminé par la génératrice de ce cône qui passe par »i et la tangente au parallèle en ce point. 

Remarque. — On voit que la méthode {B, 5») ne .s'enchaine avec aucune de celles-ci. 

Tangente au sommet ilit cône. — l° \A, i°; B, ("]0n mène par le somn)Ct s la tangente sp au contour 
apparent de l'hyperbole et on cherche sa projection verticale, d'où la génératrice du cône. 

2» [A, 2°; B, 2"; B, 3"; J5, 4°]. On projette s en m sur le plan auxiliaire, on mène par ii une tangente au cei'cle 
de gorge et on cherche la projec-lion verticale de cette tangente, comme nous l'avons indiqué, en faisant le chan- 
gement de plan pour Li ou pour Pi qui est un point de la trace horizontale du |)lan langent. 'i l'hyperboloïde. 

3° [fi, îi° ; B, 6° ; B, 8°;. On coupe par le j)arallèle de s, on mène la tangente s^r. ii ce parallèle ; le point - 



278 EPURE nu CONCOURS D'ADMISSION A L'ECOLE POLYTECHNIQUE (190!) 



011 celle laniionlo coupe la trace horizontale du parallèle appartient à la trace horizontale, perpendiculaire à la 
ligne (le terre, du plan t;ingent, d'oi'i sa trace verticale. 

4« B, :<" : B, 6° ; B, 8" On mène la normale en -s {.-»■, sr) ; la trace verticale du plan tangent est perpendi- 
culaire à la projection verticale de cette normale. 

50 ' B,!'] La trace verticale du plan tangent est la parallèle à se' menée par .^'. 

De cette trace verticale on déduit la tangente sg. Toutes ces constructions sont indiquées sur l'épure. 

Point sur le contour apparent du cône. - Si on coupe par le plan horizontal passant par la génératrice 
commune, il coupe le cône suivant son contour apparent, el l'h.vperboloide suivant les génératrices projetées 
horizontalement en ss',ic, les points sur le contour apparent sont donc s et /. 

Point sur le contour apparent de l'hyperholoïde. — Ces jïoints sont dans le plan horizontal ; ils sont 
donc à l'inlersection de Ihyperbole de contour .ipparent de l'hyperltoloïde et de la trace horizontale ilu cône. 
Cette méthode exigeant le tracé de l'hyperbole trace du cône, elle n'est pas précise au point de vue graphique. 
On peut éviter le tracé de cette hyperbole et même de se servir de celle de contour apparent de l'hyperboloide. 

Heiuar(iuonsque l'hyperbole de contour apparent est la trace sur le plan horizontal du cône de révolution 
avant sou sommet projeté horizonialement en s et situé dans le plan horizontal du sommet du cône et pour 
axe une perpendiculaire à l'axe de l'hyperboloide el pour génératrice la génératrice commune. 

Ce cône et le cône donné se coupent suivant une courbe qui percera le plan horizontal aux points cherchés. 
Ces deux cônes sont tangents tout le long d'une génératrice [ss'). ils se coupent donc suivant une courbe plane. 
Le plan horizontal des sommets est un plan principal commun, la projection horizontale de cette courbe est 
dom- une droite. De plus les parallèles du cône de révolution étant des plans antiparallèles pour le cône donné, 
celte courbe esl une circonférence. Les génératrices sV, st des deux cônes se coupent au |)oint 1, la trace du 
plan est donc (d. Kabattons-le autour de cette droite ; la cii( nnlérciice se rabat en G et les deux point.s cher- 
chés sont «, "I. 

AUTRES MÉTHODES 

t* Si l'on coupe par des parallèles de l'hyperboloide les sections du cône sont des paraboles: on évite de 
tracer toutes ces paraboles en les projeianl coniquement avec s comme point de vue sur un de ces parallèles A. 
Toutes les sections du cône seront projetées suivant la parabole correspondant à ce parallèle, les sections de 
riiypcrboloïde sont projetées suivant des cercles ayant leurs centres sur une môme droite perspective de l'axe 
de riivperboloïde el passant par le point où la génératrice commune perce le plan P. Pour la tangente, il faut 
employer la méthode des normales. 

2» On coupe par des plans de front. Les sections du cône sont alors des 
paraboles dont les projections horizontales ont pour axe la ligne de terre el qui 
passent toutes par*. On se réduit encore à une seule parabole par des projec- 
tions coniques sur un plan de front P, mais mainlenant le point de vue est 
variable; c'est le point 7 oii l'asymptote s'c' dans le plan horizontal esl rencon- 
trée par la droite (|ui joint les points où les traces des plans sécants coupent 
l'hyperbole de contour apparent. 

Les tangentes soûl déterminées par les normales. On pouvait aussi prendre 
les sections antiparalèlles d'une façon analogue. 

3° On transpcute le cône asymplole parallèlement à lui-mèiue de manière 
que son sommet soit sur.«, s'. L'intersection de ce cône el du ei'me donné esj une 
conique située dans im plan vertical dont la trace est inclinée à t/3 sur la ligne de terre (<j'. Les plans verti- 
caux parallèles à ces directions C(uipenl donc les surfaces suivant des sections semblables, qui, ju-ojctées 
coni<|uemenl sur le plan vertical avec .1 comme centre deviennent des cercles. 

On pcul prendre aussi leurs projections ohlicpies sur un plan vertical, plan cyclii]ue pour les cylindres ayant 
pour bases ces coni(|ues et pour gi-nératrices les projclaules. 

t» La projection verticale était une ellipse ; ou en connaissait de suite deux points a et s' el la tangente 
en i" ; on pouvait donc la con.strnire. En rappelant sur les projections horizontales des génératrices du cône les 
points oii leurs projections verticales coupaient l'ellipse, on avait la projection horizontale de la courbe. 

Pour In tangente, on n\ail sa trace verticale au poitil de rencontre de la tangente à l'ellipse et de celle au 
cercle au point correspondant. 

Concluaion. — Les méthodes (fl, 7°) et (S, 8") demandent un peu de retlexion pour un examen, nuiis 




NOTES DIVEUSES 279 



les autres [A, 2") {B, 2°) et [B, 6°) sont classiques ; elles se présentaient (relles-nièmes et de tontes (B, 6») était 
certes la préférable, n'exigeant que la règle et l'éqnerre, ensuite (.1, 20) et (B, i^j étaient les plus simples. 
Quant à la ponetuation, elle ne présentait aucune difficulté. 

E. B. 



NOTES DIVERSES 

par M. Guérithault, élève de Mathématiques spéciales au lycée Louisle-Grand. 



1° Lieu des centres dfs Irianiiles équilatéraux inscrits dans une ellipse. 

Prenons pour axes les axes de l'ellipse et soit — - -t- ■;-- —1=0 l'éqnalion de celte lisrne Le 

0. 0- ° 

centre d'un triangle équilatéral est à la fois le cenlie du cercle inscrit, celui du cercle circonscrit et 
celui du cercle conjugué au triangle. 

Si nous représentons par [x — =■)- + (y — ?)^ — p- =0 1 équation du cercle inscrit, celle du 
cercle conjugué au triangle sera [x — y-Y + {y — p)- + 2?^ = 0. 

Il reste à exprimer maintenant que l'ellipse est harmoniquement circonscrite au second cercle et 
qu'elle est circonscrite à un triangle circonscrit au premier cercle, ce qui donne les deux conditions 



(0'2 _ 4A'0 = 0) 



avec 





—^p^(-^^iy-E, (0' = 0) 

\a- b- J 






n- b- 




1 1 

"^ i- ~ h- 


, la première relation donne p- — — 


Eh'- 

2 



En posant -—-i--^=-f—, la première relation donne o- — ^^î et il n'y a plus qu'à nor- 

11- b- II- 2 .111 

1er celte valeur dans la seconde pour avoir le lieu demandé. On trouve ainsi une courbe du quatrième 
degré 



^-^('-"-— ^1="- 



2" Trouver les parnholes circonscrites à un triangle et telles que les norviales aux sommets iIh 
triamjle soient concourantes. 

Au lieu de chercher directement ces paraboles, on peut se borner à chercher leurs axes. Or l'axe de 
chacune d'elles passe au centre de gravité G du triangle donné ABC ; d'autre part, les axes des para- 
boles circonscrites au triangle ABC enveloppent une hypocycloïde à trois rebroussemenls. Du point G 
on peut mener trois tangentes à cette courbe ; donc le prcjblème a trois solutions. 

On peut mettre facilement le problème en équation et trouver les solutions indiquées en suivant la 
méthode que nous venons de signaler. 

3° Sur les ovales de Descartes. 

L'équation d'un ovale de Descaries en coordonnées bipolaires est op + ^p'-t-c — 0. Cela posé, 



480 



NOTES DIVERSES 




considéronsdoux cônes de révolution à axes paral- 
It.'les el projetons leur iuterseclion sur un plan F 
perpendiculaire à l'axe ; nous aurons, comme nous 
allons le montrer, un ovale de Descaries. 

En efl'ol, coupons les deux cônes par un plan 
pcrpcMidiculaire à l'axe et soient lo, w' les doux 
cercles d'intersection et M un de leurs points do 
rencontre ; en désignant par a et ji les demi- 
angles aux sommets dos deux cônes, nous avons 
luM = Swtga, (u'M = S'cV Ig? ; posons Su)=X, 
SV = l-^-h, loM = Om = p, lo'M' = O'm = p'; 
nous aurons p = ). tg a, p' = (),-+- /i)tg [i, el en 
oliminanl )• entre ces deux relations, 

(i) ptgP-p'lga + /agalgp = 0. 



Celle égalité démontre la proposition annoncée. 
Deux cas de dégénérescence sont évidents : 
1" Si les deux cônes sont égaux, c'est-à-dire si ^ = ?, on a 

p — p' = A tg a, 
et la projection est une hyperbole de foyers et 0' ; 

2° Si les sommets des deux cônes sont dans un même plan perpendiculaire à l'axe, c'est-ii-dire si 



h = 0, on a -^ = c"", et la projection est un cercle. 

11 est facile de montrer que tout ovale de Doscarles peut être obtenu par lo procédé précédent ; car 
l'équation ^p + 6p'-|-c = peut toujours être idontiliée avec l'équation (I) d'une infinité de façons. 

Si on considère alors deux cônes S et S' définissant un ovale donné, les divers moyens d'obtenir 
l'inlersection de ces deux cônes donneront divers modes de génération de celle ligne. 

Par exemple, soit SS' la ligne des sommets qui rencontre la ligne des centres des deux cercles 
choisis pour cercles de bases en un point a ; si on mène par cette droite un plan auxiliaire qui rencontre 
les deux cercles de bases en P et P', les deux rayons OP et OP', projections des génératrices SP ot 
SP', se coupent en un point M de l'ovale el la tangente en ce point s'obtient en joignant le point M au 
point de rencontre des tangentes aux deux cercles en P el P'. 

On retrouve ainsi une construction connue do l'ovale de Descaries îi l'aide de deux cercles et d'un 
point de la ligne des centres. 

Nous allons montrer maintenant qu'il y a un Iroisiomo foyor. l'oiw cela, nous considérons le faisceau 
de quadriquos déterminé par les deux cônes S et .S ; dans ce faisceau, il y a doux cônes qui coïncident 
avec les deux ci'mes donni-s cl doux aulros dont l'un est le rylimlio |>idjolanl larourho d'interserlion sur 
le plan des deux axes. Le sommet do ce oôno p.irliiiilior est à l'inllni sur une porpondioulairo au plan 
des axes ; les trois autres sommets sont donc dans lo plan polaire commun do colui-ci par rapport aux 
deux cônes, c'est-à-dire dans le plan dos axes ; il y a déjà S et S' ; l'autre sommet S' est un poinl 
ayant mémo polaire par rapport aux doux couplos de gém^ralriccs situées dans co plan ; c'est donc le 
poinl de concours dos deux conjuguées liannoniques de la droite SS' par rapport à ces deux couples. 
La projection 0" de ce point S" sur le plan de base choisi est le troisième foyer. C'est un point 
situé sur la lipno des contros. 

Oci résulte de ro que les quadriquos (|ui passoni parlinterfection de deux quadriques de révolution 
ayant leur« axes parallèles sont des quadiiquesdo révolution ayant leurs axes parallèles à ceux-ci. Le 
cône de sommet S" joue donc le môme rôle que chacun des deux conos S el S'. 



ALGÈBRE . 281 



A L G !<: B R E 



978. — 1° Etant donnrc unr équation du troisième deijrc à coefficients réels, 

ax' -+- bx- -t- ex -H (/ = 0, 
calculer la fonction symétrique des racines 

Montrer que, sauf le cas d'une racine triple, celte quantité n'est nulle que si l'équation a deux racines ima- 
ginaires conjuguées. 

2° Désignant alors pur a la racine réelle et par u+iv, u — iv les deux racines imaginaires 
conjuguées, trouver la relation qui existe entre a, u et v. Calculer u et v sachant que x = l et que Us 
modules des deux autres racines sont égaux à 1. Former l'équation du troisième degré correspondante. 

1. L"identité f{x) ^ a{x — x)(x — ^J(a; — '() entraîne évidemment l'identité 

f'{x) = a{x — ?)(x -y) -+- a[x - ol){x — ■;) -t- a(x - «)(.«■ - |i) 
et l'on en déduit 

par conséquent la fonction symétrique proposée a pour expression 

Mais, pour une racine de l'équation proposée, f'{x) peut être abaissé au second degré : il suffit en 
cflet de développer ce carré, de diviser le polynôme ainsi obtenu 

Oa^x* -h 12aix' -\- (46^ + 6rtc)x- -h ibcx -h c^, 
par f{x) ^ ax^ -i hx- -f- ci + d et de prendre le reste de cette opération 

R(x) = {b' — 3r(c)x^ -+- (bc — 9ad)x -^ c- — 3l>d ; 
la fonclion symétrique à évaluer devient alors 

~ [l{(a) + R(P) + Rly)], 

ou, avec les notations habituelles, 

(b- - 3ac)Sa + {bc — 9ad)S, + 3c-^ — dbd 

D'autre part les formules de Newton, appliquées à l'équation proposée du troisième degré, donnent 
aisément S, et S» et le calcul est achevé. 
Nous trouvons ainsi 

a' 

Il est facile de voir que cette fonction ne peut être nulle que dans les deux cas signalés; car si les 
trois racines sont réelles et distinctes, elle est la somme de trois quantités positives; et s'il y aune 
racine double, c'est-à-dire si P = a, elle se réduit à (a— y)S quantité positive non nulle. D'ailleurs 
b^— 3ac = exprime que la dérivée a une racine doui)le et on sait que cela n'arrive que si l'équation 
proposée a une racine triple ou bien deux racines imaginaires. 

2. Soient alors dans ce cas, i, u -+- iv, u — iv les trois racines de l'équation proposée, les diffé- 
rences 2 — ?■, 2 — Y, p — Y se représentent par a — u — iv, a — u h- iu, — iiv ; la fonclion 
symétrique 1{^ — ?;-(»— y)" devient 

[(» — uf -t- v'J' - 8t)»[(a - u)' — u'J, 



282 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



cl la relation demandi'e s'obtient en égalant cette quantité à 0. 

En y joignant »=! el w'-f-w' = l, qui donne r' = 1 — u% celte relation se simplifie et 

s*écrit 

[(i - u)« -i- 1 - u'? -^ 8(1 - «')[! -«=-(!- ,/)-] = 0. 

puis (l-u)=-h4(l-t/MH-«) = 0; 

elle donne deux fois la solution u = 1, îi laquelle correspond v = 0, et, dans ce cas, l'équation 

proposée a la racine triple ar = 1 ; elle donne ensuite deux fois la soluliim " — — -;^> à laquelle 

correspondent les deux valeurs de i', v = ± — . et. ihin-s ce cas, I équalimi a jiour racines 1, 

±: i -— • N'équation proposée se réduit donc alors ii x — 1 =0. 

La relation trouvée plus haut entre u et v peut s'écrire 

[(i _ m)2 _ v^Y — 4i'>,(a — uf — v'] 4- 4r' = 0, 

ou l(a — w)=-3r7 = 0; 

le calcul de u et v est alors immédiat. Cette dernière relation, (a — m)^ — 3u- = 0, peut se trouver 

plus rapidement en s'appuyant sur la première partie, où Ton a montré que la fonction symétrique 

(6»_3rte)2 
mdiquee est égale a ; 

«' 

Très boDucs solulioDS : MM. J.-l>. Dukait, à AlRUillon ; I'. TniBiEii ; J. Marcual. 
UoDues solulioas : MM. L. Micuou, à lloinai:3 ; I'. t'ÉGoniRR, à Carcassonne. 



GI'OMKTRIE 



I 



980. — •*<i l'on mène la normale en un point quelconque M d'une conique à cenlrc.quc l'on désigne par 



I son point de rcwonlre avec Vaxc non focul el imr V l'un des foi/ers, le rapport 

égal à l'excentricité dr lu conique. 



IM 



fst constant ri 




Soit une ellipse de foyers F cl V . Si l'on con.sidore le cercle circonscrit au 
triangle MFF', la normale, en M étant bissccirico de l'angle F.Ml""' coupe ce cercle 
.><ur la perpendiculaire au Ujilieu de FF', c'est- à-dire sur l'axe non focal. I.e quadri- 
latère MFIF' est donc inseripllblc, cl en lui appliquant le tbéorènie de l'Ioléméc, 
on a 

M F X 1 i ' + M F' X 1 1" = I M X FI" , 



ou 2<ï.lF = 2c.I.\I. 

La démonstration est la même pour Ibyperbole. 



,. . IF c 

I.M a 



li. FAI'VEIIMEIt. élève (le ri'"role noriiial(> siipiTienra. 



Solution Rdométriquc aoaluguc : MM. I>. l'uiu ; J. MAni:HAL ; S:gma, & l'au. 
Aolre» solulioni : MU. I'. TniiiiEn ; K. r.nossuTtrrK ; C.ans : Vas.xibh ; T. Lemoyng. 
Soluliont anilvtiqucs : MM. K.-.N. llAiiisit.N ; J.-t). Uufaut ; I.. MiroUD. 



GKOMÉTHIH ANALYTIQUK 



973. — Par un piùnt i* de l'axe focal d'une conique (S) on mène deux droites rectangulaires rencon- 
trant (S) en A, H, C, I). Montrer que la conique (S) passant par A, B, C, I) et tangente à la tangente en 
un tommel de l'axe focal de la conique (S) est aussi tangente à la tangente en l'antre sommet, et qnr lorsque 



GÉOMËTRIIS ANALYTIQUE 



283 



H = (.r — af -h 2).(.r — fl);/ — y- 



0, 



les droites AB, CD tounu'ut autour de P le point de rencontre des deux autres tangentes communes aux 
coniques (S) et (S') décrit une droite. 

Que deviennent ces propositions quand le point fixe P occupe une position quelconque par rapport A 
(S) et que les droites A, B, G, D ne sont pas assujetties à être rectangulaires? 

Prenons pour axes de coordonnées l'axe focal de la conique (S) et la tangente en un sommet. 

Son équation sera de la forme 

S = if- — 2pa; — qx"- — 0. 

L'équation quadratique de deux droites rectangulaires passant par le point P(j; — a, y — 0), 
peut s'écrire 

). étant un paramètre variable. 

Soit S' ^ [iS + H = l'équation de la conique (S'). Écrivons que l'axe des y [tangente au som- 
met de (S)] rencontre (S') en deux points confondus. Nous avons, en faisant x = dans (S'), 

/ (iJi — l)!/2 — '^aly + a^ = 0, 

d'où, la condition (1) "'>" -t- 1 — n = 0. 

Ur, Xj = — 2 — est l'abscisse du deuxième sommet de (S). La substitution de x^ à x dans (S') 
donne (,a — l)/ + 2)-(xo —a)y -\- {x^ — af — 0, 

équation qui a une racine double en y en vertu de la condition (1), ce qui montre que (S') est tangente 
à la tangente au deuxième sommet de (S). 

Démontrons maintenant la deuxième proposition énoncée. 

En tenant compte de la condition |ji = 1 -i- /', on trouve facilement pour équations langentielles 

des coniques (S) et (S') : 

i; ^ p^v- — 2p««' + qw^ = 0, 

S' = 'inphiv — {a-q + 2ap -+■ p- -i- p-l^)v^ h- ^pl-uw — 2X(aç -+- p)vw — q'Kho^ = 0. 

Les deux coniques (S) et (S') ayant deux tangentes communes parallèles à 0;/ ont un ombilic à 
l'infini sur Oy (équation tangentielle : v = 0). D'ailleurs, on a identiquement 

2' = — l^E -+- v[iaplu — [a'-q -+-2ap + p^)v — 2^(07 -1- p)w] = 0. 

Ceci montre que l'équation tangentielle du point de rencontre des deux autres tangentes communes 

est 

•2aphi — {a-q -+• 2ap -+- p^)v — 2/(«7 -h p)iv = 0. 

ap 



X = — 



L'abscisse de ce point, x — 
np 



aq^p 
polaire du point P par rapport à la conique (S). 



est indépendante de ^. Le point décrit donc la droite 



aq-t- p 
Nousallons enfin démontrer que les deux droites AB, CD étant quelconques, ainsi que P, la conique 

S' passant par A, B, C, D et tangente à la tangente en un point Ai de la coni- 
que (S) est aussi tangente à la tangente en A', où la droite AiP rencontre de 
nouveau (S), et que quelles que soient les sécantes AB, CD, le point d'inter- 
section des deux autres tangentes communes à (S) et (S') est sur la polaire de 
P par rapport à (S). 

Prenons pour triangle de référence le triangle conjugué k la conique (S) et 
ayant pour sommets P(j? = 0, ;/ = 0) et le point l't;/ =0, : = 0) d'in- 
tersection de la tangente en Ai à la conique et de la polaire de P. 

Nous suivrons une marche identique à celle que nous avons déjà suivie. 

Soient S = .t» — ?/' h- z^ = 0, H = Xar' -t- i^i/' -t- 2vxi/ = 0, 

les équations de la conique et de deux droites passant par P. 




28 'j 



r.ÉOMETIUE ANALYTIQUE 




L'équalion de la conique (S) est S' ^ S -t- H = 0. 

Soil y — ; = 0, léquabion de la tangente TA. En coupant (S') par celle droite, on a 

(I -vX)a-»-i-2vj-:H-ii:» = 0, 

qui doit avoir une racine double en — ; don 

(1) ' .,= _.(!+>,) = 0. 

Or, si Ton coupe par la tangente TA; à la conique (S) (y -+- ; — 0^, on a 

(l+),)a:«_ 2v.ru- h:' = 0, 
,r 
qui a aussi une racine double en — • 

Enfin en tenant compte de la relation (1), on peut mettre l'équation tangentielle de la conique ^S'; 

sous la forme 

(1 +X)(u' — v-> +11.!)— u[(X-+- ,u)« - 2vt)l = 0. 

ce qui montre que le point de rencontre des deux autres tangentes, 
(X -I- ;ji)u — 2vu = 0, décrit la droite ; — 0, polaire de P. 

Remarques — Si S est une parabole, et si l'on mène le diamètre do 
la parabole passant par P, PAi, on voil (jue la roniqiie S' tangente à la 
tangente en Ai à la parabole el ayant P pour polc double avec S e.st 
une parabole (elle est tangente à la tangente à S à l'aiilrc exlrcmllè du 
diamètre, c'est-à-dire à la droite de l'infini). 

lic(iproi|iuim'nt 1* étant i>ole double de deux paraboles, cl .V|A- les 
points de contact d'une tangente commune les droites P.\i, P.\j sont res- 
pectivement parallèles aux axes des paraboles. Il s'agit bien entendu de 
celle des tangentes communes qui ne rencontre aucune des deux autres sur la polaire de P. 

V.\8.Mi;it. 

Solution néoinetrique. — l.i solution de ce problème résulte immédiatement des considérations suivantes: 
Soient dfux coniiiues circonscrites au quadrilatère AlîCl). Le triangle diagonal .M\P sera le triangle auto- 
polaire coninnin il ces deux coniques. 

Supposons qu'on mène les (pialrc tan- 
gentes communes à ces deux c(uii(pies, on 
aura un quadrilatère dont le triangle formé 
par les diagonales sera le triangle autopo- 
laire des deux coniques; le ti-ianglc M.NP 
sera donc le triangle forme par les trois dia- 
gonales de ce quadrilatère. On aura donc un 
quadrilatère a'fiyo tel que les crttés opposés 
lô el i-," '/ ^^ T^ '"* couperont sur la droite 
NP polaire ilii point M par rapport ,'i toutes 
les coniques du faisceau passant par AH(Ml.('); 
les sommets opposés i, f seront sur la 
pidaire du point N, les sommets ^, ? sur la 
polaire du point P. 

Si un des cotés «3 e.st parallèle à la po- 
laire lin point M, le côté opposé fi lui sera 
également parallèle. 
Ceci posé revenons au problème : 

!• Si le point M est sur le graml axe d'une ellipse et qu'on mène p.ir ce point deux sécantes quelconques 
(il n'est pas nécessaire qu'elb-s soient rectangulaire»), ces deux sécantes coupent l'ellipse aux points A, U, ('-, I). 




Il) O'» item [Milnt< «l'inliT^erllKn R cl S sont ronjunui-s linriii<>nii|iir's île P cl N, ce qui permet <lc coiislrulro facllc- 
minl lp r|u.i>]ril.it^rc des (.iiiKeiilcs lorR<|Uon «c donne une de ce» tangenlcs. 



PHYSIQUE 285 



Si l'on mène une conique passant par ces points et tangente à l'une des tangentes menée à un des sommets du 
grand axe, clic sera, d'après ce qui précède, tangente à la tangente menée à l'autre sommet du même axe. Les 
deux autres tangentes communes se couperont toujours sur la polaire du point M. 

2° Si le point M est quelconque, tout ce qui vient d'être dit sul>siste, sauf que les tangentes aux sommets 
du grand axe peuvent être remplacées par les tangentes aux extrémités d'une corde menée par le point M. 

CANS 

Solulion semblable : M. Sigma, k Pau. 

llounc soluliou plus gémVale : M. P. tRiiiiKn. 

Bonne? solutions : MM. G. Fauverxieb ; J. Mauchai.. 



PHYSIQUE 



969. — Une lunelle nslronomique a un objectif de dininrtre D = l'2a"="' el de distance focale 
œ = 60". 

1° Quel est le grossissement minimum q ipii utilise toute la surface de l'objectif^ en supposant que la 
pupille de l'observateur ait un diamètre a = 3°"° ? 

2" Quel est le grossissement minimum y qui rend apparents sur l'olijet le plus possible de détails, sachinl 
que l'angle que peut dédoubler un objectif aplanétique varie en raison inverse de son diamètre, et qu'un 
objectif de 13ci" dédouble 1" ? 

3° Ayinl mis ù la lunette l'oculaire qui produit le grossissement y, on se sert de l'instrument pour pro- 
jeter l'image du soleil sur un écran placé à y'" de l'oculaire. Quelle fraction du diamètre du soleil occupe 
sur celle imnge une longueur de 1™, et quel est Véclaircment de celte image, sachant que le soleil a environ 

— degré de diamètre apparent cl que son pouvnir éclairant équivaut à 75000 bougies-mètre ? 

1° Pour que tout l'objectif soit utilisé, il faut que le cercle oculaire soit plus petit que la pupille. Or 
le diamètre du cercle oculaire est égal, d'une manière générale, au quotient du diamètre de l'objectif 

par le grossissement G ; la condition énoncée s'exprime donc par l'inégalité — <C«, ou G > — > et 

le grossissement mminium demande est o = — = — = 417. 

■^ a 3 

13 

2° L'objectif dédouble un angle t qui vaut un nombre de secondes égal à — — • A cet angle cor- 
respond sur l'image objective une longueur sep; cette longueur s(;ra vue dans l'oculaire sous l'angle 
-TT' /"désignant la distance focale de l'oculaire, et cet angle doit être supérieur à l'angle « que l'œil 

dédouble. Nous devons donc avoir —i- > a, d'où ^ ou G > — • Or z vaut environ 60 secondes. 

D / / * 

Donc Y = 60 — = u77. 
' 13 

3° Au grossissement 577 correspond un oculaire de dislance focale -^^^ =0°')10*- Ce serait une 
distance focale énorme pour un oculaire, mais n'oublions pas qu'il s'agit d'un grossissement minimum. 

Pour projeter, à l'aide de cet oculaire, l'image objective sur un écran placé à 5"", il faut le placer ."i 

1 1 1 

une distance x de cette image telle qu'on ait 1 — , d'où x = G", 106 : il faut donc à 

X 3 0,104 
peine modifier le tirage. 

A une longueur de 1"' sur l'image projetée correspoml, sur l'imago objective, une longueur 

0,100 
IX— î-TT— == 0'",02l. 





281". QUESTIONS l'HOPOSÊES 



Or le diamètre apparent du soleil est — ^ cl son imago objective a pour diamèlre 

X60 = 4- = 0"',5236. 



360 c. 

La fraction demandée est ^ '. "... = — environ. 

0,b23(i 25 

La quantité do lumière q que l'objecUf reçoit d'une fraction l de la surface apparente du soleil se 

répartit finalement sur la surface s de la partie correspondante de l'image et produit un éclairement 

Or q est le produit de la surface de l'objectif par une fraction ). de l'éclairement solaire : 

q = ).. 73000 . -^ • ï^"- 

D'autre part * est le produit d'une fraction / de la surface de l'image objective par lo carré du gros- 
sissement de l'oculaire : 

4 \G / \ 0,106 / 
En remplaçant 7 et s par ces valeurs dans l'expression de e, on trouve 

<■ = 192 bougies-mètre . 

On peut arriver au monie résultat par un raisonnement différent. 

D'une manière générale, si l'on projette, à l'aide d'un système optique quelconque, une image réelle 

sur un écran, l'éclairement produit en un point de cet écran est le même, aux pertes par réflexion près, 

que si l'on substituait à l'objet et au système une surface lumineuse de même éclat que la source et 

représentant une section quelconque du faisceau qui converge vers le point considéré. Si, en particulier, 

k est l'éclat du soleil et 3 la section faite par l'oculaire dans un faisceau lumineux venu d'un point de 

l'astre, l'éclairement cberché est 

kl 

La section 3 est sensiblement égale au cercle oculaire ou, plus exactement, à une fraction de la 
surface - de l'objectif égale au rapport des carrés des distances de l'imago objective à l'oculaire et à 
l'objectif : 

• = (^)"- 

Or ~ — — 1,23 . D'autre part, l'éclairenionl prmluil pai- lo soleil ost /no, tu désignant sa surface 
4 

apparente ou -^/ — ^ | ; donc kta -^ 75 000 ou /, - 75000. — (-^ — ) ■ 

En remplaçant k et a j)ar ces expressions, on liouve pour «• la valeur déjà obtenue. 



-♦-- 



01 KSTId.NS l'Hdl'DSKKS 



1063. — ••Il roiihiilcre un pliin 1* cl une s|iliirc ilr rcnlir A, loiil ciilnrr d'un in'mr rrtir rlii pl.in , Soil 
• 1 l;i |iriij('r(ion du rr'iilrf do la splicro sur !<■ plan I'. 

J* Un diinariili' l'cqualuin ncnoralo (Ip> |iaral)oliiiilfs cirronsorils il la hplioro, passant l'U <• cl coupanl lo 
plan I' suivant une ellipse dtinl li's axes onl dos dircrlions données. 

2» Trouver le lieu dcn KOtnmel» do ces paralioloido.s. 

3- fin oonsidorc les .sphères insrrilos dans l'un de ers p^irajmlo'idos et, en parlioulicr, oollo qui passe en 0. 



ÉCOLE CENTRALE 287 



Trouver le lieu du cercle de contact de cette sphère avec le paiaboloïde et le lieu de son centre. 
4" Trouver le lieu des fovers de cesparaboloïdes. 

E. H. 

1064. — Par un point P on mène les quatre normales PA, PB, PC, PD à une ellipse. Les cercles circon- 
scrits aux triangles PAB, PCD se coupent en P et en un autre point Mt ; de même les cercles circonscrits aux 
triangles PAC, PBD se coupent en Mo; puis ceux qui sont circonscrits aux triangles PAD, PHC se coupent 
en Ma. 

Trouver le lieu des points P pour lesipiels les trois points M,, Mj, Mj sont en ligne droite et, dans ces con- 
ditions, l'enveloppe de la droite .M, .Mo .M3. 

Vas.nier. 



DEUXIEME PARTIE 



ECOLE CENTRALE DES ARTS ET MANUFACTURES 



Nouveau programme d'admission. 

Le programme des connaissances exigées pour l'admission à l'École Centrale vient d'être l'objet de 
profonds remaniements. Le nouveau programme, approuvé le 19 août par le Ministre du Commerce et 
applicable à partir de l'J02, a été publié au /iullelin de l'Enseignement technique (I) du 24 août. 

Voici quelques renseignements généraux sur l'esprit dans lequel les modifications au programme 
ont été faites : 

Les modifications apportées au pro(jramme ont été faites dans te but de le simplifier, de le préciser et de le 
développer dans le sens dans lequel les élèves eux-mêmes sont appelés à se diriger après leur entrée à l'école. 

1" Simplifications. — On a supprimé toutes les questions pouvant donner lieu à des discussions sur les 
principes : ces quolioiis qui touchent à la philosophie des mathématiques seraient intéressantes et utiles pour 
des élèves se destinant a l'enseignement ; elles ne peuvent même pas être comprises d'un élève de lycée. Per- 
sonne ne songerait à demander à des candidats à l'Ecole Centrale d'approfondir et de justifier les définitions de la 
ligne droite et du plan, de discuter le postulatum d'Euclide : les notions simples et intuitives fournies par le 
bon sens ne peuvent qu'être obscurcies par des discussions prématurées. La même prudence s'impose en arith- 
métique, en algèbre et en mécanique. 

C'est ainsi que, pour l'algèbre et l'arithmétique, on a supprimé du programme toutes les questions pou- 
vant donner lieu à des développements ou à des interrogations sur les nombres inconunensurables en général, 
sur l'idée générale de limite, sur la continuité en un point ou dans un intervalle, sur l'existence des dérivées et 
des fonctions implicites.. .: ce genre de notions se trouvera précisé par les exemples particuliers qui se présen- 
tent dans le cours; l'idée d'incommensurable par le rapport de la diagonale du carré au côté ; l'idée de limite 
par les progressions géométriques décroissantes, les séries, les dérivées... ; pour éviter toute difficulté pour la 
continuité on a indiqué au programme que lidée d'un trait continu pour la représentation graphique de la fonc- 
tion suffirait à définir la continuité ; on a, dune façon générale, introduit dans toutes les questions d'analyse 
et d'algèbre la représentation graphique ; par exemple, on a indiqué que, pour le théorème des accroissements 

finis, — r-— = f'{c), on peut le déduire de cette remarque que, sur l'arc de courbe y=:f[x) entre les 

deux points x=.a et x=b, il existe un point x=:c oii la tangente est parallèle à la corde, pourvu que la 
dérivée remplisse les conditions connues ; de même la représentation graphique doit jouer un rûle fondamental 
•dans tout ce qui touche à la théorie des équations à coefficients réels, thi'orème de Itolle, méthodes d'approxima- 
tion de -Xewton et des parties proportionnelles. . . 

Pour les séries, on ne demandera iiue l'étude des séi'ies dont la convergetii'e ou la divergence puisse s'étu- 
dier par l'application ilirecte des théorèmes indi(]ués au programme. 

En mécani(|ue, les inlcrrogalions ne porteront pas sur les principes. Les candidats devront être exercés aux 

(1) Il a paru aussi au Journal officiel, mais avec une uiultitudc d'erreurs. 



288 ÉCOLE CENTKALE 



qii)\slions du |iruj;rainiiu> accompa.iriK'-es d'appliralioiis ,sMiipli',s ; par i-xeinph' les foiidilions ijùncralcs d'éqiiilihre 
d'un corps solide dovi-onl l'aire appliquées aux cas simples d'un corps solide sollieile par deux forces, par trois 
forces, par des fones parallèles, par des forces daii> on iiiriiie plan. . . 

l'ne autre siinpliliration «In proiîranime a consislc à supprimer les petites questions traitées par des métho- 
des spéciales cl conipliiiciées, quand il existe des nu'llioilcs f;énérales plus simples. 

Enfin, une dernière simplilication en mathémaliques a consiste à diminuer en ;;éométric analytique la place 
excessive prise par la théorie des courbes et surfaces <lu second ordre, principalement en supprimant des ques- 
tions relatives à ces courbes ou surfaces rapportées à des axes quelconques. On a supprimé toutes les formules 
fîénérales qui ne sont que des exercices de mémoire ou des jeux d'écriture ; exemples : condition de contact 
d'une droite et d'une coni<iue, écpiation quadratique des tangentes menées d'un point, e(|uati(in (juadratique 
des asymptotes dans l'équation générale, théorie générale des loyers cl des directrices. . . 

De même, dans l'espace, on a supprimé ce qui se rapporte à la réduction de l'équation générale du deuxième 
degré ; par contre, on a précisé les points sur lesquels portera l'élude des quadriques avec les formes réduites. 

Pour éviter de charger la mémoire de l'ormule^ eniiipliiiuées, on a spécilié en géométrie aiialyticpie que, 
dans toutes les questions relatives aux angles et aux distances, on emploierait les coordonnées rectangulaires. 

Dans le même ordre d'idées, on a supprimé les notions de sciences naturelles précédemment exigées. 

2» Précision. — 1,'ancien programme contient (juclqucs expressions trop vagues ou trop générales, de 
telle sorte que les professeurs, ne sachant jusqu'où l'examinateur ira, fatiguent les élèves à force de vouloir 
prévoir îles (luestions possibles. Dans cet ordre d'idées rentrent d'abiud des questions sur les principes ijui 
sont déjà écartées, puis des questions comme les sui\iinles: 

En trigonométrie : 

Application à la résolution de certaines équations trigonomélriqnes. 

En algèbre : 

Fonctions primitives qui s'obtiennent comme ciin>eqiienees iinmédiales des deri\ées ci-dessiis iniliquées. 

En gi'oniitrie analytique : 

Ilecherche des asymptotes à une courbe : application aux courbes algébriques. 

E<|uations générales de coniques assujetties à certaines conditions. Equations d'un plan assujetti à certaines 
conditions, etc. 

Ces (piestions ont été précisées et on a énuméré les applications demandées, ce qui allonge le texte, mais 
diminue le programme. 

3° Développement. — Enlin, on s'est proposé de développer le iirogramnie. Il y a aeliiellement une 
tendance à l.iiri' tourner toute la géométrie analytique autour de l'élude des courbes et surfaces du second 
ordre défiuirs par leurs équations générales et de la recherche de lieux géométriques arti/iciels ; les élèves 
apprennent par eii'ur des formules et des équations tout à fait inutiles. Comme nous l'avons déjà dit, on a 
supprimé dans le programme tout ce qui pourrait pousser les profes.seurs dans celte voie, où les élèves se 
ratiguciit sans aucun développement de l'intelligenre et acquièrent le dédain des questions simples et 
précises, des a|)plic.'itions numiTiques, des calculs entièrement terminés, beaucoup d'élèves sont incapables 
de construire une courbe définie par une équation uuiinTi(|ue explicite ;/ = l\x), de calculer les maxima, 
ininima, les points d'inflexion, etc. Un a, en conséquence, introduit quelques (piestions qui obligeront les élèves 
à approfondir la représentation d'une fonction par une courbe sur des exemples nuniériipies et à pousser les 
calculs jii!i(pi'au bout. C'est pourquoi on a divi.sé la [laitie du programme relative aux courlies en trois parties : 

A) Elude des courbes définies par une équation explicite y — f(x), cas très important au point de vue des 
applications ; 

II, Elude des courbes telles que les coordonnées d'un de leurs points soient exprimées en fonction d^un 
paramètre, cas qui se présente constamment en cinémalii|ue; 

G) Courbes deHnics |iar une é(|uation implicite, c.'is sur lequel portaient presque toutes les questions de 
l'ancien prngramme. 

En trigonométrie on a ajouté la formule <lc .Moivre et la formule d'Euler 

e" ^ c(ps j- -+- 1 sin X. 

l'our établir cette formule, un remarquera que, en prenant la dérivée de 

y — l,(cos X ■+- i sin x) 
par le» règles ordinaires et réduisant, on trouve 

v; = ' ; 
on en conclut y = ir -t- C, 

cos X + I sin j- = Ae", 
cl en faisuiit « = 0, A = 1 . Il ne sera soulevé aucune dilticulle au sujet de cette demoiislraliiiu. 



ÉCOLE CENTRALE 289 



Enfin le programme se trouve (^oniplrté, dans lésons (iiio nous avons indiqui', par l'introduction de quelques 
noiions de cinématique et de mécanique. 

Si pour les parties déjà anciennes et depuis longtemps classiques du programme, on a tenu à le préciser, à 
plus forte raison en est-il ainsi dans ces parties nouvelles. 

Ce qu'on a voulu tout d'abord, c'est que de futurs ingénieurs acquièrent le plus tôt possible quelques 
notions précises sur les machines les plus simples et que, sur chacune d'elles, il leur soit montré clairement 
([u'on ne peut pas gagner à la fois en force et en chemin parcouru, ce qui n'exige en aucune façon qu'on leur 
donne et surtout qu'on leur développe la notion du travail mécanique. 

Galilée, sans cette notion, pouvait déjà dire à ses contemporains que celui qui chercherait un dispositif 
mécanique ayant par lui-même la double vertu de faire gagner k la fois de la force et du temps ne mériterait 
pas d'avoir du temps, parci' qu'il l'emploierait trop mal. C'est ce que les machines comprises au programme 
suffisent à faire concevoir. 

Si ce but avait été le seul utile, le programme de statique y eût suffi. Si l'on y a ajouté les premiers 
éléments de la cinématique el de la dynamique du point, c'est surtout en vue de l'enseignement de la physique, 
cette science dont l'importance en industrie grandit chaque jour. Les professeurs de physique n'ont jamais pu 
se passer d'employer des notions de mécanique plus ou moins déguisées. Il a paru préférable de les donner 
franchement en les réduisant à ce qui est indispensable dans la physique élémentaire et restera indispensable 
dans la physique la plus industrielle, k savoir : la notion du champ de forces uniforme et celle du champ de 
forces centrales variant en raison directe de la distance au centre. C'est k bien en imprégner les débutants 
que s'attache le programme des ses premières lignes, dès qu'on a défini l'accélération. 

On ne demandera d'ailleurs aucun des théorèmes généraux relatifs à la dynamique du point. 

En statique, on a, dès le début, et contrairement à l'usage, introduit la notion du frottement. C'est la réalité, 
ce que chacun conçoit. Elle est de nature à donner aux débutants des idées beaucoup plus justes que l'abstrac- 
tion sur laquelle, d'ordinaire, on les tient peut-être un peu longtemps et non au profit de la claire vue des 
choses. 

Géométrie analytique. 

981. — l.es axes des coordonnées étant rectangulaires, on considère la conique C qui a pour équation 
1/2 — 2px — 0, et un point P (/-; son pl'in dont les coordonnées sont désignées par «, p. 

1° Former l'équation de la ligne S qui limite la région du plan dans laquelle doit se trouver le point P 
pour qu'il existe trois normales réelles et distinctes à la conique C issues de ce point P. Tracer la ligne S. 

2° Trouver le lieu S' du point P pour lequel l'une des normales PQ à la conique C passe par le 
milieu du segment intercepté sur l'axe Ox par les deux autres. Déduire graphiquement la ligne S' du tracé 
de S. 

3° Les pieds de ces deux dernières normales étant M et N, trouver le lieu V du pôle de la corde MN, 
quand le point P parcourt la ligne S'. 

4° Le pied de la troisième normale étant Q, trouver le lieu du pâle de chacune des cordes QM, QN. 

ii" Quel est le nombre des points P tels que deux des normales à C, issues de ce point, soient rectan- 
gulaires, et que l'une d'elles passe par le milieu du segment intercepté sur Ox par les deux autres? Cons- 
truction graphique de ces points. 

(Ecole Central!', concours de 1900, deuxième session.) 

1" Cette question relative à la ligne S qui est la développée de la parabole g^ — 2/jx = 0, est 
classique. Rappelons-la brièvement. 

L'équation aux (uihinnées des pieds des trois normales à la parabole issues de P(a, P) est 

La condition pour que celte équalion ait deux racines égales est 

C'est l'équation de la ligne S, développée de la parabole. Si le point P est dans la région négative 
de celte courbe, c'est-à-dire en son intérieur, les trois normales issues do P a la parabole sont réelles 
et distinctes. 



290 



ECOLK CENTRALE 



2° Soient j,, y, les coordonnées de Q. x,. »/., x„ ijj celles de M el N, ces Irois points étant 
les pieds des normales issues de P. 

L'abscisse du point de rencontre de la normale en Q avec l'axe 0.r do la parabole est (x, -+-/)). 
Celles qui sont relatives aux normales en M et N sont (jj -+-//; et {x^-i-p). Exprimons que l'abscisse 
relative à Q est la moyenne arithmétique des deux autres. On a ainsi 



i(X, -H p) = (Xj -h p) -H (X, H- p), 

2y? = yl -+- yl. 



ou 



l2X| — Xj -4- Xj, 



ou, encore, 

Mais d'après l'équation (1), on a 

(3) V'H-(î/j-i-y3) = 0. 

W î/i(y! -+- y») ■+■ yi}h = — '2p(» — ph 

(5) ViV-'î/:. = 2p-.3. 

On aura l'équation de la ligne S' en éliminant j/,, 7. et 1/3 entre (2), (3), (4) et (5). En remplaçant »/, -+- y, 
par — t/i, (2) et (4) deviennent 

2;/? = f?/!-^ !/3^' - 2(/oy3 = !/;-2i/.y3, 

(6) v; - - 22/5^3, 

(7) î/sys — y? = — 2/)(a — p). 

On est ramené à éliminer y, et yjyj entre les trois équations (5), (6), (7) ; (6) donne 

yiyj = — -^; (5) et (7) deviennent 

y=--4p=?, 3y;=4Ma_,,). 

L'élimination de y, entre ces deux dernières équations donne pour le lieu la ligne S', 

ii^-pï' 



(S') 



r- = 



27p 



0, 



Le tracé de la ligne S se déduit de celui de la ligne S en divisant l'ordonnée correspondante de S par 
s/'i. La courbe S' est aussi une développée de parabole : elle est la développée de la parabole d'équation 

y' = ip\^-^p)- 

11 y a lieu de remarquer que si l'on mène par P la parallèle PT à l'axe Ox de la parabole, les 
quatre droites PQ, l'T, P.M el PN forment un faisceau harmonique, PT étant la (lualrième normale issue 
de P à la parabole (dont le pied est à l'infini) ; il en résulte que la courbe S' est le lieu des points d'où les 
quatre normales issues de ce point forment un faisceau harmonique. 

3° La corde MN a pour équation 

X y l 

ip 

IL 

2p 

y(yî — yî) y»v» 
2,, ^ 2,j 
ou, après avoir supprimé le facteur (;/, — »/,), 

(8) 2px — y{y, ■+■ y,) -h y,y, = 0. 

La polaire d'un point (X, Y) par rapjiort A la parabole a pour équation 
(«; ;jx— ;/Y-+-7)X = 0. 

L'identification des équations (S) et (9} donne 

^'•) y.'/i == 27)X. 

ou, d'après (3) el (6), yi = — 2Y, y] = - hp\. 



V' 



1 



ou 



^y> — yi) • 



(y> — ys) = 0, 



ÉCOLE CENTRALE 291 



Le lieu du point (X, Y) c'est-à-dire la courbe V est donc la parabole 

(V) Y-^ = -pX. 

A" Les coordonnées (X, Y) du pôle de QM, analogues à (10) et (11), sont 

(12) y, + y= = 2Y. 

(13) y,y, = 2pX. 
La relation (6) devient, en y faisant j/j = — (y, -t- j/2), 

(1^) î/';= 2?/o(j/,-i-j/2). 

11 faut donc éliminer y, et y-, entre (12), (13) et (14). De (12), on lire y» = 2Y — y, ; alors (13) 
et (14) deviennent 

y,(2Y - y,) = 2pX, yi = 4Y(2Y - ?/,), 

ou rj\ — 2 Y)/, -f- 2pX = 0, ;/;+ 4Y?/, — 8Y- = 0. 

L'élimination de ;/, entre ces deux équations donne 

(4Y^-4-;jX)2-i-12Y^(pX — 2Y-) =0, 
ou 8Y* — 20pXY2 — ;j2x2 = 0. 

D'où y,^ (5±3^3);.X 

4 
Le lieu des pôles des cordes QM et QN se compose donc des deux paraboles 



(,3) y, _ (3v/3-h5);jX ^^ ^ _ jSv/S - 5)pX 



A 



— et > on a 



5° Si les deux normales PM et PN sont rectangulaires, comme leurs coefTicients angulaires sont 

iet-^ 
P V 

Donc, d'après (6), y\ = 2p-, J/i = ± p\/f. 

Les coordonnées du point Q sont donc l'un ou l'autre des deux points 

(•6) X, = p, y, = ±^^2. 

Les coordonnées des points M et N satisfont aux équations 

(i"?) ;/i + ?/;i = =F ?V2, y2»/3 = — p-- 

D'où l'on déduirait y^ et i/3, par l'équation î/2 ± pys^'^ — p- = 0. 

Reste à trouver les coordonnées a, p du point P correspondant au point (16). En substituant les 
valeurs (16) et (17) dans (4) et (5), on a pour a et fl 

m . = ¥. P=±^- 

Ces deux points sont faciles à construire. 

Il est à remarquer que la normale au point (16) rencontre la parabole au point (x — ip, y = ^p^-2), 
qui est le point d'intersection de la parabole et de sa développée. 

On peut traiter la question d'une autre fa(;on. On sait que la courbe d'où l'on peut mener deux 
normales rectangulaires à la parabole est la parabole 

(19) 4v' = 2pj — 3p». 
Nous avons vu que l'équation de la courbe S' était 

(20) ■ t=. '^'-Py. 
^ ' ■' 27p 

Les points demandés sont donc à l'inlersrction des deux courbes (19) et (20). En éliminant y-, on a 

l'équation 

(21) 16(a; — p)^ = 27/;'(2.r -3/>). 



292 ECOLE CENTRALE 



On vérifie que x = -^ est racine. Les deux autres racines sont données par l'équation 

8x* — ipx — l3p' = 0. 
Ces racines sont 



on en déduit pour y. d'après (19), 



x= ^(i±3v^); 



V' = -Ç (±3v/3-5). 



En prenant le signe ■+, on a un premier système : 

(22) V' = -Ç (3»/3 — 5), avec x = -Ç (1+ 3v/3), 
qui donne deux points réels, faciles à construire : 

^=^(l-^3v^), y = +:|v/6v^-10. 

En prenant le signe — , on a 

(23) y- = - ^(3v/3 H- 5), avec a; = |- (1 - Sv^â), 

qui donne deux points imaginaires conjugués. 

En résumé, il existe quatre points réels et deux imaginaires satisfaisant à la condition énoncée, 
savoir : 

( 1 = ^. l x=.|-(l-^3v/3). ( x=^(l_3v/3). 

y=^^' ) î/ = - f-v/6v/3-io, j V = dz « |- v/ëTSTTô ■ 

E.-N. BAHISIEN. 
Bonnes soluliuns de MM. J.-Il DirADT ; J. Mabchal • P^gorikii ; SooLS. 



Trigonométrie. 

CALCUL. 



985. — Donner l'expression générale des angles x qvi satisfont à l'équation 



f t 



tg-' - = sin' i.cos ' P, 

sachant que % est le plus petit des angles positifs tris que 

cotg'a = —0,3548568, W que p = 13-2°2o'21',ll. 

ii:cole Centrale, concours de 1900, deuxième session.) 
L'équation donnée peut s'écrire 

•^ v'cos' ? 

Le second membre a une valeur positive. On calculera au moyen des tables l'angle aigu o, donné 

^cos' 3 
par la formule tgç = — ■ , et on sera ramené à résoudre l'équation 



Vsin^ 



X 



ig-s- = ig?; 



doù -=<f-^hr., x = 2o4-2*«. 



ALGÈBRE 293 



L'angle ? est donné et égal à ISâ^ab'Sl",!! ; son supplément est p' = 47''34'38",89. 

L'angle a est un angle compris entre 90° et 180°; son supplément «' est donné par l'équation 

cotg^ o! = 0,3548368, 
d'où on déduit J = o4''42'8",9 

et a = 123°17'5l",l, 



on calculera l'angle o par la formule 



- = 62»38'o5",5o ; 



v^COS^ P' 



V/sin^ 



2 
obtenue en remplaçant dans la formule donnée cos ^ par — cos ^'. On trouve ainsi 

? = 38''23'2o",4o, 
d'où X = h-.mO" -+- 76°46'50",9. 

Bonne solulion : M. 1'. Thonet. 

♦ 

ALGÈBRE 



994. — Montrer que toute équation du troisièvie degré 

x^ -+- ax- -t- iaî + c = 
peut se mettre de deux façons sous la forme {x — a)(a? — ^)= = h, a, ^ et h étant certaines constantes. 

Dans quel cas le nombre a de la première forme est-il égal au nombre ? de la seconde? Calculer alors 
les valeurs de a, ^ et h et résoudre l'équation du troisième degré. 

Si nous divisons le polynôme du troisième degré a;" + ax- -h 6x + c par a; — a, nous obtenons 

l'identité 

/■^x) ^ x' -+- ax^ -^ bx -^ c ^ {x — a)[a;^ + (a + a)x + a^ + aa -h 6] -(- /"(a) . 

Nous avons donc à exprimer que le trinôme x^-i-(% -h a)x + a'^ + ax + 6 est un carré parfait et à 
prendre /( = — /"(i); la condition ainsi trouvée est 3x2-(-2aa -i- 4/> — a' = 0; elle donne deux 
valeurs pour a, réelles ou imaginaires, et rien n'est plus simple que de discuter cette équation quand on 
suppose que les coefficients de l'équation cubique donnée sont réels. Pour ces valeurs de a, l'identité 
écrite au début devient 



/•(a-) = (.r-a)(^ + ^^y + /-(a); 



• a 



nous avons donc B = — 

2 

En remplaçant, dans l'équation qui donne a, ce nombre par — a — 2p, nous obtenons l'équation 
qui donne p, 3?*-H 2a? -{- h — {); c'est justement l'équation obtenue en annulant la dérivée du poly- 
nôme cubique donné. 11 est facile d'expliquer ce résultat : posons en effet X — P = X ou a; = ?-+-X; 
nous aurons 

rix} = f{?-i-\), 

si donc nous voulons la forme indiquée, il faudra prendre /''(jî) == 0. 

Nous avons reçu d'ailleurs d'un de nos correspondants une généralisation très simple de la question. 
Elle consiste en ce que f{x) étant un polynôme entier quelconque, on peut toujours le mettre sous la 
forme (x — ^)'+'F{a;)-H o(a-), ip(x) étant un polynôme de degré i — 1. 11 n'y a qu'à procéder comme 



294 GÉOMÉTHIK ANALYTlQUIi 



précédemmonl cl annuler /^'')|i; on trouve ainsi, dans le cas où f(s) est du degré n, n — i valeurs 
de ^, par suite n — i façons de faire la Iransforinalion. 

Pour traiter la seconde partie de la question, appelons a et a les deux valeurs de «, et ?, ^' les 
valeurs correspondantes de ^; nous aurons 

a + oi , n -t- a' 

T 



P=--^^' ?' = -^- et « = ^^'. 



2(1 . a 

parsuite, i!ï-+-a' + 'ï = 0. Dautrepart, i+i= — ; parconsequent i — —■ Il en résulte 

o o 

que, dans ce cas, les deux transformations sont confondues et qu'on a en outre » = fi. La condition 

, , „. „ . , „, «.ta/» - 2a' - 27c ab-9c 

pour qu il en soit ainsi est donc a- — 3o = 0; puis n = — /(i) = ^ = — - — i en 

tenant compte de ce que a- — 'Sb. L'équation cubique prend donc la forme 

ab — 9f 



et l'on en conclut 



hîï- 



a -.r/nb — Qc .■'/ab — '.k ..'•'/ab — dc 

x^j=\—^— ou jV— y— ou /\/— 9— ' 



3/rt6— 9c ... , . ,.. j .^ ai — 9c . ., , . 

y/ jr désignant la racine cubique du nombre — et _/, j- les deux racines cubiques 

imaginaires de l'unité. 

On peut apercevoir plus rapidement la solution de la seconde partie; car dire que i est égal à p', 
c'est dire que a et ^ sont les deux valeurs de ^, par conséquent que a est racine de la dérivée f'(:i)=0. 
En comparant ce résultat à réqualion qui donne a, on trouve de suite a'— 36 = et tout le reste 
s'ensuit. 

RooDO solulioD : M. J. Marchal. 
SolutioD sali'iraisaote : M. P. Pkgoribr. 



GÉU.MÉTKIE .ANALYTIQUE 



990. — Les points A, B, C étant fixes, par It et G on fait passer un cercle variable qui rencontre 
AU '■/ .\G en B' et C. Trouver le lieu du pôle de B'C par rapport n ce cercle. 

Prenons pour axes la droite BG et la perpendiculaire au milieu ; désignons par i'i la longueur 
BG et par x„, i/^ les coordonnées du point A. Les équations des droites AB et AC sont alors 



y y» „, y _ Vo 



et 



.r — a x^ — n x + a x^-^n 

el l'ensemble de ces deux droites peut i-tre représenté par l'équation 

{xy, — yx^Y - n' (î/ — y„)* = 0. 
In cercle quelconque passant par les points B et G a pour équation 

•r» + ;/' H- i' y —a^-O; 
ce cercle rencontre les droites AU et AG aux points B' fit C', et l'équation générale des coniques 
passant par les quatre points B, G, B', G' est 

Kx' -r- •/' -+■ 'i'^y - «'j ■+- ,'.'/>, .v-^u '• - »'\y — î/»'i' = 0. 

Pour n = — v'< 'c premier membre de celle équation est divisible par ;/ ; elle représente alors 
l'ensemble des deux droites BG et BG'. lin divisaiil par j/, nous obtenons l'équation de la droite BG', 

— trx„>i, ■+ y{xî — ;il — a*) -+ iVo(a' - \'/(.) = 0- 

La direction de celle droite est constante quel que soit >. Ge résultat élail i\ prévoir, car les droites 
UG el H'G' sont antiparullélcs par rapport à l'augle A. 



GÉOMÉTlllE ANALYTIQUE 



295 



Les coordonnées du pôle de la droite B'C par rapport au cercle sont fournies par les équations 

.1- ?/-f-^' _ '-y — '^'' 

— 2a'„î/„ ~ xl — yl — a' ~ -2ij„{a"- — hj,)' 
On obtiendra le lieu de ce pôle en éliminant X entre ces deux équations. 
Des équations fournies en égalant successivement le premier rapport à chacun des deux au 1res 

on tire aisément 

_ x{xl — yl — a')-^2x„y,y «'-(.i. _ j^j 






et 



l 



^.Vu — î/-i-a 



Par suite, l'équation du lieu est 

(■'■^0 — ?Fo)Wa"o- 



yl — a') -+- 2ar„j/oiyj h- 2a-^j„y„(x- — x. 



0. 



Celte équation représente une hyperbole dont les directions asymplotiquss sont OA et une perpen- 
diculaire à la direction constante de B'C De plus on voit sur l'équation que l'hyperbole passe par les 
points de rencontre des parallèles aux asymptotes menées par l'origine avec la perpendiculaire issue du 

point A à la droite BC. 

J. MARCHAL. 

Boimes solutions par MM. E. ^. B.4I\isien ut Soûls à Coiuiom. 

Solution géométrique. — La droite PP' qui joint les pôles 
de BC, B'C par rapport à un cercle passe par le point fixe A. D'autre 
part, B'C antiparallèle à BC dans l'angle BAC, a une direction fixe, 
de même que OP' qui lui est perpendiculaire. Il est alors visible que 
les droites AP', OP' sont les rayons homolugues de deux faisceaux 
homographiqucs, l'une ou l'autre de ces droites déterminant le cercle. 
Le lieu de P' est donc une hyperbole passant en A, et dont une 
asymptote est parallèle à OP'. 

vasnœr; 




995. — On cunsidi'i-e un diamètre fixe AB dmis un cercle donné. Soient M un point variable du cercle, 
P sa projection .sur AB et A' le symétrique de A par rapport à P; soit aussi Q la projection de A sur MA'. 
1° Trouver le lieu de l'ortltocentre du trianyte AMA'. 
2° Trouver l'enveloppe de la droite .MA' et le lieu du point Q. Con'ilruirc ces courbes. 

Prenons pour axe des x le diamètre AB et pour axe des y la tangente au cercle en A et dési- 
gnons par a le rayon du cercle. L'équation du cercle peut s'écrire 

(x— a)'- -+- y-— a- = 

et les coordonnées du point M peuvent se mettre sous la forme 

X — a -h a cos tp, )/ = o sin o . 

Si nous posons ^ = tg -^ ^ nous aurons 

2a 2a< . 




y 



1 -+- /-^ ■ " 1 -H f 

par conséquent, le coeflicicnt angulaire de AM est égal à / 
ce qui, du reste, est évident géométriquement; le coefficient 

angulaire de MA' est donc 



1 



t et celui de AQ, — ! les coor- 



données du point A' sont 



ia 



0. 



1. Le point H, orthocentre du triangle MAA', est à rintcrscclion des deux droites 

2n X . 

— > '/ = — 

■ l' •' t 






296 



QUESTIONS PROPOS KKS 



par suite, le lieu de ce point s'obtient en éliminant t entre ces deux équations. La seconde donne 
l = — , et, en portant cette valeur dans la premii're, nous obtenons 

y 

(1) x{x' + y'-)-'2ay^ = 0, 

équation i\a\ représente une cissoïde droite ayant pour point de rebrousscmenl le point ni pour 
tangente en ce point Taxe des x, y = ; l'asyniptole do celte courbe est la droite x — ia—0, tan- 
gente au cercle au point B. 

Ce résultat est évident géométriquement, car si on prolonge AQ jusqu'à sa rencontre avec le cercle, 

en t', et avec la tangente en B, en U, la droite AG est perpendiculaire à BC; donc BC est parallèle 

à MV et, par suite, symétrique de AM par rapport au diamètre du cercle perpendiculaire à AB : il en 

résulte que lare BC estégalàl'arc AM et que leurs projections sur AB sont égales ; les deux segments 

Ail et CD, portés par la même droite, et qui ont des projections égales sur AB, sont égaux, et l'on 

retombe sur la définition même de la cissoïde. 

'tat 

2. (Hiant à la droite MA', elle a pour équation >i-\-tx — = 0. Il a été démontré dans le 

1 H- <^ 

n° de décembre 18!t9 de la Revue (prob. 842) que celte droite enveloppe 
une hypocycloïde à trois rebroussements Iritangente au cercle donné et, plu- 
sieurs fois, il a été donné une démonstration géométrique de cette propriété 
basée sur ce fait que la droite MA' rencontre le cercle en deux points M et N 
qui se déplacent en sens contraires, le second avec une vitesse double du 
premier, fait qui se constate immédiatement dans le cas actuel. 

Le lieu du point Q est la podaire de celle hyperboloïde pur rap|)ort à 
l'origine; il s'oblienl en éliminant / entre l'équation do MA' et celle de .Ml ; 

X 

celle-ci donne l = — > et, en portant celle valeur dans la première, nous 

avons 

(2) (x* + »/2)2 _ ^axy^ = 0. 

Cette courbe, qui est fermée et symétrique par ra|)porl à Ox, se cons- 
truit immédiatement à l'aide des coordonnées polaires ; il sullit de faire varier -jj de à -^ dans 




l'équation 



p =z ^a sin' u) cos w, 



el de prendre la symétrique par rapport k Ox; p est nul pour w = el m—-— et maximum pour 



une valeur to = a donnée par l'équation 
La courbe a la forme ci-dessus. 



tga= v^. 



G. BOUJLi, lycée d'Orléans. 

BoDDOS solutiOD» : MM. J. Mabciial ; Sooi-s, à Coadom ; (',. Kaivkknikk ; T. Lemoïm:, h Trojcs. 



QUESTIONS PHUI^OSÉES 



1065. — Ktiidier la série dont le terme général csl 

1066. — l.ieu des foyers des hyperboles équilnlén-s qui passent p.ii un poini (l\c A il adiiullonl comme 



ic non Iransverse une ilroile doimre I). 



V. TlUlHKR. 

Le Hédacteur-Gérant : 11. VUIBEIIT. 



lAR-LS-ucc, mr. comtb-ucuiit. 



REVUE 



DE 



MATHÉMATIQUES SPÉCIALES 

12e Année. -- N» 1. Octobre 1901. 



PREMIERE PARTIE 



SUR CERTAINES RELATIONS INVOLUTIVES 

par M. Lelieuvre, professeur .lu l\cie du G<iuii. 



On peut, d'une infinité de manières, former une relation R(x, »/) = entière et symétrique ou 
involutive, entre deux variables x et y, qui soit vérifiée quand on y remplace x et y par deux quelcon- 
ques des racines d'un polynôme entier f{x') ; il est clair, en ellet, que quelle que soit lu (onction entière 
ç(j?, y), la relation 

R(a^,»)^ /•Wp(^,y)-/-(.'/)?(y,.r) _ ^ 
x — y 
répond à la question. 

1. Appelons ordre de R(r, j/) son degré par rapport à chaque van-iable et soit m le degré de /(i) ; 
toute relation R{x, y) = 0, véritiée par deux quelconques des racines du polynôme peut être ramenée 
à une autre, également entière et symétrique, d'ordre q < m : il suflit, en effet, de la diviser successi- 
vement par /'(x) et f[^y), ce qui donne 

Rix, y) ^ Af{x)/\,j) + Bf(x) + Cf{y) - S(.f, y), 

A, B, C étant entiers en x et y, et &{x, y) entière et symétrique. Alors, x et y étant deux racines du 
polynôme f{x), la relation R = peut se remplacer par S =; 0, qui est d'ordre m — 1. 

Cherchons alors la forme générale des relations involuliues d'ordre m — 1 ryui sont vérifiées par tout 
couple de deux racines d'un polynôme f(x) de degré m. 

f\x\ 
Soit a une racine du polynôme : les polynômes entiers en x, R(x, a) et -^-^- doivent avoir les 

mêmes racines; si je suppose réduit à l'unité le coellicient de a;-" dans f{x), le quotient (p(a) des deux 
polynômes sera le coefficient de a„,~' dans R(a:, a), c'est-à-dire un polynôme entier en a de degré 
m — i, et on aura 

x — a ■ 
Par suite, le polynôme en y {x—xj)\\{x, y) — /'(x)o(i/) est annulé par les racines y de f[y) : il 
doit donc être divisible par f(y), quel que soit x, et le quotient sera manifestement — '^{x), d'où 
l'identité 

{x — j/)R(x, y) - /\xyjjj £= — f{y)o{x), 
c'est-à-dire 

(1) Rix,y)^J^fhll!hlMï(f^. 

■'■ - .'/ 

Réciproquement, la relation R(.r, i/) = étant déterminée par la formule (1), cherchons tous les 
polynômes F(x) de degré m tels qu'un couple quelconque de leurs racines y satisfasse. 



298 SUIl CEUTAINIÎS UKI.VTIONS INVOLUTIVES 

Soil a une racine d'un lel polynôme ; il pourra se niellre sous la forme 

F(x)^ (x - a)R(x, a) ^ f(x)^a) - o(x)/-(a). 

Donc F(i) appartient an faisceau linéaire de polynômes 'kf{x}-{- ix?(x), el inversement tout poly- 
nôme de ce faisceau répond à la question, car si x et y sont deux quelconques de se^ racines dislincles, 
on a 

Vl*) + i^?(-r) = 0, Ifiy) -h ixç(y) = ; 

d'où, >. et jjt n'étant pas simultanément nuls, f{x)'?iy) — ?WA!/) = 0; el comme ./ est dlIFérenl 
de ;/, 

X — 1/ 

La démonstration s'étend sans peine au cas de deux racines x el y égales. 

Resiaek'Le. — On peut, en particulier, remplacer dans la formule (1) o(x, par o[x) + ).f(x) et par suite 
supposer, si l'on veut, ç(x) de dcyrc m comme f{x^. 

2. Cherchons les relations qui doivent exister entre les coelficients de Rfr, y) pour qu'on puisse 
lui donner la forme (1); cela revient à considérer celles qui lient les coeHicients du numérateur 
f\^)'?{y) ~ ?WA!/) ; supi)OSons toujours ç(a:) de degré m — 1 et soit 

f{x) = a,„x'" -+- fl„,_,x"'-' -+-... -H flj,, <i{x) = B„,_,x'"-' -h . . . + R„. 

Désignons par A,., le coefïïcicnt de -iPy'' dans le numérateur considéré ; on aura 

(a) A,,, = a^,B, — ",D^, {p, q différents, pris chacun de à m, avec H„. = 0). 

En particulier, pour /) = m, 

A,i,0 ^= "liiDo, A/nl = "mU|, . . . A,n m— I = "mU , 1- 

Si je suppose a„, ^£0, ces équations donnent les coenirients B en fonction des A; l'un de ces 
coclTicienls est différent de 0, soil par exemple Hj, c'est-à-dire que A,„o est différent de ; on a alors, 
pour /)=0, 

Aoi = a„B, — «iBo, Aos = «oBj — "jBo, ••■ Ao,« i = "oBm_i — «m-iB„ 

d'où l'on lire les coellicients «i, «i, . . . a,„-i : 

a, = » a, = . • • • fl,„ 1 = • 

Ces valeurs doivent vérifier les relations restantes, en nombre ; ; en substituant dans 

l'une d'elles (»), on a 

Alors a, el a„ disparaissent, el il reste 

dans laquelle /J7 esluncouplede deux nombres de la suile 1,2,... (m — 1). Onaainsi équalions 

de condition entre les coefficients A, elle calcul qui vient d'être fait montre bien que, quand elles sont 
remplies, le polynôme /"(i) correspondant dépend linéairement d'un i)araniètre arbitraire. 

i<EiiuiijL-e. — La (picstion qui vient d'être Irailéc revieni il celle-ci: établir les relations iiui lieul les détcr- 
minanls lires d'un tableau rcrlanguluire : 

I do Oi "i ... n,„ Il 
I \K l'i 11. ... II... \\' 

3. (>e qui précedi- s'ap|ilique iinini-dialeinent :i la lln-oric (1rs poh/iiotics dr Ptmcelel. 

Supposons rju'il existe un polygone iirnpremcnl dit 1* de m cotés inscrit dans une conique (', el 
circonscrit & une autre ■': déterminons individuellement les points do C à l'aide d'un paramètre t; il 



ALGÈBRE 290 



doit existe)' entre les paramètres t„ et t de deux sommets quelconques de P une relation incolulive d'ordre 
m — 1 : en ell'et, si l'on se donne /„, tous les autres sommets sont déterminés d'une manière uni([ue ; 
soient ^, /2, ..-, ',„_i les paramètres de ces sommets, rencontrés successivement en parcourant le péri- 
mètre de P toujours dans le même sens; //. et /„,_/. sont, comme on s;ut('), racines d'une relation 

involutive du second ordre, I;.{/, /„) = Oi (lo'^t 'g premier membre, pour /.■ = -—, quand m est 

pair, devient carré parfait, de sorte que la et <„, se correspondent homograpliiiiuemenl; dune, si l'on 

pose 



K{t,t,) = I,(<,/„)I,(/,/„) 



',i^('>'o) ('" impair) 
y/'-.-l'>'o) (w paii') 



la relation R(<, <„) =0 sera bien une relation involutive d'ordre vi — 1 qui sera vériliée par les 
paramètres l et /„ de deux sommets quelconques ; si l'on appelle [(l) le pol^-nome qui a pour racines 
les paramètres des m sommets, on pourra donc mettre cette relation sous la forme 

(2) mt,)^t\m^^-^^'^f^'^^ =.0. 

Par conséquent iexistence du polygone P entraîne celle d'une infinilé d'aulres polygones analogues 
dont les sommets forment sur C l'involution /'(O + ^'çCO —0, où X est arbitraire (-). 

Conséquence. — Ce résultat facilite la recherche des lieux géométriques relatifs aux polygones P. 

Par exemple, soient f(i) — et a(0 = deux équations rlu Iroislcme degré déleruiinant les paramè- 
tres des sommets de deux triangles inscrits dans C: il existe toujours une conique F inscrite à la fois dans ces 
deux triangles ; alors l'équation générale qui détermine les sommets de tous les triangles inscrits dans K et 
circonscrits à r sera /"(() -+-Ào[() = 0, et permettra de trouver aisément des lieux géométriques tels que ceux 
de leurs centres de gravité, de leurs orthocentres, etc (>). 

Uemarque 1. — Il est bien évident que tout faisceau linéaire de polynômes de degré m, f[i) + Xç.(() = ne 
détermine pas toujours des polygones inscrits dans U et tous circonscrits à une niènie conique 1'; il faut pour 
cela que la relation involutive correspondante, 

it(., M = AO?(g-?(OA'o) ^ 0, 
{ — tfj 
se décompose, comme nous l'avons vu, en relations du second ordre (ou du premier). La relation Il(^ ;„) = 
équivaut d'ailleurs à l'équation tangenticlle de l'enveloppe des cordes de l'involution /'(() +Xç(^) = 0, X étant 
le paramére variable: car la corde (|ui joint les deux sommets (.') et {t„) a des coordonnées homogènes qui 
sont fonctions linéaires de t -\- tu et de «o ; il faut donc que cette enveloppe, de classe /»( — 1, se décompose 
en coniques, complétées par un point quand m est pair. 

Uemarque H. — La méthode suivie ici s'étend à beaucoup de (piestions du uièiue genre; pur exemple, elle 
s'applique au problème connu des tétraèdres inscrits dans une eiibique guuciie et conjugués par ra|)port à une 
quadrique. 

♦ ■ 

ALGÈBRE 



997. — On considère une équation du troisième degré 

ax ' ■+- 36x' 4- 3cx -hd — 0, 
dont on désigne les trois racines par a, % •(. 



(1) Voir dans la llevue d'octobre 1900 un articli; de M. Cahcn sur les l'olynones de l'oncelet. 

(2) Par luie voie toute iliirérente, M. Darbouv {Sur une rla:<se reinariindhlp de courIn'S et de surfaces alijébritiues, note II 
sur les polifijunes de l'oncelet, page 183) est arrivé à l'é((uation (2) et en a <li'duit le théorème de l'oncelet. M. Uarboux déter- 
mine individiielli'inent les cijfc.s du polygone, au lieu des sommets. 

(3) Voir un article de M. l'outené dans la Uecuc d'avril 1900. 



300 ALGÈBRE 



J'roueer un Irinome du sixonil degré 

f)(.r) ^ /).i-' -h iqx -h r, 
Ici que iiii) iiil simuUanéuienl 

()(,) = ^, 0(3) = Y. 0(v) 

ou 0(a) = T. (JIP) = «, K") = P 

Considérons les trois trinômes 



a. 



(x-!i)(x--r) 


(a--Y)(x-«) 


(,-_,)(x_p) 


(«-W(»--r) 


(?-ïKP-«)' 


(t-«)(t-?) 



qui s'annulent fliacun pour deux racines de l'équation du troisièmedogré elqui, pour la troisième racine, 
prennent la valeur 1 ; les deux trinômes cliercliés 0(.i) et 0,i.rj s'expriment immédiatement à l'aide de 
ceux-ci et prennent les formes suivantes : 

■ (x-^)(x-y) . . (.r-Y)(.r-a) (.r-.)(a;-p) 

'''W-^(, _p)(cc_Y) -^ ,^_y)(?_,) -^P(Y-a)(Y-^) 

Nous aurons ces deux trinômes en calculant la somme et la différence de et fi,. Désignons par P 

le produit (?— y)(y — i)(i — P), nous aurons 

v,^v2_p«)(a:— p)(a: — y) 



'I + 0, = 
et — f), = - 



P 

v(^-Y)»(x-fi)(x-Y) 
P 



La première expression est une fonction symélri(iue de a, p, 7, telle que chaque coelTicient du numé- 
rateur soit divisible par P : le coefficient de .r- est nul ; celui de ./■ est éjial à ^(P-t- vX/' —f) ou 
à ïfi-(^{fi — y) et cette quantité est égale à — P comme il est facile de le vérifier : enfin le terme constant 
eslégalà -?y(7'— P') ou à P(« -+- ? -l- f) • Par conséquent la valeur de -t- ''1 est immédiate, et 

, , 3* 

l'on a O-t-'J, = — X 

a 

La deuxième expression est le quotient d'une fonction symétrique par P ou par —P. Au nu- 
mérateur le coefficient de i- est i:(? — y)" ou 21'»' — ^ï^? ; sa valeur est immédiate, car 

, . . 18(6» — ac) 
ïj' = {ïii' — aSiS ; le coefficient de x' est donc — ^ — ^• 

Le coefficient de a- est - !(? -1- y)(P' — ï'). ou — 2(,? — y)(? — y)', ou finalement - 2LV -h ïi^3 ; 

or on trouve de suite ïi' = ïiSï' — -»*p et iii'p = ïaSup — 3a?Y ; le calcul s'achève dès lors aisé- 

64' — labc + (iH 

mecit et donne 9. , 

a» 

Knlin le terme constant a pour valeur -?y(P — y)^ ou ïi'?— 21V^'; nous avons 

et v,ov,fi= v,îpf^2»?Y-»; 

par suite, i:>»P — 2Si»P* = ï<ii:z' — 2(v»'')' "♦" 3'Î'Y-» ; 

le calcul s'achève facilemonl et donne 

_ (3/,V -\ncJr abd). 



Nous avons donc finalement 
< 



I) — 'I, = _— 2a;ft' — ac)x* -t- («6' — "aie -H a'i/jr -h 36'c — ■iïc' -+- abd\ , 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 301 



et il reste à calculer P. Or si nous considérons le résullant des deux équations 

1 1 

— fl = ax^- + 2ij,- -f- c = 0, — /; = h.V- -+- 2cx -+- cl = 0, 

o o 



A = 'ad -bc)- — i(nr-ly'){l),l — c-), 



ce résultant est le discriminant de l'équation du troisième degré et il a pour expression — — :r "(^^ — ?)' 



'il 



îî 
est dés lors achevé et celui de et <>, se fait ensuite sans dilliculté 



ou — "^ P'' comme il est aisé de s'en assurer. Nousavons donc «"P = v/ — ^7a. Le calcul de — Oi 



Remaruik. — Le calcul parliculièrenienl facile qui donne O + Oi peut être envisagé comme une consé- 
quence naturelle d'une méthode générale de calcul applicable aux fondions symétriques rationnelles, et qui a 
été indiquée d'une façon sommaire par M. Drach dans l'ouvrage qu'il a publié en collaboration avec M. Borel 
sur la Théorie des nombres et l'Algèbre supérieure, en 1893, à la librairie Nony. Voici en quoi consiste cette 

méthode : considérons une fraction rationnelle et symétrique de plusieurs nombres a, b, c, l, -^^ — ' •" ' 

</{a,b,...l) 

et supposons que / et jr ne soient pas symétriques ; s'ils ne sont pas symétriques par rapport au couple (a, b), 
en échangeant a el b, nous aurons 

f(a,b l) _ f(b,a,...J) . 

g[a,b,...,l) ~ yyb,a,...,l) ' 
par suite, chacun des rapports est égal à 

f\a,b,...,l) — f{b,a,...,l) 
ij(c:,h,...,l} — g(b,a,...,l) ' 

et les deux ternies de cette fraction sont divisibles par a — b ; elle prend la forme nouvelle 

g,[a,b,...,l}' 

Nous continuerons l'application de ce procédé, tant que le numérateur el le dénominateur ne seront pas 
symétriques par rapport à touslescouples {a,hj,(a,c),...{k, l), et celaarriveranécessairementàun cerlainmoment, 
puisqu'à chaque fois les degrés s'abaissent d'une unité. Nous serons ainsi ramenés au calcul de deu.x fondions 
symétriques entières ou d'une seule, si le dénominateur s'abaisse au degré 0, ou le numérateur. 

i:. II. 

lionne solulinn ; M. .1. Mabchai.. 

♦ 

GKOMÉTRIE ANALYTIQUE 



9Q2. — On donne (liiiisun j)liiiidi'u:c i.onir/ui's [^) et (S>') l'I un jjoinl l\. Soient P, Q et P', Q' les points 
de contact des tangentes menées de il respectivement aux conifjucs (S) et (S'). 

1" Montrer que les droites PP', PQ', P'Q el QQ' et les ((xtatre tangentes communes aux coniques (S) et 
(S') sont tangentes à une même conique S. P,, Qi, el P'i, Ql'i étant lespoinls de contact des tangentes menées 
d'un point lii à (S) el o (S') ; montrer qu'il existe une infinité de points H, tels que les droites PiP'i, PiQ'i, 
QiP'i) OiQ'i soient tangentes à I et trouver le lieu des points II,. 

2" /m conique (S) elle point R étant supposés fixes, ti-ourer l'enveloppe de la polaire de R par rapport 
à S, lorsque (S') varie en restant inscrite à un quadrilatère circonscrit à (S), ou circonscrite à un quadrila- 
tère inscrit à (S). 

1. Supposons les coniques rapportées h leur triangle autopolairc commun. Leurs équations langen- 

tielles peuvent s'écrire 

S = OM- H- bv- -t- cw- = 0, S' = a'u- -+- b'v^ + c'w"- = 0. 

Soit R = «m- ?f -+- Y"' = 

l'équation du point R. 



302 GËOMfiTRIl': ANALYTIQUE 



L'équalion(ani.'onliclle de renscmble des points P, Q esldela forme AS — R' = 0, celle des points 
I*, li, de in forme AS' — 11" = 0. La coni<iue obtenue en rotrancitant ces équations membre ;i 
membre : 

S = /.S— /.'S'=:0, 

satisfait bien aux conditions énoncées pour S. 

iiE)i\ni.iUR. — Si l'on suppose que les ùqualion< prorédonles représentent de véritables coniquf-s bitangenles 
à S et S' respectivement en l'O et l''Ct', on a celte |)roposition plus générale : 

Etant données deux coniques S et S' el deux autres coniques Si et % bitangentes respectivement à S et S', le 
pôle H des cordes de contact étant le même, les tani/cnlcs communes à & et S', et à S| et S[ sont huit droites tan- 
gentes à une même conique. 

On a, du reste, 

abc abc 

L'équation d'une conique S relative à unpoini R, [l\, = ï,i< -+- ?,v + -;,)r = 0) est ÀiS— XmS' = 0, 

avec 

a? ^î YÎ -, ' '■-' 

A, = H-V-+-— ' 'i 

abc 

Pour que lesconiques - et S, coïncident, il faut qu'on ait 

Or on a >., = s(a„ ?i. -;,) et >', = s' (a,, p,, v,), en désignant par s{x, ij, :.) = et s'(x, t/, :) = 0, 
les équations ponctuelles des coniques S et S'. Le point R étant fixe, le lieu des points Ri est donc 

la conique 

Ws — '/s'= 0. 

2. Supposons d'abord S' inscrite dans un quadrilatère circonscrit à S. 

Nous prendrons pour triangle de référence le triangle des diagonales du quadrilatère. Les équations 
des coniques ne seront pas cbangées, mais on aura les conditions 

o -h '' -t- c = 0, n' -+- II' -t- r' = 0. 

Les coordonnées «, v, w de la polaire de R par rapport à S satisfont aux équations 

dl <>S <)S 

au <)v ()w 

qui peuvent s'écrire 

In — l'a' )./; — 11/ le — l'c' 



ai 




t" 




■( 




-+- 




-t- 




II' 




b 




■<: 




l, 




X', 






l 


~ 


l' 





1 L 1. 

U V w 

Si on additionne les numérateurs, on a l{n -h b -h r) — }: (n' -^ b' + c') = 0. 
La somirie dfs dénominateurs est donc nulle : 

I' I' w 

L'enveloppf di's polaires de l\ est pai suile une roiii(|tie inscrile dans le triangle des diagonales du 
quadrilatère, et elle est la même puni- loiiles les roniques S inscrites dans ce quadrilatère, pourvu que 
le point \i soit fixe. 

Supposons maiiilenant S circonsciilc à un quadrilatère inscrit dans S. Pour conserver la forme 
des équations des conifpies, il nous faudra prendre comme triangle d;' référence, le Irian^'le qui a pour 
sommets le point do concours des diagonales, et les points de rencontre des côtés opposés du i|uadri- 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



303 



latère. On aura alors les conditions (') 

1 1 i ^ 111 

h7-+— =0, --++=0. 

abc a b c 

Les équations qui déterminent les coordonnées », v, w de la polaire de R peuvent s'écrire 

X V X X' X X' 



a' n 


b' b 
bl/v 


c' c 


a 
na'u 


T 

fl-'w 



des numérateurs étant nulle (>'( — +77- H- -r ) — '•'( — ~^T '^ )— ^' )' " ''°'^ 



La somme 
être de même de la somme des dénominateurs 



en 



P 



= 0. 



an'u bb'v cc'ir 

Multiplions les deux termes de chaque fraction respectivement par or, p-, y- et ajoutons les numé- 
rateurs ; nous obtenons XX' — X'X = 0. 
On a donc la condition 

a ^ Y 



an'u bb'v cc'ic 



= 0. 



l l { 

Or la première équation de condition -7 + -77 H — r ~ ^ Pcut s'écrire 



au 



bv 



Si nous éliminons 



ou, en posant 







aa'u 


' bb'v ' 


cc'w 


1 

aa'u 


1 

bb'v ' 


1 

ce' m 


entre les 


trois 






1 


? 


T 






a'' 


UJ^ 


f 






au 


bv 


cw 




a' 




p' 





= 0. 



T 



a ^ Y 



a'»-t- P'w + y'îW = 0. 
La polaire de R passe donc par le point lîxe {»', p', y')- 



VASNIER. 



latif. 



Kous avons reçu de M. L. Bickart une solution analogue à la précédente, le problème ayant d'abord élé Iransformé «n son corré- 
SolutioD satisfalsanle : M. ('• . Falvcrnier. 



993. — On considère un triangle CAR rectangle en et le cercle circonscrit à ce triangle. Soit C un 
point variable stir ce cercle. On demandr IVqunlion de In antique pansant aux quatre points 0, A, B, C et 
ayant pour centre le milieu de OA. 

1" Trouver le lieu du pôle de OR par rapport à rdli' conique. 

2° Trouver le lieu du point de rencontre de la droite AC arec la droite qui joint les points de rencontre 
de OA avec BC et de OC avec BA ; 

3° Trouver le lieu des sommets de cette conique et construire ce lieu. 



C) Ces t^quations de condition de même que relies du ras précèdent peuvent s'érrlre ainsi qu'il a été fuit parce 
que l'on peut prendre pour coordonn/cs de l'un des sommets du quadrilatère les nombres 1, 1, I, et, dans le premier cas, 
les mêmes nombres pour coordonnées d'un coté. 



30\ 



r, lîllM lîTIt I F, A N A LYTIQIT R 



Dosignons OA par 2n, OB par 26 {fig. I). 

I.'éqnalion ilu corclc ilonnt-, rapi)orlé aux ili'u\ a\cs indiqués, OA on cr ci OB ou oij, est 

X- + y- — i'ix — -llnj = 0; 
l'équalion de AC est >y -+-x— 2a = 0, X ùtanl un paraniMro variable. 
Il s'ensuil immédiatement que l'équation de la conique demandée est 

■/x- -+- ;/= — 2rtr — ihij) -H xQ.r/ -H r — ia) = 0, 
pour une certaine valeur de ji ; nous obtiendrons cette valonr en exprimant que les deux équations du 
centre sont vériliées pour les coordonnées (a, o) du point <•>, milieu de OA ; la première de ces équa- 

al 
lions, f'r =0, est vcrifioe identiquement, la seconde donne iji = ;^: par suite l'équalion de la 

conique demandée est 



<ù{.r- -H >/■ — 2'7r — 2//1/ 1 -4- 26.r').»/ + J — ±1) = 0. 



1. Les coordonnées du polc de OB vérifient les équations /",; 
X en facteur et fournil immédiatement le lieu demandé : 



(«) 



"y 



l,j — <ib = Ù 



ou 






0, /•: = o. 
0; 



I.n preiui(''re conlienl 



c'est la droite wi./ qui joint les milieux des cùlés OA et OU. 

Ce résultat était évident « priori, car la droite mm' qui joint le centre de chacune des coniques au 

milieu de la corde OB est dans chacune d'elles le dia- 
mètre conjugué de ttB, et, par suite, elle contient tou- 
jours le pôle de cette corde. D'ailleurs ces coniques 
passent toutes par le point D symétrique de B par rap- 
port a (0 ; elles forment donc le faisceau linéaire circon- 
scrit au parallélogramme ODAB ; dès lors, elles ont un 
système de diamètres conjugués fixe, celui qui est formé 
par les deux parallèles aux cùlés de ce parallélogramme 
menés par le point to. 

2. La droite variable Mil dont il est question dans cette 
seconde partie est la polaire du iioint do rencontre do 
OB et de AC aussi bien i>ar rapport au ri'rcie que par rap- 
port à Tune quelconque des coniques envisagées ; elle a 
donc pour équalion 2a(i/ — b) — l(ax -h by) = 0. 

Nous aurons l'équalion du lieu du point M en élimi- 
nant / entre cette équalion et celle de XC; cotte élimi- 
nalion est immédiate et conduit à 
iay- — in-x — in h y = (). 

C'est l'équation d'une conique i|ui passe aux trois points (i, A it lî. 

('e résullat peut encoie s'obtenir géomi-lriipionKnl d'une manière aisée. lîn effet, la droite HM 
pa<«Re par un point \i\e II, le polo <le OB ; d'autre part, le point P' on elle rencontre OB est le conju- 
gué harmonique de P parrapport aux points et B; les deux points V et I'', décrivent donc deux séries 
homograpliiquos sur OB ; par suite, les deux faisceaux IIM et AC sont homographiques, et le lieu du 
point M est une conii|ue cpii passe aux points A ri II , il est facile de voir(|n'el|o passe aussi aux points 
O et B et p:ir le milieu de la corde AU' parallèle ,"i (»ll. C'est donc une ooni(|iie dont on connail cin(| 
points, ce qui suflil .à la déterminer. Il est facile d'avoir les directions asymptoliques do celle conique 
quand file m a, r,ir lorsque le point M est ii l'infini, le point P est au milieu de AC ol rion n'est plus 
sin)[il(' (pie lie trouver li'S position'^ p.irtioulièrrs di^ Ai; pour lesquelles il en csl ainsi. 




H. g. ». 



(i) 



4- lixy ■ 



PHYSIQUE 



30S 




3. Forions les axes i)arallùleraent à eux-mêmes 
au point w; l'équation de la conique variable de- 
viendra 

al{x'- + !/- -4 X1J — a-)-{- 'ibix"- — a}) — Q. 



IL 

X 



IL 
y 



Les axes ont alors pour équation 
qui, toutes réductions faites, s'écrit 

Le lieu des sommets s'obtient en tirant d'ici la 
valeur de X et portant cette valeur dans l'équation 
delà conique; nous trouvons ainsi 
(3) x{x^ -h y^)(cy-j-bx) 

— a'ih[x- — y'-) -h axi/] = 0, 
équation d'une quartique circulaire ayant un point 
double à l'origine, admettant ce point pour centre 
et ayant pour asymptotes les parallèles à OB et 
à AB menées par le point w. Les tangentes à l'ori- 
gine sont rectangulaires; ce sont, comme il est 
facile de le vérifier et comme il est d'ailleurs évi- 
dent géométriquement, les bissectrices des deux droites qui constituent la conique évanouissante du 
faisceau qui se réduit à deux droites passant par le point w; elles sont donc aisées à construire. 11 y a 
deux autres coniques du faisceau qui se réduisent à deux droites ; ce sont les couples de droites paral- 
lèles formés par les côtés opposés du parallélogramme ODAB ; chacune d'elles a deux sommets con- 
fondus à l'infini situes sur la droite équidislante de celles qui constituent le couple envisagé. Cette 
remarque fournit les points à l'infini et les asymptotes du lieu. 

Enfin en se servant des deux tangentes à l'origine et des deux asymptotes, on arrive à une décom- 
position en régions qui équivaut à l'étude des intersections de la courbe avec les droites qui passent à 
l'origine et qui permet d'achever la construction de la courbe {/ig. 2). 11 sera bon en outre de remar- 
quer que la courbe passe aux points 0, A et B et qu'elle est tangente en à l'axe des y. 

J. MAKCHAL. 

lionnes solutions : M5I. (;. Fauveiiniek ; Caxs. 

Assez bonnes solutions: MM. J.-U. Ddfaut ; Sodls, k Condom. 



PHYSIQUE 



1004. — Un ballon sphérique en verre mince, vide ft de rayon II, <;*/ placé entre deux ylaces planes 

minces, parallèles et indéfinies dont il est séparé par des disUuicrs éi/alcs à son diamclre. L'intervalle est 

4 
rempli d'eau dont l'indice n est —■ 

o 

1" Oii se formera l'imaye d'un objet placé en A pour un observateur placé en sur l'axe ABCD du 
système, et quel sera le grossissement? 

2" Si la glace A est couverte de papier noir el le ballon rempli d'un yaz coloré, jaune, par exemple, la 
salle où se fait l'expérience étant d'ailleurs éclairée par de la lumière blanche, quel sera l'aspect du ballon 
pour l'observateur supposé très éloigné '.' 

3° Comment cet aspect varierait-il avec l'indice n ? 

1. l'our l'élude des rayons centraux, appliquons successivement à chaque réfraction les lonnulcs 



306 



PHYSIQUE 



générales 



Première réfraclion 



Deuxième réfraclion 




— HlJIl 

^ ~ "i /'. 



d'où /Jj = II, '/ 



/).. = -2R, 



1 — ~ 

, _ :{ 211 
^ ~ T air 



p, = 311, .7° 



1, 



i 3R 
3" 4K" 

Donc limage se formera au ccnlre 1 
du système et le grossissemenl sera 

2. L'observateur étant très éloi- 
gné, nous considérerons les rayons 
émis parallèlement à l'axe du sys- 
tème par les divers points du ballon. 
Soit i l'angle que l'un d'eux forme 
avec la normale à la face sphé- 
rique et /• l'angle que fait avec la 
même normale le rayon correspon- 
dant, s'il existe, à l'intérieur de la 
splière. 

Les rayons venus d'un point du 
ballon voisin de C auront d'abord 
traversé le ballon et proviendront d'un point de la glace A où ils feront avec la normale à celte glace 
un an]L.'le égal ;i i{r—i)\ cet an-le augmcnli' à mosure qu'on s'éloigne de l'axe. 

tn un certain point S, l'angle 1 devient égal à l'angle limite À ; le rayon a été réfléchi totalement 

sur la splière et provient d'un point de A où il fait avec la normale l'angle maximum t: — 2X. Du 

point S .lu point V, il y a réflexion totale et l'anglo avec la normale il la glace A varie de t. — Il à 0. 

Supposons maintenant r— 2>.>X ou ).<-!j-. ce qui est le cas de l'eau. Le rayon rélléclii 



totalement en S a été déjà réfléchi totalement sur A. Il en est do même au-dessus dn point S jusqu'au 
point T où l'on a ii = t. — X ou i = -^ — -^ ; la /.(ine SI' paraîtra blanche. 

Du point T au point P, les rayons réfléchis totalement par le ballon n'ont subi qu'une réflexion 
parlicllc sur A et viennent surtout du papier noir; la zone TP paraîtra noire. 

Enlrc S et G, la majeure partie do la lumière a traversé le ballon ; mais, jusqu'au point L jiour 
lequel 2(r — 1) = >., cette lumière a été réflécliif tolalcmenl sur A; la zone LS paraîtra jaune. 

EnHn, de L en C, la lumière vient surtout du papier noir: la zone LC paraîtra noire. 

3. Si II diminue, a augmente, le point S se rajjproche du point P et en môme temps L et T se 
rapprochent de S. l'our X = _ (n = 1,15;, ks zones colorées ont disparu. 



EXAMENS ORAUX DE 1901 (ÉCOLE POLYTECHNIQUE) oO? 



QUESTIONS POSÉES AUX EXAMENS OÏÎAUX 



ÉCOLE POLYTECHNIQUE (1901) 



I. — Mathématiques élémentaires. 

2343. — La somme a -h ?-+-...+ >. étant constante, la somme a» + fi^ -f- . . . + a- a-t-elle un maximum ou un 
minimum? 

2344. — Trouver le volume de la iiyramide en la considérant comme la limite do la somme de prismes inscrits dans 
la pyramide. 

2345. — Volume du prismatoïde. 

2346. — On donne un cercle, une tangente et une sécante parallèle à la tangente: position de la sécante pour que la 
surface engendrée par cette sécante tournant autour de la tangente soit maximum. 

2347. — On donne une sphère tangente à un plan P, on la coupe par un plan P' parallèle à P. Le petit cercle sec- 
tion est la base d'un cylindre de révolution limité au plan P. Déterminer la distance des plans P et P' pour que le volume 
du cylindre soit maximum. 

' / "' — 1 

2348. — Calculer la longueur x = V/— ; r- 

V a + 1 

II. — Algèbre. 

2349. — Décomposer en un produit de facteurs linéaires le polynôme 

aib — c)' + ()(c — a)- + c{a — bf + Sahc. 

2350. — Calculer le coefficient de x' dans le développement de 

(1 +2j — 4a;- -1-8;»')=. 

2351 . — Calculer la somme 

1.2.3.4 + 2.3.4.5+ ... + n()i + l)(n + 2)()t + 3). 

2352. — Étant donnés les trois nombres 546, 273, 1G9 multiples de 13, démontrer que le déterminant 

5 4 6 

2 13 

1 « 9 



est divisible par 13. 

2353. — Résoudre le système 



2354. — Etudier la série 



.'c + y -h 2 = 1, 
ax + by + C3 = d, 
a'x + b-y + C-: = d-. 



1, a, ab, a-b, a'-b-, a^b'-, ... 

2355. — Etudier les séries qui ont pour termes généraux 

„j.,n.. Z!l .; ± ; (_l)'. (g-— ; (-l)"siu— ■ 

' ' ' (2)1 + 1)! (3n+2)! ^ ' " n n 



23ÔC. — ttudier la' série dont le terme général m„ est égal à a"-'x '' p étant le nombre des chillres 

de H (0 <(i <1, x> 1). 

2357. — Calculer !a somme x' + ix"-' + 3x"-» + . . . + nx. 

2358. — Trouver géométriquement les dérivées de tg.r, arc tga;. 

235i). — Dérivées des fonctions 

Licos X + i sin x), i ^ . (sin x) -" - arc tg ," "^.,^' (« et u étant des fonctions de x), 

\Ja' + x'- » ~ "" 

a,.ctgf±l. arctg^^ïH^. (sin.r'/'-, arctg^;- 

\ —ax X X 

X , , . 

2360. — La fonction y étant définie par l'équation x' + i/= = sm — . calculer y . 

. y --1 

2361. — Même question pour re(|ualion x sin yen' = 0. 

2362. — Etudier les variations des fonctions 
sinar J_ ,- , .... _,.:îr7 ,.i _._ ^■.! _ o , _ i hn J 



ex'-i, cos v^a; ^x positif et nei/ati/"), xH^'-^, x-' +x'- — 2x— 1, 



X 



J^. /x+iV, ,l + x)T :^i ,._J:îl±P_. x-logx. x'Ml+x). 

a;e 1 X, V X / ti + ^1 -^ > " > X' + px + </ 



308 EXAMENS OR\UX DE 1001 (ÉCOLE POLYTECHNIQUE) 



U--^l'' ) po 



•J3r.a. - Limiles de -^^^^ — — i>our r = 0, ,\c i<!Z±J!l] pour m inOni 

x' tp ~r 

2304. - Di'Vfloppcr cil série arc Ir r, arc sin .r, xe-', L(l— Jr), e'sinj:. 

U305. - Appliquer la formule de Mac taurin au il.'v.loppeinent de cos n . arc coj x. Ea déduire la valeur de eos lU 
en fonction de ces j (il entier). 

•j:J(if. — Dérivée Ht des fonctions . ■ ir^', P, (x — o)"(x — 6)". 

v/t -t-x* 

l»C-duire de cette dernière la somme des carrés des cocfUcients du binoiue. 
23C7. — Discuter les équations 

X- - /j- -f- 3 = 0, x^-i'x'-l=o. .T'-ix-l)'= 0, x' + j. 4-|-=0, 

x' — Xx'+iix' — I = 0, X' + p.r' -t- ijx -I- r = 0, x" + px' + gx + r = 0, 

j-'t + Sx' H- 2 = 0, X- + p.r' -I- gx» + r = 0, x'" + px- +ii = 0, x" — 5r' -t- 6 = 0. 

23G8. — Itésoudrc et discuter les équations 

x'-hLr = 0, 2sinx-x = 0, .i- - Ig x = 0, e^ + <-' -l-2c - 3 = 0, 

lg2x+flsinx + 6 = 0. x = sinx + cosx, sin 2r - 2cos x + 1 = n, x = sécx-t(;x, 

sinx-<-v/3cosx-xv/î = 2, a.r +b — Lip.t -hi]) = 0, x + cosx = a, .rLx +x' - x - 7 = 0, 

xLx — x» + x + 9 = 0, ox — sinx = 0, xarc tgx -1-2 arc tg i — 3x -f- 1 = 0. 

■_'3(ii). — Résoudre le système 

x-i-.i/ = 1, 2;x"-(-v') + x4-!/ = 3tx' -l-i/'). 

•J.i~0 — nésoudre le système 

x* ^- 2j/3 = !/' -•- 2:x = s' + 2xy — 1 . 

2371. — Etant donnés un cercle et un point A h l'intériiur, mener par le point A une sécante BAC, toile que le segment 
DC. soit divisé par A en moyenne et extrême raison. 

2372. — Trader une corde divisant l'aire d'un cercle en moyenne et extrême raison. 

2373. — Itésoudrc l'éiiuation f.x) = sachant que les racines sont en progression arithmétique. 

237 '«. — Appliquer la méthode de Newton et celle des parties propoitionnclles pour calculer une vaKur approchée de 
la racine réelle de l'équitinn x'— 3 = 0. 

2375. — Démontrer que la dérivée d'ordre n de (x- — 1)" est un iiolynome de degré n qui a toutes ses racines réelles. 

2376 — La dérivée d'ordre n de f-^' est de la forme e-'- P„, Vn éUint un polynôme de degré ti qui a toutes ses 
racines réelles. 

2:177. —Trouver un polynôme flx) tel que l'on ait f[0\ — :\, f\0) = i, /"(*)= â, ["■{0) = 0. 

2:J7H. — On donne l'équation 

■^ [ri-T) -4- fia) ] - M + Art) =0. 

où pT) désigne un polynôme. Etudier l'ordre de multiplicité de la racine a. 

2:t7'.». — r.tanl donnée l'équaiion AC -♦- lU» + 0/ -i- 1) = 0, <|ui a pour racines a, b, c, résoudre le système 

('. 
x + v + z = — —< 

ax -*- hu + es = 3, 

a'x + b'y 4- c': = r— 

A 

23HU. — Kélerniincr un polynôme f[x] du troisième de^-ré tel que l'on ait /'(») = 3;i, A?) = 3». =■ et ? étant les 

racines de f'{r) = 0. 

23HI. — Si n, fc. c, ... I S'inl les racines d'une équation f .r) = 0, calculer la fonction sym'îlriiiue - ., _,,,i ' "" 

déduire que «I ré<iualion fix) = n toutes ses racines réelles et distinctes, l'éciuation f{Xtf'{r) — /"»|x) = a loules ses 
racines ImnKinaIres. 

23H2. — Calculer » —r ■*• . ;' '. ?. ï «''■''nt les racines de l'équation x' — 3x 4- 1 =0. 

I + ï' I H- ^' J -4- r' 

23m:I. — Cjilculfr l'équation aux carré» des racines de l'équation .»' + px' -t- (/j + c = en se servant des relations 
entre les roeflirlent» et les racines- 

2:tM't. — Ktint donnée l'équation x" -♦-p.r' -t- çx -t- r = 0, calculer le proluil des carrés îles dilTérences des racines. 

23Hr>. — Oindilion* pour (|u'unc équation du rinquii-me degré ail une racine double et une racine triple. Nombre de 
condition*. 

2380. — F.lanI doiinéi' une équation alKélirlquc ^x) = dont les racines sont n,6.c, ...,/. et un polynôme <?(x), 

démontrer que le coefficient de — dans le quotient — est égîil h Sf(n). 

23M7 — Elanl donnée réi|iinliiin .r' — Dr' -♦- wx* — Sx +- 6 ;=: et sachant que la somme de deu\ racines est égale à 
1.1 tomme de» di'iix aiilre», déli'rmiiii'r m ri résoudre léiiuallon. 



EXAMENS ORAUX DE 1901 (ÉCOLE POLYTECHNIQUE) 309 

2388. — Si la somme de n nombres est nulle, la somme des cubes est égale à trois l'ois la somme des produits trois à 
trois. 

2389. — Conditions pour que l'équation x* -+- 6px- + kqx + c ^ n'ait que deux racines distinctes. 
i>.390. — Condition pour que l'équation a;= + liyij-'+ lOi/a;' -I- Scr+s := n'ait que trois racines distinctes. 

2391. ^ Décomposer en facteurs réels du premier et du deuxième degré les polynômes x^+ \, r» + 1, a'+ 1, .r'^— 1. 

2392. — Résoudre l'équation x'' — i = 0. 

2393. — Déterminer un polynôme de degré au plus égal à 6 prenant les mêmes valeurs que sin x pour les valeurs de x 

T. 3ii 

égales à 0, ± — i ±~, ± -5- • 

2394 . — Déterminer un polynôme de degré au plus égal à 4 prenant les mêmes valeurs que cos x pour les valeurs de x 
égales à 0, ± — 1 ± -. 

^"fix) 

2395. — Etant donnée une fonction /(./■), calculer \"f{x] et trouver la limite de ' — quand li tend vers zéro. 

2396. — Démontrer la formule 

w'- — [n-ir + ^ ^ , ' (n - 2)- - . ■ ■ 3= n\ 

III. — Trigonométrie. 

2397. — Calculer cosBar et sinCr en fonction de tgx. 

o a 

2398. — Calculer tg— connaissant coslia; sin-p connaissant tg3a. 

2399. — Calculer sin 3a connaissant cos — a. 

2400. — Combien trouve-t-on de valeurs pour siinn quand on donne tga.' 

2401. — Calculer les fonctions circulaires de l'angle de 12°. 

1 1 

2402. — Calculer l'arc x défini par x = 4 arc tg— — arc tg — — -. 

<} 23y 

2403. — Calculer (i + i)'" + (l — i)"", >n étant un nombre entier Positif. 

2404. — Calculer la racine Hi= de 1 •+- i, de — i. 

X U 'i 

2405. — Eliminer i et y entre les équations sin.r = sin a sin 7, sin y = sin [i sin y, tg — tg '^ = tg-|- . 

2406. — Résoudre les équations 

tga;— tg2a; = sinx, 1 + cos x + cos 2x + cos 3a; =: 0, sin x + cos.r+ tg x -)- cotga;+ séc x-h coséca; = 1. 

2407. — Résoudre les systèmes 1 ■^."^^~"' , i x + y = a, 

( sm a; -f- cos y = B ; j cosj-hcos;/ = 0. 

2i08. — Calculer sin j; -f- 2 sin 2x -)- 3 sin 3.e + . . . + )i sin nx. 

2409 — Rendre calculable par logarithmes sin A H- sin B — sin C sachant que A -+- B + C = z. 

2410. — Résoudre un triangle connaissant : i" les trois hauteurs : 2° a, A, S. 

2411 . — Si l'on a entre les angles d'un triangle la relation sin C — cos A = cos It, le triangle est rectangle. 
2il2. — On donne deux triangles ABC, A'B'C dans lesquels les angles A et V sont supplénientaires et B et R' sont 

égaux. Démontrer la relation aa' = bb' ■+■ ce'. 

I\'. — Géométrie analytique à deux dimensions. 

2413. — Construire les courbes qui ont pour équations en coordonnées rectilignes : 
, , , „j xHx — a]{x' + n'-'l /ûTT , . , > . x'i.x — a) 

y' = y* — x', x'y' — xy+l=0, ,/ = — - — , ,f. — l^ll , x'y' + x^j'—l—O, 

X •+• 1 X 

,.J 
x'y' — x- — y = (i, ixY + y' — 2x=0, y' = — . .,.1» _ .c' + «! = u, u' = -t' — y\ 

2a — X 

4j;V — x« -I- 8j/' = 0, (x' — y"-)' = a'x^ + b-y', x'y^+xy—l—0, x'y- i- x^ — y'> = 0, x' —y<+2x*y = 0, 

(2x+y]'{x—y)+x{2x-i-y]+2y-n, (x^ + y')' = x'(ax + hy), x'y + x> + y' = 0, x'+y'-y' + 2x—l = 0, i/=2x±y/*^i^' 

iV — 3xY-f-4 = 0, x'y' — y-- + y' + X = 0, 3x'y^+2x + y=0, x'+y'—ixy*+2x-l=0, x'-hx'y'—Gy = 0, 

[x'--ix'+i)y'-;xy + x^ = 0, ix^y' — 3xy' + [ = 0, {x'+y'Y = ia'x'y\ {2x—y]'{x+y]+x—y=0, 

sin j; = 2 sin 1/, j/ = e^i »;«-,_ j, = «îTr, y = L{ai' + p.c -hq), y = e 

î/ = ei'*fi*«, y = (sinx)""^, 1/ =:(tg j)"i°-r, y^x — t^x, 



310 EXAMENS ORAUX DE 1001 (ÉCOLE FOLYTECHNIOITE) 

( IJ — t — i 1 u • \-î' i l-2f' 

I JjzL I — _î_zi£_ / _ i±JI / - hLt£L 

{ " <« + l ■ l " 1 -4- < - 1,( ' [•''-(_<>• ( •<' - (J _ |.)t 

2ili. — Conslniire les courbes qui ont pour équations en roiinlonnécs polaires : 

( i tKu 

p ^ ros lo -i- sin w, p = cos u -I . o = sin <•> H • s^ 



eosu ' ■ sin2ui tg 2u) 

I i I+2C0SW 2 sin u (I 

p = lgM-l-— — ' -= — ; (pointleilinsliaull. ?=— ■— < p= 

tg w j, i - 2sin''> 1 + ces ïoi "^ ^—H-^-M. 

p = ^H-6 (points .l-inll,\ion|, 3 = tg m + tg 2o., p = Ig :)<-, rns .o -4- y/:) e os' ^ - I 

sin w * " cos 2<ii 

_ I H- 2 COS 01 2 

F — 2 -)- sin u ' p = roSj<>", p = sin' u — ros' u, p'cosu + 4? sin u -f- 1 = 0, 

. . "*• 1 

f = a sin' — . p ^ = COS u. 



tg ■^•- 



p = tg 



p ' • i+tg<.. ' ^^'^1' 

» -^sin<o 1 2u 

u. ■ — = a. COS u, - sin .u. p = fg--(poinUdoHbles), p'(l — 2 sin u) — 2^ -i- 1 = 0. 

COS — <" J ' • 

2 

^. p.cos.-2p.-.sin. = «. p=^-i^, , = . '»^3" 



1 -+- Ig' u 

I 

p := (Ig w',»i»», — = au' + 2&(j J- r, o'sinu4-p*cosu — 1=0, o = 



m 

P ■ -_,..,.-. •" - T^ ig 

'" _ „. .! i 01.. . j^ ^ .>.:_.... ._« sinu 



= (~-t-f— , u = p»-Sp-+-2, = — i^*^, p'cos2u)-2?sinw->-l =0, 



p'sin 2u +2p Ig w — i = 0, p'eos-; 2j.' + sin u ^ ii. p'cosu-t-o'sinM — ) = 0, p = 



01— 1 

sin o) 



p' COS 01 - 2? sin w 4 I = 0, p' Ig o) — 2?' ces oi -+- sin u = 0, pHg2o>+2p'sinhi -cos2oi=0, p' cos 2oi - 2.o sin u + I = 

« — 2<« f 1 - / 




1 -il* 
1-K« 



t -/' 

-il5. — Construire les coniques déferminî'cs par les équations 

X = !/ — 2 ± y/i — y' (diroi-lion et longueurs des axcs\ y = .r + 1 ± /r' — 4a; -t- 3, 

.V = x— IH :î — (sommets et foyers», •/ = -; r' ;/ = j' — 3,r + 2 (foyer). 

X — 2 -.r — I 

2ilft. — On rlonne un triangle équilal^ral ARC; Jinr un point M du côté BC on mène Mit' parallèle A Ad l't Mt'. 
parallèle h \C.. le point II' étant snr AC et le point ('.' sur Alt. (In ileiiiamli' le lieu du jioint de rencontre de la perpendi- 
"iilalre menée par II' au côté BCa\ec le cercle circonscrit au triangle AU ('.'. 

2417. — On donne deux points fixes B et C, et on désigne par .M !■' niilii'U de |l(]. I.ii'ii du point A tel 
que Ion ai' AM' - AB. AC. 

2418. — Lieu du centre d'un cercle coupant deu\ cercli's donnés en des points diamétralement opposi'S. 

2419. — On donne une L-ineente flxe et une tangente variable à un cercle. On demande le lieu du point M symétrique 
du pouit d'intersection des deux tangentes par rapport au point de contact de la tangente mobile. 

2420. — Lieu du point de concours des bauteurs d'un triamtle ABC dont deuv sonimeLs B et C sont Ûves et dont le 
(omniet A décrit une circonférence. 

2421. — l.ieu du point d'intersection de deux cercles passant p.ir un même point ll\e, tangents .'i une même droite n\e 
el »<• roupant »ons un anule constant. 

'2V2'2. — liéli'rminer les coordonnées des point^ de rencontre des tangentes communes aux deuv cercles 
(X — a,' -t- \y - fc,' — B" = 0. (X — a')' ^ (y — h'f — B • = 0. 

2423. — On donne deux droites se coupant cl tm point A dans Irur plim. l'ar le point A on mène une sécante rencon- 
lr.int Ir-s deux droili-» tu B et C. <!t sur BC on construit un triangli' BVIC si'uiblable à un triangle donné, l.ieu du point M. 

2424. — On donni' lui cercle ll»e et im point A sur ce rncii'. On consiilère un cercle variable 0' tangent en A au 
cercle 0. On mèm- aux deux cercles une tangente conuniuie; lieu du point de cunliirl de cette tangente et du cercle ()'. 

242ri. On donni; deux axes recUingulairet ; trouver l'env.<|oppi- d'une ilroitc formant avec les axo< un triangle de 
pénnièlre ronittnni. 

2420. - l'i'ut-on mener une normale commune à deux courbes «ituées ilans le même plan ? 

-42T — Trouver 'ei asymptotes de In courbe y = Jx^ ». i — . / "^ "*" ' . 

V X-*- I 



EXAMENS ORAUX m 1901 (ÉCOLE POLYTECHNIQUE) 3H 



2428. — Même question pour les roiirbi'S y- = 



.t'i a — x){a- + X-] , _ a,-»(.r - a)(x' -h a') 



— ' ?/- = 



o' + X' 

2429 - On eoiisidérc la courbe x' - ay'- =0, et une droite qui se déplace parallMemcnt à elle-même. Lieu du 
centre des moyennes distances des points de rencontre de celle droite avec, la courije. 

2430. — Former l'équation d'une courbe de quatrième degré ayant une asymptote dinnexion. 

2431. - Par un point d'inflexion d'une courbe du troisième degré on mène une sécante rencontrant la courbe en 
deux points .\ et B. Lieu du conjugué linrmonique du point par rapport aux pomts A et li. 

2432. — Mener à la courbe x'y' = a' des tangentes parle point {%, ?). Discuter. 

2433. - Enveloppe de la courbe x cos o -t- [x' — y') sin 'f = î/ + 1- 

2434. - On donne la courbe p = /-(<.^) et le point M (r, a) situé sur cette courbe- On deman.lc l'équation du cercle 
passant par le pôle, par le point M et tangent (ou ortliogonal) il la conriic au point M. 

2435 — Intersection de la courbe x= — a'y^ ^ et de la droite ni -t- vy + w — 0. Discuter. 

P 
2'»30. — Mener par le point Ir, 2) des tangentes h la courbe P = . ■ . Discuter. 

2437. — l'oints dinllexion de la courbe x' + y' = a\ Démontrer que les io points d'inflexion se réduisent a 
15 comptant chacun pour j. 

2438. — Normales menées parle point [n, b) h la conique y- = 2iix-+- qx^. 

2439. — l.ieu des centres des cercles tangents à une hyperbole équilatère et h une de ses asymptotes. 

2440. — On donne une courbe quelconque f(x, y) = et deux points A et B. On pren.l un point quelconque C sur 
la courbe, et on demande le lieu du centre de gravité et de l'orthocentre du triangle A15(;. 

2441. — Etudier la courbe pu= = a. Clierclicr la tangente en l'un des points 011 la courbe coupe l'axe des «/. 

2'â42. — Etant donnés deux segments Ali et CD, trouver le lieu des points M d'où l'on voit les deux segments sous 
le n)éme angle. 

2443. — Enveloppe de la droite a;cosa) + j/sin? = — ?'-. 

2444. — Construire une conique connaissant trois points et leurs polaires. 

2445. — Construire une conique connaissant le centre, un point et sa polaire et un point de la courbe. 
2440. — Lieu du pôle d'une droite flxe par rapport à une ellipse de grandeur constante dont le centre est fixe. 

2447. - Lieu des foyers des paraboles dont l'axe a une direction fixe et qui sont tangentes à un cercle et îl une droite. 

2448. — Lieu des points de concours des tangentes communes ii l'ellipse ",7; ^ '(,j ~ ^ — "^ '^^ "''" <^6rcle 

(X — Xo)' + {y — !/o)' — li-' = quand li varie. 

2449. — Lieu des milieux des cordes d'une conique (|ui passent par un point Qxe. N'est-ce pas lui cas particulier d un 
problème plus général ? 

2450. — Enveloppe des cordes d'une hyperbole éciuilatère vues d'un point donné sous un anule droit. 

2451 — Etant donnée une hyperbole équilatère de foyers F, F' et de centre 0, on prend un point M sur la courbe et 

on demande de calculer le rapport — ;^7^ — . 

MO" 

2452. — Soit Al! une corde de longueur donnée dans une ellipse. On prend le pAle de celle corde el on le projette sur 
AI!. Lieu de cette projection. 

2453. — On donne une ellipse; par un foyer on mène trois rayons vecteurs faisant entre eux des angles de — • 
Démontrer ([ue la somme des inverses de ces trois rayons vecteurs est constante. Généraliser. ^ ^ 

2454. — On donne un cercle et un rayon horizontal 01). On prend sur le cercle les points A et D tels que DOA = 0, 
AOli = 0- far le point B on mène une verticale, par le point A une horizontale. Lieu du point M intersection de ces deux 
droites, quand varie. Ce lieu est une parabole. La construire. Déterminer son foyer. 

2455. — On considère une parabole et une tangente à cette courbe; on prend la courbe symétrique de cette parabole 
par rapporta la tangente. Lieu du point d'intersccliori de l'axe île la |jarabi)lc symdriiiuc avec sa directrice lorsque la 
tangente varie. 

2456. — Li(ru des centres des sécantes communes à une ellipse et à un cercle de rayon constant dont le centre se 
déplace sur l'ellipse. 

2457. — Lieu des foyers des paraboles de grandeur constante dont l'axe a une direction flxe et qui passent par un 
.point. 

2458. — On donne le foyer F d'uni' paraboli; el un point A de cette courbe. Enveloppes de la directrice et de la tan- 
gente au sommet. 

2459. — Lieu du centre d'une ellipse dont deux sommets du grand axe décrivent des droites uses, et dont les deux 
directiices passent par des points fixes. 

2400. — Lieu des points de rencontre des normales à une ellipse aux exliémilés de deux diamètres conjugués. 

2461. — E(|uation générale des hyperboles é(|uil,ilères passant par trois pi.inis. 

2462. — Lieu des sommets des paraboles ayant un foyer donné et passant par un point fixe. 



31i EXAMENS ORAUX DE 1001 (ÉCOLE POLYTECHNIQUE) 



2103. — On consi'lftre les pninls ohtpmis en porinni s\ii' le petit ;ixc d'une ellipse, des deux cùt/'s du centre, une lon- 
gueur ^'pile à la dcmi-Jislancc focale. Hômontior ciuc la soiiinic des cjirrés des distances de ces points à une tangente quel- 
conque est constante. 

2164. — E(|iiation générale des coniques passant par trois points. Equations des tangentes en ces trois points. 

2^05. — Construire une ellipse connaissant le trianplo foinn' par la normale en un point de l'ellipse, le grand axe 
et la porpeniljculaire ahaissie du mOnie poliil sur le grand a\i', et sacliant (|ue le demi grand axe est égal à d. 

2iU6. — On donne deux dmites et un poiiil dans un mi-me plan. Par le point 0, on mène une sécante rencontrant 
les droites en A et 11. Enveloppe de la perpendiculaire élCM'e au millru de .\It. 

24C7. — E(|»alion générale des coniques telles que les axes 0.r et Oi/ soient respectivement les polaires de deux 
points A et It sur Oy et 0.r. Prévoir le nombre des paramètres. 

24G8. - On donne une ellipse rapportée à ses axes; cii un point on mène la normale, et on demande de trouver le 
rapport des aires des segments déterminés dans l'ellipse p.u- cette normale. 

S^ïeO. — Enveloppe des courbes |--4t — 1 = ". 'i et fc étant liés par la relation ab = k'-. 

a- b' 
2.'«70. — Les sommets d'une ellipse décrivent quatre cercles concentriques. Trouver les lieux des centres, des foyers, 
des extrémités des diamètres conjugués ég.iux. 

2Ï7I. — Lieu des foyers des paraboles tangentes à trois droites. 

2472. — Foyers delà conique 1/2 = 2;).r ■+■ qx'. 

2473. — Lieu des sommets des paraboles normales en un pointdonnéà une droite donnée et dont l'axe a une direction 
Oxe. 

2'i~'t. — Etant donnée une ellipse rapportée h ses axes, on demande l'équation générale des par.ibolcs tangentes en 
un point de l'ellipse et dont l'axe est parallèle à O;/. Lieu des sommets et lieu des foyers en supposant le point de cont.ict 
variable et le paramètre constant. 

2475. — Lieu des centres des ellipses de grandeur constante qui sont tangentes h deux droites. 

2i7G. — On donne deux coniques; déterminer les points de concours des tangentes communes, .\ppliquer .i une 
coni(|uc et à un cercle tangents. 

2'«77. — Déterminer la directrice de la courbe 

ix^ — 1 2xy -+■ 9.1/s — 4.r -(- 2j/ = 0. 

2'i78. — On considère les droites joignant le centre «l'une ellipse aux pieds des normales menées d'un point ,i l'ellipse. 
Disrulir la réalité de ces droites. 

247il — On donne une parabole de foyer F. Sur la tangente au point M, on prend un point P tel que MP = MK. 
Un demande le lieu du point P. 

2'<80. — Lieu des points rie concours des tangentes commîmes à une ellipse et h un cercle de centre fixe et de rayon 
variable. 

2481 . — On considère un cercle de rayon constant tangent à une ellipse. Lieu du point de rencontre de la tangente 
aver la sécante commune. 

2482. — Lieu des sommets des hyperboles admetLint 0;/ poura.symptote et tangentes !\ Ox en un point A (les axes de 
coordonnées sont rectangulaires). 

2'i8:l. — On donne une conique rapportée il des axes (|iielconqucs et un point \ sur la conique; par ce point, on 
mi'ne une parallèle ;i Oj qui coupe la conique en un second point 11. Trouver la dislance des points A et 11. 

2484. — Lieu ries foyers des coniques circonscrites à un r|uadrilatère. 

2485. —On rionne une ellipse et un point P. Par le point P on mène un sécante vari.iblc rencontrant l'ellipse a\ix 
|x.inls A it II. On prend sur la sécante un point M tel que PM' = PA.PH. Lieu du point M. 

248U. - Lieu ih-s rentres des byperbr)les équilalères lan»;cntes îi une ellipse, passant par le centre de l'ellipse, l't dont 
le» dirrrlioiis asymplotiqiies sont parallr^lcs aux axes rie Irllipse ilnnnée. 

-'•**'• — On donne une ilirpse de cciitrr' 0. Une langr'ute variable rencontre lr>s axes île l'ellipse en .\ r'I It; on consl- 
rHri' le i|untrii'me sommet 1 rlii rrclangle OAll. Knveloppe dr' la polaire du point I par rappoil i\ lellipsr'. 

2488. — Construire une conique connaissant quatre Uingentes cl un point d'où l'on voit la e(inir|iie sous un angle 
drrrit. 

2'iHO. — On rioniie une parabole; en un jpoint M île la dnirbe un mène la normale et on prend la symétrique de celte 
droite p;ir rapport it la perpi'iirlirulaire .'i l'axe menée par le puiiil M. Enveloppe de la droite ainsi obtenue. 
2'ino. — Aire d'un segment de parabole limité par une corde. 

241II . — Par un point d'une ellipse on mène les trois normales, et on demande lelieu du centre du rerrie passant par 
le.» pleil» de ce» normales. 

2402. — Lieu des foyers, des stimmels el env.doppe des rlirertrices des paraboles rie grandr'ur ciinsl.mti' langenti-s ;'i 
deux drollen. 

241i:i, - llh rli,iiiii. iinr conique et un point P. Par ce point on mi'ne une inTpemliriilaire sur un iliaiii.'trr' A de la 
r«nlr|ui' it on prend l'inleriiprllon rie cette perpeniliriilnlre avec le iliamèlre A' conjugué rie A. Lieu du point d'intersec- 
llon Montrer nnnlytiqiieinent et géoinélrlquemenl qui' ec Heu est lliyperbole d'Apiillonius. 

2t04. — On donne une conique rapportéi' k dnix axes i|iielconi|iies, et on deinan'Ie le lieu de» sommets des angle» 
dri.il, nrronw-rll» h-scorrrir i.iil» du cercle obtenu <iont linéalus par rapport aux cnefllcienLs de l'équation Lmgentielle de 
la conique. Expliquer pourr|iiol. Propriété ries ccrclet orllir>plique, des crinlr(ues d'un f.iisceau tingcntiel. 



I 



EXAMENS ORAUX DE 1901 (ECOLE POLYTECHNIQUE) 313 

2-'»95. — On donne une ellipso à laquelle on mène deux tangentes parallèles; on demande le lieu des centres des 
cercles tangents à l'ellipse et aux deux tangentes quaml la direction de ces tangentes varie. 

2496. — L'ne conique variable rencontre une conitiue fixe en deux points fixes A et B, et est tangente en ces points à 
deux droites données. Démontrer que la seconde corde commune passe par un point fixe. 

2497. — On considère un triangle O.Uî, rectangle en 0, et les coniques circonscrites au triangle et qui touclient le 
cercle circonscrit au point 0. Lieu du [lointile concours des normales en A et li. 

2498. — Etant donnée l'ellipse-^ h -^— = I, déterminer ses directrices sans calculer les coordonnées de ses foyers. 

a' b- 

2499. — Les deux courbes y- — 2x ^ 0, 2.rj/ + itj- + Gx — 2i/ + l =0 ont trois points communs Ji distance 
finie. Trouver l'équation du cercle passant par ces points. 

2500. — Lieu des points d'où l'on peut mener deux normales rectangulaires h une parabole. 

2501 . — Lieu du centre d'une ellipse de grandeur constante passant par lui point fixe et tangente à une droite fixe. 

2502. — Lieu des centres des cercles tangents à une ellipse et :\ deux diamètres conjugués variables de l'ellipse. 

2503. — Lieu des sommets des paraboles tangentes à un cercle et .i une droite et ayant leurs axes parallèles h une 
direction donnée. 

2504. — Lieudes foyers des byperbules étiuilalères passant par trois points. 

2505. — Lieu du point de rencontre des norni.iles à une hyperbole aux extrémités d'une corde qui se déplace parallù- 
lement à elle-même. 

2506. — lieu des points d'où l'on peut mener à une conique deux normales rectangulaires. 

2507. — Écrire que la droite ux + vt/ -i- (r = il est l'un des diamètres conjugués égaux de l'ellipse définie par 
l'équation générale f{x,y) = 0. 

2508. — Etant données deux coniques, par l'un dos points communs A on mène une sécante rencontrant les coniques 
en lî et C. Lieu du milieu de P>C. 

2509. — On donne la parabole y'' — 2/).r = rapportée à son axe et à sa tangente au sommet. Une deuxième para- 
bole est tangente à Ox à l'origine, sa directrice touche la première parabole. On mène par le foyer de la deuxième parabole 
une parallèle à sa directrice. Lieu de la projection de l'origine sur cette droite. 

2510. — Lieu des centres des ellipses d'aire constante tangentes à trois droites. 

2511 . — Lieu des centres des cercles touchant une ellipse et son grand axe. 

!2512. — Une parabole de grandeur constante lotune autour de son foyer ; on lui mène une tangente par.iUèle k une 
direction fixe. Lieu du point de contact. (Traiter la question en coordonnées polaires.) 

2513. — Lieu des pôles d'une droite fixe par rapport aux cercles bitangents à une parabole. 

2514. — On donne deux tangentes à une conique et un foyer ; propriétés des cercles de Monge de toutes les coni((ucs 
ainsi obtenues. On donne en outre im point d'où l'on voit la conique sous un angle droit; construire la conique. Déterminer 
en particulier le second foyer. Nombre de solutions. 

2515. — Lieu des pieds des perpendiculaires abaissées d'un point sur les tangentes à une parabole. Construire le 
lieu. 

2516. — On considère deux coniques passant par l'origine; trouver ré(|uation du cerclé passant parles trois autres 
points d'interseclion des coniques. 

2517 — Lieu des foyers des coniques 

jy' — {ax + I))- + Xv- = 0, 
où ). est un paramètre variable. 

2518. — Trouver l'équation générale des coniques passant par un point P (i, 3) et par les pieds des normales issues 
du point P à la parabole y- — ipx = 0. 

2519. — Construire deux diamèlres conjugués d'une ellipse faisant ini angle donné. 

2520. — Soient OA et OB ks doux iliamèlres conjugués égaux d'une ellipse'. D'un point M de la courho, on abaisse 
MP et .M(J perpendiculaires sur OA et OB. et on achève le parallélogramme cnnstniil srrr Ml' rt MQ. Kémontrer que la 
diagonale passant parle point M est normale à l'ellipse en ce point. 

V. — Géométrie analytique à trois dimensions. 

2521. — Lieu ihi milieu M ilun scgmirit AI! cpri se déplace parallèlement à irn plan fixe en s'appuyant srrr deux droites 
fixes de l'espace. 

2-'>22. — On donne tr-ois demi-droites passant par l'origine et définies par leui's cosinus direcicur-s. Calculer les faces et 
les dièdres du trièdre ainsi obtenu. En déduire la formule fondaruentalt; delà trigonométrie sphérique. 

2523. — Etant donnés ileux systèmes d'axes r'ectangirlair'es ayant mémo origine, existe t-il des points ayant mérues coor- 
données par rapport aux deux systèmes ? 

2524. — On donne n points C, Ci, ..., C. Lieu du point M tel que Ï.MC,- = /,■. 

2255. — Perpendiculaire commune et plus courte distance des derrx droites — = -V = — et ; == 0, rt.r + '(W -t- 1; = 0. 

» ? ï 

2526 — On donne deux cercles dans des plans parallèles, on leur mène des tangentes perpendiculaires ; lieu de la per- 
pendiculaire commune à ces tangentes. 

2527. — Lieu des sommets des trièdres trirectangles dont les ar-étes r-cncontrent une parabole. 



314 FXAMENS ORAUX DE lOOl (ÉCOLE POLYTECHNIQUE) 



2528. — On (loiuip trois axes rcf lansulaircs. Dans le |p|.in .lO: est un ccrrle dont le rentre est sur 0.r, on projette ce 
corrle sur un |il,in I' |<assjint par <ts. Lieu de la projection ciuaml le plan I' tourne autour de 0;. Section de la surface par 
le plan : = k. 

2529 — On considère la courbe x = . i/ = -• : — — Kqualion de la tangente en un point 

/ — a t — Il t — c 

quelconque. 

25:tO. — Etant donni'e la surface xyz = 1, trouver la surface diamétrale conjujinre d'une direction donnt-c. 

2r»;il. — Urniontrer que la surface x' -t- y' -t- s' — l.ri/:(x -f- ;/ + :) = I est de révolulion. Trouver sa méridienne. 

25:t2. — Même question pour la surface x' -t- y' H- :' — S.n/î = 1 . 

2r>:t:i. — .Mener une normale commune à deux cercles situés dans îles plans •litlérenls. 

2ô:iï. — On donne une ellipse dans le plan des zr, son grand axe étant sur O.r. On la fait tourner autour de 0:. 
Trouver l'équation de la surface engendrée. Par le point on mène une tangente OT A celte ellipse: trouver l'équation de 
la section de la surface par le plan Tu;/. 

2535. — On donne trois axes de coordonnées rectaii;;ulaires et un cercle passant par l'origine dans le plan .rOi/. Lieu 
d'une droite sappuyani sur ce cercle et rencontrant Taxe des : sous un angle const.int. 

2530 — Ktant donnée une hélice tracée sur im cylindre de révolution il'axe Or, on fait tourner celte courbe autour 
d'une génératrice de ce cylindre Surface engendrée. Courbe de contact du cylindre circonscrit i>arallileinent à une direction 
donnée. Projection de cette courbe sur les plans de coonbinnées. 

2537. — On donne deux droites dans l'espace. Vn mobile part du point A sur la première droite avec une vitesse uni- 
forme r, et im autre mobile part du point A' sur la deuxième droite avec une vitesse i'. Lieu des droites joignant ces deux 
points h un instant quelcon(|ue. 

2538. — B(|uation de la surface de révolution circonscrite ;i une surface donnée Fi.r, j/, s) = et ayant pour axe une 
ilroite donnée. C-as où la surface donnée est un ellipsoïde. 

253!>. — On donne n points dans l'espace ; 0,, Oj, ..., 0, : on désigne par ;),, p , p„ les distances d'un point M .a 

ces n points. On suppose que le point .M décrit la surface ay.nnt [lour équaticjn /(p,, ;);, ...,;)„)=:= 0. Trouxer la normale 
à la surface au point .M. 

25'<U. — On projette la courbe f{X, ;| = 0, i/ = sur les plans pass.int par 0:. l.ieu des projeclions. 

25'tl. — Lieu engendré par un cercle variable dont le plan est parallèle h un plan llxe et qui rencontre trois droites 
fixes. 

2542. — Trouver les sommets et les diamètres conjugués égaux de l'ellipse déûnie par les équations x' -t- y' — R' = 0, 
lur -t- ryn- «•: = 0. 

2543. — Dans le plan des xy et dans le plan des xz se trouvent deux cercles parcourus rbacuii par un mobile pesant 
de façon que les cercles soient parcourus dans le même temps d'une façon uniforme, l.ieu du centre de gravité du système 
formé par les deux pointa. 

254'i. — Ktudier les quailriqui'S représentées par les éipiations 

yz -4- zx -+■ xy —1=0, i.r' -4- y' -hz' — J;/: — izx + ixy + ix + 2y -2z = n, 

(z -(- y -t- s)' — (.r + V - SI' — 1 = (axes de la section droite), (x — y)'-h{y - z)' + (î - xi* ■+- 2x - iy = 0, 

[x^y\{x — z\ -t-x — î =1. 2x' -»■ y'-h iz' — iyz -+-2x.v — 2x— iy-h2z -t- 1 = 0, 

<x ^ y -+- 1 ,' -+- 2(x — y)' -t- s' — 1 := (plans principaux et longueurs d'axes), 
(X — 0)= -4- (y — bf -(- (i — c)» = (te + my -+- n: -+- /))', j/: -+- ;x -+- xj/ -i- x -+- j/ -t- 1 = 0, 

P«-tt'-RS = (P.Q, a, S fonctions linéaires), Pi( — H.S = n, x' — z' -^ 2mxy — \ = (sections circulaires), 
I" -(- 0' — KS = 0, 2x- -4- J(/' — 2' — r..rj/ -f- 2.r — y = 0, 

^az — llx){cz —dy) — s' = (condition pour qu'elle soit de révolution). 
25'<5. — (In lionne un point d'un paraboloide et deux génératrices de même système La surface est-elle détermi- 
née .' Quel est le lieu des axes .' On donne un deuxième point cunstriiire l'axe et le sommet. 

'25'in. — Kqiiation fénérale des (|iMdili|iii", roiilenant Ox et Oi/ et admettant comme plans asymptotes les plans xO; 
et I/O:. Lien des ri'ntreii Kvpliqiier géomélrii|nemi'nt. 

'25'»". — l'ne quadrique est elle déterminée quand un donne trois plans tangents il leuix puinlsile contact'? Condition 
|Kiur que le problème soit piosibli*. 

'25'«H. — Kcriri- léqualton d un li; perbolonle .à une nappe rapporté à trois plans diamélraux conjugués dont i'un (le 
pUn jO|/| soit pl.'in cyclique. (»n considère un point A de ce cercle, et on demamle les équations des génératricis de la sur- 
tare p.i».inl par le pulnt A m fonction di' laiigle que fait Ox avec OA. 

25'«U. — >onifii<l et axe de la parabole définie par les équations j/' — 2px = 0, MX -+ vy f irz = 0. 

•255t> . — On donne dans une quadrique un axe, un sommet situé sur cet nxc et un autre sommet. Combien cela fait-il 
de condition» ? Kqiintion générale de ce» »urfare.< 

'2551. — <U)n»lruire une quadrique dont on donne une roniqui-, ibuv génératrices de systèmes différents et un point. 

'255*2. — Lieu den nte» des hy perUdoides de révolution passant par deux droites. 

•25&3 — On nmiijeilil un e|||pK.>hle à .ivolr pour l'un de si* diamètres conjugués égaux, en grandeur et en position, un 
•egmcnl .\- droite donne. A combien de conditions assujettit on la surface .' Parmi les diamètre» conjugués égaux d'un clllp- 
viide peut-Il y en avoir deux reclnntiiilalrei ? . c , 

'2554. - Ktudier la «iirfare x' - 2my; - 0. Uuelle doit être la valeur d.- m pour que la surface soit de révolution- 
Troin. r »on »xe dan» ce en. On coiipo par le plan y 4- ; = 1. Quel est le rajon du parallèle obtenu '? 



EXAMENS ORAUX DE 1901 (ÉCOLE POLYTECHNIQUE) 315 



2555. — On doiiiie dans une quiiiliiqiic un a\p on grandeur et en position et la longueur des deux autres axes. Combien 
celii fait-U de conditions? 

2556. —Condition pour que la droite — '-^=- — ^-^ — - ^ soit tangenteM'ellipsoïde -;7+-r7 + — 1- 0- 

2557. — Lieu des sommets des paraboloïdes de révolution cireonscrits à un ellipsoïde. 

2558. — On assujettit une quadrique à avoir à un cilne de directions asymptotiques donné et une conique dont les 
directions asymptotiques sont parallèles à deux génératrices du cône. On achève de déterminer la quadrique par un plan 
tangent. Construire le point de contact. 

2559. — Déterminer une quadrique connaissant le cône des directions asymptotiques et quatre points. 

2560. — Déterminer une quadrique connaissant une conique de la surface, le centre et un plan tangent. Trouver en 
particulier le point de contact du plan tangent. 

2561. — On donne trois axes de coordonnées ol)li(iues et on demande l'équation générale des paraboloïdes admettant Ox 
pour génératrice et 0; comme diamètre. A priori, combien l'équation renfermera-telle de paramètres ? 

2562. — Lieu des projections d'un point sur les plans tangents à un paraboloïde hyperboli(|ue. Montrer que la surface 
obtenue contient des cercles. Section par le plan d'un cercle. 

2563. — Comment se coupent deux paraboloïdes ayant un plan directeur cnmnuui et une génératrice commune? 

2564. — On donne dans une quadrique une section plane et un axe : la quadrique est-elle déterminée ? 

2565. — Déterminer une quadrique de révolution connaissant un foyer et quatre points. 

2566. — Lieu des centres des quadriques passant par un cercle et par une droite ([ui rencontre le cercle. 

2567. — Deux cercles d'une même quadrique sont-ils toujours situés sur une même splière ? 

2568. — Montrer que toute généralriie d'une quadrique est tangente à un cône circonscrit. 

2560. — l'eut on inscrire une ([uadriqno ii deux c'mes ? Condition de possibilité. Quand elle est remplie, combien 
y a-t-il de qua<lriqaes ? 

2570. — On donne dans un paraboloïde, un plan directeur et une section plane. La surface est-elle déterminée? On 
achève de la déterminer par deux points. Construire l'axe. 

2571. — On donne trois cônes bitangents deux ;i deux. Par un point de l'espace on leur mène des plans tangents. 
Démontrer (jue les six plans ainsi obtenus sont tangents ii un même cône du deuxième degré. 

2572. — Lieu d'une droite mobile s'appuyant sur deux droites fixes et faisant avec elles des angles égaux. 

2573. — On donne un plan et quatre points. Construire un cylindre hyperbolique équilatère passant par ces trois 
points et admettant pour plan asymptote le jilan donné. 

2574. — Paraboloïdes passant par un (|uadrilatère gauche. 

2575. — On coupe la quadrique x- -h -ly^ — ij- = [lar le plan // — := 1; démontrer que la section est un 
cercle et trouver son rayon . 

2576. — Equation générale des quadriques admettant pour ombilic l'origine des coordonnées. 

2577. — E(|uation générale des quadriques passant par deux droites. 

2578. — Une quadrique est assujettie à avoir pour axe un segment doiuié. Combien cela fait-il de conditions? On 
donne trois points de la quadrique ; trouver son équalion et discuter. 

2579. — Construire un paraboloïde de révolution connaissant une ellipse de la surface et un point. 

2580. — Construire l'axe d'une surface de révolution du second degré délinie par une section plane et deux 
points. 

2581. — Dans un paraboloïde on dorme trois points, le sommet et l'axi^. La surface est-elle déterminée? Former son 
é(|uation. Iteprésente-t elle toujours un paraboloïde? 

2582. — l.ieu des droites s'appuyant sur les trois droites -^= —^ ^ , = — = — , 

«„ /', c, a, 6i Cl 

X — Xi y — !/i z — --> 

Ci II. C-: 

2583. — Démontrer que le parallélépipède construit sur trois génératrices de même système il'un hyperbolo'rde A une 
nappe a un volume constant. 

2584. — Er|uation générale des quadric|U03 ayant pour axe la droite — =r -^ = — . 

« H ï 

2585. — On donne une parabole et un cercle ayant deux points communs. Etudier les quadriques passant par ces 
deux courbes. 

T- V* ^" 

2586. — On donne l'hvperboloïde >- rr ~ !=:(). Trouver l'anxle des génératrices de section par le plan 

n' Ir c' 

tangent au point (.r». »/„ ;,>. 

2587. — Lieu des points de contact des plans tangents parallèles à un plan d'inné menés îl un ellipsoïde de grandeur 
constante tournant autour de son centre. 

2588. — Cn ellipsoïde de grandeur constante tourne aulciur- d'un de ses axes ; d'un pHlnl cxtéiiiur on lui mène des 
normales. Trouver le lieu des pieds de ces normales. 

2589 — Lieu des sommets des cônes £(|uilatères circonscrits h un cllipsoïile. 

2590 — Kcrire (|ue deux quadriques sont égales. 



air. i:\AMENS oraux de moi (Kcole polyteceiniqur) 

2591. — Kqii.'ilion île ronsemlile des plans principaux d'une qundrique. 

2502. — Ki|iialion (îénrraic ilcs (juadiiquos admettant pour axe un segment de 0;, le centre étant t'oriiilnc. Pire 
a priari r>iinl>ien l'équation renfcruie de pnrauièti'cs. 

25!>3. — Lieu du centre dos <|uadi'iques 

x'+ imiiz + pz'— ^mx-^- ?py — 1=0. 
Troiner les points du lieu <|ui correspondent aux liyperlioloïdes. 

259'i . — tin donne lui plan |irineipal et deux génératrii is d'une c|iiadrique ; celle-ci eslelle déterminée ? Discuter. 

25i)5. — Quelle lourlic représentent les équations 

._ * ' -_ 1 7 

a + I •' b* t r + t 

Peut-on trouver des quadriqucs passant par celle cubique? On coupe la cubique par des plans paralliles. Lieu ilu rentre 
de gratili du triangle obtenu. 

2306. — Lieu des piMes d'un j^lan lixe par rapport (i dis surfaces liomofocales. Même question en supposant que le 
plan passe par une droite llxe. 

2507. — Oimuient se coupent deux quadricfues qui ont une génératrice commune et qui ont un point de contact en 
dehors .' 

2598. — Lieu des sommets des paraboloîdes équilatères passant pardeux droites. 

25ÎI9. — Lieu des pieds des perpendiculaires abaissées d'un point sur les plans principaux de la i|uadri(|ue 

■2aijz -h 2liz.r + 2(j;/ = 1 , 
fl, II, c vérifiant la relation a' + b' -j- e' = i . 

2000. — On lionne trois axes de coordonnées rectangulaires et les points A sur Ox, B sur 0// cl C. sur 0:. On ileniande 
l'équation de l'cllipsoidc ayant pour diamètres conjugés en grandeur et en position AO, AB et M'.. 

2G4II. — Etudier les (luadriques passant par deux paralioles situées dans des plans dilTérents, et ayant deux points 
coniiimns. 

2602. — De combien de paramètres dépend lui système de trois diamètres conjugués d'une (juadrique? Peut-on assu- 
jettir une quadri(|ue à avoir deux Irièdres conjugués donnés .' 

2603. — Lieu des sommets dos ellipses sections d'un ellipsoide par des plans passant par une droite fixe. 
2004. — Lieu des sommets des liyperboloïdes éqnilatères passant par deux droites. 

2l>or> — (étudier les quadri(|ues passant pardeux cercles qui ont deux points communs. 

2<>0(>. — On définit une quadriquc par un plan principal, ime coni(iue et un point, ("oustiuire le plan langent au 
point donné. lU'miilacer le point par un plan tangent et consli uire le point de contact. 

2607. — l'nc quadrique est-elle délerminéc (|uand on doiini' le cône asymptote et un point ? ("onibien y a-t-il de solu- 
tions.' Plan tangent au point ilonné. 

260N. — Equation générale des liyperboloïdes contenant deux ilroites et leur iieriundiculaiii' romnuuu'. Parmi ces 
surfaces y en a t il de révolution'.' 

2609. — Eipialion d'un paraboloîde hyperbolique dont un donne l'axe, le plan de Monge et une génératrice. Construire 
géométri(|uement le sommet. 

2610. — (In donne l'axe, une génératrice et un point d'un paraboloîde hyperbolique; équation de la surface. Cons- 
truiri- II' sommet. 

2611 - Lorsque deux quadriqucs sont inscrites dans un même cône elles sont inscrites dans un autre. 

2612. — On considère les hvperbcdoïdes passant pardeux dmiles el Iris (iu'iim pi. m 1' les coupe suivant une ciini(|ue 
bIL-ingente à une conique fixe; de (piel genre sera le lieu du pi'.lr ilii plan P .' 

x' y' z' 

2613. - On considère l'hvperboloide — -t--Tr r — ' = *'; trouver le lieu des points de cette surface pour les- 

n' II' r" 
quels la normale rencontre un cercle (racé dans le plan de l'ellipse de gorge. 

2614. — On donne un paraboloiile elliptique et une sphère On demande l'enveloppe des sphères orthogonales il la 
spliiTc donnée it dont le centre ilécrit le paraboloîde. 

2615. — Ktudiei' les normales ijuiues d'un point au par.ib<d<iiili' h)perboli(|ue xy =- az. 

201U. — On donne un sommet, l'axe el un point d'une quailrique de révolulion. Est-elle déterminée '? Former son 
équation. 

2617 — (In lionne ime i|nadri(|iu'. un point A sur nlle i|uadrii|i I lui pi. m P. On mène un plan variable Q cou- 
pant la i|uadrii|ne suivant une roni<|ue, el on considère le cone avant poui' sommet le point A et poiu' base celte conique. 
('.<• ctinv niupi' II- plan P suiMinl luie conique. Elu<tli'r les propriétés deres coni(|ues. De combirn de parauu'-tresdépi'ndent- 
ellc» .' Kn iW'pendiiil illi> liiiéairi-menl 7 Montrer que ces coiii(|iiis passent pardeux points fixes. 

Peut-on ►'arranger de nianirre que toutes ces coniques soiiiil dis cercles'.' Kxaminer le cas où le point A n'est pas sur 
la quadrique. Montrrr que dans celte hypothèse les coniques considérées sont bitangentes à une conique fixe. 

261H. — KInnt donnée la (|undrique f{x,y,z)=0, l'rrlre <|ue la droite 

« -t-?V -+- Tî + S = 0. xï -t- pV + T'ï + 5' = (ou -^ — ^0 _ V—Vt _ S — »o \ 

\ « ? 1 / 

fil : 1«axe; 2» dlamidre ; 3" dlaniilri' conjugué de plans de sériions rirc\ilalres; i» axe de révolulion. 

2619. — tiani donné.- I.i quadi lqn<< fs. y. z\ = 0, écrire que le point {a, b, c) est ; l" somnul ; 2" ombilic. 



EXAMENS ORAUX DE 1901 (ÉCOLE POLYTECHNIQUE) 317 

2620. — Ktant donnée la quadrique (/T, ;/, 3) = 0, écrire que le plan («E 4- ri/ -t- "': + r = est : 1° plan principal; 
2" plan de l'équalcur de la surl'aco supposée de révolution; 3" plan cyclique. 

2021 . — Ecrire que l'équation générale du deuxième degré f[X, j/, i) = représente : 1° un sysième de deu.\ plans 
rectangulaires; 2° un cylindre de révolution. 

VI. — Géométrie descriptive. 

2622. — On donne un tétraèdre défini par les longueurs de ses arêtes. Trouver la pUn courte distance et la perpendi- 
culaire commune h deux arêtes opposées. 

2623. — Etant données les projections d'un tétraèdre, mener lis plans Ijissecleurs d'un des dièdres. 

2624. — Représenter un cube dont une diagonale est inclinée à 4.j» sur l'horizon. 

2625. — On donne un tétraèdre reposant sur le plan horizontal. Construire la somme de tous les dièdres intérieurs de 
ce tétraèdre. 

2626. — Distance d'un point à une droite de profll. 

2627. — Construire une horizontale rencontrant deux droites lixes et faisant avec elles des angles égaux. 

2028. — On donne une droite D et un point M. Par la droite U on mène un plan parallèle à la ligne de terre, et on 
demande l'angle de ce plan et du plan passant par la droite U et le point M. 

2629. — On donne un plan délini par deux droites qui se coupent. .\ et B. Mener par la droite A un plan faisant un 
angle donné avec le plan donné . 

2630. — On donne par leurs projections une droite D et deux [loints \ et I!; trouver les plans bissecteurs du dièdre 
formé par les deux plans lA, D) et (B, D). 

2631 . — On donne par leurs projections une droite D et un point I', directrice et foyer d'une parabole. Construire les 
projections de celte parabole. 

2632. — Plus courte distance d'une droite et d'un cylindre dont la directrice est un cercle horizontal. 

2633. — Etant donné un plan déQni par deux droites et la projection horizontale d'une conique située dans ce plan, 
trouver les contouis apparents d'un cône ((ui a pour base celte conique. Intersection de ce cône avec le bissecteur du 
deuxième dièdre. 

2634. — On donne la base d'iui cylindre absolument quelconque, combien faut-il dépeints pour déterminer le cylindre ? 
Faire les constructions en sujiposant que la base est une parabole. Combien, dans ce cas, y a-til de solutions ? Et si la base 
était une courbe plane de degré m ? 

2635. — On donne une conique, combien faut-il donner dépeints pour déterminer un cône passant par cette conique ? 
Le nombre nécessaire de points étant donné, construire le sommet. 

2636. — On donne un cùnc défini par sa directrice qui est un cercle horizontal et son sommet. Trouver les contours 
apparents du cône supplémeiitaiie. On donne l'une des projections d'un point de ce cône, trouver l'autre et le plan tangent 
au point. Intersection d'une droite et du cône supplémentaire. 

2637. — On donne un cône défini par son sommet rt une coniiiiie horizontale. On prend l'intersection d'une ilroite 1) 
et de ce cône, et on demande de mener par cette droite un plan coupant le cône suivant une conique admettant pour som- 
mets les points de rencontre de la droite et du cône. 

2638. — On donne un plan par ses traces et dans ce plan une circonférence donnée en rabattement; section par un 
plan vertical d'un cône ayant pour base la circonférence. 

2639. — Intersection d'un cône de révolution à axe vertical et d'un plan défini par la ligne do terre et un point. 

2640. — On donne trois points A, B, C et on considère le cercle passant par ces trois points. On demande l'ombie au 
flambeau de ce cercle sur un plan horizontal. 

2641. — Montrer géométriquement (|ue dans un cône à base circulaire, la direction antiparallèle est la seule ([Ui donne 
des cercles. 

2642. — On donne quatre points A, if, C, S dans l'espace et on considèie le cône ayant pour sommet le point S et 
pour base le cercle passant par les points A, B, C. Interseclion de ce cône avec un plan quelconque. Délerniincr la seconde 
direction de plans cycliques. 

2643. — On donne dans un plan linrizoiital un cercle et une droite. Le cercle est la directrice d'un cône dont le sommet 
eU donné. Mener par la droite un ijlan coupant le cône suivant une parabole. Déterminer l'axe et le sommet de celte 
parabole. 

2644. — On donne deux droites qui se coui)ent : une conique située dans leur plan est définie par sa projection verticale. 
On considère un cylindre ayant pour base cette conique et dont la direction des génératrices est donnée. Intersection de ce 
cylindre avec le plan bissecteur du deuxième dièdre. 

2645. — On donne un plan par deux dniiles (|ui se coupent, et une ellipse située dans ce plan et dont la projection hori- 
zontale est un cercle donné. Trouver le grand axe de celte ellipse. 

2646. — On donne dans un plan défini (lar deux droites qui se coupent une coni(|ue dont la projection horizontale est 
un cercle. Cette conique est la base d'un cône dont on donne le sommet. Trouver les directions des autres sections planes 
qui se projettent suivant des cercles. 

2647. — Intersection de deux cônes de révolution dont les axes sont respectivement dans le plan vertical et dans le 
plan horizontal. 

2648. — Intersection d'un cône de révolution dont l'axe est vertical et d'un cône de révolution dont l'axe «si 
horizontal. 



318 EXAMENS OUAIX DE 1901 (ÉCOLE POLYTECIIMQUE) 



2G49. — Intersoi-lion d'un cône de révolution dont l'axe est dans le iilan vcrticnl et d'un cylindre de révolutioD dont 
ra\e e?! dan* le (ilaii horizontal 

26r>0 — In cône a pour dircolrico un cercle dans un |.lan quelconciU"' et un sommet donné. Le cercle est défini par 
son rabattement sur le plan liorizoïilal. Ce rahattcment ol la directrice d'un cylindre dont les génératrices sont de front. 
Intersection des deux ïurfaccs. 

2051 . — On donne la hase d'un cône dans le plan horizontal, le sommet (.s, j') et une génératrice ; on iircnd un point 
(a, a ) sur la génératrice. Couper par un second cône tel que l'intersection ait un point douhlc en (a, a'). Peut-on a\oir un 
point de rehronsseincnt en \a,a') '.' 

2«r»2. — On donne un cylindre hyperbolique ayant sa base dans un plan horizontal. Trouver un cône tel que l'inter- 
section présente deux asymptotes parallèles. 

2(iôU. — On donne dans le plan horizontal une parabole ; c'est la directrice d'un cylindre dont les génératrices sont de 
front. In cercle bitancent à celte parabole est la directrice dun cône dont le sommet est dans le deuxième bissecteur. Inter- 
section des deux surfaces. 

2U5'>. — On donne un parallélogramme .\BCD situé dans le plan horizontal. On demande l'intersection des cônes 
engendrés l'un par .\l) tournant autour de AC, l'autre par AC tournant autour de l!C. 

2(>r>ri. — Intersection des deux cônes de révolution •■lilenus en faisant tourner un triangle rectangle horizontal succes- 
sivement autour des côtés de l'angle droit. 

2(>5G. — Comment se coupent deux cônes du deuxième degré (|ui se raccordent le long d'une génératrice '? 

2057. — Intersection de deux cônes qui ont pour directrice commune une conique dans le plan bissecteur du second 
dièdre. 

2G58. — Construire une sphère passant par un point donné et par un cercle situé dans un plan vertical. 

2tiô9. — tiant donnés deux points X et 11, construire une sphère passant par ces deux points el tangente au plan hori- 
zontal itu point n. 

2660. — On donne un prisme vertical dont la base est un carré dans le plan horizontal. Ce prisme est limité à un 
autre plan horizontal. Sur cette autre base du prisme se trouve une demi-sphère dont le centre est le centre du carré supé- 
rieur. Ombres du s; sterne. 

2661. — On donne une sphère, un point A sur cette sphère ; par le point A on mène une droite, el on demande de 
trouver le deuxième point de rencontre de cette sphère et de la droite. 

2662. — On donne les projections d'une sphère et la projection verticale d'ime droite. Déterminer la projection hori- 
zontale de la droite de manière que la droite soit Lingente à la sphère. 

2(>6:( . — ('^instruire une sphère tangente aux plans de, projection, ,i un plan de profil donné et passant par un point donné. 
26('i't. — Ombre propre et ombre portée sur le plan horizontal d'un cUindre de révolution dont l'axe est horizontal. 
2C65. — On coupe un cylindre de révolution a axe \erlieal par un idan parallèle à la ligne de terre et faisant avec le 
plan horizontal un angle de 15'. Ombre du tronc obtenu sur le plan horizontal. 

2(>(>i;. — Intersection d'une droite et d'un cylindre de révolution défini par son axe et un point. 

2007. — On donne dans le plan du table.iu deux droites concourantes: ce sont les génératrices de contour apparent 
d'un cône de révolution dont l'axe est dans le plan du tableau. Mener par un point p de ce plan des plans Ungents au 
cône. 

2668. — On donne un cylindre dont la directrice est un cercle situé dans le plan horizontal, et une droite A rencon- 
trant le plan horizontal au point S. l'.onstruire un cône île révolution ayant pour sommet S, pour axe A et tangent au 
cylindre. 

266U. — l>)nstruire une horizontale s'appuyant sur deux droites données et faisant avoe l'une d'elles un angle donné. 

2670. — l'ians tangents parallèles 'i deux cônes de révolution. 

2671 . — On donne deux droites, l'une horizontale, l'autre de front. Mener par l'horizontale un plan qui fasse axec la 
frontale un aniile donné. 

2672 — Section plnne d'un cône de révolution délini par son sommet et une sphère inscrite. Nature de la section ; 
nsjmplole!.. 

2673. — C/instniire un plan tauKent commun à deux sphères faisant avec le plan horizontal un angle donné. 
267 4. — .Mener une droite rencontrant deux droites données el faisant avec chacune d'elles un angle donné. . 
2075. — Construire un liyperboloide de révolution à une n.ippe connaissant une scclion plane elliptique, un point de 
l'aie et une direction de génératrices. 

2G70. — Construire un hyperboloide de rétolution à une nappe connaissant une section plane cllipti<|ue cl une géné- 
ratrire. 

^®"- — Déterminer la trace »ur le plan du cercle de gorge d'un cône de somnicl donné circonscrit k un hyperlwloïdc 
de révolullon a axe vertical. Ilranches infinies de la rniirbi'. 

2678. — (In con-ldèrc la surface naiirhe de révolution engendrée par une droite A tournant autour d'une droite A. 
On donne un point I*, el on considère le plan passant par I' <l A ; e'ost un plan langent; trouver son point de contact. 

267». — Trouver le polo d un plan de bout (lar rajiport a une surface gaiirhe de ivmiIiiIIoii définir par son axe vertical 
et uiif i.'éiiératnre île front. 

2niMJ. — Conutruire un cylindre parabolique connaissant quilic points dans un plan et deux points en dehors. 
2681 - On donne un p.iraboloide de révolution n ave virlical. «'.onstruirc le cône circonscrit de sommet 0, et trouver 
M tr.irc liorIxonUlc. Ver» quoi icnd cette liaie >j U- pumi n «abaisse en restant sur la même verticale ? 



EXAMENS ORAUX DE 1901 (ECOLE POLYTECHNIQUE) 319 

2682. — Ktant donnés un ellipsoïile du révolution à axe vertical ot une direction I), D', construire le plan diamétral 
conjugué de cette direction. 

2G83. — On donne un paraboloide a plan directeur horizontal et deux génératrices du système non horizontal. On 
fait tourner d'autre part une génératrice délinissant ce paraboloide autour d'un axe vertical qui ne la rencontre pas. Inter- 
section de la surface engendrée et du paraholoïde. 

2<«84. — On donne deux plans de bout 1'' et i}' ayant même trace horizontale et deux circonférences dans le plan 
horizontal. L'une est la projection d'une courbe d du plan I'', l'autre est le rabattement d'une courbe Ci du plan Q'. Les 
deux courbes Ci et Ci déterminent-elles une quadrique '.' 

2(»8ô. — Intersection d'un cylindre de révolution dont l'axe est dans le plan horizontal et d'une sphère ayant son centre 
dans le plan horizontal. 

268G. — Une ellipse située dans le plan horizontal a pour centre le point o et pour gr.md axe nh. Cette ellipse en 
tournant autour de son grand axe engendre un ellipsoïde. On demande l'intersection de cet ellipsoïde avec un cône de 
révolution dont le sommet s est dans le plan horizontal, dont l'axe passe par le point o et dont l'une des génératrices passe 
par le point a . 

2087. — Un cijne de révolution a pour base une ellipse dans le plan horizontal. On donne un point de l'axe du cône. 
Le cône est-il déterminé ? On fait tourner l'ellipse autour de .son grand axe, elle engendre un ellipsoïde dont on demande 
l'intersection avec le cône de révolution. 

2688. — Intersection des surfaces engendrées par une droite C tour-nant successivement autour de deux droites A et B 
situées dans un même plan de front. 

2689. — On donne une verticale et deux droites .V et B. On considère l'hyperboloide déQni par les trois droites et la 
surface gauche de révolution engendrée par A tournant autour de l.i verticale. Intersection des deux surfaces. Tangente en 
un point. L'intersection a-t-elle des points doubles'? 

2690. — On donne un cône ayant pour base un cercle horizontal. Trouver la plus courte distance d'un point à ce 
cône. 

2691. — Ombre propre et ombre portée d'un parabo'oïde de révolution à axe vertical. 

2692. — On donne un cylindre de révolution ;i axe vertical reposant par sa base sur le plan horizontal et limité supé- 
rieurement par un plan horizontal. Une demi-sphère dont le centre est sur l'axe du cylindre repose sur la base supérieure 
du cylindre. Ombres du système. 

2693. — On donne dans le plan horizontal un parallélogramme dont les couples lU: côtés opposés sont les génératrices 
de contour apparent horizontal de deux cylindres de révolution dont les axes sont dans le plan horizontal. Intersection. 

2694. — Ombre d'un hémisphère creux, tangent au plan horizontal, le plan de base étant horizontal. Les projections 
des rayons lumineux font 43° avec la ligne île terre. 

2695. — On donne les projections de quatre points A, li, C, D. Construire les sommets des cônes passant à la fois par 
les deux cercles .\BC et AliD. 

2696. — On donne un segment horizontal OA, puis un segment OB perpendiculaire à 0.^, et enttn un segment OC 
perpendiculaire au plan OAB, et on considère l'ellipsoïde ayant pour demi-axes OA, OB, OC. Trouver les plans de sections 
circulaires de cet ellipsoïde. 

2697. — On donne un paraholoïde à plan directeur horizontal par deux génératrices A et B non horizontales. La 
droite A tourne autour d'un axe vertical la rencontrant. Intersection du cône et du paraholoïde. Points doubles de l'inter- 
section. 

2898. — Détcrjuiner un paraholoïde de révolution connaissant une section plane et un (loint. 

2699. — On donne un hyperboloïde de révolution à axe vertical; on demande son intersection avec un cylindre de 
révolution ayant une génératrice commune avec l'hyperboloide. Les axes des deux surfaces se rencontrent. 

2700. — Intersection d(^ deux pai'aboloiiles hypei'bolii|ues ayant |)Oui' plan directeur commun le plan bissecteur du 
second diètre etdélinis chacun par deux droites non [larallèles au plan directeur. 

2701. — On donne un paraboloïile hy(icrboiique défini par un plan directeur horizontal et deux générati'ices non 
horizontales; on demande de lui mener un plan tangent parallèle au second bissecteur. 

2702. — Etudier la surface de révolution engendrée par une conique située dans un plan de bout et tournant autour 
d'une verticale. Degré de la surface. Peut-il s'abaisser ? Points doubles de la méridienne. Y a-t-il des plans coupant cette 
surface suivant une quartique unicursale '.' 

270:{. — On donne un cercle horizontal et deux droites, dont l'une verticale, rencontrant le cercle. Existe-t-il une 
quadrique contenant le cercle et les deux droites '.' Section plane par un plan de bout. (Centre de la surface. 

27(>'t. — On lionne deux cercles dans un plan horizontal et une verticale pa<sant par un de leurs points d'intersection. 
Deux hyperboloïdcs passent chacun par 1 un îles cercles et admettent la verticale donnée poui' génératrice commune. Sont- 
ils déterminés'.' On achève de les déterminer en donnant dans chacun d'eux une génératrice de même sysièuie que la verticale. 
Trouver leur intersection. 

27U3. — On donne trois droites dont l'une est verticale qui ilélinissent un hyperboloïde à une nappe. On considère 
une (juatrième droite rencontrant l'une des droites non verticales ; on demande le deuxième [mint de rencontre avec 
l'hyperbiiloïde. 

liTdO. — Un 'Innnedans le [dan hoiiznnlal uni' clli[isi' de foyer 1' et un point S. I. 'ellipse tournant autour de son grand 
axe engendre un ellipsoïde ; on demande l'Intersection de cet ellipsoïde avec le cône de ré\olulion qui a jiour axe SI' et 
pour génératrice l'une des tangentes menées du point S à l'ellipse. 

2707. — Ombres du système formé par un cône de révolution ;i axe vertical et une sphère passant par le sommet du 
cône de façon que le diamètre vertical de la sphère suit le prolongement de l'axe du cône. 



320 EXAMEiNS ORAUX DE l'JOl (.ECOLE POLYTECHNIQUE) 



27«8. — Oinluos ilo la niche. 

27t«>. — Kl;inl doniii' un prualioloï.lf Ii\|ieilioli(iiic enccinliv par une horizontale assujellie h rcnconlrcr deux droites 
lixes, trouver la trace lioriiontale d'un conc circonscrit ilc sommet donné. 

27 lO. — Ine quadrique est déllnie par deux ccicUs horizontaux et un point. Section de cette quadrique par le 
deuxième hissecteur. 

27i I . — On donne dans le plan horizontal un rectangle ABC.D ; on fait tourner la diagonale UD autour de CD et AB 
autour de Itl». Intersection des deux cônes obtenus. 

2712. — On doiuie dans un plan horizontal une ellipse et une droite A passant par un foyer. On fait tourner l'ellipse 
aut.iur de son grand axe et le grand axe autour de la droite a ; intersection des deux surfaces obtenues. 

27i;j _ Intersection d'iuic suiTace gauche de révolution à axe vertical et d'un cùnc parallèle au cône asymptote. 

27i'i. — InliTsectioM d'un hyiicrholoide de révolution ii axe vertical et de la surface engendrée par une droite 
s'appuvant sur deux génératrices de même système de l'hypcrholoide et sur son axe. 

2715 _ Intersection de deux cùncs de révolution a;ant même angle au sommet et leurs axes verticaux situés dans 
un même plan de front. 

2710. — On donne un paraholoïde hyperlioli(|ue défini par <lonx droites eladmetUint comme plan directeur le bissecteur 
du premier dièilre; section par le deuxième bissecteur. .Vsunptotes. 

2717. — On donne un hyperholoïdc de révolution à ave vertical et deux génératrices A, 1! de même système. Soit D 
une droite quelcon(|ue ; trouver l'intersection de l'hyperholoide donné aveclliypcrboloïde défini par les trois droites A, B, 1). 

2718. — l'n hyperboloide est défini par un cercle horizontal et deux génératrices dont une est verticale. Déterminer le 
centre de la surface et 1 intersection de la surface avec un plan de bout. 

2710. — Kéterniiner le sommet d'un paraboloidc avant comme plan directeur le plan bissecteur du deuxième dièdre 
et défini par deux génératrices, 

2720. — On dcinne un paraboloïde hyperbolique, par deux génératrices et un pl.in directeur horizontal, et un cône 
a\ant pour ^omlHet un point de la génératrice de bout de ce paraboloïde, pour génératrice une génératrice de ce parabo- 
loidc et pour base un cercle dans le plan horizontal. Inlerseclicindes deux surfaces. 

2721. — On donne une i.arabolc dans le plan horizontal et un point (s, ,•-') sommet d'un ciine ayant la parabole pour 
directrice. Ce cône est le cône asymptote d'une (juadriquc dont on donne en outre un point (a, a') sur la verticale du point 
(», s'). Construire le plan tangent au point (o, a'). 

2722 — On doiuic un point ,\, un plan 1' coupant une sphère S suivant un cercle C. On demande la trace horizontale 
du coiie ayant pour sommet A et pour directrice C. 

2723. — On donne deux droites D et A. Intersection des deux surfaces engendrées, la première par U tournant autour 
de i, la deuxième par A tournant autour de 11. 

\!l. — Statique. 

272'». — On donne deux cercles de centre et de rajoii U dans les plans des zx et des .ri/, et on considère deux 
poids appliqués en « et ? et décrivant ces deux cercles, de sorte que AOj = UU;; = t (A sur Ox, B sur Oy). Trouver 
le lieu du centre de gravité des deux points » et fi. Cas où les deux poids sont égaux. 

2725. — Effectuer la réduction des forces représentées par les côtés d'un polygone gauche fermé. 

2720. — La somme des moments des forces d'un couple par rapport à une droite est égale a la projection de l'axe du 
couple sur la droite. 

2727. — Si l'on réduit un système à deux forces de deux manières différentes, les quatre droites sont génératrices d'un 
même byperlKjluide. 

272K. — Combien faut-il do conditions pour écrire qu'un système de n points soit un système invariable'? En déduire 
le nombre des i onditions d'équilibre d'un corps solide. 

2720.— Condition d'équilibre «l'un point matériel pesant placé sur un plan incliné et attiré par un centre Oxe pro- 
I>orlionnclleiiient a In distance. 

2730. — In point .M est sollicité par des forces proportionnelles aux distances aux trois cùtés d'un triangle et dirigées 
Minant des perpendiculaires à ces cotés. Kquihbre de ce point. 

2731. — Trois points sont placés sur un cercle et se repoussent deux à deux pro|>orlionnellement ii la distance qui les 
hêparc. Y a-t-il une position d'équilibre '/ 

2732 — Lieu des droites de longueur donnée tangentes ii une sphère et ayant même monuiil par rapport a une 
droite 

2733. — l'eut-on remplacer un système de forces appliquées à un cor|is solide par deux forces rectangulaires dont la 
plus courte distance ait une longueur donnée 7 

2734. — On considère un cAlde non tendu, flxé n ses deux extrémités A l'I 11. In corps M y est suspendu au moyen 
d'une |>oulle. l'osilion iléquilibrc. 

2735. — Lieu des droites de l'espace passant par un puint fixe et du moment nul par rapport ii un système de forces. 
273U. — Ontre de gravité d'un segment de parabole liiiillé par une conle perpendiculaire h l'axe. 

2737. — Ktaiit donné un système de forces, montrer qu'il est possible de le réduire ii deux forces égales entre elles 
perpendiculaires l'une a l'autre, et cela d'une Infinité de manières. 

2738. — Mnnt donné un sytièmc de forces appliquées a un solide, peut-on le réduire ii deux dont l'une agisse suivant 
une droite donnée? 



ALGÈBRE 321 



2739. — On tioiinc un trianfçle ; au milieu de chaque cAté, on applique dans le plan du triangle une force perpen- 
diculaire à ce cùté, proportionnelle à sa longueur et dirigée vers l'extérieur du triangle. Montrer que ces forces se font 
équilibre. Le théorème est-il \rai pour un polygone plan queIconi|ue ? 

2740. — On donne un cercle dans un plan vertical et deux points pesants assujettis à se déplacer sur le cercle. Ces 
deux points se repoussent proportionnellement ii la distance. Trouver la position d'équilibre du système. 

2741. — Lieu des segments de longueur 1 qui ont même moment par rapport à trois droites. 

2742. — Un système invariable formé de deux points est attiré par deux centres fixes proportionnellement à la dis- 
lance. Trouver la position d'équilibre. 

2743. — In corps pesant l.'JO kilogs repose sur un plan incliné faisant un angle de .S(> avec le plan horizontal. On 
exerce sur ce corps une traction dont la direclion fait un angle de i'i" avec la ligne de plus grande pente du plan. Calculer 

'intensité que doit avoir cette traction pour que le corps soit en équilibre. Calculer la réaction du plan. 

2744. — Sur une poulie dont on néglige le poids passe une chaîne dont la longueur est 2 mètres et qui pèse 5 kil. 
par mètre. On suspend aux extrémités de cette chaîne d'un côté un poids de 'i Ivil., de l'autre un poids de 10 kil. ; trouver 
la position d'équilibre. 

2745. — Une barre pesante 0.\ est fixée en ; au point A est attachée ime corde passant par un point fixe B et sur 
buiuelle on exerce une traction T. En supposant 015 horizontal, trouver la position d'équilibre. Comment varie la force T 
quand l'angle .\01î varie? 

2746. — Une barre pesante 0.\, de poids /) et de longueur l, a une extrémité fixe 0. Au point B (Oli = d) situé 
dans le plan horizontal du point se trouve une poulie au fil de laquelle s'atlaclient d'un côté l'extrémité A, et de l'autre 
un poids P. Position d'équilibre de la barre. 

2747 . — Position d'équilibre d'une barre pesante dont les extrémités sont attirées par un point fixe par des forces 
proportionnelles à la distance. 

2748. — Un cable fixé en un point .\ passe sur une poulif B infiniment petite et supporte un poids P. Le long du 
câble, entre A et B. se déplace une poulie C portant un poids y. Equilibre du système 

2749. — Equilibre de deux sphères pesantes tangentes entre elles et tangentes chacune à un plan. 

2750. — Lne échelle AB de poils P est appuyée sur un mur vertical AC etsur le sol BC. Un homme de poids t: 
repose en D sur l'échelle. Quelle force horizontale faut-il appliquer en B (point où l'échelle repose sur le sol) pour qu'il 
y ait équilibre? 

♦ 



QUESTIONS PROPOSEES 



1067. — On considère l'hypcrltoloïde à une nappe 

.v'H-2i/ — 8:^~ 1 = 
et son cône asymptote. 

1» Trouver l'équation ijénéralc des sphères (S) passant par l'orii^inc et par l'une des sections circu- 
laires (te ce cône. Trouver cnsuilc le lien des centres de ce.s sphères et le lieu des pôles des plans tangents au 
cône asymptote par rapport à l'une d'elles. Expliquer géoinétriiiuement les résultats obtenus. 

2° Trouver l'équation générale des sphères (S) orthogonales à toutes les sphères (S). On considère le sys- 
tème de cercles délenninés sur le plan des xij par celles de ces sphères qui ont leurs centres sur l'hyperbo- 
loïde. Former l'équalion générale de ces cercles en l'onction rationnelle d'im paramètre et trouver le lieu des 

points de rencontre de deux des cercles de ce svstème qui se coupent à anijle droit. 

E. II. 

1068. — Une droite A est renconlrée par une série d'hyperboles et parleurs asymptotes en quatre points 
fixes. Monlrer que les points de contact des tangentes parallèles à A et les pôles de A sont sur des cercles lixes, 
et que les hyperboles sont tangentes à deux cercles fixes sur des droites passant par un point fixe. 

V.ASNIEB. 

— ♦ 

DEUXIÈME PARTIE 



AEGKIUIE 



1000. — Tinuver laiid-s les cqualioii.i du Iniisièuie drgré tulles (jue si l'on désigne par ï et '^ les 
racines de la dérivée par rapport à x, la dérivée par rapport éi la variahle d'homogéncilé prenne, pour 
a: = a el x = p, les valeurs ',i^ et 3ï. 

Trouver la relation qui existe entre les racines de l'une de res éipiations et voir ce quelle devient quand 
l'équation envisagée a une racine double. 



•Mi Aix.Knm-: 



Repn'senlonspar 

ax' ■+■ 3l>r- -1- 3cx -I- rf = 

l'équation du troisième dc^rv ; nous aurons 

■^fi=ax^^'2bT-i-c, — /•; = A.r''H-2cx-i-rf. 

3 " 

Les nombres désignés par i et p sont los racines de l'équation nx- -\- ^bx -i c = 0. et les 

relations imposées sont 

*«* -t- 2ca -t- (/ = ?, 

ftP' -+- 2cp -I- rf = a : 

elles di'Ierminent deux des coenicients, r et */ par exemple, en fonction des deux autres. Pour les 
obtenir facilement nous formerons deux équations symétriques en a et ^. La première s'obtient en 
relranchanl les deux relations données et divisant la relation ainsi obtenue. Par a — ^ ; ce calcul nous 

donne /»(n- P) -+- 2c + 1 = 0, puis, c = ■ — —H La seconde s'obtient en multipliant par ?, a 

et retranchant, puis divisant le résultat par » — i; ce calcul fournit la relation Aii — rf -h« + ? = 0, 

//c 26 
ensuite o = » 

ti a 

//' 56 
ou d = — - — 



n 



2 



2a 



6 1 

Cela posé, divisons l'équation étudiée par n, remplaçons-y les coedicients - el — par / et ji et 

c d 

— , — par les valeurs calculées précédemment exprimées en fonction de À et i^-; nous aurons l'équa- 
a a 



tion générale cherchée 

Cette équation peut se mettre sous la forme très simple 

2(x 4- ly — ii'-.ix ■+- 5X) = 0. 

Appelons «', 'fi', •/ les trois racines de cette équation et c,, -a, ■s, la .somme de ces nombres, celle 
de leurs produits deux à deux et le produit des trois, nous obtiendrons les trois relations 

3X = - a„ 
elles nous donnent successivement 



3X«- 


3,. 
2 




' = -f 




^= i) 3' 






-!:-U,,=o, 



puis, 

ou 

(2) 

Telle est la relation demandée. 

Si nous supposons que deux de ces trois racines soient égales, a' = p' = u et y' — v, nous 
aurons îi - 2m -t- 1>, o, = itiv + u', », = i/'r ; la relation (2) devient alors 

'i(2i/ -)- .•' - 15(2m -+- v){iuv -t- w')-|-27u't» = 0, 
ou, toutes réductions faites, 

(3) m' - a»!)' -H 2u' = 0. 

Kl|e sp dérompose en (u — r)* = et h -f- 2i' = ; la première est à rejeter car nous ne 
supposons pas qiif rérpiation proposée ait une racine triple ; la seconde est la relation (iemaiidée. 

liaiiH ce cas particulier, la somme des roeines est — '-iv; nous avons donc t' = ), puis |i = 2X'; 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



323 



il en découle que la dérivée admet une racine nulle, ce qui était d'ailleurs évident a priori d'après les 
relations imposées à a et p. 

Bonnes solulions : MM. C. Fadveiimer ; J. MAncBAt. 
Solution sa'.isfaisaole : M. F. Pégorier. 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



1014. — On considère l'ellipse et l'hyperbole ayant mi'me centre et pour équations respectives 

ir-x^ -+- ahf- — aH'- = 0, 
ô*j;2 _ aijy2 _,_ a^%a'- — h') = 0. 
Soit PQ la corde polaire d'un point M de riiyporbolc drinx VcUipsc. 

1° Montrer que les liitsertrircs de l'anyle PO(J ont des directions fixes. 

2° Trouver le lieu du pied de la symédiane issue de dans le triangle OPQ. 

1. Soient Xo, ?/„ les coordonnées du point M ; nous avons la relation 

(1) h'-xl — ahjl H- a^h\n^- — //-) = 0. 

La droite PO a pour équation h^rxa -i- a-yyo — a-li^ = 0, par suite l'équation de l'ensemble des 

droites OP, OQ est 

a^b\h"-x^ -H ahf) — [b"-xXo -f- ahiy,f = 0, 

ou h^x-{a- — xl) — 2a'h-x^yoXr/ -t- ah/-{b"- — yl)=0. 

. Les bissectrices de l'angle POQ ont alors pour équation 

- a%-x,y,{f- - x^-) -+- [b\a^ - x') — a'(// - yl)]xy = 0. 
Or le coetïïcient de xy est nul, d'après la relation (1); l'équation de l'ensemble des bissectrices S^e 
réduit donc à x- — y- = 0. Ces bissectrices ont des directions lixes. 

2. La droite OM passe par le milieu de PQ; elle coïncide avec la médiane du triangle POQ. On voit 

if 7/ 

ainsi que cette médiane a pour équation .^ = ■^. Dès lors, comme les bissectrices de l'angle POQ 

X Xq 

sont les bissectrices des axes de coordonnées, la symédiane a pour équation — = — , ot le pied de 

cette droite est défini par les équations 

(2) xxo — ?/.Vo = 0, 6-JJ'o -+- ahjy^ — aH- = 0. 

Nous aurons l'équation du lieu en éliminant xo, y» entre ces 
deux équations et la relation (1). 
Les équations (2) nous donnent 

^« = (a= -+- h^-)x ' '-'" ~ {a'- + b'')y ' 

et en portant ces valeurs dans la relation (1) nous trouvons 

{a"- — h^){a"- -t- h^xh/- -h a'-b\hh/' — a'x^) = 0. 

Cette équation représente une courbe du quatrième degré 
symétrique par rapport aux deux axes, admettant un point 
double à l'origine et deux asymptotes parallèles à Go;. 




On la construira aisément en résolvant l'équation par rapport à y-. 
Bonnes solutions pnr MM. R. Iîol'vaist ; C. he Fiiance. à Versailles, et Soui.s. îi Cnndom. 



G. FAUVERNIER. 



324 



GÉOMÉTIllE ANALYTIOLK 



1015. — 0(1 donne une circonférence eldeur jioinls A, B sur cette courbe. On considère toutes les 
hi/prrholes équilnti^res passant par A el R, et tanijentes au rercle. Lien des rentres de ces hi/perholes. Lieu 
des pôles de AB par rapport à ces hyperboles. 

Prenons pour axe des x la droite AB el pour axe des y une perpendiculaire à AB passant par son 
milieu 0. Le cercle a son centre sur 0»/, et son équation est do la forme x--4-(i/ — a)-— U' = 0. 
Une tangente quelconque à ce cercle a pour éinialion x cos o -+- (y — a) sin 9 — Il = ; par suite 
l'équation générale des coniques passant par A el H et tangentes au cercle est 

X|j-'-(-(i/ — (i)» — R2] 4-2i/;.rcosç-+-(;/ — fljsino — Il = 0. 

Pour que cette équation représente une hyperbole équilatôrc, il faut qu'on ait > = — siii o. Rem- 
plaçons > par cette valeur, simplifions; l'équation devient 

f r, y) ^ — sin 9 {.r' — i/') -+- 2.ii/ cos ç — 2Ry — sin & («' — II') = 0. 
Le centre est délerminé par les deux équations 

— /",' ^ — X sin 9 -H '7 cos 9 = 0, — /',', es j/ sin 9 + ar cos 9 — H = 0. 

L'élimination de 9 entre ces deux équations est fort simple: il su dit de les écrire — i sin 9 -f- y cos 9 = 0, 
y sin 9-1- r cos 9 = II, de les élever au carré el de les ajouter membre à membre. On obtient pour 
équation du lieu a:- + y- = R- : celte équation représente un cercle égal au cercle donné et ayant 
pour centre le milieu de .\B. 

Le pôle de AB est défini parles deux équations 

1 1 

— f[ ^ — X sin a + y cos 9 = 0, —/■': es — Ry — sin 9 (n' 



V V 

De la première, on tire Igc = —, et par suite sin 9 = 

° ■ X '/.T-i-^ yS 



R^) = 0. 
Portons celte valeur dans la 



seconde, divisonspar y, puis élevons au carré ; nous trouvons comme équation du lieu a-- 4- y* = 
cette équation représente un cercle ayant encore pourcenlro le milieu de AB. 






(3. lAUVl-ilMLll. 
SoluUoDs iDalogues par MM. E.-N. IUrisiïn; 0. np. Fiian^f, i Versailles; RAnoAnocx cl Portalier, lye#c d'Algor. 



Soliillon flr-iinit''Iri(jue. 




Snil lu le rentre du rorrle : ronsidérons une lijperbole |iassanl par A el R cl 
louctiaiil lo cercle au point C\ dO est pcriicndiculairo à .\H 
el ui; |M'i'p('n<ti('iilaire à la tan^'cntc coninnmc Gll. Désignons 
par K cl K les points de rencontre de AI! cl des asymptotes, el 
par II cl II les points de rencontre de la tangente en <; avec 
les mcmi's (Iroiles. AI! et illl l'ont avec les axes de l'hyperbole 

les nicines angles en m'iis rmilraire, donc i^til = HKI. Or 
d'après une propriété connue de l'hyperbole équilalère les tri- 
angles l(»K et ici; sont isocèles ; donc 

ÎÏÏE = rîÈr = CÏ(T = lTÎ(!? 

Prfdongeons CI jusqu'en P; nous avons CKi = IMF; donc 
PIF = fEI''; par suite PI est iierpeiiHicidaire à .\I! el |iarallilc 
il wf». (»n \oit (le même que lo est parallèle à C<u. Itoiic la 
figure IitiuC est un parallélogramme, et !•• = V.«i =11, Il di'- 
.signnnt le rayon du cercle. 

Le lien du point I est donc un cercle égal ou cercle donné 
cl nynnt pour centre le point O. 

I.e pi'ile M de Al! est sur la droite |0 et l'on a 

iK'= IM.Iii. 



TRIGONOMETRIE 



3^3 



Or IK = IC, piiisiiii; les diaiiictres 10 et IG l'ont des angles égauit avec les axes, donc IC = IM.IO. 
Mais IC et 10 ont des longueurs constantes, par suite IM est constant, il en est de même de OM, et on voit 
que le lieu du point M est un cercle ayant pour centre le point 0. 



P. TUIBIEU. 



Solulion géométrique cxacle mais ittcoinplètn p;if M. R. BouVAisr. 



TRIGONOMETRIE 



986. — On considère un triangle ABC et un point D pris sur BC. 

i" Trouver la condition nécessaire et suffisante pour que les rayons des cercles circonscrits aux triangles 
ABD, ACD soient respectivement proportionnels aux segments BD et DG ; 

2' Cette condition étant remplie, chercher cellequi doit être satisfaite pour i/ur l'on puisse construire un 
triangle avec les données AD = a, BC = a et l'angle A. 

'i" Construire graphiguement le triangle ABC, sachant que a = 9'^'", « = Cc-a et A = 64°. 

[École centrale, concours de 1900, 2" session.) 

^° La figure peut présenter deux cas suivant que le point D est situé sur la base BC du triangle ou 
sur son prolongement. L'énoncé semble indiquer que le point D est pris sur la base entre B et C. Rien 
n'enipèche de généraliser la question. 

A A 





Désignons par A, l'angle B.\D, par A^ l'angle DAC ; on a, dans tous les cas, 



BD 

sinA, 

PC 
sin A., 



d'où on déduit 



DA 
sinB 
_DA_ 
sin G 
R^ _ AB 
R, ~ ÂC 
BD 



AB 
sIdD 

AC 
sinD 



= 2R„ 
= 2R», 



Or, par hypothèse, on doit avoir — — = 

R.) DC 



Le point D doit donc être pris de façon que l'on 



ait 



BD _ AB 
DC ~ le' 
autrement dit le point D doit être le pied sur la base BC de l'une des deux bissectrices de l'angle A. 
2° D étant le pied de la bissectrice intérieure, cbercbons à construire un triangle connaissant 
BC = a, l'angle A et la longueur de la bissectrice AD — a. Ayant décrit 
sur BC comme corde le segment capable de l'angle A, il reste à mener par 
le milieu M de l'arc B.VIC une sécante MDA, de façon que DA = i. Le 




problème sera possible pourvu que a soit inférieure à 



IM =2- cols -2 



et 



décrit l'arc BM C, 



il admettra deu\ solutions symétriques jiar rapport au diamètre MM', ce qui 
donne deux triangles égaux, par suite une seule solution du problème. 

Plaçons-nous maintenant dans le second cas de figure. D' étant le pied de 
la bissectrice extérieure, il faudra mener par le point M' une sécante M'.\D' 
de façon que AD' = a'. Le iiroblèmc sera toujours possible car lorsque A 
prend toutes les valeurs do ii 4-x . 



326 



TlllGONOMÈTlUE 




el en ajoutant (BU + DC = a). 



Nous allons retrouver ces résultats en nous proposant de 
résoudre (i'énunci' dit simplement cnnslruire) le triangle ABC dans 
les conditions indiquées. 

Soient <lonnés AD = a, BG = a et l'angle A. Dans les 

relations du début, nous ferons A, = A, = — ; d'où il vient 
BD a DC a 



. A 
sin- 



sinB 



sin 



sin G 



sin- 



/ 1 1 \ 

\ sinB sinC /' 



d'où l'équation 



1 



csin- 



1 sin B -H sin G 

sinB ~^ sin G sin B sin G ' 



or on connaît la somme B -^C = ISO"- A, doù —^ = 90"- — ; tout revient à calculer 



B — G 



On a 



B4-C B — G „ A B — G 

sinB-+-sinG = 2 sm — - — cos — - — = 2 ces — cos ■ 



2 sin B sin G = cos (B — C) — cos (B + C) = 2 cos^ ■ 



2 
B — G 



2 cos= 



B-i-C 



d'où 



sin R sin G = cos^- 



B— G 



— sin- 



l'ortant dans l'équation précédente et l'ordonnant . il vient 



cos 



, B-G „« . A A B-G A 

«_- 2-sm — cosycos— ^ sm'-^- = 0. 



Cotte équation a toujours ses doux racines réelles et de signes contraires; la racine positive seule 
peut convenir ; il faut pour cela qu'elle soit inférieure à 1 el (\ue. de plus elle fournisse pour B et G des 
valeurs comprises entre et 180°. Or si l'on substitue el 1 dans le premier membre, on obtient 

/■(0) = -sin«A.<o, 

A 1 A A * 

/'(l) = cos' -^—2- sin -cos— • 

f{i) doit être positif ou nul, ce qui exige que l'on ait » < -5- <^°'fe'"i" ' C^^^^ condition remplie, soit o 

p n 

l'angle fourni par les tables; on en déduit (en supposant B < G) — ^ — = — <f, et en combinant 

I» -»- 1: ,^ A 
avec — - — = 90» — — . 

t 2 



B = IW - — - ? , 



G = yo°---^?. 



TRIGONOMÉTRIE 327 



Pour (|ue ces valeurs soient positives et moindres que 180", il sullira que l'on ait 

<?<90°-4' 
ou cos ç- > cosf 90" — -^j. ou encore cos9>sin-— J 

autrement dit fi sia— ) doit être négatif. C'est ce qui aura toujours lieu, comme on le vérifie facile- 
ment. La seule condition est donc ^^-^colg —> condition trouvée plus haut. 

Soient maintenant AD' — a., BC = n et l'angle A les données. En nous reportant aux formules 

TT A t: A 

du début et faisant A, =— -h-— -> A, = —- -, il vient 

BD' ï CD' a 



A sin B A sinC 

cos Y COS y 

et en remarquant que « = BD' — CD' (dans l'hypothèse B < C), 

1 I 



^ = J_' L_\ 

A ^\ sinB sinC / 



cos ^ 

,, , , . a 11 sinC — sinB 

d oui équation — = -^— ^tt = — ■ r, ■ n ' 

A sin B sin C sin B sin G 
a cos — 

ou toutes réductions faites, 

. ,C — B „« . A. A . G-B , A 

sin" —^ h 2- sin — cos — sin — ^ cos- -^ = 0- 

Cette équation a toujours ses deux racines réelles et de signes contraires ; la racine positive est plus 
petite que 1 /'(l) > OJ. Soit o l'angle fourni par les tables ; on aura encore 

B — C 



_A „ „„ A 

I 

valeurs acceptables pourvu que l'on ait 



d'où B = 90° — -V — 'i, C := 90" ^ 

z ' 2 



?<90o-A 



c'est-à-dire sin <a << sin 



in(u0«— -^ 



qui peut s'écrire sio o < cos — • 



Cette condition est toujours remplie /"[cos -3 ) > Le problème proposé est possible quel que 
soit 3.'. 



3i8 



QUESTIONS l'UUl'USKES 



3* l'our consiruire {rraphiqucment le trianjrlo AUC. nous remarquerons que l'on a, dans le premier 
cis de ligure, 

MD.MA = Ml. MM = MB% 

et MA— MD = AD = a; 

on csl ramené à construire deux longueurs connaissant leur dilTérence et leur produit. 




I" cas. 




Dans le second cas, on a de même 

M'D'.M'A = M'I.M'M = W¥. 
MD— M'A --^ AlV = a'; 
on est ramené au même problème. 

Les figures ci-dessus donnent les constructions à efrectucr dans les deux cas. 

IloOOC MlutiOD : M. P. TllONET. 

Snlabon ciacle de la (TCniière païUc par .M. T. I.BiiotNE, i Tioycs. 



QUESTIUNS PROPOSÉES 



1069. — l.ji tangtnle en un point M iluni' |i:irii|i(ile rcnrculn- la clircrliicc en T. Construire les deux cour- 
l»o qu'on oliUcnl en ilicrchanl le lifu ilii >>nirtri(|Mi' de i par rapporta M et le lii'u ilti syinclriqtic de .M pai' 
rapport à T. 

K.-.N. IIahisik.n. 

1070. — Liant ilnnnrs trois points K, F, I, de I ci c cniir'' avec un rayon variable on déerit un cercle; 

pui» «m trace une conique ayant F et V coninie foyerh cl lunyriile à ce cercle. 

Lieu du point de contact. 



Lf Uédaclcur-Géranl : 11. VLlbEKT. 



■A>-ui-iiiic, lar. buaTt-jA(.ui'Ki ■ 



12° Année. 



N" 2. 



Novembre 1901. 



REVUE DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES 



PREMIERE PARTIE 



PROPRIÉTÉS DU PARALLÉLÉPIPÈDE CONSTRUIT SUR TROIS GENERATRICES 
DE MÊME SYSTÈME D'UN HYPEKBOLOIDE A UNE NAPPE 



On sait que ce parallélépipède a un volume constant, mais il possède aussi deux autres propriétés 

qu'il est aisé d'obtenir par un procédé fort simple, souvent employé dans le cours de mathématiques 

spéciales, notamment dans la di-monstration des théorèmes d'Apollonius relatifs aux quadriques. 

Soit 

X2 Y^ Z^ 



(1) 



a' 



h' 



— 1=0 




^ î/ + P = 0, 



l'équation d'un hyperboloïde à une nappe rapporté à ses axes. Consi- 
dérons trois génératrices de même système de cette surface, A, B et G ; 
construisons sur ces droites le parallélépipède do Binet qui, comme oh 
le sait, a pour centre le centre de l'hyperboloïdc, et prenons comme 
nouveaux axes de coordonnées des droites passant par le point et 
parallèles aux droites A, B, C. L'axe Ox est choisi parallèle à A, et 
son sens positif est tel que l'abscisse de B soit positive, l'axe Oj/ 
parallèle à B et son sens positif est tel que l'ordonnée de G soit 
positive ; enfin l'axe Oz parallèle à G a un sens positif tel que la cote 
de A soit positive. Si on désigne alors par 2a, 2^, 2^ les longueurs 
des arêtes du parallélépipède, respectivement parallèles à A, B, C, les 
équations de ces trois droites sont 

= 0, ( a,' -H X = 0, 



B 



\' 



(; — Y = 0, " (a,--a = 0, [y- 

et l'équation de l'hyperboloide est, par rapport aux nouveaux axes, 



? = 0, 



(2) 



«: ZX XII 

f- -+- - -+- ^ + 1 = 0. 
PY ï« «P 



Pour passer de l'équation (1) à l'équation (2), on doit faire une transformation de coordonnées sans 
changer d'origine ; X, Y, Z sont alors des fonctions linéaires et homogènes de x, ;/, :, par suite, le terme 

constant de l'équation (1 ) ne change pas, et — + tt 

d'autre part X^-i-V^-i-Z^ se change en. j- -t- y- -t- c= -+-2j/scosX -h2:xcos !JH-2xt/cosv {\ = ijOz, 
fjt = :Ux, V = xOi/), on en conclut que les deux formes quadratiques 



Z" „ '/: =•'-' J'/ 

— se transforme en — ^ t- Gomme 

c- ^f ya ap 



v> yj vs 

'\-^T^-%r- S(X'^ -H Y'^ -h '£'), 
a- h- c- 



!/2 



ZX 



— Ç — --.^ — S(«;» + »î -I- ;2 -I- 2i/= cos >. -+- 2lX COS }>. -\- 2x1/ COS v) 
PY Y» »P 



330 r.\R.\LLÉLÉPlPÈUK CONSTRUIT Slll TROIS GÉNÉRATRICKS DUN IIYI'I-RHOLOÏDK 



COSv 



^)=». 



:»? ; 



se déduisent l'une de l'autre par une substitution linéaire et homogène, et cela quelle que soit la valeur 

de S. 

11 en résullc que les L'(iualions obtenues en égalant à zéro les discriminants de ces formes 
sont des équations en S ayant mêmes racines. 

Ces équations peuvent s'écrire 

- S* -+- S^S cos À + ^) ' - ,-S (^S cos ;. 4-5l^y + S (^S cos V + — y 

_2(scosÀ + -5L)(scos,. + ^)(s 

MU, en chassant les dénominateurs et eu urdounaiil, 

a»6VS' — S*(6*c»-t- c'a* — <r-i») — S («»-+-&* — c-) -+-1 = 0, 
4i»^'y« û S' — 4iâY S' [» (cos X — cos [Ji cos v) + f. (cos jx — cos v cos À) -+- 7 (cos V — cos /• ces Ji »1 

_ S (a- -1- ^2 _,. .,2 _ 2^Y cos l — 2vi cos ;JL - 2ajl COS v) -+- 1 = 0, 

cil u désigne comme d'iiubilude le délerniinanl 

1 lOS V cos [1 

cos V 1 cos "/ 

cos iji cos À l 
Écrivons que ces équations ont mômes racines ; nous obtenons les relations 

(I) 4i'flxQ = a-b^c', 

(II) 4i^' a (cos ). — cos 'Ji cos v) -H ^ (cos (i — COS v cos>.) 4- Y (cos V — cos ). cos il)] = b*c^ -h c'a' — a-b-, 

(III) a--H3'-H7' — Siy cos X — Sya cos |Ji — 2ï^ COSV = a^ + 6» — c*. 
Consiflérons la [iremiére ; on ])eul la mettre sous la forme 

8j,3-Vû = 4a6c. 

Or le premier membre est égal au volume du parallélépipède construit sur les trois droites A, IJ, C. 
On Voit donc que m volume est cunslanl ni égal à ta tnuilii: du volutne du parallélépipède cun^lruit sur 1rs 
axet ou sur trois diainrtres coiijiifiués qurlcoin/ncs. 

Interprétons maintenant la relation (II). Désignons par $, t,, ï les dièdres du triùdre Ory: qui ont 

respectivement pour arêtes Or, Oy, G: ; en vertu de la formule fondamentale de la trigonométrie 

spliérique, on a 

cos )• — cos (Ji cos V = sin n sin v cos $, 

cos |i — cos V cos X = sin v sin X cos r,, 

cos •/ — CCS A c'is [1 = sin >. sm ji cos ;. 

D'autre pari, les angles î, t„ !; sont visiblement les suppléments des dièdres du parallélépipède 
dont les arêtes sont les droites A, B, C. l'^n désignant ces dièdres par A, H, (], nous avons 

cos Ç =r — cos A , cos r, — — COS B, COS Ç = — COS C 

ot la relation (II) peut alors s'écrire 

4s^'isin (isin vcos A -nfisinvsin ) cosB -4- y sin > sin (icosC) = a'b^— b'c* — c*a*. 

Nous avons ainsi en évidence leH aires des faces du parallélépipède, qui sont 4|iYsin), 4^1 sin ti, 
li^sinv; désigni)ii8-lc8 por 9,, ««, c,; la relation devient 

ofii cos A -+■ c,»i cos B H- aji, co» l'< = 'i^a'6' — /('<■« — c'«'). 



SUIl LES TRIANGLES CONJUGUES A UNE CONIQUE 331 

Si Ton remarque que les faces passant par la droite A ont précisément comme aires Jo et Cj, . . ., 
on peut énoncer la propriété suivanle : 

La somme des trois produits obtenus en innltiplianl les aires des farcs passant par chaque ijàiératricc 
par le cosinus de leur angle est constante et égale à i[a'-b'- — ù-c- — c^a-). 

Considérons enQn la relation (III), que nous pouvons écrire 

8(a^ -h^'-h f) — 4(a2 -h fl2 -1- f- -+- 2^Y COS X -+- 2Y0t COS [X -f- 2a^C0S v) = i{a^- + b^ — c'-). 

Le parallélépipède a une diagonale DD' qui ne renconire pas les droites A, B, C ; les coordonnées 
du point D sont a, p, 7, celles du point D', — a, — p, — ■;, par conséquent 

DD'' = 4(a2 + ri2 _^ .^2 _f_ 2pY cos X -t- 2731 cos [x -+- S^fi cos v). 

D'autre part les longueurs des arêtes situées sur les droites A, B, C sont respectivement égales à 
2x, 2p, 2-;'. Désignons par S2 la somme des carrés de ces longueurs. La relation précédente devient 
alors 2Si — ÏÏIy' = i{a- -h b- — c- ) ; 

d'où l'on conclut que la différence entre deux fois la somme des carrés des longueurs des arêtes situées sur les 

génératrices et le carré de la diagonale qui ne rencontre pas ces génératrices est constante et égale à 

4('(- -t- b- — C-). 

G. P. 



SUR LES TRIANGLES CONJUGUES A UNE CONIQUE 

par JI. V. Jamet, professeur au lycée de Marseille. 



Voici une démonstration analytique très simple d'une proposition qu'on rencontre comme consé- 
quence, dans la théorie des invariants simultanés de deux coniques. 

Pour que, dans un cercle C, on puisse inscrire un triangle conjugué à une conique S, il est nécessaire et 
suffisant que G coupe à angle droit le cercle orlhoptique de S. 

Traitons d'abord le cas où le centre de S est à distance finie ; nous examinerons ensuite le cas où 
S est une parabole. Prenons pour axes de coordonnées deu.x diamètres conjugués de S, dont l'un, Oj, 
passe par le sommet A d'un triangle conjugué à cette conique, et soit OA = a. L'équation d'un cercle 
passant par le point A est de la forme 

(1) (x — 'xY -r- 2{x — 7.)g cos -H 1/2 -f- 2À(x — a) -t- iiJ-g = ; 
mais si l'équation de S est 

(S) ^^f-'=" 

et si le cercle (1) est circonscrit à un triangle conjugué à S, ayant son sommet en A, ce cercle coupe 
la droite représentée par l'équation 

(2) -^ - ' = ^ 

(polaire du point A), en deux points, B, C, dont les ordonnées ont pour moyenne proportionnelle l'or- 
donnée i du point D, intersection de BC, avec la conique S. Mais celle 




ordonnée 


a'- S- 
vérifie l'équation h -i— — 1=0, 


où 


l'on suppose 


a' = CE = 


On en conclut qno 

6»(a» — a» ) 







D'ailleurs, si, dans l'équalion (l). ou fait .r — , on trouve une 

y. 

équation du second degré en g, dont les racines ont un produit égal à 



335 ^V\{ Li:S TIUANGLES CUN.IUC.UÉS A UNE CONIQUE 

(t-)'-'(t-"). 

ou bien à («' — a^jta* — a' + 2>.a) 



a" 



De là la condition ^^ ^-^—, — '- = &* -^ — ^ — '- , 

d'où l'on conclut «^ — a' h- 2ài = — i-, 

ou bien 

(3) a' — 2).a = '/' + b". 

Mais le premier membre de celte équation eslciialii la puissance du point par rapport au cercle (1). 
Le second membre est égal, en vertu de l'un des théorèmes d'Apollonius, au carré du rayon du cercle 
de Monge : donc le cercle circonscrit au triangle AUC coupe le cercle de Monge ii angle droit. 

Héciproquemcnt, si un cercle passant par le point (a, 0) coupe le cercle orllioptique de la conique 
S à angle droit, on peut le représenter par une équation de la forme (1), à condition qu'il y ait, entre 
et et X, la relation (3). Mais, si cette derni«re équation est vraie, ce cercle coupera la polaire du point A 
(a, 0), en deux points, B, C, conjugués liarmoniqucs par rapport aux extrémités de la corde D, I)', inter- 
ceptée par la conique sur la polaire du point A, et le triangle AHC sera conjugué à la conique S. 

Il est bien entendu que le calcul précédent ne comporte aucune hypothèse spéciale sur la réalité ou 
la non-réalité des points l), D', ni sur les signes des constantes n-, b-. Le théorème est donc établi 
pour toute conique à centre, et pour toutes les positions possibles du point A, dans le plan d'une telle 
conique. 

Si la conique S est une parabole, on la rapportera au diamètre passant par le point A pris pour 
axe des .r, et l'on prendra pour axe des ;/ la tangente à la parabole au point où elle est coupée par 
l'ordonnée du point \. Désignant encore par » l'abscisse de ce point, on verra que tout cercle passant 
par A est réprésenté par une équation de la forme (1) ; et si l'équation de la parabole est 

;/» — 2/jj = 0, 
on verra que la condition nécessaire et suffisante pour que ce cercle soit circonscrit à un triangle conju- 
gué Il 11 parabole et ayant un sommet en A, consiste en ce que la droite dont l'équation est 

.(■-+- a = 0, 
(polaire du point A), coupe ce cercle en deux points dont les ordonnées aient pour proiiuil — 2/)ï. 
Mais ces ordonnées sont les racines de l'équation 

if — 2(ia COS — ,i)y -t- 4a» — 4/.a = 0. 

De là la condition 

4i» — 4>,a = — 2pa, 
équivalente à 

2X = 2ï -»- /). 
L'équalion (1) est alors de la forme 

(x — a)' -f- 2(x — a)j/ cos -»-;/' -*- (2a h- p)(.r — a) -^ 2|i;/ = ; 

et l'S coordonnées {, ', du centre du cercle représenté par celte dernière équation reini)li.ssont la condi- 
tion 

— 2(5 + r, cos 0) = p. 

Or, si dans crlle ilernitri' équation, {, t, désignnnl des coordonnées courantes, elle représente la 
directrice de- la jiarabole, comme il est facile de s'en assurer, par exemple, en cherchant le lieu des som- 
met» des angles droits circonscrits ii celle courbe. 

Donc '■ pour f/u'oi) jiuissr inscrire dans un en vie donné un triangle conjugué n une porabole donnée, 
il faut ri il iuffUtjur h centre de ce cercle toil sur la dircririce de In parabole «. 

♦ 



GEOMETRIE 



333 



GEOMETRIE 




999. — Trouver le lieu des sommets des coniques d'un faisceau ponctuel. 

Ce problème n'est susceptible que d'une solution générale ; il ne faut pas compter aborder les 
détails, ni ctudier avec quelque précision la forme du lieu. 

Cherchons d'abord combien il y a de points du lieu sur une droite 
quelconque D ; pour cela appelons A, A' les points de rencontre de la 
droite D avec une conique du faisceau et B, B' ses points de rencontre 
avec les axes de celte même conique ; pour qu'un point du lieu soit 
situé sur D, il faut qu'un point A coïncide avec un point B. Voyons 
la correspondance qui existe entre eux : si nous nous donnons A, la 
conique est bien déterminée, il y a deux points B ; si nous nous don- 
nons B, il y a trois coniques dont l'axe passe en B, car l'enveloppe des 
axes des coniques d'un faisceau ponctuel est une courbe de troisième classe ; il y a donc six points A 
qui correspondent au point B et la correspondance est (6, 2). Le lieu cherché est du huitième ordre. 
Plus généralement, si on considère un faisceau de coniques assujetties à quatre conditions quel- 
conques et si l'on désigne par a le nombre des coniques qui passent en un point, par p la classe de 
l'enveloppe des axes, le degré du Hou des sommets est 2(a -\- p). En particulier le lieu des sommets 
des coniques d'un faisceau tangentiel linéaire est du 10" degré. 

Cela posé, considérons le quadrangle ABCD formé par les points de base du faisceau, et le triangle 
diagonal EFG. Puisque trois axes passent en chacun des points A, B, C, D, ces points sont des points- 
triples du lieu. 

D'autre part la conique qui passe en E, par exemple, est une conique impropre, et les quatre som- 
mets de cette conique sont confondus en E sur les bissectrices de l'angle formé par les deux droites 
qui constituent cette conique impropre ; chacun des trois points E, F, G est donc un point double à 
tangentes rectangulaires. 

Les points à l'infini sont faciles à apercevoir : il y a d'abord les sommets à l'infini des deux para- 
boles du faisceau ; pour chacune d'elles la droite de l'infini est un axe et il y a trois sommets confondus 
avec le point où elle touche la parabole ; cela fait déjà six points de rencontre avec la droite de l'inlini ; 
il y a en outre les points cycliques, car si on considère une coniciuc passant en un de ces points, ses 
deux axes sont confondus avec la tangente à la conique en ce point. 

On peut démontrer directement que chacun des points A, R, C, D est triple et reprendre autrement 

les raisonnements généraux du début. Considérons, i\ cet efl'el, la 
conique des neuf points, lieu des centres des coniques du fais- 
ceau, la conique r, et menons la tangente en A, AT, la normale 
AN et le diamètre Aw relatifs à une conique du faisceau ; la 
droite Aco sera un axe si elle coïncide avec AN ; tout revient 
donc à étudier la correspondance qui existe entre AN et Aïo. Or 
si on se donne AN, on se donne AT et, par suite, la conique du 
faisceau; donc Aw est bien déterminé. Si, au contraire, on se 
donne Aw, on obtient deux centres f» et w', par suite deux 
coniques et deux rayons AN. La correspondance est donc (2, 1) et il y a trois rayons doubles, c'est-à- 
dire trois axes passant en A. Le point A est donc un point triple du lieu et les tangentes en ce point 
sont les perpendiculaires aux axes qui y passent. 

Il en résulte alors que chaque conique du faisceau rencontre le lieu en seize points, douze qui sont 




334 r.f.OMlÎTltlE ANALYTIOrK 



conTondus avec les poinls dp bafo ol <|ualro (|ui sont aux snnimels de la conique : par conséquent le 
lieu est du huilième degré. 

Il y a des cas de décomposition évidents. 

Supposons dabord que dans ce faisceau il y :iil un couple de droiles parallèles ; tous les points de 
ces deux droites sont des sommets et le vrai lieu s'abaisse au sixième degré. Si les coniques simt cir- 
conscrites à un parallélogramme, le lieu s'abaisse au quatrième degré; il a pour centre le centre du 
parallélogramme, et ce point est au surplus un point double avec tangentes rectangulaires. 

Dans le cas où le faisceau contient un cercle, tous les points du cercle sont des sommets, le vrai 
lieu s'abaisse au sixième degré. Mais il y a mieux : dans ce cas les axes ont des directions fixes, ce sont 
donc les polaires de deux poinls fixes à l'infini, et le lieu se décompose encore en deux cubiques qui 
correspondent à ces deux points. 

]1 nous reste à montrer comment l'équation ilii lieu peut se trouver dans le cas le plus général. A 
cet elTel, nous désignerons par /"-f-)'/ = l'éipiation générale de laconique du faisceau, par u, i/j, i/, 
les dérivées partielles de f ol par r,, is, Dj celles de f/. L'équation quadratique des .ixes étant en 
général 

R'^/v'-/v') + (A'-A)A'/'v' = o> 

sera dans le cas actuel 

(B" -^ XB, )[(», + Iv,)* — (1/5 -f- }.v,Y] -^ [A' - A -+- l{k[ — A,)l(«, -+- >.t",)(«j -+- Iv,) = ; 

r 

il n'y a plus qu'à remplacer À par — — pour avoir I rquation du lieu. 

Nous trouvons ainsi 

(B"-/ - n:fy{u,r, - ,•,/•)« - («.,7 - r/)»] m- [(A - A^ - (A; - A,)f]{">9 - v,n{u,f, - ,•/) = O; 
sous cette forme il est visible que le lieu est du huitième degré et que les points de rencontre de f el g 
sont des poinls triples. 

On peut simplitier un peu les calculs en prenant pour axes les asymptotes de l'hyperbole équilatère 
du faisceau et pour coniques f et 7 cette hyperbole et l'ellipse dont les axes sont parallèles aux 
asymptotes de celte ligne. 

Dans les cas particuliers que nous avons signalés, on réduira aussi les calculs en choisissant con- 
venablement les axes el les coniques de base du faisceau. 

11. Mir.lIRL, élève de Mathématiques spéciales au lycée de Pnuai. 



(iKOMKTHlH ANALYTIQUE 



991. — Montrer que la rondilinn nécessaire et suffixanle pour qu'un télrncdre (T) circousrrit li une 
quadrique (Q) soit tel que les jierpendiculairfs dliaissres des sommets de ce tétrardre sur leurs plnns 
polaires par rapport <1 (Q) <oie/i/ concourantes eu un point II est que tes normales à (Q) auj- points de con- 
liirt des faces de (T) soient conruuranlrt eu un point II'. Il existe un seul ti'trai^lre (T) relatif à un point 
M ; ce télrnédie est inscrit dans une quadrique ((},) ayant les inrmcs plans prinripnu r que (Q). Quelle 
relation exislr-l-il entre les longueurs des arcs ou les pnrnmrlres des sections principales des quadriqucs 

(Q) 't (00 ? 

Dans tout ce qui ra suirre, on supposera que la quadrique (Q) est un paralioloide donné. 

{" Il existr cinq létrardrrs (T) relatifs a un puinl W donné, /.es cinq droites joiijnant les points 11 de 
rei tétraèdres retpeclivemenl auT pieds des cinquièmes normales menées de 11 ti (()} sont une surface du 
second ordre. Quel lieu diiil décrire le point \V pour cette surface soit une paralioloide. un cône'.' Dans ce 
dernier cas, les rinq dcoitet sont concourantes ; trouver leur puinl de concours. 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 335 



-1° Lorsque le jwint H ni dans ini cerlain plan (P), les parnliolnides (Q) el (Qi) sont égaux. 

Montrer que clans ce cas les normales à (Q,) a^tx sommels de (T) sont concourantes. Le tétraèdre (Ti) 
formé par les plans tangents à (Q,) atix sommets de (T) jouit par rapport â (Qi) de la même propriété 
que (T) par rapport à (Q). Trouver le lieu du point III analogue à H. Montrer qu'on a alors une série de 
tétraèdres (T), (Ti), . .. (T„) se déduisant les uns des autres de la même façon, et jouissant de la même 
propriété. 

3" /.''.s- quatre droites qui joignent les sommets du létraèdrd {T) aux points de contact des faces opposées 
sont comme on sait sur une surf ice du second degré. Dans quel cas celle surface est-elle un cône ? Montrer 
que le point de concours I des quatre droites est sur la cubique aux pieds des normales menées de II au 
paraboloide (Qj, et trouver le lieu du point H ainsi que celui du point I. 

Supposons d'abord que la quadrique soit à centre, et prenons le cas de l'ellipsoïde ; il suffira de 
changer dans les résultats trouvés un ou deux des signes placés devant a-, h-, c- pour passer aux cas 
des hyperboloïdes. Soient 

a- h- c- 

l'iVlualion de (0) et a, p, -( les coordonnées du point H. 

t)n sait que la cubique (r) aux pieds des normales abaissées de 11 est le lieu des points tels que les 

perpendiculaires abaissées de ces points sur leurs plans polaires par rapport à (Q) passent par H. Les 

quatre sommets du tétraèdre sont donc sur (r). 

Soient alors 

_ rï'a _ b'?> _ c--( 

les coordonnées d'un quelconque des sommets, X étant une des racines de l'équation 

ART 

fi\) = ^A_ J- ^i^ + _^1_ + X -^ D = 0, 

'^ ' A-^-a' ^ X-H/y^ X-t-c- 

dont nous allons cbercher les coclficients. 

Si l'on désigne par Xi la racine correspondant à un des sommets, et par uc + vij -h wz -+- r = 0, 
l'équation du plan des trois autres sommels, on devra avoir 

A-^y c-'[w 



a-xu b-pv c-'w \ 

?f(X)= X — X,) ^ --H -— L— H- r+'' ' 

^ ' \l-^a' l-i- b- l-h c^ I 



d'où, en multipliant de part et d'autre par X + a-, puis faisant X = — r;-, etc , 

rA = — (Xi -H a')o-yiU, 

et deux équations analogues. On a d'ailleurs n-u- ~\-lj-v^ -h c-w- — ;■- = 0. 

En portant dans celte équation les valeurs proportionnelles à u,v, w,r, on a 

p.. , A" B" C" 

'^'''^""aV(X,-i-aY "^ /-■'^•^(X, + 6^f "^ cV(X, -f- r^^-" ~ ^ ' 

équation du sixième degré qui doit èlre satisfaite quand on remplace X, par une quelconque des autres 
racines de /"(X) = ; il en résulte (|ue l'on a nécessairement 



^^^^-K^ÏMÔ^-^ 



B 



-'(X -t- a-) b^'i^l -4- *-) c^Y'(X -f- cM / 

1 
On a déjà trois équations d'idenlilicalion faites (termes en -^ r^' etc.); il enfant encore 

^ (A-\-u-y ' 

quatre. Nous les obtiendrons facilement en décomposant le second membre en éléments simples, et en 
égalant les fractions semblables deux à deux dans les deux membres. On trouve ainsi 



336 



r.ÉOMÉTRlK ANALYTIQUE 



«v-^ 



B C 



B / 1 J_\ C / 1 1 \ 0-a' _Q 



et deux autres cqualions qu'on obtient par permutations circulaires. 

Ces équations linéaires en A,B, C, D se résolvent facilement en posant 



J!^J _^ f 1^« 



/,' — C- 
on trouve ainsi 
A = 






c'y" -t- a'»" 
c- — a- 



B = 



— c- -4- rt' = nt , 



C = 



a'a» -+- />*?' 



— «5 -f- 6' = n ; 



n 



«2 — 6a 

a-/ + i^m + c'n 



/ H- m -H 11 

Il n'y a donc bien qu'un tétraèdre (T) relatif ;i un point H(a, ^, f). 

Nous allons montrer que les normales à l'ellipsoïde (Q) aux points de conlacl des faces du tétraèdre 
sont concourantes en un point H'. 

Les coordonnées du point de contact de la face opposée au sommet )., sont 

n°u A 



ou 



r 



0L(/., -+- a-} 

y = 



y = 



b'-^' 



n 



i\ 



en posant 



t\ •+- II- 

A _ • 
a-7. 

Mais dans ces conditions, l'équation F(X) = s'écrit 



6= 



X, 4-c» 



— - B' — 



(«) 



-h 



cY- 



-1 = 0, 



(X-f-a^)» (l-hir;' (X-Hc*)- 

équation aux X des pieds des normales menées de 11' à (Q). La condition est donc nécessaire. 

Uéciproqucmenl, si les normales aux points do contael des faces sont concourantes en 11', on aura 

n'a A 

pour roordonnées de ces points x = -^ , ..., X étant racine de (1), et en posant a' = — — , on 

retombera sur l'équation FiX) = 0. 

I.* lélraèdre (T) est inscrit dans une quadri(|iio (Q,) ayant mêmes plans principaux que (Çl. Ku 
effet, F(X) = exprime que les sommets de ( T) sont sur la quadriquc 



B^ 



C^ 



(;^v'4-;:^='-l=o, 



ou 



avef n' = dz 






^-1 =0. 






etc. 



On voit que l'on a. d'après une éfjualion trouvée plus iiaul, 

/* I le 

r h- - 

" I \ c 



II 
a'I 



= «, 



C'est la relation cliercbéo. 

Supposons maintenant que la quadriquc (0) soit un parabolo'tde, el soit 



•i- H 2.T = 0, 

P 7 



son équation. 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 337 



Les coordonnées des sommets de (T) pourront être représentées par les formules 



. = x + «, ,= P"^- -- r< 



l-\-p X -h f/ 

X étant racine de l'équation 

/■(X) = -iL_ _^. ^ ^. X2 4- DX 4- E = 0. 

Conservant les mêmes notations que précédemment, et suivant identiquement la même méthode, 

on trouve 

_ p?'V(h-+-p) ?Y'^'(>M + 9) p. , r 

u — > L = ■> IJ = a — X, + — > 

U V u 

el comme l'on a pv- ■+- qiv^ — 2ur = 0, on en déduit 

F(X,) = —~ H -__ — + 2(a - Xi — D) = 0. 

F(X) devant être divisible par /'(X), il s'ensuit que 

B C \ 



FW = A^)( -^ 



Nous décomposons encore le second membre en éléments simples, ce qui nous conduit aux 
équations 

(2) ^ (-L^AJ\ = ?'-?D+''- ,..^ G / 1 1 \ p'-pU + E 

q-p\p?' qfJ qf ' ^' p-q \pr-^TF)~ pf' 

(4) _L + A-_2 (K^ B(D-p) C(D-y) 

pour déterminer B,C,D,E. 

Multiplions les premiers membres de (2) et (3) respectivement par — , —, et ajoutons. 

Hfl-' (/•{- 

En tenant compte de (4), il vient 

(p-q) 



L'équation (5) se simplifie, et peut être remplacée pa 



(5') -5- -+- -^ = _ 2a 

et l'on peut alors tirer de (4) et de (5') 

P—q' q—p' 

1 1 

Multiplions (2) par —, (3) par -, el ajoutons pour éliminer D : nous trouvons 

L = »r; H LL LU. . 

" (p-qf 

Nous avons ainsi déterminé les coefTicients de tous les termes de l'équation /"(X) = 0. 

F(X) = exprime que les sommets de (T) sont sur le paraboloïdo 

^ -f- -T — 2(.r — a:') = 0, 
p q 

2x - = .x'. 



où 1 on a posé i— ^ = p', 


1' 


et //,(/' satisfont à la condition 









C'est la relation demandée. 



3:j8 gKomêtiui: analytique 



1{ c 

En Dosanl D » = » -- = ^'> — = ' - on voil facilement que les coordonnées des poiols 

de contact des faces sont données par les formules 



y = 



X -f- ;> >. -4- 7 



X étant racine de l'équation F(X) = 0, c'est-à-dire 



P^ —L> 2(a' + X) = 0, 



fqualinn aux X des normales menées de I1\j', p, y'). 

\ itéciproquement. si Ion se donne «', P', /'. on a pour déterminer a, ^, y les trois é(]ualions 
2,-, _ p)2 + (p _ y)p' = 0. 2(a - q\( -+- (7 - p)i = 0, 

2(p?- -+- qf) -\- (p - </)'{? -4- 9 - a - a'i = 0. 
Il est aisé de voii* qu'elles ont cinq solutions en i, 9, y- 
En posant a = /* + 7 -+- <>, on a en effet 

étant une des racines de l'équation du cinquième degré 

(0-Hp). ^ (0 + 7)^ 

(|ui est léquation aux normales menées de 11'. 

On aperçoit immôdialemenl la correspondance qui existe entre le point II d'un t(''traèdre (T^ et le 
pieil Ir. )/. : de la cinquième normale menée do 11 au paraboloïdo 

■' -4- /< 0-1-7 

On a 

> p-1 V _ R—P 

' ' Il zp z 27 

L'équation de la droite joignant les deux jioints ,s, 1/, z), (a, p, y) est donc 
■f - »' — _ p(y — P'-t-Oy _ ?(' — t') -t- 0= 

''^''~'' {(7--W Y^/'-37)ï' 

L'élimination de <i entre ces deux équations linéaires donne 

{T-r')i,. - 37h''v- f7-37>)?':^ -f pvp-3cj)(y- p') - 7p'(7 -3/')(: - y') 

- 20' ^- 7 - ''>f7.'/> - •/) - p-'iy - P') I = 0, 

surface du deuxième ordre qui contient les cinq droites, et la cubique aux pieds des normales menées 
de H'. Celle «-urface e^t un paraboloïde si l'on a 

(;' — 9) iP — 3'/) (7 — 3/))P'y'(/' -t- 7 - a') = 0. 
Kn écai tant les ras particuliers, on voil que le lieu des points II' est le plan a' — (j) -t- 7) = 0. 
La surface est un c«>ne si le discriminant ilii priniier incinbre est nul, c'eslà-dire si l'on a (en 
supposant toujours pY^^O) 

2(;> -4- 7)[»' - (;) -+- 7) - (p - :i7)(7 - 3/)) = 0. 
]ji lieu de II est eniore un plan. 
Le point de concours des cinq «Iroites est alnK |p contre du c>>n<' ; or les é(|ualion<: du rentre 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 339 



deviennent 

y'[{p-i-q){x—'x'-i-p)-q{,,-3p)]^(q-p){q^Sp)- =0, 
f.'[(p -I- q){x — a'-h (/j - p'p — 3q)] 4- (p — q)(p - 3q)ij = 0, 
Y{p-3q)y-^^'(q-3p)z = 0. 
Leur résolution facile conduit au\ résultats suivants : 

p + q ^p-^q) ' -^ p—'iq ' " <?— 3/J 

2. Si (Q) et (Qi) sont homothétiques, ils sont nécessairement égaux; en effet de la relation 

\ -^- -+- \/ "T = ^' on conclut que si -^ = -ly, ce rapport est égal à 1. 

On a alors B- = p-^', C- = c'y*, équations qui donnent 

2ï = /j + 7 . 
C'est le plan (P). 

Les valeurs de ii et G sont, en tenant compte de cette relation, B = — p'p, C = — ^y^ 

Cherchons les coordonnées dos sommets du tétraèdre (Ti